1.4.1　充分条件与必要条件 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦“充分条件与必要条件”核心知识点，通过王昌龄诗句情境导入“攻破楼兰”与“返回家乡”的关系问题，衔接命题定义及真假判断，构建从生活问题到数学条件关系的学习支架。 其亮点在于情境导入培养数学抽象，典型例题（如判断四边形对角线与菱形关系）结合通性通法（定义法、命题判断法）强化逻辑推理，帮助学生理解概念并提升解题能力，教师可直接用于课堂教学以提高效率。

1.4.1　 充分条件与必要条件 新课程标准解读 核心素养 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意 义，理解性质定理与必要条件的关系 数学抽象、 逻辑推理 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意 义，理解判定定理与充分条件的关系 数学抽象、 逻辑推理 3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意 义，理解数学定义与充要条件的关系 数学抽象、 逻辑推理 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军 行》传诵至今.“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金 甲，不破楼兰终不还”. 【问题】　最后一句“攻破楼兰”与“返回家乡”是什么关系？ ⁠ 目录 数学·必修第一册 知识点一　命题 1. 定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断 的 ⁠ 叫做命题. 2. 分类：判断为 的语句是真命题；判断为 ⁠的语句是 假命题. 3. 结构形式：“若 p ，则 q ”形式的命题中， ⁠称为命题的条 件， 称为命题的结论. 真假　 陈述 句　 真　 假　 p 　 q 　 目录 数学·必修第一册 提醒　（1）并非任何语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才 是命题；（2）命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为 假，不能无法判断；（3）数学中的定义、公理、定理、公式等都 是真命题. 目录 数学·必修第一册 知识点二　充分条件与必要条件 命题 真假 “若 p ，则 q ”是真命题 “若 p ，则 q ”是假命题 推出 关系 p q p q 条件 关系 p 是 q 的 条件； q 是 p 的 ⁠条件 p 不是 q 的 条件； q 不是 p 的 ⁠条件 ⇒　 　 充分　 必要　 充分　 必要　 目录 数学·必修第一册 提醒　（1）一般地，如果 p ⇒ q 且 q p ，则称 p 是 q 的充分不必要条 件；（2）如果 p q 且 q ⇒ p ，则称 p 是 q 的必要不充分条件；（3）如 果 p q 且 q p ，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 目录 数学·必修第一册 1. 若 a ∈R，则“ a ＝1”是“｜ a ｜＝1”的（　　） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 无法判断 解析： 　当 a ＝1时，｜ a ｜＝1成立，但｜ a ｜＝1时， a ＝±1， 所以 a ＝1不一定成立.所以“ a ＝1”是“｜ a ｜＝1”的充分条件. 目录 数学·必修第一册 2. “四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 无法判断 D. 既不充分也不必要条件 解析： 　“四边形的对角线互相垂直”无法推出“四边形是菱 形”，反之，“四边形是菱形”可以推出“四边形的对角线互相垂 直”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必 要不充分条件.故选B. 目录 数学·必修第一册 3. 用符号“⇒”与“ ”填空： （1）｜ x ｜＞1 x ＞1； 解析： 命题“若｜ x ｜＞1，则 x ＞1”是假命题，故｜ x ｜＞1 x ＞1. （2） a ， b 都是偶数 a ＋ b 是偶数. 解析： 命题“若 a ， b 都是偶数，则 a ＋ b 是偶数”是真 命题，故 a ， b 都是偶数⇒ a ＋ b 是偶数. 　 ⇒　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 充分条件的判断 【例1】　下列命题中， p 是否是 q 的充分条件？ （1） p ： a ＋ b ＝0， q ： a2＋ b2＝0； 解： ∵ a ＝1， b ＝－1时， a ＋ b ＝0， 但 a2＋ b2＝2，∴ a ＋ b ＝0 a2＋ b2＝0. ∴ p 不是 q 的充分条件. 目录 数学·必修第一册 （2） p ：四边形的对角线相等， q ：四边形是矩形； 解： ∵等腰梯形的对角线相等， ∴四边形的对角线相等 四边形是矩形. ∴ p 不是 q 的充分条件. （3） p ： x ＝1， q ： x2－4 x ＋3＝0； 解： 当 x ＝1时， x2－4 x ＋3＝0，∴ x ＝1⇒ x2－4 x ＋3＝0. ∴ p 是 q 的充分条件. 目录 数学·必修第一册 （4） p ： m ＜－1， q ： x2－ x － m ＝0无实根. 解： 由方程 x2－ x － m ＝0无实根， 得Δ＝1＋4 m ＜0.即 m ＜－ . ∵ m ＜－1⇒ m ＜－ ，即 p ⇒ q . ∴ p 是 q 的充分条件. 目录 数学·必修第一册 通性通法 充分条件的两种判断方法 （1）定义法： （2）命题判断法： 如果命题“若 p ，则 q ” 是真命题，则 p 是 q 的 充分条件； 如果命题“若 p ，则 q ” 是假命题，则 p 不是 q 的充分条件. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　下列“若 p ，则 q ”形式的命题中，哪些命题中的 p 是 q 的充分 条件？ （1）若 a ∈Q，则 a ∈R； 解： 由于Q⫋R，所以 p ⇒ q ， 所以 p 是 q 的充分条件. （2）若 a ＜ b ，则 ＜1； 解： 由于 a ＜ b ，当 b ＜0时， ＞1， 因此 p q ，所以 p 不是 q 的充分条件. 目录 数学·必修第一册 （3）在△ ABC 中，若 A ＞ B ，则｜ BC ｜＞｜ AC ｜. 解： 由三角形中大角对大边可知，若 A ＞ B ，则｜ BC ｜ ＞｜ AC ｜.所以 p ⇒ q ，所以 p 是 q 的充分条件. 目录 数学·必修第一册 题型二 必要条件的判断 【例2】　指出下列哪些命题中 q 是 p 的必要条件？ （1） p ：一个四边形是矩形， q ：四边形的对角线相等； 解： 因为矩形的对角线相等，所以 q 是 p 的必要条件. （2） p ： A ⊆ B ， q ： A ∩ B ＝ A ； 解： 因为 p ⇒ q ，所以 q 是 p 的必要条件. （3） p ：2 a ＞1， q ： a ＞1. 解： 因为2 a ＞1，即 a ＞ ， p q ，所以 q 不是 p 的必要条件. 目录 数学·必修第一册 通性通法 必要条件的两种判断方法 （1）定义法： 目录 数学·必修第一册 （2）命题判断法： 如果命题“若 p ，则 q ”是真命题，则 q 是 p 的必要条件； 如果命题“若 p ，则 q ”是假命题，则 q 不是 p 的必要条件. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 （多选）下列命题是真命题的是（　　） A. “ x ＞2”是“ x ＞3”的必要条件 B. “ x ＝2”是“ x2＝4”的必要条件 C. “ A ∪ B ＝ A ”是“ A ∩ B ＝ B ”的必要条件 D. p ： a ＞ b ， q ： ac ＞ bc ， p 是 q 的必要条件 解析：AC　∵ x ＞3⇒ x ＞2，∴A是真命题；∵ x2＝4 x ＝2，∴B是 假命题；∵ A ∩ B ＝ B ⇒ A ∪ B ＝ A ，∴C是真命题；∵ q p ，∴ p 不 是 q 的必要条件，D是假命题. 目录 数学·必修第一册 题型三 根据充分（必要）条件求参数 【例3】　已知集合 P ＝{ x ｜－2＜ x ＜4}， Q ＝{ x ｜3 m －2≤ x ≤5 m ＋2， m ∈R}.若 P 的充分条件为 Q ，求实数 m 的取值范围. 解：由已知， P 的充分条件为 Q ，则 Q 是 P 的子集. 当3 m －2＞5 m ＋2，即 m ＜－2时， Q ＝⌀，满足题意； 当3 m －2≤5 m ＋2，即 m ≥－2时，由题意得解得0＜ m ＜ ， 综上， m 的取值范围是 m ｜ m ＜－2或0＜ m ＜ . 目录 数学·必修第一册 【母题探究】 （变设问）本例条件不变，是否存在实数 m 使 P 的必要条件为 Q ？ 解：由题意得， P 是 Q 的子集， 则方程组无解，所以 m 的值不存在. 目录 数学·必修第一册 通性通法 利用充分（必要）条件确定参数的值（范围）的步骤 （1）记集合 M ＝{ x ｜ p （ x ）}， N ＝{ x ｜ q （ x ）}； （2）若 p 是 q 的充分不必要条件，则 M ⫋ N ；若 p 是 q 的必要不充分条 件，则 N ⫋ M ； （3）根据集合的关系列不等式（组）； （4）解不等式（组）得结果. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　已知 P ＝{ x ｜ a －4＜ x ＜ a ＋4}， Q ＝{ x ｜1＜ x ＜3}，若“ x ∈ P ”是“ x ∈ Q ”的必要条件，则实数 a 的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：因为“ x ∈ P ”是“ x ∈ Q ”的必要条件，所以 Q ⊆ P ，所以 即所以－1≤ a ≤5. －1≤ a ≤5　 目录 数学·必修第一册 1. 若 p ： a ∈（ M ∪ N ）， q ： a ∈ M ，则 p 是 q 的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 既充分又必要条件 解析： 　由 a ∈（ M ∪ N ） a ∈ M ，但 a ∈ M ⇒ a ∈（ M ∪ N ），故 p 是 q 的必要不充分条件. 目录 数学·必修第一册 2. “ x2＝2 x ”是“ x ＝0”的 条件，“ x ＝0”是“ x2＝2 x ” 的 条件（用“充分”“必要”填空）. 解析：由于 x ＝0⇒ x2＝2 x ，所以“ x2＝2 x ”是“ x ＝0”的必要条 件，“ x ＝0”是“ x2＝2 x ”的充分条件. 3. 已知 M ＝{ x ｜ a －1＜ x ＜ a ＋1}， N ＝{ x ｜－3＜ x ＜8}，若 N 是 M 的必要条件，求实数 a 的取值范围. 解：因为 N 是 M 的必要条件，所以 M ⊆ N . 于是从而 可得－2≤ a ≤7.故实数 a 的取值范围为{ a ｜－2≤ a ≤7}. 必要　 充分　 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知 p ： x （ x －1）＝0， q ： x ＝1，则 p 是 q 的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 既充分又必要条件 解析： 　由 x （ x －1）＝0得 x ＝0或 x ＝1，所以 p q ， q ⇒ p ，故 p 是 q 的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 俗语云：“好人有好报.”这句话的意思中，“好人”是“有好 报”的（　　） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 既充分又必要条件 解析： 　这句话的意思中，“好人”⇒“有好报”，所以“好 人”是“有好报”的充分条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. （多选）使 ab ＞0成立的充分条件是（　　） A. a ＞0， b ＞0 B. a ＋ b ＞0 C. a ＜0， b ＜0 D. a ＞1， b ＞1 解析：ACD　因为 a ＞0， b ＞0⇒ ab ＞0； a ＜0， b ＜0⇒ ab ＞0； a ＞1， b ＞1⇒ ab ＞0，所以选项A，C，D都是使 ab ＞0成立的充分 条件，当 a ＝2， b ＝－1时， a ＋ b ＞0， ab ＜0，故 a ＋ b ＞0不是 ab ＞0成立的充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 若“ x ＞ m ”是“ x ＞3或 x ＜1”的充分不必要条件，则 m 的取值范 围是 ⁠. 解析：由已知条件，知{ x ｜ x ＞ m }⫋{ x ｜ x ＞3，或 x ＜1}.所以 m ≥3. { m ｜ m ≥3}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜1}， B ＝{ x ｜－ a ＜ x － b ＜ a }.若“ a ＝ 1”是“ A ∩ B ≠⌀”的充分条件，则实数 b 的取值范围是（　　） A. { b ｜－2≤ b ＜0} B. { b ｜0＜ b ≤2} C. { b ｜－2＜ b ＜2} D. { b ｜－2≤ b ≤2} 解析： A ＝{ x ｜－1＜ x ＜1}， B ＝{ x ｜－ a ＜ x － b ＜ a }＝ { x ｜ b － a ＜ x ＜ b ＋ a }.因为“ a ＝1”是“ A ∩ B ≠⌀”的充分条 件，所以－1≤ b －1＜1或－1＜ b ＋1≤1，即－2＜ b ＜2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. 设集合 A ＝{ x ｜ x2＋3 x ＋2＝0}， B ＝{ x ｜ x2＋（ m ＋1） x ＋ m ＝0}. （1）用列举法表示集合 A ； 解：（1） x2＋3 x ＋2＝0⇒（ x ＋1）（ x ＋2）＝0， 即 x ＝－1或 x ＝－2， A ＝{－1，－2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 （2）若 x ∈ B 是 x ∈ A 的充分条件，求实数 m 的值. 解： 若 x ∈ B 是 x ∈ A 的充分条件，则 B ⊆ A ， x2＋（ m ＋1） x ＋ m ＝0⇒（ x ＋1）（ x ＋ m ）＝0， 解得 x ＝－1或 x ＝－ m ， 当 m ＝1时， B ＝{－1}，满足 B ⊆ A ， 当 m ＝2时， B ＝{－1，－2}，同样满足 B ⊆ A ， 所以 m ＝1或 m ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $