1.2.2 二次函数的图象（第2课时）（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数顶点式的图象与性质，涵盖平移规则、顶点坐标及对称轴。通过复习y=ax²图象导入，逐步探究上下、左右及复合平移，构建从特殊到一般的学习支架。 其亮点是结合描点画图、表格归纳等探究活动，培养几何直观与推理意识，通过表格化知识梳理和易错点辨析强化模型意识。学生能建立数形结合思维，教师可依托结构化流程提升教学效率。

1.2.2二次函数的图象 （第2课时） 第一章 二次函数 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解y=a(x-m)2是y=a(x-m)2+k的特殊形式，分清两类顶点式的图象均由y=ax2平移得到；能根据解析式直接读出顶点坐标、对称轴，熟练掌握m控制左右平移、k控制上下平移的平移规则。 经历从单一水平平移到水平、竖直复合平移的探究过程，体会由特殊到一般的研究思路；借助解析式与图象的对应关系，建立数形结合思维，能双向完成“解析式判图象位置、顶点写函数式”。 感受代数式与函数图象的对应联系，理解特殊与一般的包含关系；养成严谨分析符号、分步拆解图形变换的习惯，提升自主分析、绘制二次函数草图的探究兴趣。 复习导入 分别在同一坐标系内作出下列函数的图象． ，，，， 说出左图的函数有什么特点？回顾下y=ax2函数的图象。 合作学习 活动 用描点法在同一坐标系中画出二次函数y=x2，y=x2-2、y=x2+2的图象 (1)完成自变量与函数的对应值表。 x ... -2 -1 0 1 2 y=x2 ... x ... y=x2-2 ... x ... y=x2+2 ... 4 新知探究 合作学习 2.在同一直角坐标系中画出三个函数图象 （0,2） （0,-2） 比较所画三个函数的图象，它们有什么共同的特征？顶点坐标和对称轴有什么关系？图象之间的位置有什么关系？由此，你发现了什么? 新知探究 知识点总结 3.通过上面探究我们能得到什么结论？ 一般地，函数y=ax2+k（a≠0）的图象与函数y=ax2的图象只是位置不同，它可由y=ax2的图象向上（当k>0）或向下（当k<0）平移|k|个单位得到。函数y=ax2+k的图象的顶点坐标是（0，k），对称轴是直线x=0。 新知探究 合作学习 在同一坐标系中画出y=x2，y=(x+1)2，y=(x-1)2函数的图象 x ... -2 -1 0 1 2 y=x2 ... x ... y=(x+1)2 ... x ... y=(x-1)2 ... 新知探究 合作学习 在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y=x2，y=(x+1)2，y=(x-1)2的图象，并根据图象回答下列问题 比较所画三个函数的图象，它们有什么共同的特征？顶点坐标和对称轴有什么关系？图象之间的位置有什么关系？由此，你发现了什么? 新知探究 知识点总结 3.通过上面探究我们能得到什么结论？ 一般地，函数y=a(x-m)2（a≠0）的图象与函数y=ax2的图象只是位置不同，它可由y=ax2的图象向左（当m>0）或向右（当m<0）平移|m|个单位得到。函数y=a(x-m)2的图象的顶点坐标是（m，0），对称轴是直线x=m。 新知探究 合作学习 在同一坐标系中画出y=2x2，y=2(x+2)2，y=2(x+2)2-2函数的图象 x ... -2 -1 0 1 2 y=2x2 ... x ... y=2(x+2)2 ... x ... y=2(x+2)2-2 ... 新知探究 合作学习 在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y=2x2，y=2(x+2)2，y=2(x+2)2-2的图象，并根据图象回答下列问题 比较所画三个函数的图象，它们有什么共同的特征？顶点坐标和对称轴有什么关系？图象之间的位置有什么关系？由此，你发现了什么? 新知探究 合作学习 在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y=2x2，y=2(x+2)2，y=2(x+2)2-2的图象，并根据图象回答下列问题 一般地，函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的图象与函数y=ax2的图象只是位置不同，它可由y=ax2的图象向左（当h>0）或向右（当h<0）平移|h|个单位得到y=a(x-h)2。函数y=a(x-h)2的图象向上或向下平移|k|个单位得到y=a(x-h)2+k，y=a(x-h)2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h。 典例1 如图，已知二次函数y=x2-4． 典例分析 (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的 图象； x -3 -2 -1 0 y 5 0 -3 x 1 2 3 y (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴． -4 -3 0 5 开口向上，顶点坐标（0，-4），对称轴x=0 练一练 已知二次函数y=(x-2)2． 典例分析 (1)在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象； (2)写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (3)若-1≤x≤6，求y的取值范围． 顶点坐标（2，0），对称轴x=2 (3)解当x=-1时，y=(-1-2)²=2, 当x=6时，y=(6-2)²=8，∴由图象可得-1≤x≤6时，0≤y≤8 典例分析 已知函数y=-(x-1)²+2 典例2 (1)指出它的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标以及函数的最大值或最小值. (2)当x取何值时，y随x的增大而减小? (1)解：在函数y=-(x-1)²+2中，a=-<0,所以抛物线开口向下，对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,2), 当x=1时，y有最大值2,无最小值. (2)当x>1时，y随x的增大而减小. 典例分析 如图，已知二次函数y=x²-4. 练一练 (1)先完成下表，然后在坐标系中画出该二次函数的图象； (2)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴. x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 5 0 -3 (2)解：由函数图象可知，图象的开口方向向上， 顶点坐标为(0，-4)，对称轴为直线x=0. 典例分析 已知关于x的二次函数y=(k-3)xk+2+6x-5，写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 典例3 解：∵二次函数的定义要求未知数最高次数为2且二次项系数≠0, ∴k+2=2，解得k=0； k-3≠0，解得k≠3。 将k=0代入解析式中，得y=-3x²+6x-5=-3(x-1)²-2， ∵a=-3<0, 抛物线开口向下，对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-2). 典例分析 已知抛物线y= - (x-2)2+5. (1)判断点(4，1)是否在此抛物线上. (2)若点A(1，y1),B(4，y2)在该函数图象上,试比较y1与y2的大小,并说明理由. 练一练 解：（1）解：把点（4，1）代入抛物线解析式中， 当x=4时，y=-(4-2)2+5=—4+5=1, ∴点(4，1)在此抛物线上 (2)解 ：抛物线y=-(x-2)²+5的对称轴为直线x=2, ∵a=-1<0，二抛物线开口向下， ∵2-1<4-2,抛物线上离对称轴越远的点函数值越大，∵y₁>y2· 知识与技能 课堂小结 函数解析式 顶点坐标 对称轴 平移来源 y=ax2 (0，0) x=0 基础抛物线 y=ax2+k (0，k) x=0 y=ax2 上下移k y=a(x−h)2 (h，0) x=h y=ax2 左右移h y=a(x−h)2+k (h，k) x=h y=ax2 左右 + 上下平移 1.a决定开口方向、开口宽窄； 2.抛物线都是轴对称图形，对称轴过顶点； 3.增减性以对称轴为分界，左右单调性相反； 4.顶点处取得函数最大值或最小值。 易错点辨析 1.平移与顶点坐标符号混淆（出错最多） 口诀：左加右减，顶点(h，k) • 易错：看到y=a(x+3)²，误以为h=3，顶点横坐标写成3； ·正确：x+3=x-(-3)，h=-3，顶点横坐标是-3； ·平移误区：左右平移直接给式子末尾加减常数，如左移2写成y=x2+2，正确应为y=(x+2)2。 课堂小结 易错点辨析 2.增减性、最值判断遗漏前提/搞反 ①最值搞反：a>0开口向上有最小值；a<0开口向下有最大值，经常写反； ②增减性缺少分界条件：不能直接说y随x增大而增大，必须以对称轴x=h分左右两段描述； ③记反单调性：a<0时左升右降，极易和a>0的左降右升记混。 课堂小结 课堂练习 1.已知二次函数y=2(x-1)2+3，其顶点坐标为（ ） A.(−1,3) B.(1, -3) C.(-1, -3) D.(1,3) 2.顶点是(-2，0)，开口方向、形状与抛物线y=x2相同的抛物线是( ) A.y=(x-2)2 B.y=(x+2)2 C .y=-(x-2)2 D.y=-(x+2)2 课堂练习 3.已知抛物线y=（x-h）²，其中h＞0，该抛物线示意图是（ ） A. B. C. D. 课堂练习 4.将抛物线y=(x-3)²+4先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的顶点坐标为 . (6，2) 5.已知点A(-1，y1)、B(-3，y₂)为二次函数y=-(x-1)²+k图像上的两点，那么y1__y₂(填“>”、“=”或“<”) ＞ 课堂练习 6.如图是抛物线y=(x-h)²-9的部分图象，若y≤0，则自变量x的取值范围是 。 -1≤x≤5 课堂练习 7. 已知抛物线y=-(x-2)2+1. (1)判断点(3，-2)是否在此抛物线上； (2)求出此抛物线上纵坐标为-3的点的坐标. (1)解：把x=3代入y=-(x-2)2+1得y=-(3-2)2+1=0≠-2 ∴点(3，-2)不在此抛物线上； (2)解:把y=-3代入y=-(x-2)2+1,得 -3=-(x-2)²+1, 解得：:x₁=4，x₂=0, ∴抛物线上纵坐标为－3的点的坐标(4，-3)或(0，-3). 课堂练习 8.把二次函数y₁=a(x-h)²+k的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数v₂=(x+1)²+3的图象 (1)则a= ，h=_____，k=______; (1)解:把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到y=a(x-h+3)2+k+4, ∵二次函数y₂=(x+1)²+3与y=a(x-h+3)²+k+4是同一函数， a=，3-h=1，k+4=3；得a=，h=2，k=-1. 课堂练习 (2)指出二次函数y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)当-2<x<5时，求二次函数y1的取值范围. (2)解 二次函数y=a(x-h)²+k的解析式为y=(x-2)²-1, ∴函数图象开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2，-1)； (3)解：y=(x-2)²-1；∴y的最小值为-1; x=-2时，y=7； x=5时，v=2(5-2)²-1=3.5, 当-2<x<5时，1≤y₁<7. $