25.2.3 因式分解法 假期自主学习同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 九年级数学人教版上册《25.2.3因式分解法》暑假同步练，分层覆盖基础应用到综合拓展，通过错误辨析与问题情境深化理解，适配自主学习梯度需求 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|因式分解法基本步骤、直接解方程|单选1-3直接考查换元与根的定义，填空8-10聚焦方程转化，解答15系统训练四种分解类型，强化运算能力| |提升层|实际应用与关联知识整合|单选4结合三角形三边关系，填空12-13渗透整体思想，解答17-18综合根的定义与判别式，培养推理意识| |综合层|探究性问题与创新应用|单选7辨析解题错误，填空14定义"邻根方程"，解答20通过规律探究发展模型意识，体现数学思维进阶|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《25.2.3因式分解法》 假期自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（   ） A． B．2 C．1 D．0 3．关于的一元二次方程的两根为，则代数式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 4．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（     ） A．9 B．11 C．13 D．11或13 5．已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 6．我们规定一种新运算“”，其意义为，若，则的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 7．如图，这是小卫同学解一元二次方程的过程，判断他在解答过程中出现错误的步骤是（    ） 小卫同学解答过程： 解：，             第一步 ，             第二步 ，             第三步 或，             第四步 解得或．             第五步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 二、填空题 8．一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是_______． 9．已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的解为________． 10．已知关于x的一元二次方程有一根为0，则它的另一个根是_____． 11．分式方程的解是___________． 12．已知实数满足，则代数式的值是____． 13．若关于x的一元二次方程 的根为，，则一元二次方程的根为______． 14．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． 关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，则m的值是________． 三、解答题 15．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．解方程：解一元二次方程时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： 解：， 所以或， 所以，． (1)你认为是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； (2)请选择合适的方法解原方程． 17．已知一元二次方程有一个根为零，求m的值和方程的另一根． 18．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 19．已知关于的一元二次方程． (1)判断方程根的情况； (2)若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为，当为何值时，是直角三角形，并求出的面积． 20．解答以下问题 (1)观察发现：计算下列各式的结果，观察结果的特征： ① ② ③ ④ ． (2)思考探究：设n为正整数， ①第n个算式为 ． ②请通过整式运算证明：该式的结果一定是某个整式的平方． 小明的部分证明过程如下： 证明：原式 设，则原式 小明证明过程中用了 思想方法，请把小明没有完成的过程补充完整． (3)拓展应用：已知四个连续正整数的乘积加1等于，求四个正整数中最小的整数． 参考答案 1．A 【分析】将原方程中对应部分用换元后的y替换，再对分式方程去分母整理得到整式方程即可解答． 【详解】解：∵令，可得 将其代入原方程得： 方程两边同乘（）去分母得：， 移项整理得：， 因此换元后整理得到的整式方程为． 2．D 【分析】本题考查一元二次方程的根，根据方程根的定义，将已知根代入原方程求出的值，再将代回原方程求解，即可得到另一个根，解题需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件. 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是 ∴将代入原方程得， 化简得，即，解得. ∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 满足该条件，符合要求. 将代入原方程，得， 提取公因式得解得， ∴方程的另一个根是. 故选：D. 3．D 【分析】对于一元二次方程，若方程两根为，则 ，代入已知条件即可得到结果． 【详解】∵关于的一元二次方程的两根为， ∴根据一元二次方程根与因式分解的关系可得 因此代数式因式分解的结果对应选项D． 4．C 【分析】先求解一元二次方程得到第三边的两个可能取值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边长度，最后计算三角形周长． 【详解】解：， 因式分解得， ∴， 解得或． 根据三角形三边关系，可得第三边的取值范围为， 即． ∵不满足，不能构成三角形，舍去， 满足，可以构成三角形． ∴三角形的周长为． 5．B 【分析】利用换元法，将新方程中的看作整体，对应原方程的，根据原方程的解得到整体的取值，再解一元一次方程即可得到新方程的解． 【详解】解：令，则方程可变形为， 关于的方程的解为， ， 即或， 解得或， 方程的解是． 6．B 【分析】根据新运算的定义将原式转化为一元二次方程，整理求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ， ， 解得：，． 7．C 【详解】解：正确步骤如下： ， ， ， 或， 解得或． ∴第三步的提取公因式出错． 8． 【分析】本题考查一元二次方程的解法，关键是采用恰当的方法解方程；用因式分解法解方程，利用零乘积性质将方程转化为两个一元一次方程． 【详解】解： ， 或， 故答案为：． 9．， 【分析】先移项，再运用因式分解法求解该方程即可． 【详解】解：， 移项，得：， 提取公因式，因式分解得：， 或， 解得，． 10．2 【分析】将代入，结合一元二次方程的定义求出m的值，进而得到原方程，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一根为0， ∴将代入得， 解得：， ∵一元二次方程 ∴，即， ∴， ∴原方程为， 解得：， 即它的另一个根是2． 11． 【分析】先将分式方程化为整式方程求解，最后检验所得根是否使原分式方程分母不为零． 【详解】解：， 对分母因式分解得 ， 方程两边同乘最简公分母，得 整理得 解得 检验：当时，，原分式方程分母为零， 因此是增根，舍去； 当时， ，满足原分式方程分母不为零的要求. 因此原分式方程的解为． 12． 【分析】将看作整体，利用因式分解法得到的可能取值，再利用一元二次方程根的判别式判断符合题意的取值，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解： 设， 原方程可化为 或 解得或 当时，，整理得 ，方程无实数根，不符合题意，舍去； 当时，，整理得 ，方程有实数根，符合题意 ． 13．， 【分析】先整理所求一元二次方程，通过换元法将其转化为与已知方程形式一致的方程，利用已知方程的根得到换元后未知数的值，进而求出所求方程的根． 【详解】解：整理方程，移项得： 设，则上述方程可化为， 根据题意可知：一元二次方程的根为，， 因此可得：或， 解得，． 14．或 【分析】先解方程得出，，再根据“邻根方程”的定义得出或，求出m的值即可． 【详解】解：由方程得： ， ∴或， 解得：，， ∵关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”， ∴或， 解得：或， ∴m的值是或． 15．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（）利用因式分解法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 或， ，； （2）解：∵， ∴， ∴， 或， ，； （3）解：∵， ∴， 即， 或， ，； （4）解：∵， ∴， 或， ，． 16．(1)不是原方程的解； (2)，． 【分析】（）根据方程解的定义，将代入原方程，比较左右两边的值是否相等即可判断； （）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：将代入得，左边，右边， ∵左边右边， ∴不是原方程的解； （2）解：， ， 或， ∴，． 17． ；方程的另一根为 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程得到关于的方程，结合一元二次方程二次项系数不为0，舍去不符合条件的值，再将符合条件的代入原方程，求解得到方程的另一根． 【详解】解：一元二次方程有一个根为， 将代入方程得， 因式分解得， 解得， 原方程是一元二次方程，二次项系数不为， ，即， ， 将代入原方程得 ， 整理得， 提取公因式得， 解得， 方程的另一根为． 18．(1)证明：由题意得：， 则：， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． (2)的值为，方程的另一个根为 【分析】（1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等的实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 19．(1)方程有两个不相等的实数根． (2)当为2时，是直角三角形，的面积为6，当为11时，是直角三角形，的面积为30 【分析】（1）求出判别式与0的关系即可判断； （2）利用因式分解法求出方程的两根，，，不妨设，，再分两种情况，利用勾股定理求出k的值即可解答． 【详解】（1）解：在方程中， ， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：， ，． 不妨设，， ①当为斜边时，有，即， 解得：，（舍去）．此时 则直角三角形的面积为：； ②当为斜边时，有，即 解得：，此时， 则直角三角形的面积为：． 20．(1) (2)①；②换元（整体），见解析 (3) 【分析】（1）利用有理数的混合运算法则求出结果即可； （2）①根据给出算式，总结出规律即可； ②利用换元思想和完全平方公式进行证明； （3）根据题意，列出一元二次方程，然后利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：； （2）解：①； ②小明证明过程中用了换元（整体）思想方法， 证明：原式 设，则原式， 将代入上式得， ∴； （3）解：根据题意得， ∴， 解得或（舍去）， ∴四个正整数中最小的整数为9． 学科网（北京）股份有限公司 $