1.1.2 成比例的线段 教学设计2026-2027学年湘教版九年级上册数学

该初中数学教学设计聚焦成比例线段核心知识，涵盖线段的比、成比例线段判定、对应成比例及黄金分割。通过复习比例基本性质，结合同一底片不同尺寸照片情境，搭建从数的比例到几何线段比例的学习支架。 以方格纸三角形探究为载体，学生动手计算线段比直观感知比例关系，发展几何直观。例题规范“统一单位—排序—求比值”步骤，提升运算能力。黄金分割融入建筑艺术实例，渗透数学文化，培养应用意识。助力学生理解概念，帮助教师高效突破重难点。

1.1.2成比例的线段教学设计 学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 一 课题 1.1.2成比例的线段 课时 1 课标要求 依据2022版义务教育数学课程标准,本节课属于“图形与几何—图形的相似”模块,要求学生理解线段的比、成比例线段的概念,能判断四条线段是否成比例,掌握对应成比例的意义与简单应用；结合方格纸、几何图形直观感知比例关系,发展几何直观、运算能力与逻辑推理素养；了解黄金分割的数学意义与文化价值,感受数学与建筑、艺术的联系,提升数学审美与应用意识；为后续相似三角形判定、性质学习提供核心支撑,落实数形结合、从特殊到一般的思想方法。 教材分析 本节是湘教版九年级上册第一章《图形的相似》1.1节第二课时,承接上一节比例的基本性质,是从数的比例过渡到线段比例的关键节点。教材以方格纸三角形为载体,引出线段比、成比例线段、对应成比例概念,搭配判断、周长计算等例题,自然拓展黄金分割内容,兼具知识性与文化性。内容承上启下,既是比例性质的几何应用,又是相似三角形的必备基础,突出代数运算与几何直观融合,强化数学建模与推理能力培养,符合九年级学生几何学习螺旋上升的认知规律。 学情分析 九年级学生已掌握比例基本性质、简单线段长度计算,能进行比例式与等积式互化,但对“线段比例”的几何意义理解不深,易混淆数的比例与线段成比例；部分学生单位不统一、排序错误导致判断失误,对应成比例的顺序意识薄弱。学生具备动手操作与合作探究能力,对黄金分割的生活与艺术应用兴趣浓厚,需通过直观操作、阶梯问题、错题辨析,实现从数到形的平稳过渡,提升几何表达与严谨推理能力。 教学目标 1.理解线段的比、成比例线段、对应成比例概念,能正确判断四条线段是否成比例,会解决简单的成比例线段计算问题,了解黄金分割含义。 2.经历观察、计算、归纳、应用过程,体会数形结合、转化思想,提升几何直观与运算能力。 3.感受成比例线段在几何与生活中的价值,了解黄金分割文化内涵,发展数学应用意识与审美素养。 4.主动参与探究活动,养成规范书写、严谨推理的学习习惯。 教学重点 1.成比例线段的概念理解与判断方法。 2.对应成比例的简单应用。 教学难点 对应成比例的顺序理解与成比例线段的实际问题建模求解。 教学过程 教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图 环节一:依标靠本,独立研学 复习回顾 1.比例的基本性质是什么？ 2.若,求。 情境问题 同一底片洗出的2寸照片和6寸照片,对应边的长度有什么关系？如何用数学式子描述这种关系？ 答案 1.若,则。 2.。 3.对应边长度的比值相等,即对应线段成比例。 提问比例基本性质,引导计算线段比,搭建新旧知识联系。 回忆旧知、计算作答,初步感知线段比例意义。 以旧引新,为成比例线段学习做好铺垫。 探究活动一:成比例线段 做一做：如图,在方格纸上(小方格的边长为1)有和,它们的顶点都在格点上.观察或计算出线段的长度,并计算与与与的长度的比值. 由图可知,.利用勾股定理可以计算得出：。 因此,线段与,与与的长度的比值都为. 一般地,如果两条线段的长度分别为,那么把它们的长度的比叫作这两条线段与的比,记作. 如果的比值为,那么上述式子也可写成或. 在图1.1-1中,对于和,有. 在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成比例线段. 例如,已知四条线段,若,则是成比例的线段. 类似的,如果,那么称线段与线段对应成比例. 方法总结: 判断线段成比例的方法：先统一单位、按长短排序,再计算两组线段比,比值相等即成比例。 引导测量计算、观察比值,提炼成比例线段定义。 动手计算、对比归纳,理解概念与符号表示。 直观感知比例关系,发展几何直观与推理素养。 环节二:同伴分享,互助研学 探究活动二:成比例线段的应用 例4已知线段的长度分别为,问是成比例的线段吗？ 解：因为,, 所以,从而是成比例的线段. 例5已知的三边与的三边对应成比例.若的周长为,且,求的三边的长. 解:由题意可得, 因此可以设, 则,解得, 从而,,. 所以的三边的长分别为. 方法总结:判断成比例线段按“统一单位→排序→比比值”；对应成比例用设参法结合周长列方程求解。 精讲例题,规范比例式书写,引导用设参法解题。 独立完成、互助纠错,掌握判断与计算方法。 巩固概念,提升运算与几何应用能力,渗透方程思想。 环节三:全班展学,互动深入 探究活动三:黄金分割比 思考：古希腊数学家、天文学家欧多克索斯(约前400—约前347)曾经提出一个问题： 能否将一条线段分成不相等的两部分,使较短线段与较长线段的比等于线段与原线段的比?即,使得成立？ 数学上已经证明这能做到(如图所示),此时称线段被点黄金分割,点叫作线段的黄金分割点,较长线段与原线段的比叫作黄金分割比,并且黄金分割比的数值为(约等于0.618). 黄金分割比被认为是美的比例关系.视觉生理学的研究成果表明,黄金分割比与人的视觉比例)最接近,所以符合黄金分割的比例形式很容易使人产生视觉上的美感.许多世界著名古建筑,如中国故宫、埃及金字塔、希腊帕提侬神庙、印度泰姬陵、法国巴黎圣母院等,在构图布局设计方面都有意无意地运用了黄金分割的法则. 在现代,许多建筑的设计中也采用了黄金分割,如上海的东方明珠塔的上球体就处于整个塔身高度的黄金分割处. 神奇的黄金分割比也出现在许多著名艺术作品中,比如意大利著名画家达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》就是完美运用黄金分割的典型例子. 介绍黄金分割定义,展示生活与艺术实例。 观察理解、识记黄金比,感受数学文化与美学价值。 拓展数学文化,提升审美与应用意识。 环节四:巩固内化,拓展延伸 课堂练习 1.如图,是线段上的一点,且,那么等于( ) A.2:3 B.5:3 C.3:2 D.3:5 2.下列四条线段,不是成比例线段的是( ) A. B. C. D. 3.校园里一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”,如图,为的黄金分割点(),如果的长度为,那么的长度为________.( ) A. B. C. D. 4.已知线段的长度分别为,如果线段和已知的三个线段是成比例线段,那么线段d的长度不等于( ) A.6B.C.D. 5.央视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图,若舞台长为米,主持人至少应走到离A点________米处.( ) A.10 B.15C.10 D.30－10 6.已知四条线段成比例,则的值为____. 7.如图,4×4方格中的四条线段是不是比例线段？请说明理由. 8.如图,以矩形的宽为边作正方形矩形的宽与长的比值等于矩形的宽与长的比值,称矩形为“黄金矩形”.在“黄金矩形”中,若,求的长. 9.如图,在中,点在边上,且,已知. (1)求的度数. (2)我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形,它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比. ①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由. ②求的长. ③在直线或上是否存在点(点除外),使是黄金三角形？若存在,在备用图中画出点,并简要说明画出点的方法(不要求证明)；若不存在,请说明理由. 答案：1.B;2.B;3.C;4.D;5.D;6.1/2; 7.不是比例线段,理由如下：,,,, 不是比例线段. 8.四边形是正方形, , 矩形为黄金矩形, ,即＝ 解得：,(舍去). 9.(1), . 设 则. 又, , , ,即. (2)①图中有个黄金三角形, 即. , 是黄金三角形. , 是黄金三角形. , . 又, , . 又, 是黄金三角形. ②是黄金三角形, . , . , . ③存在,有三个符合条件的点P, 即,如图. (ⅰ)以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线与直线分别交于点 (ⅱ)以为腰的黄金三角形：以点为圆心,为半径作弧与BC的交点为点P3. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测,用所学知识解决问题,学生代表回答。 学以致用,及时获知学生对所学知识的掌握情况,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的 课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点: 线段的比 两条线段长度的比,记作：。 成比例线段 在四条线段中,若,则这四条线段成比例。 判定步骤：统一单位→按长短排序→计算比值→判断是否相等。 对应成比例 多个线段组中,对应线段的比都相等, 即​。 黄金分割 线段AB被点C黄金分割,满足​, 黄金分割比：。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答,自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构,掌握其外在的形式和内在联系,形成知识系列及一定的结构框架。 板书设计 1.1.2 成比例的线段 1.线段的比 2.成比例线段 定义：​ 判定：统一单位→排序→求比值 3.对应成比例 ​ 4.黄金分割 黄金比： 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知,可以帮助学生理解掌握知识,形成完整的知识体系。 课后提升 基础达标: 1.已知是线段延长线上一点,且,则为( ) A.3:2 B.2:3C.3:5 D.5:2 2.在中,斜边,试求的值. 3.下列各组线段中是成比例线段的是( ) A.2cm,4cm,6cm,6cm B.2cm,4cm,4cm,8cm C.4cm,8cm,12cm,16cm D.3cm,6cm,9cm,12cm 4.若线段是成比例线段,且,则d=( ) A.6cm B.cm C.1.5cm D.3cm 5.在的交通旅游图上,南京玄武湖隧道长7cm,则它的实际长度是　　km. 6.已知四条线段依次成比例,其中.求的值. 能力提升: 7.若线段,且点是的黄金分割点,则等于( ) A.-1 B.3- C. D.-1或3- 8.如图,2022年国际乒联世界乒乓球团体锦标赛的吉祥物是一只大熊猫.这只大熊猫的头身比接近黄金比.小兰将熊猫的头画成☉A,熊猫的身体画成☉B,☉A与☉B的直径的比按照黄金比画,若☉B的直径为4,请计算☉A的周长. 9.已知,则下列各式中正确的是( ) A.a:b=c:d B.a:c=d:b C.a:b=d:c D.b:a=d:c 10.黄金分割由于其美学性质,受到摄影爱好者和艺术家的喜爱,摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法.其原理是:如图,将正方形ABCD的底边BC取中点E,以E为圆心,线段DE为半径作圆,其与底边BC的延长线交于点F,这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG,称其为黄金矩形.若CF=4a,则AB=( ) A.(-1)a B.(2-2)aC.(+1)a D.(2+2)a 11.已知P是线段AB上一点,且,则　　　　. 12.若点是线段的黄金分割点,,则的长约是　　.(精确到0.1cm) 拓展迁移: 13.已知是的三边,且满足,试判断的形状,并说明理由. 14.如图，在▱ABCD中，DE⊥AB于点E，BF⊥AD，交AD的延长线于点F. (1)AB，BC，BF，DE这四条线段是否成比例？如果不是，请说明理由；如果是，请写出比例式． (2)若AB＝10，DE＝2.5，BF＝5，求BC的长． 答案：1.A; 2.解:设AC=9x,BC=40x, 根据勾股定理可得AC2+BC2=AB2, 即(9x)2+(40x)2=2052, 解得x=5. ∴AC=45,BC=200. 3.B;4.A;5.2.66; 6.解:∵a,b,c,d四条线段依次成比例, ∴a:b=c:d. ∵a=3cm,b=(x-1)cm,c=5cm,d=(x+1)cm, ∴3:=5:,∴x=4cm. 故x的值为4cm. 7.D; 8.解:∵☉A与☉B的直径的比按照黄金比画,☉B的直径为4, ∴☉A的直径为×4=2-2, ∴☉A的周长为(2-2)π. 9.C;10.D;11.7:5;12.12.4cm或7.6cm; 13.解:是直角三角形,理由是: 设, 则a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8, ∵a+b+c=12, ∴3k-4+2k-3+4k-8=12, ∴k=3,∴a=5,b=3,c=4, ∴b2+c2=32+42=25=a2, ∴△ABC是直角三角形. 14. 解:(1)这四条线段成比例． 在中,, . ,即. (2) , ,解得. 教学反思 本节课以旧引新、情境导入,顺利完成从数的比例到线段比例的过渡,紧扣2022新课标落实核心素养。教学中重视概念生成与规范表达,通过方格计算、例题变式、黄金分割赏析突破重难点。但部分学生仍存在线段未排序、单位不统一、对应成比例顺序混淆等问题,几何语言表达不够严谨。后续应强化线段排序训练,增加对应成比例辨析题；加强几何计算与实际问题结合,优化分层任务设计,兼顾不同层次学生,提升知识迁移与综合应用能力。 学科网（北京）股份有限公司 $