专题8 函数的单调性和奇偶性（讲义）-2027年江苏省（职教高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年江苏省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年江苏省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 函数的单调性和奇偶性 【复习目标】 1. 理解函数单调性的定义，会利用单调性判断函数值以及解决函数相关问题。 2. 理解函数奇偶性的定义，会判断函数的奇偶性。 【考点1 函数的单调性】 设函数的定义域为D，区间I⊆D，如果对于区间I上的任意两点，当 时，都有 那么 图像描述：自左向右函数图像上升． 如果对于区间I上的任意两点 当 时，都有 ，那么称 图像描述：自左向右函数图像下降. 增函数或减函数叫作在这个区间上的单调函数，或者说f(x)在这个区间上具有（严格的）单调性. 2．用定义证明（判断）函数在指定区间上的单调性问题 证明（判断）函数y=f(x)在指定区间A上的单调性的一般步骤是： （1）设元：任取 （2）作差：，并将 变形，一般能提取出因式 ，目的是对 ． （3）判号：确定 ． （4）定论：根据（1）和（3）作出结论，两个变量的不等号“同向”则 ；两个变量的不等号“反向”则 ． 以上四个步骤可以简记为： . 3．复合函数的单调性：同增异减． 设复合函数y=f[g(x)]，令u=g(x)，则y=f(u).当u=g(x)、y=f(u)同增或同减，即单调性相同时， ；当u=g(x)、y=f(u)一增一减，即单调性不同时， . 【即使训练】 1．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 2．下列函数中，在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数和的递增区间依次为（   ） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 6．下图为A市燃气公司统计的某一天中家用煤气使用率随着时间变化的情况，用表示这个函数． 请根据上述信息，以下选项中，为函数的单调递减区间的是（    ） A． B． C． D． 7．函数，的图像如图所示，则的增区间是（   ） A． B． C． D． 8．函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 9．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 11．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 12．已知函数的图像如图所示，则该函数在下列区间上单调递减的是（    ）    A．[0，8] B．[8，16] C．[12，20] D．[16，24] 【考点2 函数的奇偶性】 1. 偶函数的定义 设函数的定义域为D，若对于任意的x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，则 . 偶函数的图像关于y轴对称；反过来，图像关于y轴对称的函数是 . 2．奇函数的定义 设函数y=f(x)的定义域为数集D，若对于任意的x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，则称y=f(x)为 . 奇函数的图像关于 对称；反过来，图像关于原点中心对称的函数是奇函数. 3．奇函数、偶函数的单调性 若f(x)是具有奇偶性的函数，则奇函数在正负对称区间上的单调性是 的.偶函数在正负对称区间上的单调性是 的. 4．奇函数的性质 对于在x=0处有意义的奇函数， 恒成立. 5．常见函数的奇偶性 （1）一次函数y=kx+b(k≠0)为奇函数⇔ （2）二次函数为偶函数⇔ （3）反比例函数 为 【即使训练】 1．设是奇函数，当时，，则（ ） A． B． C． D．3 2．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则使的x的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（ ） A． B． C． D． 4．若定义在上奇函数的值域是，则等于（    ） A．3 B． C．0 D．无法计算 5．已知奇函数的图像经过，则函数的图像必经过另一点（   ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的偶函数，则（    ） A．1 B． C．3 D．2 7．已知函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知是定义在上的偶函数，则等于（      ） A． B． C．1 D．2 9．设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数在上是偶函数，在上是单调函数，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 13．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 14．已知函数是奇函数，则（ ） A．0 B．1 C．2 D． 15．已知函数为偶函数，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点08 函数的单调性和奇偶性 1.（2026江苏省职教高考数学真题）已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）若在区间上，函数与函数的图象有交点，求实数的取值范围. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知函数在区间上的最大值为9，最小值为2. （1）求实数的值； （2）设函数，试判断函数的奇偶性. 3.（2024江苏省职教高考数学真题）已知函数是定义在上的奇函数，点在函数的图象上，当时，. （1）求实数b的值； （2）求函数的解析式； （3）若，求实数a的值. 4.（2023江苏省职教高考数学真题）已知二次函数是定义在内的偶函数，且 (1)求得解析式 (2)若方程有两个相等得实数解，求实数的值 5.（2022江苏省职教高考数学真题）若二次函数满足，且是偶函数． （1）求的解析式； （2）若在区间上，函数的图象恒在直线的上方，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江苏省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年江苏省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 函数的单调性和奇偶性 【复习目标】 1. 理解函数单调性的定义，会利用单调性判断函数值以及解决函数相关问题。 2. 理解函数奇偶性的定义，会判断函数的奇偶性。 【考点1 函数的单调性】 设函数的定义域为D，区间I⊆D，如果对于区间I上的任意两点，当 时，都有 那么称函数y=f(x)在区间I上是增函数，区间I称为函数y=f(x)的增区间. 图像描述：自左向右函数图像上升． 如果对于区间I上的任意两点 当 时，都有 ，那么称函数y=f(x)在区间I是减函数，区间I称为函数y=f(x)的减区间． 图像描述：自左向右函数图像下降. 增函数或减函数叫作在这个区间上的单调函数，或者说f(x)在这个区间上具有（严格的）单调性. 2．用定义证明（判断）函数在指定区间上的单调性问题 证明（判断）函数y=f(x)在指定区间A上的单调性的一般步骤是： （1）设元：任取 （2）作差：，并将 变形，一般能提取出因式 ，目的是对 与0 比较大小． （3）判号：确定 大于0、等于0或小于0． （4）定论：根据（1）和（3）作出结论，两个变量的不等号“同向”则“增”；两个变量的不等号“反向”则“减”． 以上四个步骤可以简记为：设元→作差→判号→定论. 3．复合函数的单调性：同增异减． 设复合函数y=f[g(x)]，令u=g(x)，则y=f(u).当u=g(x)、y=f(u)同增或同减，即单调性相同时，y=f[g(x)]为增函数；当u=g(x)、y=f(u)一增一减，即单调性不同时，y=f[g(x)]为减函数. 【即使训练】 1．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. ， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 2．下列函数中，在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常见函数的性质即可求解. 【详解】A．，，在上为减函数； B．，，在上为减函数； C．在上单调递减，在上单调递减； D．，对称轴为，图像开口向上，在上减；在上增. 故选：D． 3．函数和的递增区间依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性求解即可. 【详解】函数，故其递增区间为， ，对称轴为，开口向下，故其递增区间． 故选：C． 4．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数转化为可求增区间. 【详解】由知， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 5．如图所示，函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据减区间的图象特征可判断. 【详解】根据函数图象可知， 函数的单调减区间为. 故选：C 6．下图为A市燃气公司统计的某一天中家用煤气使用率随着时间变化的情况，用表示这个函数． 请根据上述信息，以下选项中，为函数的单调递减区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像即可分析单调递减区间. 【详解】由图可知，图像呈上升趋势，为单调递增区间，故A错误， 图像先上升后下降，所以单调性先增后减，故B错误. 图像呈下降趋势，为单调递减区间，故C正确， 图像先上升后下降，所以单调性先增后减，故D错误. 所以为函数的单调递减区间的是. 故选：C. 7．函数，的图像如图所示，则的增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合单调增函数的定义，即可判断求解. 【详解】由图像可知，函数的增区间为. 故选：C. 8．函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数的单调性进行求解即可． 【详解】函数是实数集上的减函数， 因为二次函数的开口向下，对称轴为， 所以二次函数在时单调递增，在时单调递减， 由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间是， 故选：C 9．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性得到不等式，即可求解． 【详解】因为函数开口向上，且对称轴为， 所以函数的增区间为. 由题可知 故. 故选：A 10．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论二次函数和复合函数的单调性即可. 【详解】令解得， 即函数的定义域为， 因为二次函数在单调递增，单调递减， 所以在单调递减，单调递增， 故选:A. 11．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数和函数的单调性即可求解. 【详解】∵， ∴函数的单调递减区间是，增区间为， 而函数和的单调性相反， ∴的单调递减区间是， 故选：B 12．已知函数的图像如图所示，则该函数在下列区间上单调递减的是（    ）    A．[0，8] B．[8，16] C．[12，20] D．[16，24] 【答案】B 【分析】在所选定的区间上观察函数的图像是否一直是下降即可求解. 【详解】 在区间[0,8]上函数的图像有上升也有下降， 所以函数在区间[0,8]上不是单调递减的，故A选项不正确； 在区间[8,16]上函数一直下降的， 所以函数在区间[8,16]上单调递减，故B正确； 因在区间[12,20],[16,24]上函数的图像有上升也有下降，故C选项，D选项都不正确， 故选：B. 【考点2 函数的奇偶性】 1. 偶函数的定义 设函数的定义域为D，若对于任意的x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，则y=f(x)为偶函数。 偶函数的图像关于y轴对称；反过来，图像关于y轴对称的函数是偶函数. 2．奇函数的定义 设函数y=f(x)的定义域为数集D，若对于任意的x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，则称y=f(x)为奇函数. 奇函数的图像关于原点中心对称；反过来，图像关于原点中心对称的函数是奇函数. 3．奇函数、偶函数的单调性 若f(x)是具有奇偶性的函数，则奇函数在正负对称区间上的单调性是相同的.偶函数在正负对称区间上的单调性是相反的. 4．奇函数的性质 对于在x=0处有意义的奇函数，f(0)=0恒成立. 5．常见函数的奇偶性 （1）一次函数y=kx+b(k≠0)为奇函数⇔b=0; （2）二次函数为偶函数⇔b=0 （3）反比例函数 为奇函数 【即使训练】 1．设是奇函数，当时，，则（ ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】由奇函数性质可得，结合对数运算法则得到答案. ，因为为奇函数，故， 所以. 故选：D 2．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则使的x的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，当时，， 所以当时，， 所以当时，，即，解得， 当时，，即，解得， 综上所述：使的x的取值范围为. 故选：C. 3．已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 当时，，所以， 因为函数是定义域为的奇函数，所以 . 故选：C 4．若定义在上奇函数的值域是，则等于（    ） A．3 B． C．0 D．无法计算 【答案】C 【分析】根据正弦函数的值域得出，再由函数的奇偶性的概念可得的值，由此便可求出的值. 【详解】因为， 所以， 由此可得的值域应为. 即， 又有在上为奇函数， 所以，即， 经检验，满足题意， 则， 所以. 故选：C. 5．已知奇函数的图像经过，则函数的图像必经过另一点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质，即可求解. 【详解】根据题意，的图像经过， ， 又为奇函数， ， 函数的图像必经过. 故选：B. 6．已知是定义在上的偶函数，则（    ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用偶函数定义域关于原点对称求出的值，再根据偶函数的定义求出的值. 【详解】已知函数是偶函数且定义域为， 所以，解得， 函数为偶函数， 则有，即， 所以， 即，对于定义域内的任意都成立， 所以，解得， 故， 故选：D. 7．已知函数的定义域为，则“为奇函数”是“”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义对命题的充分条件和必要条件进行判断. 【详解】由奇函数的定义可知，定义域为时，若为奇函数，则有， 所以“为奇函数”可以推出“”， 若，不能推出为奇函数， 例满足，但为偶函数. 所以“为奇函数”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 8．已知是定义在上的偶函数，则等于（      ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据偶函数定义域关于原点对称和偶函数的性质即可解得 【详解】由题，为偶函数， 则, 即， 解得， 同时可知，， 解得， 故， 故选：B 9．设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合偶函数的定义，及函数的单调性，即可求解. 【详解】函数为偶函数，， 函数在区间上单调递增，且， ，即． 故选：B. 10．已知函数在上是偶函数，在上是单调函数，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和单调性判断选项即可. 【详解】因为函数在上是偶函数， 所以，， 因为，所以， 所以函数在上是单调递减， A：因为，所以，即，故A错误， B：因为，所以，故B错误， C：因为，且，所以，即，故C错误， D：因为，所以，故D正确. 故选：D. 11．设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的偶函数性质和增函数性质易得答案. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 因为在上是增函数， 因为，所以， 即. 故选：A. 12．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断. 【详解】对A：函数是奇函数，故A项错误； 对B：函数是偶函数，且在上为增函数，故B项正确；. 对C：因为函数在上单调递减，故C项错误； 对D：因为函数既不是奇函数也不是偶函数，故D项错误. 故选：B. 13．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性和奇偶性的定义，逐一判断各个选项中的函数是否满足条件，从而得出结论. 【详解】对于A，函数是偶函数，且在区间上单调递减，故A满足题意； 对于B，函数是偶函数，且在区间上单调递增，故排除B； 对于C，函数是奇函数，故排除C； 对于D，函数它是非奇非偶函数，故排除D； 故选：A. 14．已知函数是奇函数，则（ ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义求解. 因为是分式，定义域为，又函数为奇函数， 所以定义域关于原点对称，， 所以，因为， 所以是奇函数，故. 15．已知函数为偶函数，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质可求. 【详解】∵二次函数为偶函数， 则的系数为，即，得到. 故选：. 考点08 函数的单调性和奇偶性 1.（2026江苏省职教高考数学真题）已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）若在区间上，函数与函数的图象有交点，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合奇函数的性质求出值即可得解. （）求出的解析式，利用二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 奇函数的定义域关于原点对称，因此，即. 奇函数满足，代入得，整理得，解得. 将代入，得， 验证：定义域为，为奇函数，符合条件. 【小问2详解】 将，代入，得. 与的图象有交点，即方程在上有解，整理得. 令，该函数为开口向上的二次函数，对称轴为， 因此在上单调递减. ，，因此在上的值域为， 即的取值范围是. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）已知函数在区间上的最大值为9，最小值为2. （1）求实数的值； （2）设函数，试判断函数的奇偶性. 【答案】（1） （2）奇函数 【解析】 【分析】（1）利用指数函数的单调性得到关于的方程组，解之即可得解； （2）结合（1）中结论，利用奇函数的判定方法，结合指数的运算法则即可判断. 【小问1详解】 因为，所以函数在上单调递增， 则在上的最小值为，最大值为， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 是奇函数，理由如下： 由（1）知， 则，其定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数. 3.（2024江苏省职教高考数学真题）已知函数是定义在上的奇函数，点在函数的图象上，当时，. （1）求实数b的值； （2）求函数的解析式； （3）若，求实数a的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质，结合条件求得当时，的解析式，进而代入点，从而得解； （2）利用（1）中结论即可得解； （3）分类讨论与两种情况，令即可得解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数， 又当时，， 所以当时，，则， 因为点在函数的图象上， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1），得， 所以当时，； 当时，； 故. 【小问3详解】 当时，由，得， 即，即，无解； 当时，由，得， 即，即，解得或（舍去）， 所以. 4.（2023江苏省职教高考数学真题）已知二次函数是定义在内的偶函数，且 (1)求得解析式 (2)若方程有两个相等得实数解，求实数的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】对于二次函数的偶函数问题，需利用偶函数的定义（对定义域内所有成立）和偶函数定义域的对称性（定义域关于原点对称）来建立方程，进而求解参数。 【详解】（1）利用指数函数的单调性得到关于的方程组，解之即可得解； （1）由题意，解得 ； （2），， 有两个相等的实数解， ，解得，此时方程的解. 5.（2022江苏省职教高考数学真题）若二次函数满足，且是偶函数． （1）求的解析式； （2）若在区间上，函数的图象恒在直线的上方，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）需要利用二次函数的性质，结合已知条件和是偶函数来建立方程，求 解参数和； （2）将“函数图象恒在直线上方”转化为不等式恒成立问题，通过求函数在区间上的最小值来确定 的取值范围。 【详解】 【小问1详解】 设，展开可得： g(x)=+(-b - 1)x+(b + c + 1) 因为是偶函数，根据偶函数的性质，且二次函数偶函数的一次项系数为， 所以，解得。 又因为，将，代入中， 可得：+(-1)×(-2)+c=7， 解得c=1 所以的解析式为。 【小问2详解】 “在区间上，函数的图象恒在直线的上方”， 等价于在上恒成立，即在上恒成立， 整理得在上恒成立。 设，这是一个二次函数，其对称轴为。 因为对称轴，所以在区间上单调递减。 那么在上的最小值为，计算：h(1)=-3×1 + 1 - m=-1-m， 因为在上恒成立，所以，即，解得。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $