第25章一元二次方程 假期自主学习基础达标测试题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册《第25章一元二次方程》假期同步练习，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际问题解决的知识进阶，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一元二次方程定义、解法、判别式|单选1-6题辨析概念，填空9-12题强化基础运算，落实概念理解| |提升层|根与系数关系、简单综合应用|单选7-8题结合几何与方程，填空13-16题深化公式应用，培养推理意识| |综合应用层|实际问题建模与分类讨论|解答21-25题涉及增长率、利润、几何动态问题，发展模型观念与创新意识|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《第25章一元二次方程》 假期自主学习基础达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列一元二次方程没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知一元二次方程，则该方程根的情况是（      ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 5．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 7．若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 8．四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 10．将代数式配方后，发现它的最小值为______________________ 11．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数的值：________．（写出一个即可） 12．已知一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是___． 13．关于的一元二次方程的两个实数根为，设，则与方程根的判别式之间的数量关系是___________． 14．已知一元二次方程的根为，若，则的值为______． 15．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则多项式可因式分解为______． 16．某公司生产的桶装水在2025年7月的销售量约为20万桶，9月的销售量增长至约万桶，若设这两个月销售量的平均增长率为x，则可列方程______． 三、解答题（满分72分） 17．（6分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 18．（8分）在方程中，若，则原方程的两个根是，；若，则原方程的两个根是________，． (1)完成上面的填空； (2)试用上述的结论解下列方程 ①； ②． 19．（8分）设，是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)任取一个符合条件的m的值，并求此一元二次方程的解． 21．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根互为相反数，求这两个根． 22．（8分）定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否为“邻根方程”并说明理由； (2)若关于x的方程（c是常数）是“邻根方程”，求c的值． 23．（8分）如图，某草莓园购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的自由采摘区即矩形，且墙面． (1)若矩形自由采摘区面积为，请你求出和分别是多少？ (2)为了项目扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为，这一想法能实现吗？请说明理由． 24．（8分）某网店于今年一月底收购一批农产品，二月份销售袋，三、四月份该商品十分畅销，销售量持续增长，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到袋． (1)求该网店三、四两个月销售量的月平均增长率． (2)已知该农产品每袋进价元，原售价为每袋元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价4元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元？ 25．（10分）如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (2)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？ 参考答案 1．C 【分析】对于一元二次方程，若判别式，则方程没有实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：A选项、， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B选项、， ， ，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C选项、， ，方程没有实数根，符合题意； D选项、， ，方程有两个相等的实数根，不符合题意． 2．B 【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形式，即可对应得到，，的值． 【详解】解：把一元二次方程化成一般式：， 对比一般式，可得，，． 3．D 【分析】根据解一元二次方程——配方法判断选项即可． 【详解】解：， ， ，即． 4．C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用判别式的符号即可判断根的情况．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根． 5．D 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，利用根的定义得到含的关系式，再整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得 ， 整理得， ∴． 6．C 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵ ∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 7．D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再根据直角三角形面积公式计算面积，即可得到答案． 【详解】解：∵的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 的面积． 8．B 【详解】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 9．5 【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，据此列式方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：且， ∴m的值为5． 10． 【分析】用配方法对二次代数式变形，根据完全平方式的非负性即可求出代数式的最小值． 【详解】解：对进行配方， ， ， 因此该代数式的最小值为． 11．0（答案不唯一） 【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围，在取值范围内任取一个值即可． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得， 写出一个满足条件的实数的值：（答案不唯一，即可）． 12． 【分析】对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：设该方程的另一个根为，由根与系数的关系可得， ，即方程的另一根为． 13． 【分析】先根据根与系数的关系得到该一元二次方程的两根和与两根积，再分别计算和根的判别式，对比即可得到二者的数量关系． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项为， 由一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 方程的根的判别式， 又， ． 14． 【分析】灵活运用根与系数的关系并结合分式运算，将已知条件转化为关于参数的方程是解题的关键．根据一元二次方程 的根与系数的关系，可得，，再对通分变形后代入求解，进而求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程（），由根与系数的关系可得：，， 对通分，得：， 已知，代入得：， 化简，约去（），得， 解得． 15．或 【分析】先根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，得出，再分解因式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 综上，多项式可因式分解为或． 16． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这两个月销售量的平均增长率为x，则9月的销售量为万桶，再根据9月的销售量为万桶列出方程即可． 【详解】解：设这两个月销售量的平均增长率为x， 由题意得，， 故答案为：． 17．(1)， (2)，． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 则或， 解得：，． 18．（1）解：对于方程，当时，把代入方程，左边为， 。 故答案为： （2）解：①解方程， ，则， 根据结论，当时，，另一个根． 方程的根为； ②解方程， ，则， 根据结论，当时，，另一个根． 方程的根为． 19．(1) (2) 【分析】本题考查根与系数的关系： （1）根据根与系数的关系，得到，，整体代入法进行计算即可； （2）利用根与系数的关系结合整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ ； （2）∵， ∴ ． 20．(1) (2)当时，， 【分析】（1）根据条件得出，即，即可得出结论； （2）任取一个符合条件的m的值，并代入计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）可知 ∴当时，一元二次方程为， 解得， 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系，结合互为相反数的两数之和为0，求出值，再解方程即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）∵方程的两个根互为相反数，两根之和为， ∴， ∴， ∴方程化为， 解得． 22．(1)该方程不是“邻根方程”，理由见解析 (2)c的值为2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义运算，解二元一次方程组，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握“邻根方程”定义． （1）根据“邻根方程”的定义进行判断即可； （2）设该方程的两个根分别为，，且，根据根与系数的关系和“邻根方程”的定义得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：该方程不是“邻根方程”， 理由如下：原方程因式分解得：， ∴或， 解得：，， ∵， ∴该方程不是邻根方程； （2）解：设该方程的两个根分别为，，且， 由条件可知， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴c的值为2． 23．(1)和分别为与 (2)不能实现，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据矩形的面积，列出方程，是解题的关键． （1）设，则，根据矩形自由采摘区面积为，列出方程，解方程即可； （2）设，则，矩形自由采摘区的面积需改为，列出方程，判断方程解的情况即可． 【详解】（1）解：设，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：和分别为与． （2）解：设，则， 由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数解，所以想法不能实现． 24．(1)该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为 (2)当农产品每袋降价5元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）设三、四这两个月的月平均增长率为x，利用增长率问题表示出四月的销量，列出方程，进而求出答案； （2）设当每袋降价m元时，表示出销量与每袋的利润，再利用每袋的利润×销量＝总利润列出方程，进而解方程求出答案． 【详解】（1）解：设该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该网店三、四两个月销售量的月平均增长率为； （2）设当农产品每袋降价m元时，该网店五月份获利3250元， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：当农产品每袋降价5元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元． 25．(1)不能，理由见解析 (2)秒、5秒或秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 对于（1），设经过秒，线段能否将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； 对于（2），分三种情况：①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在线段上；③点在射线上，点在射线上；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分 由题意知：，，则， ， ， ， 此方程无解， 线段不能将分成面积相等的两部分； （2）设秒后，的面积为， ①当点在线段上，点在线段上时 此时 由题意知：， 整理得：， 解得：（不合题意，应舍去），； ②当点在线段上，点在线段的延长线上时 此时， 由题意知：， 整理得：， 解得：； ③当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时， 由题意知：， 整理得：， 解得：，，（不合题意，应舍去）， 综上所述，经过秒、5秒或秒后，的面积为. 学科网（北京）股份有限公司 $