贵州铜仁市2025-2026学年高二下学期期末质量监测数学试题

**基本信息** 铜仁市2026年高二数学期末质量监测试题，以复数、数列、统计等为核心，通过电影票房统计（第18题）、悬链线创新题（第19题），体现数学眼光观察现实、思维分析问题、语言表达规律的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|复数几何意义、集合运算、向量垂直、圆方程|基础巩固，覆盖核心概念| |选择题（多选）|3/18|三角函数性质、概率事件关系、双曲线几何性质|能力提升，考查综合辨析| |填空题|3/15|正态分布、解三角形、圆锥内切球表面积|空间观念与运算能力| |解答题|5/77|抛物线切线、等比数列求和、立体几何面面角、统计案例（票房数据）、悬链线创新证明|创新应用，结合社会热点（电影票房）与科技前沿（悬链线），体现数据意识与创新意识|

高二数学参考答案 一、单选题（每小题5分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A C D D A 1．【解析】∵，∴对应的点在第四象限．故选D． 2．【解析】∵，∴．故选B． 3．【解析】由题意可知，，故，解得，故选C． 4．【解析】方程可化为，故，，故选A． 5．【解析】由题意可求得，，，故的最小值为．故选C． 6．【解析】由题意可知，，故选D． 7．【解析】 ，故选D． 8．【解析】∵是定义在R上的奇函数，∴， 又是定义在R上的单调函数，故，即．又均为正数，所以，当且仅当，即时等号成立．故选A． 二、多选题（每小题6分） 题号 9 10 11 答案 AC ACD ABD 9．【解析】函数与有相同的最小正周期和最大值，但没有相同的对称轴，故AC正确，B错误；D项中的图象向右平移个单位不能得到的图象，D错误． 10．【解析】由得，故A正确；当时，，故B错误；由得，故C正确； 由，得，所以事件A与B相互独立，故D正确． 11．【解析】由题意可知，可得，，，∴，故A正确．由渐近线方程为，可得，故B正确．点到两条渐近线的距离分别为，，∴，故C错误．∵，∴由面积公式可得的面积为，故D正确． 三、填空题（每小题5分） 12．． 【解析】由对称性可知：，∴． 13．． 【解析】由余弦定理可得：，∴，∴． 14．． 【解析】由题意可知：为等边三角形，∴．∵的面积为，∴中边上的高为．又垂直于底面，∴由勾股定理可得．分析圆锥与球的轴截面可知，设内切球的半径为，则，∴球的表面积为． 四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分） 15．【解析】 （1）由题意可得，准线方程为：， ……2’ ∴点到准线的距离为，∴ ……4’ ∴． ……5’ （2）由（1）可得的方程为， ……7’ 在C上，∴，． ……8’ 又，故． ……9’ 当时，，∴切线方程为： ……11’ 当时，，∴切线方程为： ……13’ （注：第二问联立方程求解也给分） 16．【解析】 （1）∵为等比数列，，， ∴，解得或（舍） ……4’ 故． ……8’ （2）由（1）可知，． ……10’ ……12’ ……15’ 17．【解析】 （1）存在点，使得、、、四点共面. ……1’ 证明如下：取的中点为，连接，则， ……2’ 又，所以， ……4’故、、、四点共面． ……6’ （2） 连接，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以平面， ……7’ 而平面，故，而， ……8’ 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 易得平面的一个法向量为， ……11’ 设平面的法向量为， 则由可得，取， ……13’ 故， 故平面与平面夹角的余弦值为． ……15’ （注：第二问几何法求解也给分） 18.【解析】 （1）第一四分位数为； ……3’ （2），，所以， ……6’ ， ……8’ 所以回归方程为：，当时，亿元， 正月初八，预计《镖人》的票房为亿元． ……9’ （3）由题意可知，人中同时看过两部电影的只有人， 所以的可能取值为， ……11’ 则， ， ， ……14’ 所以的分布列为： 所以． 则． ……17’ 19．【解析】 （1） …3’ （2），不等式恒成立，即恒成立． 即恒成立． ……5’ 令，即转化为求的最大值.令，则有，显然有在上单调递增，即函数的最大值为，故； ……10’ （3）， ……11’ 显然有在R上单调递增，且，，所以存在唯一的实数，使得，所以有唯一的正零点且. ……14’ ∴，即，则， ∴， 令，则，∴，则． ……17’ 高二数学答案 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜仁市2026年7月质量监测试题 高二数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号清楚地填写在答题卡规定的位置上。 2．答题时，第I卷必须用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，字体工整、笔迹清楚。在试题卷上作答无效。 3．本试题卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。 4．考试结束后，试题卷和答题卡一并交回。 第I卷（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数，则在复平面内z对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．已知集合A={-1,0,1,2,3,4} ，B={x|3x-2≤8-2x}，则A∩B=() A. {0,1,2} B. {-1,0,1,2} C. [-1,2] D. [0,2] 3．已知向量，若，则x=() A.-4 B.0 C. D.8 4．若方程表示圆，则k的取值范围为 ( ) A.(-∞,5) B.(-∞,5] C.(5,+∞) D. [5,+∞) 5．已知等差数列的前n项和为.若，则的最小值为 ( ) A.-12 B. -15 C. -16 D.-17 6．从1,2,3,4,5这5个数字中任取两个不同的数字，事件A= “和为偶数”，事件B=“积为偶数”，则P(A|B)=() A. B. C. D. 高二数学试题 第1页共4页 学科网（北京）股份有限公司 7．已知，则tanα=() A.-3 B.-1 C.1 D.3 8．已知奇函数f(x)是定义在R上的单调函数.若正实数a,b满足f(2a)+f(b-1)=0，则的最小值是 ( ) A.8 B. C.4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．对于函数f(x)=sin2x和，下列正确的有 ( ) A.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 B. f(x)与g(x)有相同的对称轴 C.f(x)与g(x）有相同的最大值 D.将y=f(x)的图象向右平移个单位后可得到y=g(x)的图象 10．已知事件A,B发生的概率分别为，则 ( ) A. B.当A⊆时， C.当时， D.当时，事件A与B相互独立 11．已知双曲线C：的离心率为2，点是C上一点，过P作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B，则 ( ) A. b=1 B.C的渐近线方程为 C. D.△PAB的面积为 第II卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量，且P(X≤-2)=P(X≥2a-2)，则a的值为 。 高二数学试题 第2页共4页 学科网（北京）股份有限公司 13．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．已知，a=2，c=4，则 14．已知圆锥PO的底面半径为2,O为底面圆心，PA,PB为圆锥的母线， 若△PAB的面积等于，则该圆锥内切球的表面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分） 已知抛物线C： 上一点A(a,1)到准线的距离是3． （1）求P； （2）求曲线C在点A处的切线方程． 16.(15分） 已知正项等比数列的前n项和为若, （1）求的值； （2）求的值. 17.(15分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，BC//AD，AB=BC=1 ，AD=3，点E在AD上，且PE⊥AD, PE=DE=2. （1）若F为线段PE的中点，在线段PD上是否存在点S，使得B、C、S、F四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，说明理由. （2）若AB⊥平面PAD，求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值． 高二数学试题 第3页共4页 学科网（北京）股份有限公司 18.(17分） 2026年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初七的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准.） 日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六 初七 上映第x天 1 2 3 4 5 6 7 票房）（单位：亿元） 0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6 1.8 （1）求这七日票房的第一四分位数； （2）根据数据建立单日票房y关于上映天数x的线性回归方程（其中保留两位小数），并预测初八的票房； （3）在某天放映结束后，随机抽取6名观众，发现其中有4人看过《镖人》，3人看过《飞驰人生3》，只有2人两部电影均没看过，现从这6人中随机抽取4人，记X为抽取的4人中两部电影都看过的人数，求X的分布列及方差． 参考数据： 参考公式： 19.(17分） 一个完美均匀且灵活的项链两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线被称为悬链线．1691年，莱布尼茨等人得出“悬链线”方程，其中c为参数.当c=1时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数 （1）计算cos(2)-2sin2(1）的值； (2)∀x∈[-1,1]，不等式mcos-sin≥0恒成立，求实数m的取值范围； （3）设g(x)=cos+sin+ln[cos+sin]-2,，证明： g(x)有唯一的正零点x0，并比较与In的大小. 高二数学试题 第4页共4页 学科网（北京）股份有限公司 $