2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 课件第二章 2.1　等式性质与不等式性质

该高中数学课件聚焦一元二次函数、方程和不等式中的等式与不等式性质，通过生活中限制高度、质量等实例导入，以问题链引导学生用不等式（组）表示不等关系，搭建从实际问题到数学抽象的学习支架。 其亮点在于以“知识探究+课堂探究”模式，结合数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养，如用购车问题培养建模能力，作差法比较代数式大小发展推理运算能力。方法总结与易错警示帮助学生系统掌握，既提升学生解决问题能力，也为教师提供清晰的素养培育路径。

2.1　等式性质与 不等式性质 第二章　一元二次函数、方程和不等式 核心知识目标 核心素养目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系 2.初步学会作差法比较两个实数的大小 3.掌握等式的基本性质和不等式的基本性质 4.运用不等式的基本性质解决有关问题 1.通过用不等式(组)表示实际问题,培养数学抽象、数学建模的核心素养 2.通过作差法比较两个实数的大小,发展逻辑推理、数学运算的核心素养 3.通过等式的基本性质和不等式的基本性质的应用,增强数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养 2 知识探究·素养启迪 知识探究 1.不等关系与不等式 实例 在日常生活中,我们经常看到下列标志: [问题1-1] 你知道各图中的标志有何作用?其含义是什么吗? 提示:①限制高度:装载高度h不得超过3.5 m. ②限制质量:装载总质量M不得超过10 t. ③时间范围:t∈[7.5,10]. ④最高限速:限制行驶速度v不得高于60 km/h. [问题1-2] 你能用一个数学式子表示上述关系吗? 提示:①h≤3.5;②M≤10;③7.5≤t≤10;④v≤60. 梳理1　不等关系与不等式 我们经常用 来研究含有不等关系的问题,常用的不等号有 . 2.两实数大小关系的基本事实 [问题2] 对于两个实数a,b,其大小关系有哪几种可能? 不等式 >,<,≤,≥,≠ 提示:两个实数a,b,其大小关系有三种可能,即a>b,a=b,a<b. 梳理2　两实数的大小关系的基本事实 对于任意的实数a,b,有以下基本事实: a>b⇔ ; a=b⇔ ; a<b⇔ . a-b>0 a-b=0 3.重要不等式 [问题3] (a-b)2与0的大小关系如何? 提示:(a-b)2≥0. a-b<0 梳理3　重要不等式 一般地,∀a,b∈R,有a2+b2 2ab,当且仅当 时,等号成立. 4.等式的性质 [问题4] 在解方程2x-1=3时,移项得2x=4的理论依据是什么?把x的系数化为1得x=2的理论依据是什么? ≥ a=b 提示:等式两边都加上(或减去)同一个实数仍是等式.等式两边都乘(或除 以)同一个不等于零的数仍是等式. 梳理4　等式的基本性质 性质1　如果a=b,那么b=a. 性质2　如果a=b,b=c,那么a=c. 性质3　如果a=b,那么a±c=b±c. 性质4　如果a=b,那么ac=bc. 5.不等式的性质 [问题5-1] 在解不等式x-1>2时,通过移项得x>3,其理论依据是什么? 提示:不等式两边加上同一个数不等号方向不变. [问题5-2] 已知3>2,若两边同乘2,不等式成立吗?若两边同乘c(c为常数),不等式成立吗? 提示:同乘2,不等式成立.两边同乘c,不等式不一定成立,当c=0时,3c=2c;当c>0时,3c>2c;当c<0时,3c<2c. 梳理5　不等式的基本性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔ ⇔ 传递性 a>b,b>c⇒ ⇒ 可加性 a>b⇔a+c b+c ⇔ 可乘性 ⇒ac bc c的 符号 ⇒ac bc b<a a>c > > < 同向可加性 ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒ (n∈N,n≥2) 同正 > > an>bn 小试身手 1.(多选题)下列命题中正确的是(　 　) A.若a>b,则a+c>b+c B.若a>b,则ac>bc C.若ac2>bc2,则a>b D.若a>b,则a2>b2 AC 解析:B中当c<0时不成立,D中当b<a<0时不成立.故选AC. 2.若x∈R,y∈R,则(　 　) A.x2+y2>2xy-1 B.x2+y2=2xy-1 C.x2+y2<2xy-1 D.x2+y2≤2xy-1 解析:因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,所以x2+y2>2xy-1.故选A. A -3<a-b<8 课堂探究·素养培育 [例1] 某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 用不等式(组)表示不等关系 即时训练1-1:某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在A,B两台设备上加工,在A,B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小 时,加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时,A,B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意,明确表示不等关系的关键词语:大于、小于、不大于、不小于、至多、至少等. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式. (1)用不等式(组)表示不等关系应正确找出题中的显性不等关系和隐性不等关系. (2)当问题中同时满足几个不等关系,则应用不等式组来表示它们之间的不等关系,另外若问题中有几个变量,就选用几个字母分别表示这些变量即可. 作差比较法比较代数式大小 [例2] 已知x>1,比较x3-1与2x2-2x的大小. 即时训练2-1:(1)比较(a-1)(a-3)与(a-2)2的大小. 解:(1)因为(a-1)(a-3)-(a-2)2=a2-4a+3-(a2-4a+4)=-1<0,所以(a-1)·(a-3)< (a-2)2. (2)已知x>y>0,试比较x3-2y3与xy2-2x2y的大小. 解:(2)由题意,知(x3-2y3)-(xy2-2x2y)=x3-xy2+2x2y-2y3=x(x2-y2)+2y(x2-y2) =(x2-y2)(x+2y)=(x-y)(x+y)(x+2y). 因为x>y>0,所以x-y>0,x+y>0,x+2y>0, 所以(x3-2y3)-(xy2-2x2y)>0, 即x3-2y3>xy2-2x2y. 作差比较法比较两式大小的步骤 (1)作差:对要比较大小的两个式子作差. (2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形. (3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号. (4)作出结论. 使用作差比较法比较大小时,若待比较的两式是无理式(数),这时可以先将待比较的式子变形为有理式后再用作差法比较大小,但是要注意变形的等价性.　 不等式基本性质及应用 BCD C 不等式的性质常与比较大小结合考查,此类问题一般结合不等式的性质,利用作差法或作商法求解,也可以用特殊值求解. 利用不等式性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,要善于寻找欲证不等式的已知条件,再利用相应的不等式性质证明,利用性质时要注意性质适用的前提条件. 探究角度3　利用不等式基本性质求取值范围 [例5] 已知30<x<42,16<y<24,分别求x+y,x-3y的范围. 解:因为30<x<42,16<y<24, 所以30+16<x+y<42+24. 所以46<x+y<66. 因为16<y<24,所以48<3y<72, 所以-72<-3y<-48, 所以-42<x-3y<-6. 综上可知,46<x+y<66, -42<x-3y<-6. (2)不等式两边同乘一个正数,不等号方向不变,同乘一个负数不等号变为相反的方向,因此在不等式两边同乘一个数时,要明确所乘数的正负. D B ①②④ 4.若-1<α<β<1,m=α-β,则m的取值范围为　　　　　　　　.  解析:因为α<β,所以α-β<0, 又-1<α<1,-1<-β<1,所以-2<α-β<2, 综上,-2<α-β<0. {m|-2<m<0} 感谢观看 性质5　如果a=b,c≠0,那么=. ⇒a+c b+d ⇒ac bd 3.已知5<a<10,2<b<8,则的范围是　　　　,a-b的范围是　　　　　　　.  解析:因为5<a<10,2<b<8, 所以<<,所以<<, 即<<5. 又因为-8<-b<-2, 所以-3<a-b<8. <<5 4.若x∈R,则与的大小关系为　　　　　　.  解析:-==≤0, 所以≤. ≤ 解:设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆,y辆,则 解:设甲、乙两种产品的产量分别为x件,y件,由题意可知, 解:x3-1-(2x2-2x) =x3-2x2+2x-1 =(x3-x2)-(x2-2x+1) =x2(x-1)-(x-1)2 =(x-1)(x2-x+1) =(x-1)[(x-)2+]. 因为x>1,所以x-1>0. 又(x-)2+>0, 所以(x-1)[(x-)2+]>0. 所以x3-1>2x2-2x. 探究角度1　利用不等式基本性质判断不等式的真假 [例3] (多选题)下列命题中,正确的是( 　　) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若2<a<3,-2<b<-1,则3<a-b<5 C.若a>b>0,m>0,则> D.若c>a>b>0,则> 解析:对于A选项,当c=0时命题不成立,故错误; 对于B选项,由2<a<3,-2<b<-1得1<-b<2,故3<a-b<5,故正确; 对于C选项,由于a>b>0,m>0,故-==>0,故正确; 对于D选项,由c>a>b>0得0<c-a<c-b,故>>0,进而>,故正确.故选BCD. 即时训练3-1:若a>b>0,m<0,则下列不等式成立的是(　　) A.am2<bm2 B.>1 C.< D.> 解析:选项A,a>b>0,m<0, 则m2>0, 所以am2>bm2.故选项A不正确. 选项B,取a=3,b=2,m=-, 则==<1.故选项B不正确. 选项C,a>b>0,m<0,则a-m>0,b-m>0, 由-==<0,所以<.故选项C正确. 选项D,取a=2,b=1,m=-1, 则==, ==2,此时<.故选C. 探究角度2　利用不等式基本性质证明不等式 [例4] 若a>b>0,c<d<0,|b|>|c|,求证:>. 证明:因为c<d<0,所以-c>-d>0, 又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0, 所以>>0,① 因为a>b,d>c,所以a+d>b+c. 又|b|>|c|,且b>0,c<0,所以b+c>0, 所以a+d>b+c>0,② 由①②得>. 即时训练4-1:已知c>a>b>0,求证:>. 证明:-==. 因为c>a>b>0, 所以a-b>0,c>0,c-a>0,c-b>0, 所以>0,即>. 即时训练5-1:设2<a<3,-4<b<-3,求a+b,a-b,,ab的取值范围. 解:因为2<a<3,-4<b<-3, 所以3<-b<4,-<<-, 所以-2<a+b<0,5<a-b<7. 因为<-<,所以<-<1,即-1<<-. 因为6<-ab<12,所以-12<ab<-6. 综上,-2<a+b<0,5<a-b<7,-1<<-,-12<ab<-6. (1)根据不等式性质求范围问题,首先要明确同向不等式具有可加性及正的同向不等式具有可乘性,但是不等式不能相减,要求a-b的范围,只能先求-b的范围,再与a的范围相加.同理,不等式也不能相除,欲求的范围,只能先求出的范围后再与a的范围相乘. 1.下列说法正确的是(　 　) A.若>1,则a>b B.一个不等式的两边加上或乘同一个实数,不等号方向不变 C.一个非零实数越大,则其倒数就越大 D.a>b>0,c>d>0⇒> 解析:对于选项A,只有b>0时正确;对于选项B,当两边同时乘的数为负数时,不等号方向发生变化;对于选项C,一个非零实数越大,则其倒数就越小;对于选项D,由c>d>0,得>>0,因为a>b>0,所以>,即D选项正确.故选D. 2.已知a<0<b,则下列不等式恒成立的是(　 　) A.a+b<0 B.<1 C.>1 D.> 解析:因为a<0<b,所以<0,所以<1.故选B. 3.给出四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推得<成立的是 　　　　　　(填序号).  解析:<⇔<0,所以①②④能使它成立. $