第1卷 集合元素关系（教师讲解卷）-河南省对口招生《数学考点双析卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦集合元素关系，采用讲练结合模式，通过选择、填空、解答题系统覆盖集合概念、关系及应用，培养数学推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合元素关系|18题（选择10/填空4/解答4）|集合元素判断、关系分析、参数求解、子集计数|从元素性质到集合关系，构建概念-关系-应用的推理链条|

编写说明：2027年河南省对口招生《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河南省对口招生《数学考点双析卷》 第1卷 集合元素关系 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．给出下列四个命题： ①是由4个元素组成的集合． ②集合表示不含有元素的集合． ③集合与是相同的集合． ④集合且是一个有限集．其中真命题的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，若，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C．1 D．3 4．若集合中只有一个元素，则（   ） A．4 B．2 C．0 D．1或2 5．下列说法正确的是（    ） A．与表示不同一集合 B． C． D．⫋ 6．已知集合 ，且 ，则 可以为（    ） A． B． C． D． 7．以下选项中，是集合的元素的是（ ） A． B． C． D． 8．已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．，且，则有（    ） A． B． C． D． 10．若集合，且，则满足条件的实数x的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．设，，若，则实数组成的集合________. 12．已知集合，，若，则实数的值为______. 13．集合，用列举法表示集合__________. 14．集合且的真子集的个数是__________． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知集合，若有两个子集，求的取值范围. 16．已知，，若 ＋，求和的值． 17．已知集合M满足，写出集合M所有的可能情况． 18．设集合，． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生《数学考点双析卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在参考历年职教高考数学真题的基础上进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 河南省对口招生《数学考点双析卷》 第1卷 集合元素关系 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．给出下列四个命题： ①是由4个元素组成的集合． ②集合表示不含有元素的集合． ③集合与是相同的集合． ④集合且是一个有限集．其中真命题的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据题意，结合集合中元素的特性，以及集合的表示方法、集合的分类，即可求解. 【详解】因为集合中的元素具有互异性，故表示错误，有3个元素，故①错误； 集合中含有1个元素，故②错误； 集合与的元素不同，表示的是不同的集合，故③错误； 集合且表示的是小于100的自然数构成的集合，是一个有限集，故④正确； 故正确的命题个数是1个. 故选：A. 2．已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合元素与集合、集合与集合之间的关系，即可求解. 【详解】因为集合， 所以, 所以选项错误，选项B正确. 故选：B. 3．已知集合，若，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的性质求解即可. 【详解】因为，则有或或. 由得；由得. 即当时，则，不满足集合内元素的互异性，应舍去； 当时，则，符合题意. 故集合中所有元素之和为. 故选：A. 4．若集合中只有一个元素，则（   ） A．4 B．2 C．0 D．1或2 【答案】D 【分析】由题可得，方程有唯一实数根，分二次项系数和两种情况讨论可求解. 【详解】由题可得，方程有唯一实数根. ①当，即时，方程的解为，从而，符合题意； ②当，即时，则 ，解得， 此时方程的解为，从而，符合题意. 综上所述，1或2. 故选：D 5．下列说法正确的是（    ） A．与表示不同一集合 B． C． D．⫋ 【答案】D 【分析】根据题意，结合相等集合、元素与集合之间的关系、集合与集合之间的关系，即可判断求解. 【详解】根据相等集合的定义，可得与表示同一集合，故选项A错误； 因为空集中不含任何元素，故，故选项B错误； 因为集合中含有一个元素0，而空集中不含元素，且空集是任一非空集合的真子集， 故⫋，故选项C错误； 根据真子集的定义，可得⫋ ，故选项D正确； 故选：D. 6．已知集合 ，且 ，则 可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合,再根据元素与集合的关系易得答案. 【详解】因为, 因为,因为, 所以. 故选:B. 7．以下选项中，是集合的元素的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断是否是方程的解，即可得解. 对于方程，显然，，均不是方程的解， 是方程的解， 所以是集合的元素，故C正确； ，，均不是集合的元素，故A、B、D错误. 故选：C 8．已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据包含关系的概念列举出所有集合的可能性即可得出结论. 【详解】已知集合M满足， 则可能为，共个. 故选：C. 9．，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合相等可得为方程的两根，再由韦达定理求解的值即可. 【详解】因为，且， 所以为方程的两根， 由韦达定理得，，解得. 故选：C. 10．若集合，且，则满足条件的实数x的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系求解参数，再进行检验即可得解. 【详解】因为集合，且. 所以或，解得或或， 当时，，满足题意. 当时，，满足题意. 当时，，不符合条件. 当时，，满足题意. 综上所述，满足条件的x有3个. 故选：C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．设，，若，则实数组成的集合________. 【答案】 【分析】根据题意，先表示出集合A，结合子集的概念，讨论和两种情况，即可求解. 【详解】因为， 又， 当时，，符合题意； 当时，，所以， 所以或， 解得或； 综上所述，实数组成的集合. 故答案为：. 12．已知集合，，若，则实数的值为______. 【答案】1 【分析】由有，解出即可. 若，则，解得.故实数的值为1. 故答案为：1. 13．集合，用列举法表示集合__________. 【答案】 【分析】由常用数集、集合的描述法和列举法即可得解. 【详解】集合， 可知， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 用列举法表示集合. 故答案为：. 14．集合且的真子集的个数是__________． 【答案】15 【分析】先确定集合中的元素，再根据真子集个数的计算公式得出结果． 【详解】集合且 ，可知集合有4个元素， 所以集合的真子集个数为个． 故答案为：15． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知集合，若有两个子集，求的取值范围. 【答案】或 【分析】根据子集的个数分析集合中的元素个数，求解即可. 【详解】因为集合有两个子集，所以集合中只有个元素， 当时，方程有一个解，满足题意； 当时，若集合中有一个元素，则应使，即， 解得； 综上所述，的取值范围是或. 16．已知，，若 ＋，求和的值． 【答案】 【分析】利用集合相等及元素的互异性即可求解. 【详解】因为 ＋，所以， 且，即， 所以，所以. 17．已知集合M满足，写出集合M所有的可能情况． 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，结合子集、真子集的概念，即可求解. 【详解】因为集合M满足， 所以集合M的元素个数分类如下： 含有3个元素：； 含有4个元素：； 含有5个元素：； 故满足条件的集合M为，，. 18．设集合，． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围 【答案】(1)254 (2)或 【分析】（1）先求解集合A，再由非空真子集的概念求解个数即可. （2）根据集合的包含关系，分类讨论即可求解. 【详解】（1）化简集合A得． ∵，∴，即A中含有8个元素， ∴A的非空真子集数为 (个)． （2）当时，，即时，； 当时，即时，，因此，要， 则只要， 解得， 综上所述，知的取值范围是或. 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $