第14讲 图形的位似（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材北师大版

第14讲 图形的位似（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+1个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 图形的位似 如图是一幅宣传海报，它由一组形状相同的图片组成。在图片①和图片②上任取一组对应点A，A'，可以发现：直线AA'都经过镜头中心点O，且都等于一个固定值。请你实际试一试。 【知识点1 图形的位似】 1. 位似多边形：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP′=k·OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫作位似多边形，点O叫作位似中心． 2. 平面直角坐标系中的位似：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|． 【题型1 位似图形的识别】 【例1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列选项中属于位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 【题型2 判断（画）位似中心】 【例2】如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2-1】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2-2】如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段是由线段位似放大得到，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2-3】画出图（）、（）中的位似中心． 【题型3 求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 【例3】如图，与是位似图形，位似中心为点O，且，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，与是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，与位似，点是它们的位似中心，若的面积为8，，则的面积为（   ） A．12 B．18 C．9 D．16 【变式3-3】如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型4 画位似图形】 【例4】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在第一象限中画出将按照放大后的位似图形． 【变式4-1】在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与关于坐标原点位似，且其边长是的边长的两倍． 【变式4-2】在边长为的正方形的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． （1）以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到（的对应点是，的对应点是）． （2）求的面积． （3）用无刻度的直尺在线段上找一点，使得．（保留画图痕迹） 【变式4-3】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点都是格点． （1）将先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请画出； （2）以为位似中心，在网格图中作，使得与的相似比为； （3）利用网格图，过点向画垂线． 【题型5 求位似图形的对应坐标】 【例5】如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的得到，且在第一象限内，则点的对应点的坐标为______． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【变式5-3】如图，中，A、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 【题型6 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 【例6】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为_____． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为 ，以原点为位似中心，将放大后得到，若点的坐标为的周长为4，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．12 D．16 【变式6-3】如图，与关于点P位似，其中，，则与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 模块三 课后作业 1．下列相似图形不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的坐标为，点的坐标为，的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 5．如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． 8．如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． （1）在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； （2）若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 图形的位似（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+1个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 图形的位似 如图是一幅宣传海报，它由一组形状相同的图片组成。在图片①和图片②上任取一组对应点A，A'，可以发现：直线AA'都经过镜头中心点O，且都等于一个固定值。请你实际试一试。 【知识点1 图形的位似】 1. 位似多边形：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP′=k·OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫作位似多边形，点O叫作位似中心． 2. 平面直角坐标系中的位似：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|． 【题型1 位似图形的识别】 【例1】下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据位似图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 【变式1-1】下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形与位似图形的定义，关键在于明确位似图形是特殊的相似图形，需额外满足“对应顶点的连线交于同一点，且对应边互相平行或共线”的条件． 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 【变式1-2】下列选项中属于位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形． 根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意； 故选：B 【变式1-3】如图，以O为位似中心且与ABC位似的图形编号是______． 【答案】② 【分析】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 连接，根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：根据图形位似的性质，如图，分别连接， 则图形②的三个顶点与的对应三个顶点的连线交于点O，从而图形②与位似． 故答案为：②． 【题型2 判断（画）位似中心】 【例2】如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，掌握确定位似图象的位似中心的方法是解题的关键． 连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可． 【详解】解：∵与（（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接，，    则，，相交于一点Q， ∴这两个三角形的位似中心是点Q． 故选：B． 【变式2-1】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】解：连接，交于点O， ∴点O是位似中心， 故答案为：D． 【变式2-2】如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段是由线段位似放大得到，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】此题考查了位似变换．注意根据位似图形的性质求解是关键． 连接，，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案． 【详解】解：如图，连接，，并延长，则交点即为它们的位似中心． ∴它们的位似中心是． 故选：A． 【变式2-3】画出图（）、（）中的位似中心． 【分析】本题考查了作位似中心，连接两个位似图形两对对应点，对应点连线的交点就是位似中心，据此作图即可，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 【题型3 求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 【例3】如图，与是位似图形，位似中心为点O，且，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到，然后证明，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵与是位似图形，位似中心为点O， ∴ ∴ ∴ ∴与的周长比为． 【变式3-1】如图，与是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到，，即可得到，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴与的面积比为． 【变式3-2】如图，与位似，点是它们的位似中心，若的面积为8，，则的面积为（   ） A．12 B．18 C．9 D．16 【答案】B 【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方求出的面积即可． 【详解】解：， 与的位似比是， ， ， ， ， ． 【变式3-3】如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出，根据位似图形的概念得到，进而得出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵四边形与四边形位似，其位似中心为点， ， ， ， ． 【题型4 画位似图形】 【例4】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在第一象限中画出将按照放大后的位似图形． 【分析】本题主要考查轴对称图形，位似图形，掌握轴对称图形的定义，位似图形的绘制是关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据位似图形的性质，运用位似比得到对应点的位置，连线即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∴即为所求图形； （2）解：的三个顶点坐标分别为，，， ∴关于轴对称的的对应点的坐标为， 在第一象限中画出将按照放大后的位似图形， ∴， ∵， ∴， 如图所示，则即为所求图形． 【变式4-1】在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与关于坐标原点位似，且其边长是的边长的两倍． 【分析】本题考查了作图——位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B的横纵坐标都乘以2（或）得到对应点的坐标，然后描点并连接即可． 【详解】解：如图1，如图2所示，即为所求作． 【变式4-2】在边长为的正方形的网格中，的顶点均在格点上（网格线的交点）． （1）以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到（的对应点是，的对应点是）． （2）求的面积． （3）用无刻度的直尺在线段上找一点，使得．（保留画图痕迹） 【分析】（1）根据位似比，利用勾股定理计算长度，然后画图即可； （2）分割法计算的面积即可； （3）过点、作，且满足，，根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）解：． （3）解：过点、作，且满足，，连接，与的交点即为所求的点， ， ． 【变式4-3】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点和点都是格点． （1）将先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，请画出； （2）以为位似中心，在网格图中作，使得与的相似比为； （3）利用网格图，过点向画垂线． 【分析】（1）将点A向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，再将点B，C向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度得到点，然后依次连接，则即为所求； （2）连接并延长至，使得，同理可得，然后依次连接，则即为所求； （3）取点E，F，可得，，，，可得，即可得，再由，可得，即，则，所以即为所求． 【详解】（1）如图，为所求； （2）如图，为所求； （3）如图，垂线为所求． 【题型5 求位似图形的对应坐标】 【例5】如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点．若点，，，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用位似三角形的坐标特征得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵与位似，位似中心是原点O， ∴， ∵， ∴，即． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的得到，且在第一象限内，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，若相似比为，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘以或，结合题目中在第一象限的条件，即可求出对应点坐标． 【详解】解：∵的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的得到，且在第一象限内， ∴点的对应点的坐标为，即． 【变式5-2】在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，需分两种情况计算．以原点为位似中心时，若新位似图形与原图形的相似比为，原图形上点对应点坐标为或． 【详解】解：∵以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形有两种位置情况， ∴ 当与在原点同侧时，点的坐标为； 当与在原点异侧时，点的坐标为． ∴点的坐标为或． 故选：C． 【变式5-3】如图，中，A、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将和平移，使得位似中心C与原点重合，利用位似变换公式求出此时点B的位似对应点坐标，再将和向右平移使得点C回到，此时点的横坐标可求． 【详解】解： 先将和向左平移2个单位，使得位似中心C与原点重合， 所以可知点B的横坐标变为， 在位似比不变的条件下，此时点B的位似后的对应点的横坐标为，将和向右平移2个单位，使得位似中心C回到,此时点B的位似后的对应点的横坐标为：． 故选：B． 【题型6 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比】 【例6】如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点为位似中心，满足，已知，则的长度为（     ） A．15 B．10 C．40 D．45 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，进而求出的长，最后根据计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ， ， 相似比为，即， ， ， ． 故选：B． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，作的位似，则线段的对应线段的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 根据位似变换的性质得到，再根据、两点的坐标得到，所以． 【详解】解： ，， ， 与是以原点为位似中心，位似比为的位似图形， ， 故答案为：． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为 ，以原点为位似中心，将放大后得到，若点的坐标为的周长为4，则的周长为（   ） A．7 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出两图形的位似比是解题关键． 【详解】解：∵点的坐标为，以原点为位似中心，将放大后得到，点的坐标为  ， ∴与的位似比为：，     ∴，则， ∴的周长为：8， 故选：B. 【变式6-3】如图，与关于点P位似，其中，，则与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间的距离及位似三角形的性质．根据两点之间的距离，得出和的长，再根据三角形位似，得出相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与关于点P位似，且相似比为， ∴与的面积比为， 故选：C． 模块三 课后作业 1．下列相似图形不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 根据对应边是否平行判断即可． 【详解】解：由各选项图形可知，，，选项的相似图形是位似图形，选项的相似图形不是位似图形． 故选：C． 2．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据位似图形的性质，确定两个三角形的相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质，求出的周长． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∵， ∴与的相似比为， ∵的周长为2，相似三角形周长比等于相似比， ∴的周长为 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将按的相似比缩小得到， ∴点的坐标是，即． 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的坐标为，点的坐标为，的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键，由题意得与的相似比为，则与的面积比为，进而可得答案． 【详解】解：与是位似图形，位似中心为点，点的坐标为，点的坐标为， 与的相似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积是． 故选：B． 5．如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，进而证明，根据相似三角形的性质求出，再进一步分析即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，点E 的横坐标为， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，， ∴，，故B错误，C正确， ∴， ∴，故A正确， ∴，故D正确． 故选：B． 6．把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点， 故选：． 7．如图，，，，，是以点为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是_________． 【答案】 【分析】根据位似三角形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由位似可知：， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴的面积是． 故答案位：． 8．如图所示，小华在学习“位似”时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． （1）在图1中标出与的位似中心M点的位置，点M的坐标为_________； （2）若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图2中给定的网格内画出（2个都画出） 【分析】本题考查作图——位似变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质．如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）． （1）对应点连接的交点即为位似中心； （2）利用位似性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，，交点即为M点，M点的坐标为； 故答案为：； （2）解：当点在第三象限时，如下图所示： 当点在第一象限时，如下图所示： 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $