3.1.3 反比例关系（课件）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦反比例关系，系统梳理定义、关系式（xy=k）、与正比例的对比及行程等生活模型。通过冬奥会造雪问题的表格数据导入，引导学生观察量的反向变化与乘积定值，衔接正比例知识形成学习支架。 其亮点在于以现实情境培养模型意识，如用圆柱注水、杠杆实验等实例构建数学关系，通过四步判定步骤和正反比例口诀强化推理意识。跨学科题（电路电压电阻关系）提升应用意识，助力学生发展抽象能力与逻辑思维，也为教师提供系统教学资源。

人教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月6日 3.1.3反比例关系 第三章 代数式 3.1.3 反比例关系 知识点总结 一、核心知识点梳理 1. 反比例关系的定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积始终是一个定值（不为0），那么这两种量就成反比例关系。 通俗理解：一个量变大，另一个量随之变小；一个量变小，另一个量随之变大，且乘积永远不变。 2. 反比例关系式（核心公式） 若两种变化的量为 $$x、y$$，定值为 $$k$$（$$k eq0$$），则反比例关系可表示为： $$xy=k$$（$$k$$ 为非零常数） 关键判定依据：乘积一定 ⇔ 成反比例关系。 3. 正反比例关系对比（必考辨析） - 正比例关系：比值一定（$$\frac{y}{x}=k$$），同增同减； - 反比例关系：乘积一定（$$xy=k$$），一增一减。 4. 常见反比例生活模型（常考） - 行程问题：路程一定时，速度与时间成反比例。 公式：$$速度\times 时间=路程(定值)$$ - 工程问题：工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例。 公式：$$效率\times 时间=工作总量(定值)$$ - 购物问题：总钱数一定时，单价与购买数量成反比例。 公式：$$单价\times 数量=总金额(定值)$$ - 长方形面积：面积一定时，长与宽成反比例。 公式：$$长\times 宽=面积(定值)$$ 二、反比例关系判定步骤（标准答题流程） 第一步：找变量 确定题目中两种变化的相关量； 第二步：找定量 寻找始终保持不变的固定乘积； 第三步：列关系式 验证两个变量的积是否为定值； 第四步：下结论 积一定，则成反比例关系，否则不成。 三、常考题型归纳 题型1：直接判断是否成反比例 给出一组数量变化表格或文字描述，判断两个量是否成反比例。核心：计算每组对应数据的乘积，全部相等即为反比例。 题型2：根据反比例关系求未知量 已知 $$x、y$$ 成反比例，乘积 $$k$$ 固定，利用 $$xy=k$$ 代入已知数据，求解未知变量。 题型3：实际应用题判定 结合行程、工程、购物、几何图形场景，判断变量关系并列出反比例代数式。 题型4：正反比例辨析题 区分易混关系：圆的面积与半径、周长与半径、正方形边长与面积等不成比例的易错模型。 四、核心解题口诀 反比例判定口诀：两个变量相关联，积定反向正相反；一增一减积不变，乘积定值是关键。 正反比例区分口诀：比值一定正比同增，乘积一定反比反变。 五、高频易错点汇总 - 混淆正反比例：正比看比值，反比看乘积，切勿记反判定条件； - 误以为所有变化的量都成比例，只有比值或乘积固定才成比例； - 忽略 $$k eq0$$，定值不能为0，否则无反比例关系； - 判断错误：和一定、差一定、平方一定均不成比例； - 实际问题中找错定量，误将变量当作固定值。 1. 知道反比例关系的概念 2. 掌握反比例关系的表示 3.会判断两个量是否成反比例关系 3.1.3 反比例关系 第一页：情境引入——发现特殊的数量关系 生活中存在许多相互关联的量，它们的变化往往遵循一定规律。请观察以下两个场景，思考其中变量的关系： 场景1：运输任务中的时间与速度 一批货物共120吨，需要用货车运完。若货车行驶速度不同，完成运输所需的时间也会不同，具体数据如下表： 行驶速度（千米/时） 20 30 40 60 80 运输时间（时） 6 4 3 2 1.5 场景2：铺地中的方砖面积与块数 用正方形方砖铺一间面积为24平方米的客厅，方砖的面积与所需块数如下表： 方砖面积（平方米） 0.3 0.4 0.6 0.8 1.2 所需块数（块） 80 60 40 30 20 思考：每个场景中的两个变量如何变化？它们的乘积有什么特点？ 第二页：探究新知——反比例关系的定义 1. 分析变量规律 结合上一页的场景数据，我们进行如下分析： - 场景1：速度（v）增大时，时间（t）随之减小；且“速度×时间=货物总吨数”，即v×t=120（定值）。 - 场景2：方砖面积（S）增大时，块数（n）随之减小；且“方砖面积×块数=客厅总面积”，即S×n=24（定值）。 共同点：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随之变化，且它们的乘积始终是一个固定的数。 2. 反比例关系的定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 3. 反比例关系的字母表示 若用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（k为非零定值），则反比例关系可表示为： x × y = k（一定） 或 y = $\frac{k}{x}$（k≠0） 注意：k必须是固定不变的非零常数，若乘积不是定值，则两个量不成反比例关系。 第三页：核心特征——反比例关系的判断依据 判断两种量是否成反比例关系，需同时满足以下两个条件，缺一不可： 1. 条件一：两个量是相关联的量——一个量的变化会引起另一个量的变化（如“速度”变化会引起“时间”变化，二者相关联；而“身高”和“成绩”无关联，不可能成反比例）。 2. 条件二：相对应的两个数的乘积一定——取两种量中任意几组对应值，计算它们的乘积，若结果始终相同（为定值k），则满足条件；若乘积不固定，则不成反比例。 小练习：判断下列量是否成反比例关系 - （1）路程一定，汽车行驶的速度和时间； 解析：速度×时间=路程（定值），满足两个条件，成反比例。 - （2）长方形的面积一定，它的长和宽； 解析：长×宽=面积（定值），满足两个条件，成反比例。 - （3）小明的年龄和身高； 解析：年龄和身高无固定乘积关系，不成反比例。 - （4）总价一定，商品的单价和购买数量； 解析：单价×数量=总价（定值），满足两个条件，成反比例。 第四页：例题解析——反比例关系的应用 反比例关系的应用主要涉及“判断关系”“利用定值求未知量”两类问题，核心是抓住“乘积一定”这一关键。 例1：判断反比例关系并说明理由 下列各题中的两种量是否成反比例关系？请说明理由。 1. （1）加工一批零件，工作效率和工作时间； 解：成反比例关系。理由：工作效率×工作时间=零件总数（定值），满足反比例关系的两个条件。 2. （2）一个人的体重和他的饮食量； 解：不成反比例关系。理由：体重和饮食量的乘积不是固定值，饮食量相同体重可能不同，不满足“乘积一定”的条件。 3. （3）用一笔钱购买文具，文具的单价和购买的数量； 解：成反比例关系。理由：单价×数量=总钱数（定值），满足反比例关系的两个条件。 例2：利用反比例关系求未知量 一批货物，若用载重8吨的卡车运，需要15辆才能运完。若改用载重10吨的卡车运，需要多少辆？ 分析：货物总质量是定值，“卡车载重×车辆数=货物总质量”，二者成反比例关系。 解答： 1. 步骤1：计算货物总质量（定值k） 总质量=8×15=120（吨） 2. 步骤2：设需要x辆载重10吨的卡车，根据反比例关系列等式 10×x=120 3. 步骤3：求解x x=120÷10=12（辆） 答：需要12辆。 第五页：易错警示——常见误区剖析 1. 误区一：混淆“反比例”与“正比例” 错误：认为“一个量增大另一个量减小”就是反比例关系，如“减数增大，差减小”，错判为反比例。 剖析：正比例关系是“比值一定”，反比例是“乘积一定”；“减数×差”不是定值，二者不成比例。 区分技巧：列表计算“比值”或“乘积”，比值一定为正比例，乘积一定为反比例。 2. 误区二：忽略“相关联的量”这一前提 错误：判断“冰箱的容积和耗电量”成反比例关系。 剖析：冰箱容积和耗电量无直接关联，容积大的冰箱耗电量不一定小，二者乘积也不是定值，不成比例。 3. 误区三：未确认“乘积是否为定值” 错误：判断“正方形的边长和面积”成反比例关系。 剖析：边长×面积=边长³，不是定值；且面积=边长²，二者是平方关系，不成比例。 第六页：能力提升——反比例关系的拓展应用 例：多变量中的反比例关系 某工程队修一条公路，原计划每天修20米，15天修完。实际施工时，每天修的长度是原计划的1.2倍，实际多少天能修完？ 分析：公路总长度是定值，“每天修的长度×天数=总长度”，二者成反比例关系；先求实际每天修的长度，再利用反比例关系求解天数。 解答： 1. 步骤1：计算公路总长度（定值k） k=20×15=300（米） 2. 步骤2：求实际每天修的长度 实际每天修：20×1.2=24（米） 3. 步骤3：设实际x天修完，列等式求解 24x=300 → x=300÷24=12.5（天） 答：实际12.5天能修完。 拓展练习：比例关系的综合判断 判断下列两种量成正比例、反比例还是不成比例，并说明理由： - （1）圆的周长和它的直径；（正比例，周长/直径=π，比值一定） - （2）圆的面积和它的半径；（不成比例，面积/半径=πr，不是定值） - （3）被除数一定，除数和商；（反比例，除数×商=被除数，乘积一定） 第七页：课堂小结——核心要点回顾 1. 反比例关系的定义：两种相关联的量，乘积一定，这两种量成反比例关系。 2. 字母表示：x×y=k（一定）或y=$\frac{k}{x}$（k≠0）。 3. 判断方法：一看是否相关联，二看乘积是否为定值。 4. 应用关键：先找到“定值k”，再利用“乘积一定”列等式求解未知量。 5. 与正比例的区分：正比例“比值一定”，反比例“乘积一定”，可通过计算比值或乘积区分。 学习目标 新知探索 问题 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市，在冬季奥运会前，某赛场计划造雪 260 000 m3. 解答下列问题： （1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写表格. 每天造雪量/m3 5000 5200 6500 … 造雪天数 … 52 50 40 （2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们这间有什么关系？ 每天造雪量/m3 5000 5200 6500 … 造雪天数 … 52 50 40 每天造雪量变大 造雪天数变小 5 000×52 = 5 200×50 = 6 500×40 = 260 000 造雪天数随着每天造雪量的变大而变小 造雪天数与每天造雪量的乘积一定 每天造雪量/m3 5000 5200 6500 … 造雪天数 … 52 50 40 （2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们这间有什么关系？ 反比例关系 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 如果用字母 x 和 y 表示两个相关联的量，用 k 表示它们的积（k 是一个确定的值，且 k ≠ 0），反比例关系可以 用 xy = k 或 来表示，其中 k 叫作比例系数. x，y 是两个相关联的量 正比例关系 反比例关系 y = kx（k是一个确定的值，且 k ≠ 0） xy = k（k是一个确定的值，且 k ≠ 0） 知识点 反比例关系 1. 一段工程施工需要运送土石方总量为 ，设土石方日 平均运送量为，完成运送任务所需要的时间为天，则 与 的关系为( ) B A. 成正比例关系 B. 成反比例关系 C. 不成比例关系 D. 无法确定 中考考法 9 特别提醒 理解成反比例关系的两个量应注意以下两点: （1）一个量随着另一个量的变化而变化，且变化的方向相反，即一个量随着另一个量的变大而变小； （2）这两个量的乘积一定. 例 题 【教材P74】 例 5 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 10 cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2. 分别往这四个容器中注入 300 cm3 的水. （1）四个容器中的高度分别是多少厘米？ 分析：题中涉及圆柱的体积、底面积及高三个量，它们之间具有关系： 圆柱的体积 = 底面积×高 圆柱的体积 底面积 高 = 例 题 【教材P74】 例 5 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 10 cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2. 分别往这四个容器中注入 300 cm3 的水. （1）四个容器中的高度分别是多少厘米？ 解：四个容器中水的高度分别为 （2）分别用 x（单位：cm2）和 y（单位：cm）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示 y 与 x 的关系，y 与 x 成什么比例关系？ xy = 300. y 与 x 成反比例关系. 思 考 生活中，成反比例关系的例子是很常见的. 例如，在购买某种物品时，总价一定，购物的数量与商品的单价成反比例关系. 你还能举出一些例子吗？ 铺地面积一定，每块砖的面积和用砖块数 2. 下列图中，两个量和 成反比例关系的是( ) C A. 线段的总长为1 B. 圆柱的体积为1 C. 三角形面积为1 D. 长方体的体积为1 中考考法 15 3. 下列说法不正确的是( ) B A. 长方形的周长一定，长与宽不成比例关系 B. 给一个房间铺地砖，每块砖的边长与铺砖的块数成反比例 关系 C. 分数值一定，分母与分子成正比例关系 D. 圆锥的体积一定，它的底面积与高成反比例关系 中考考法 16 4. 请举出一个两种量成反比例关系的例子： ________________________________________________. 路程一定，速度和时间成反比例关系（答案不唯一） 中考考法 17 5. 某电路的电源电压（单位：），电阻 （单位：），电流（单位：A）三者之间的关系为 ， 且电源电压恒定不变，则电阻和电流 两个量成________ 关系（填“正比例”或“反比例”），根据下表，“ ”处应填 ____. （单位： ） 100 110 （单位：A） 2.2 2 2.5 反比例 88 中考考法 6. 下面各图中，能表示正比例关系的是( ) B A. B. C. D. 中考考法 19 【点拨】A选项，销售量大约为60个时，剩余量为20个，销 售量大约为40个时，剩余量为40个， （个），可知销售量+剩余量=产品 总量（一定），和一定，故销售量和剩余量不成比例关系.B 选项，人数大约为20人时，工作总量为20个，人数大约为40 人时，工作总量为40个， （个/人）， 可知工作总量 人数=每人加工的个数（一定），商一定， 中考考法 20 故工作总量和人数成正比例关系.C选项，销售量为40件时， 单价大约为20元/件，销售量为20件时，单价大约为40元/件， 则 ,可知销售量和单价不成正比例关系.D选项，30秒后， 时间在增加，距离不变，故距离和时间不成比例关系，故选B. 中考考法 7. 同学们在探究“杠杆原理”时，通过实验发现：当 左边刻度4上放3个砝码，右边刻度及放砝码数如图所示，这 两种情况下两边平衡.那么在右边其余刻度上放几个砝码才能 保证平衡？#1 中考考法 22 （1）请你完成表格. 左边刻度数 1 2 3 4 砝码数 ____ 6 ___ 3 乘积 ____ ____ ____ ____ 12 4 12 12 12 12 中考考法 23 （2）在本次实验中，右边刻度数和砝码数成什么比例关系？ 为什么？ 【解】成反比例关系.理由：因为右边刻度数和砝码数的乘积 为定值，所以右边刻度数和砝码数成反比例关系. 中考考法 24 8. 已知与成正比例关系，与 成反比例关系. （1）与 成什么比例关系？ 【解】因为与成正比例关系，与 成反比例关系， 所以设,且,均为定值 . 所以,所以 . 所以.因为和 均为定值， 所以为定值.所以与 成反比例关系. 中考考法 25 （2）若与成反比例关系，则与 成什么比例关系？ 因为与 成反比例关系， 所以设,且为定值 . 所以 . 由（1）得.所以 . 所以.因为,, 均为定值， 所以为定值.所以与 成正比例关系. 中考考法 26 $