专题2 充要条件（讲义）-2027年吉林省（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年吉林省（高职分类考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年吉林省高职分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充要条件 【复习目标】 1. 理解充分条件、必要条件和充要条件的含义，区别并会使用符号“⇒”、“⇔”等． 2. 理解子集与推出的关系，能正确判定一个命题是另一个命题的什么条件. 【考点1 充分条件、必要条件和充要条件】 1.一般地，“如果p，则q”是真命题，我们就说由p可推出q，记作：p⇒q. 2.（1）如果“p⇒q”是正确命题，则称p是q的充分条件，或q是p的必要条件． （2）如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充要条件，或q是p的充要条件，即p与q等价，记作p⇔q. 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q ⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 【即时训练】 1．“三角形的三条边相等”是“三角形是等边三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充要条件的定义即可判断. 【详解】由“三角形的三条边相等”可得三角形是等边三角形， 反之，三角形是等边三角形，则三角形的三条边相等， 故“三角形的三条边相等”是“三角形是等边三角形”的充要条件. 故选：C. 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义求解判断即可. 【详解】充分性：若，则成立，所以“”是“”的充分条件； 必要性：若，则或，即当时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】当时，取，此时，即充分性不成立； 当时，必有，即必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 4．俗语云：“好人有好报.”这句话的意思是，“好人”是“有好报”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】这句话的意思中“好人”⇒“有好报”，但有好报好人，所以“好人”是“有好报”的充分条件. 故选：A. 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由题中给出的命题判断充分性、必要性即可 【详解】充分性：当时，若，则，故，充分性不成立； 必要性：当时，若，则，故，必要性不成立， 故“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 6．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据交集的定义及充分条件、必要条件的判断即可. 【详解】且， ，充分性成立. 若 ，但 ，则 ， 不能推出，必要性不成立. “”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7．“”是 “ 成等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，结合对数的运算、等差中项的性质、及充分性、必要性的概念，即可求解. 【详解】若，当时，无意义，故充分性不成立； 若 成等差数列，则，即 ， 所以，即必要性成立； 故“”是 “ 成等差数列”的必要不充分条件. 故选：B. 8．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由相等向量，共线向量的定义即可求解. 【详解】解：由共线向量和相等向量的定义可得， 则与方向相同或相反，且模不一定相等. 即不一定得到等于. 又因为可得. 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B 9．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合充分性和必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若，则一定成立，故充分性成立； 若，则，故必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【考点2 子集与推出的关系】 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A⊆B，则x∈A⇒x∈B，于是x具有性质p(x)⇒x具有性质q(x)，即p(x)⇒q(x)；反之，如果A中的所有元素x都具有性质q(x)，则A一定是B的子集． 如果A＝B，那么p⇔q； 反之，如果p⇔q，那么A＝B.即A＝B与p⇔q等价． 充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 AB之间没有子集关系 【即时训练】 10．已知M，N是两个非空集合，如果p：对于任意的，都有，q：，则p与q的关系为（    ） A． B． C． D．无关系 【答案】B 【分析】根据集合的子集、真子集的定义即可判断. 【详解】因为M，N是两个非空集合， 由“p：对于任意的，都有”可知，；“q：”； 由 是的真子集可以推出是的子集，但若是的子集不一定能推出是的真子集， 所以，. 故选：B. 11．设是两个非空集合，且，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合之间的包含关系及充分性和必要性的定义即可得解. 【详解】因为，所以能推出，但不能推出， 所以“”是“”的必要条件. 故选：. 12．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式和充要条件的判定即可解得. 【详解】不等式可化为， 解得，即充分性成立； 由也可以推出，必要性成立， 所以“”是“”的充要条件． 故选：C． 13．“”的一个必要不充分条件是（        ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用充分条件与必要条件的定义即可求解. 【详解】对于A，若，则不一定有，如；若，则一定有， 故是的必要不充分条件，故A正确； 对于B，若，则不一定有，如；若，则不一定有，如； 故是的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，若，则不成立；若，则不成立， 故是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，若，则一定有；若，则不一定有，如， 故是的充分不必要条件，故D错误， 故选：A. 14．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及充分条件以及必要条件的性质求解即可. 【详解】由解得或， 所以能得出， 但成立不一定能得到， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 15．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法结合充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】因为，所以或， 因此推不出， 且也推不出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 16．“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的概念求解. 【详解】时，一定有，满足充分性， 但时，如，不满足，即不满足必要性， 所以“”是“”的为充分不必要条件． 故选：A． 17． 的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的要求求解即可； 【详解】充分不必要条件是指该条件能保证结论成立，但结论成立时该条件不一定成立. 时，必然满足 ，但 时 不一定等于 2（如 ）. 其他选项（B、C、D）均不满足 2； 故选：A. 18．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，结合对数函数的单调性，及充分性、必要性的概念，即可求解. 【详解】因为，即，所以，解得， 若，则不一定成立，故不一定成立，故充分性不成立； 若，则，故一定成立，故必要性成立； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 19．设，则 “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义即可判断. 【详解】因为，时，不一定成立，如，，但，故充分性不成立； 时，一定成立，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 20．下列四个命题中真命题是（   ） A．是的充分条件 B．是的充分条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 【答案】C 【分析】由不等式的性质、解正弦方程，结合充分条件、必要条件、充要条件的定义即可求解. 【详解】对于A，推不出，可以推出， 故是的必要不充分条件，故A错误； 对于B，推不出，可以推出， 故是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，，若则推不出，可以推出， 故是的必要不充分条件，故C正确； 对于D，可以推出，， 故是的充分不必要条件，故D错误. 故选：C. 21．命题，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据充分条件与必要条件概念，结合集合之间的关系求解. 【详解】命题：，记集合； 命题：，记集合. 若是的充分不必要条件，则是的真子集，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 22．设：，：. (1)若是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】利用充分必要条件与集合的关系，结合集合包含关系求得参数范围，从而得解. 【详解】（1）设集合，集合， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，即的取值范围是. （2）因为是的充分不必要条件，所以， 所以，即的取值范围是. 23．求出下题中m的取值范围： (1)是的充分条件； (2)是的必要条件． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充分条件的定义即可求解. （2）根据必要条件的定义即可求解. 【详解】（1）要使是的充分条件， 只要或，则，即， 故m的取值范围为； （2）要使是的必要条件， 只要或， 而此时m无解，故m的取值范围为． 24．已知条件，条件． (1)若，试判断条件是否为条件的必要条件，并说明理由； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）代入确定条件，结合必要条件的定义，进而确定条件和条件的关系； （2）由是的充分不必要条件，列出式子确定的取值范围. 【详解】（1）若，则条件， 已知条件， 因为是的真子集， 则条件可推出条件，但条件推不出条件， 因此条件是条件的必要条件. （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 25．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0． 【答案】证明见解析 【详解】充分性：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0， 得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0．所以方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1． 必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0， 所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0． 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0． 1.（2026·吉林·真题T04）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件的判断即可求解. 【详解】因为， 所以是的必要不充分条件. 故选：. 2.（2025·吉林·真题T03）“四边形的四条边相等”是“四边形为正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 必要条件 D. 既不是充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断． 【详解】因为四条边相等的四边形不一定是正方形，故充分性不成立； “四边形是正方形”，则这个四边形的四条边肯定相等，故必要性成立； 所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 故选：B. 3.（2024·吉林·真题T03）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数值求角，结合充分必要条件判定即可. 【详解】可以推出，即充分性成立； 但是不一定得出，例如，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 4.（2023·吉林·真题T03）“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充要条件的定义判断即可. 【详解】因为即. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年吉林省（高职分类考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年吉林省高职分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充要条件 【复习目标】 1. 理解充分条件、必要条件和充要条件的含义，区别并会使用符号“⇒”、“⇔”等． 2. 理解子集与推出的关系，能正确判定一个命题是另一个命题的什么条件. 【考点1 充分条件、必要条件和充要条件】 1.一般地，“如果p，则q”是真命题，我们就说由p可 q，记作：p⇒q. 2.（1）如果“p⇒q”是正确命题，则称p是q的 条件，或q是p的 条件． （2）如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的 条件，或q是p的充要条件，即p与q等价，记作p⇔q. 若p⇒q，则p是q的 条件，q是p的 条件 p是q的 条件 p⇒q且q ⇏p p是q的 条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 【即时训练】 1．“三角形的三条边相等”是“三角形是等边三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．俗语云：“好人有好报.”这句话的意思是，“好人”是“有好报”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．无法判断 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“”是 “ 成等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点2 子集与推出的关系】 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A⊆B，则x∈A⇒x∈B，于是x具有性质p(x)⇒x具有性质q(x)，即p(x)⇒ ；反之，如果A中的所有元素x都具有性质q(x)，则A一定是B的 ． 如果A＝B，那么p⇔q； 反之，如果p⇔q，那么A＝B.即A＝B与p⇔q等价． 充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 AB之间没有子集关系 【即时训练】 10．已知M，N是两个非空集合，如果p：对于任意的，都有，q：，则p与q的关系为（    ） A． B． C． D．无关系 11．设是两个非空集合，且，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件 12．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．“”的一个必要不充分条件是（        ）. A． B． C． D． 14．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17． 的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 18．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．设，则 “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．下列四个命题中真命题是（   ） A．是的充分条件 B．是的充分条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 21．命题，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是_____. 22．设：，：. (1)若是的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 23．求出下题中m的取值范围： (1)是的充分条件； (2)是的必要条件． 24．已知条件，条件． (1)若，试判断条件是否为条件的必要条件，并说明理由； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 25．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0． 1.（2026·吉林·真题T04）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.（2025·吉林·真题T03）“四边形的四条边相等”是“四边形为正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 必要条件 D. 既不是充分也不必要条件 3.（2024·吉林·真题T03）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.（2023·吉林·真题T03）“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $