5.3《一元一次方程的应用》暑假预习 --2026--2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 初中数学暑假预习同步练，聚焦一元一次方程应用，通过基础情境到综合问题的三层设计，培养抽象能力、推理意识与模型观念，实现从概念理解到实际应用的递进巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一等量关系应用|单选题1-4（比赛得分、《孙子算经》问题），直接建立方程模型，强化概念理解| |提升层|复杂情境与变式应用|填空题6-8（比例分配、比赛积分）、解答题11-13（分组问题、工程问题），融入生活场景，培养抽象能力| |综合层|跨知识综合应用|解答题14-18（利润计算、阶梯收费、数轴动点），结合经济、几何等跨领域问题，发展推理能力与模型意识|

5.3《一元一次方程的应用》暑假预习 一、单选题 1．某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20道题，答对一题得7分，答错一题倒扣4分，王刚答完了全部道题，得了63分，他答对了（     ）道题． A．7 B．9 C．11 D．13 2．《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有辆车，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 3．农历“三月三”即将来临，某传统文化小组计划做一批“绣球”，如果每人做个，那么可比计划多做个；如果每人做个，那么将比计划少做个，该文化小组计划做多少个“绣球”？若设该文化小组计划做个“绣球”，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗的后两句的意思是：如果每一间房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么恰好空出一间房．设共有客人x人，根据题意可列出的方程是（     ） A． B． C．7x+7＝9（x﹣1） D．7x﹣7＝9（x+1） 5．如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”．下图中的“完美矩形”，其周长为26，则正方形的边长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 6．阳光小学购买了一批红色跳绳和蓝色跳绳，数量的比是∶．学校给每个班级发放根红色跳绳和根蓝色跳绳，结果蓝色跳绳刚好发完，红色跳绳还剩下根．学校买来红色跳绳______根，蓝色跳绳______根． 7．四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是或，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是，则胜队得2分，负队得1分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是______分． 8．把9个数放置到方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相同，如此便形成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如右图，“九宫格”中m的值为_________． 9．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格．其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为___________． 10．如图，在长方形中，，．有一动点从点出发以的速度沿运动到点时停止．动点从点出发以的速度在线段上沿方向向点运动，，两点同时出发，当一点停止时另一个点同时停止运动，设运动的时间是．当________时，能使． 三、解答题 11．2025年是新中国成立76周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛．比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 12．烟台市政府决定修建一条高速公路，其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需要联合工作多少天？ 13．（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 14．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 15．如图，是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由． (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 16．列方程解应用题： 某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28元，利润率为40%；花肥进价每包2元，一包花肥的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720元，其中花肥的进货数量是金桔盆栽的2倍． (1)花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？ (2)第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m元，进货数量增加了8盆，售价不变；花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4元，求m的值． 17．为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下表： 用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超过不超过的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 譬如：某用户2月份用水，则应缴水费：(元)． (1)某用户3月用水应缴水费多少元？ (2)已知某用户4月份缴水费元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水(月份用水量超过5月份用水量)，共交水费元，则该户居民5、6月份各用水多少立方米？ 18．【方法指导】在学习绝对值时，老师通过绝对值的几何意义，拓展了数轴上任意两点之间的距离公式，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离为：． 【问题解决】如图，在数轴上，点A表示，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动时间为秒． (1)当时，线段的长为 ；线段的长为 ； (2)当为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？ (3)在点Q出发后到达点B之前，求为何值时； (4)当t为何值时，P、Q两点间的距离 参考答案 一、单选题 1．D 解：设王刚答对了道题，则答错了道题， 由题意得，， 解得，， 即他答对了道题． 2．B 解：∵设共有辆车，总人数保持不变，且每人乘一车，剩余辆空车， ∴实际使用辆车， ∴总人数可表示为， ∵每人乘一车，剩余人步行， ∴总人数可表示为， ∴． 3．A 解：设该文化小组计划做个“绣球”，小组人数固定不变， 根据题意得， 故选：A． 4．A 解：设共有客人人，两种情况下房间总数不变． ∵ 每间房住7人时，有7人无房可住， ∴此住满房间的人数为，可得房间总数为， ∵每间房住9人时，空出1间房， ∴实际使用房间数为，原房间总数比实际使用房间数多1，可得房间总数为． ∵ 房间总数不变， ∴． 5．C 解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d， ∵“完美矩形”的周长为26， ∴， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴， ∴， ∴正方形d的边长为5． 二、填空题 6． 288 1008 设学校共有个班级． 由题意得 红色跳绳总数量为，蓝色跳绳总数量为． 已知红色跳绳与蓝色跳绳数量比为，可得方程 ， 解得， ∴红色跳绳数量为根，蓝色跳绳数量为根． 7．6 解：四支球队进行单循环比赛， 总比赛场为（场）． 一场比赛的比分是或，则胜队得3分，负队得0分；比分是，则胜队得2分，负队得1分, 每场比赛无论比分如何总得分均为3分， 所有比赛总得分为18分. 比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，设最低得分为x，则其他自然数分别为，，， ， ， 第一名得分是. 8． 解：由题意可知，右上到左下的对角线经过中心方格，三个数分别为，，，可得任意行、列、对角线的和为：， 设第一行第一列的数为， ∵第一列三个数的和为， ∴， 解得， 左上到右下的对角线三个数为，，，和为， ∴， 解得． 9． 解： ∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等， ∴ ∴3和x中间的数为 ∴ ∴． 故答案为：． 10．或或 解：由题意得，点运动的总时间为，点运动的总时间为， 所以． 当时，点在上，点在上， 在中，． 因为，， 所以． 因为， 所以． 所以，即，不符合题意． 当时，点在上，点在上． 此时，两点都在线段上运动， 点运动的路程为，则，点运动的路程为，则． 因为， 所以． 所以． 由，得． 所以或． 即或． ①当时，或． 解得或． 因为， 所以舍去，符合题意． ②当时，或． 解得或． 因为， 所以和均符合题意． 综上所述，的值为或或． 三、解答题 11．解：设双人合唱有x组，则单人独唱有组，根据人数关系可列方程： ， ， ， 将代入，可得单人独唱的组数为（组） 答：单人独唱有6组，双人合唱有12组． 12．解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进米， 由题意得， 解得， ， （天）， 答：甲乙两个工程队还需联合工作10天． 13．（1）解：设七年级一班女生人数为人，则男生人数为 人， 根据题意，得 ， 解得， 则 ， 答：七年级一班有男生27人，女生23人； （2）解：设有名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为 人，做盒底的人数为 人， 盒身总数为 个，盒底总数为 个， 根据配套关系，得 ， 解得， 答：有2名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 14．（1）解：设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元， 根据题意可得：，即， 解得：， 第二批单价：（元）， 答：第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． （2）解：第一批水果的购买数量：（箱）， 第一批水果的无损耗收入：（元）， 第二批水果的购买数量：（箱）， 第二批水果的售出数量：（箱）， 成本：（元）， 根据题意可得：， 解得：， 答：的值是30． 15．（1）解：     答：带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍． (2)成立；理由如下： 假设中间数为，则上面的数是，下面的数是，前面一个是，后面一个是， （3）解：设中间数为． 答：在该月历上，是最后一列上的数，不能成为十字框中间的数． 16．（1）解：设金桔盆栽的进价为x元， 由题意得， 解得， 设花店第一次进货购进金桔盆栽y盆，则购进花肥包， 由题意得， 解得． 答：花店第一次进货购进了金桔盆栽30盆． （2）解：由（1）得第一次购进花肥数量为（包），花肥售价为（元）， 第一次总利润为（元）， 第二次金桔盆栽进货数量为（盆），进价为元，第二次花肥进货数量为包，进价为2元，每卖一盆金桔赠送一包花肥，因此免费赠送38包，单独售卖的花肥数量为（包）， 由题意得：， 整理得 ， 解得， 此时第二次花肥进货数量为，符合题意． 答：m的值为3． 17．（1）解：∵用户3月用水，根据阶梯收费标准分三段计算： 不超过的部分费用为(元)， 到的部分费用为(元)， 超过的部分费用为(元)， ∴总水费为(元)． 答：该用户3月应缴水费元． （2）解：当用水量为时，水费为(元)； 当用水量为时，水费为(元)． ∵用户4月缴水费元，， ∴该用户4月用水量在到之间． 设该用户4月用水量为，根据题意列方程：， 解得：． 答：该用户4月份的用水量为． （3）解：设5月份用水，则6月份用水， 分三种情况讨论： ①若，则， 5月份水费为元， 6月份水费为元， 根据总水费列方程：，解得， ，与假设矛盾，故该情况不成立． ②若，则， 5月份水费为元， 6月份水费为元， 根据总水费列方程：，解得． 此时6月份用水量为，满足题意，符合条件． ③若，则，不满足月份用水量超过5月份用水量． 答：该户居民5月份用水，6月份用水． 18．（1）解：动点从点出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 点表示的数为，点表示的数为， 当时，点表示的数为，点表示的数为， ，． （2）解：动点从点出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，， 解得， 相遇点所对应的数为， 当时，、两点相遇，相遇点所对应的数为11． （3）解：点表示的数为，点表示的数为， ，， 当时，， 解得或， 当点Q到达点B时，， 解得， ∴或都符合题意， 综上，或； （4）解：点表示的数为，点表示的数为， ， 当时，则， 解得或． 学科网（北京）股份有限公司 $