2027届高考数学一轮复习----第五章 提升 练习1　导数中的函数构造问题

该高中数学高考复习课件聚焦“一元函数的导数及其应用”专题，紧扣高考评价体系，系统梳理导数中函数构造的核心考点，包括利用导数判断函数单调性、构造辅助函数解不等式等高频考查内容，通过归纳“构造g(x)=f(x)+x”“g(x)=f(x)/x”等常考题型，精准对接高考对逻辑推理与数学建模的要求。 课件亮点在于“真题训练+方法归纳+素养提升”的备考设计，精选2025年广州、重庆等地模拟题，深入解析如构造g(x)=f(x)e^x解决不等式f(x)>e^(1-x)等典型问题，培养学生的数学思维与数学语言素养。通过“构造模型库”和“易错点警示”，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此开展针对性复习，助力学生高效备战高考。

提升课 练习1　导数中的函数构造问题 一元函数的导数及其应用 第五章 高中数学 选择性必修 第二册 1 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 必备知识练 1. (2025·广东广州高二期末)函数的定义域为R，f(2)＝－1，对任意 x∈R，f'(x)＜－1，则f(x)＞1－x的解集为(　A　) A. (－∞， 2) B. (2， ＋∞) C. (－1，1) D. (1， ＋∞) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 【解析】 令g(x)＝f(x)＋x，∵对任意x∈R，f'(x)＜－1， ∴g'(x)＝f'(x)＋1＜0，即g(x)在R上单调递减， 又f(2)＝－1， ∴g(2)＝f(2)＋2＝1， 由f(x)＞1－x， 可得f(x)＋x＞1，即g(x)＞g(2)， ∴x＜2，即不等式f(x)＞1－x的解集为x∈(－∞，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 2. 已知f(x)是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足 xf'(x)＋f(x)≤0，对任意的0＜a＜b，则必有(　A　) A. af(b)≤bf(a) B. bf(a)≤af(b) C. af(a)≤f(b) D. bf(b)≤f(a) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 【解析】 ∵xf'(x)≤－f(x)，f(x)≥0， ∴[ ] '＝ ≤ ≤0， 则函数 在(0，＋∞)上单调递减.由于0＜a＜b， 则 ≥ ，即af(b)≤bf(a). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 3. (2025·重庆沙坪坝期末)设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是其导函数， 若f(x)＋f'(x)＞0，f(1)＝1，则不等式f(x)＞e1－x的解集为(　B　) A. (0，＋∞) B. (1，＋∞) C. (－∞，0) D. (0， 1) 【解析】 构造函数g(x)＝f(x)·ex， 则g'(x)＝[f'(x)＋f(x)]·ex＞0，故g(x)在R上单调递增， g(1)＝e，f(x)＞e1－x可化为g(x)＞e＝g(1)， 故原不等式的解集为(1，＋∞). B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 4. 已知函数f(x)＝xln x＋x(x－a)2(a∈R).若存在x∈(，2)，使得 f(x)＞xf'(x)成立，则实数a的取值范围是(　C　) A. (，＋∞) B. (，＋∞) C. (，＋∞) D. (3，＋∞) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 【解析】 由f(x)＞xf'(x)成立，可得[ ]'＝ ＜0. 设g(x)＝ ＝ln x＋(x－a)2，则存在x∈(，2)， 使得g'(x)＝ ＋2(x－a)＜0成立，即a＞ . 又x＋ ≥2 ＝ ，当且仅当x＝ ，即x＝ 时取等号， ∴a＞ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 5. 设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是其导函数，若3f(x)＋f'(x)＞0， f(0)＝1，则不等式f(x)＞ 的解集为(　A　) A. (0，＋∞) B. (1，＋∞) C. (－∞，0) D. (0，1) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 【解析】 令g(x)＝e3xf(x)，则g'(x)＝3e3xf(x)＋e3xf'(x)， ∵3f(x)＋f'(x)＞0，∴3e3xf(x)＋e3xf'(x)＞0， ∴g'(x)＞0，∴函数g(x)＝e3xf(x)在R上是增函数， 又f(x)＞e－3x可化为e3xf(x)＞1，且g(0)＝e3×0f(0)＝1， ∴g(x)＞g(0)，解得x＞0， ∴不等式f(x)＞e－3x的解集为(0，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 6. 函数f(x)的导函数为f'(x)，对任意的正数x都有2f(x)＞xf'(x)成立， 则(　A　) A. 9f(2)＞4f(3) B. 9f(2)＜4f(3) C. 9f(2)＝4f(3) D. 9f(2)与4f(3)的大小不确定 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 【解析】 由2f(x)＞xf'(x)，得xf'(x)－2f(x)＜0，设g(x)＝ ， 则g'(x)＝ ＝ ，∵x是正数，∴x3＞0， 又xf'(x)－2f(x)＜0，∴g'(x)＜0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递减， ∴g(2)＞g(3)，即 ＞ ，即9f(2)＞4f(3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 7. (2025·黑龙江齐齐哈尔期末)已知函数f(x)的定义域为(0， π)，其导函 数是f'(x).若对任意的x∈(0， π)有f'(x) sin x－f(x) cos x＜0，则关于x 的不等式f(x)＞2f() sin x的解集为(　B　) A. (0， ) B. (0， ) C. (，π) D. (，π) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 【解析】 令函数g(x)＝ ，x∈(0，π)， 求导得g'(x)＝ ＜0， ∴函数g(x)在(0，π)上单调递减，不等式f(x)＞2f() sin x⇔ ＞ ，即g(x)＞g()，解得0＜x＜ ，∴原不等式的解集为(0， ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 8. (多选)已知f(x)为(0，＋∞)上的可导函数，且(x＋1)·f'(x)＞f(x)，则 下列不等式中，一定成立的是(　BD　) A. 3f(4)＜4f(3) B. 4f(4)＞5f(3) C. 3f(3)＜4f(2) D. 3f(3)＞4f(2) BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 【解析】 由(x＋1)f'(x)＞f(x)，得(x＋1)f'(x)－f(x)＞0， 令g(x)＝ ，则g'(x)＝ ＞0， ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(2)＜g(3)＜g(4)， 则 ＜ ＜ ，即4f(2)＜3f(3)，5f(3)＜4f(4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 9. (多选)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)＜f(x)对任意的x∈R恒 成立，则(　AB　) A. f(ln 2)＜2f(0) B. f(2)＜e2f(0) C. f(ln 2)＞2f(0) D. f(2)＞e2f(0) 【解析】 令g(x)＝ ，则g'(x)＝ ＜0， ∴g(x)在R上单调递减，又ln 2＞0，2＞0， ∴g(ln 2)＜g(0)，g(2)＜g(0)，即 ＜ ， ＜ ， ∴f(ln 2)＜2f(0)，f(2)＜e2f(0). AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 10. 设函数f'(x)是定义在(0，π)上的函数f(x)的导函数，有f'(x) cos x－ f(x) sin x＞0，若a＝ f()，b＝0，c＝－ f()，则a，b，c的大小 关系是 ⁠. a＜b＜c　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 【解析】 设函数g(x)＝f(x) cos x，则g'(x)＝f'(x) cos x－f(x) sin x， ∵f'(x) cos x－f(x) sin x＞0， ∴g'(x)＞0，∴g(x)在(0，π)上单调递增， a＝ f()＝f() cos ()＝g()，b＝0＝f() cos ()＝g()， c＝－ f()＝() cos f ()＝g()，∴a＜b＜c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 11. 若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)＋2f(x)＞0，且f(0)＝1，则不等 式f(x)＞ 的解集为 ⁠. 【解析】 构造F(x)＝f(x)·e2x， ∴F'(x)＝f'(x)·e2x＋f(x)·2e2x＝e2x[f'(x)＋2f(x)]＞0， ∴F(x)在R上单调递增，且F(0)＝f(0)·e0＝1， ∵不等式f(x)＞ 可化为f(x)e2x＞1，即F(x)＞F(0)， ∴x＞0，∴原不等式的解集为(0，＋∞). (0，＋∞)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 12. 已知f(x)是定义在(0， )上的函数，其导函数为f'(x)，f()＝2 ， 且当x∈(0， )时，f'(x) sin x＋f(x) cos x＞0，则不等式f(x) sin x＜3的 解集为 ⁠. {x｜0＜x＜ }　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 【解析】 ∵当x∈(0， )时，f'(x) sin x＋f(x) cos x＞0， ∴[f(x) sin x]'＞0，x∈(0， )，令g(x)＝f(x) sin x，则当x∈(0， ) 时，g'(x)＞0，g(x)在(0， )上单调递增，∵f()＝2 ， ∴g()＝f()· sin ＝3，不等式f(x) sin x＜3，即g(x)＜g()， ∵g(x)在(0， )上单调递增，∴原不等式的解集为{x｜0＜x＜ }. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 关键能力练 13. 已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x)，满足f'(x)＞ f(x)且 y＝f(x＋1)是偶函数，f(0)＝2e2，求不等式f(x)＜2ex的解集. 解： 设g(x)＝ ，∵f'(x)＞ f(x)， ∴g'(x)＝ ＞0，∴g(x)在R上单调递增. ∵y＝f(x＋1)是偶函数，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴f(2)＝f(0)＝2e2， ∵f(x)＜2ex等价于 ＜2，∴g(x)＜g(2)， ∵g(x)在R上单调递增，∴x＜2. 故不等式f(x)＜2ex的解集为(－∞， 2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 14. 已知函数f(x)＝(x2＋ax)ln x，a∈R. (1)若f(x)的图象在x＝1处的切线经过点(0， －2)，求a的值； 解： (1)由题知f(x)的定义域为(0，＋∞). 又f'(x)＝(2x＋a)lnx＋x＋a，则f'(1)＝1＋a. 又f(1)＝0，∴切点为(1， 0)，∴ ＝1＋a，解得a＝1. (2)当1＜x＜e2时，不等式f(x)＜x2恒成立，求a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 (2)当1＜x＜e2时，0＜ln x＜2. 当1＜x＜e2时，不等式f(x)＜x2恒成立，即不等式a＜ －x， x∈(1，e2)恒成立.设g(x)＝ －x，x ∈(1，e2)， 则g'(x)＝ －1＝－ . ∵(ln x)2－ln x＋1＝ ＋ ＞0，∴g'(x)＜0. ∴g(x)在(1，e2)上单调递减，从而g(x)＞g(e2)＝－ . 要使原不等式恒成立，即a＜g(x)恒成立，故a≤－ ， 即a的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 拓展突破练 15. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0，当x＞0时，有 ＞0，则不等式x2f(x)＞0的解集为 ⁠. (－1，0)∪(1，＋∞)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 【解析】 令g(x)＝ (x≠0)，则g'(x)＝ . ∵当x＞0时， ＞0，即g'(x)＞0， ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.又f(1)＝0， ∴g(1)＝f(1)＝0，∴在(0，＋∞)上，g(x)＞0的解集为(1，＋∞)， g(x)＜0的解集为(0，1). ∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数， ∴在(－∞，0)上，g(x)＞0的解集为(－∞，－1)，g(x)＜0的解集 为(－1，0).由x2f(x)＞0，得f(x)＞0(x≠0).又f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，∴不等式x2f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 16. 已知函数f(x)＝ x2－2aln x＋(a－2)x. (1)当a＝1时，求函数f(x)在[1，e]上的最小值和最大值. (2)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有 ＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说 明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 解： (1)当a＝1时，f(x)＝ x2－2ln x－x. 则f'(x)＝x－ －1＝ ＝ ，x∈[1，e]， ∴当x∈[1，2)时，f'(x)＜0；当x∈(2，e]时，f'(x)＞0， ∴f(x)在[1，2)上单调递减，在(2，e]上单调递增， ∴当x＝2时，f(x)取得最小值，其最小值是f(2)＝－2ln 2. 又f(1)＝－ ，f(e)＝ －e－2， f(e)－f(1)＝ －e－2＋ ＝ ＜0， ∴f(e)＜f(1)，∴f(x)max＝f(1)＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 (2)假设存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2， 都有 ＞a恒成立，不妨设0＜x1＜x2， ∵ ＞a，∴f(x2)－ax2＞f(x1)－ax1. 令g(x)＝f(x)－ax，则由此可知g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又g(x)＝ x2－2aln x＋(a－2)x－ax＝ x2－2aln x－2x， 则g'(x)＝x－ －2＝ ， 由此可得g'(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即Δ≤0，－1－2a≥0， 解得a≤－ .即a的取值范围是(－∞，－ ]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 必备知识练 关键能力练 拓展突破练 $