同学们好，这讲我们来对函数的零点与方程的解的问题做一次习题题课的复习。这个习题课重要性不再多讲。第一讲我们已经说过，习题课对于咱们加深对概念，包括公司的应用都是很有帮助的。甚至我们还可以接触一些新题型，对于提升咱们数学的解题能力也是很有帮助的。下面我们来看一下第一类题型，根据零点的情况求参数的范围，也就是我们把这个题的难度相对加大一点。首先咱们来看一下你这一道题，这道题对于我们初升高的学生来说的话，难度还是有一些的。大家可以把视频暂停思考一下之后，再看一下我的这个讲解。好，我来给大家先对一下这个答案，此题的答案选D，在这个页面我把这个解题的思路给大家说一下。已知函数这是一个分段函数。第一段是1元2次函数，所以是部分是X小于零的。第二段是对数函数的一个变形，它说在整个R上等的递减，且关于X方程有恰有两个不相等的实数根，求A的范围。这道题综合性还是有一些的。此题我们可以先对每一段都让它单调递减，每一段单调递减之后，还要满足上一段的最大值，大于等于下是上一段的最小值。就前一段小于等于零的，前一段的最小值要大于等于后一段的最大值。这样的话我们可以在保证在这个上看它才是真正递减的。你不能说画一个图剪了之后突然间增了之后再减，那这就不行，这是第一个我们要注意的。所以说你看有第二段有单调递减，你这个底数A一定得是大于零小于一的。因为内函数X加一就是个单调递增的。那么第二段就是前面的上一段，上一段你要让它开口，方向向上要达到低点，对称轴只能在外轴的右侧。也就是X等于负的2，A分之B就是2分之4，A减3，你要大于等于0，这个是可以的，就这两个条件，然后让零处对应的函数值上一段的零处对应的就是这个3A一定要得大于等于，把这个零处带到这一段对应的就是一，也要大于等于3分之1才可以。好，这是一个。最后我们根据刚才的这个图像，把它的绝对值就是把X轴下方部分放到X轴上方，与该图像有两个不同的焦点，看成两个图像的交点，再看A的范围就行了。好，这是例一的大体的解题思路。下面我们来看一下具体解题过程。你们看这个图像画的对不对？因为FX在R上单调递减，所以Y等于X方加4A减三倍的X加3A在负无穷大到0上点的递减，Y等于log 1ABDX加一加一在零到总成上单调递减，所以FX在辅助大道中的最小值大于或等于F0。那就是我们刚才说的这里面我们有三个。第一个就是对称轴，刚才说过第二段单调递减是A大于小于一。第三个就是他们的节点处3A大于等于一，解出来这个A是3分之1到4分之3。好，这是第一关。注意，这个只是第一关，也就相当于是一个题型。那我们来看一下下一步做出他们的草图，大家看这个是二次函数的一部分，你看这边是空心的这一个是什么呢？这一个是。我们看一下，这个是加绝对值的操作。好，大家看如果说你要画成这个图来，整个你加上绝对值之后，你画成这样一个图画成这个图的话，你要让它与Y等于2减3分之X大家注意要有两个交点。这个时候你就要对我们这个二次函数的图像，包括这个分指的指数函数像对它进行讨论，所以说这里面的3A一定要小于2。我们看一下这个位置，就是空心的，大家看空心这个圆圈，这个位置就是3A肯定在下方。如果说它要跑到上方，大家看一下，因为你这个位置你说对了一，而我们这个是二，这个焦点是二，它不可能有两点，它只有一个焦点，所以只有让这个3A在它下方，这个时候这边还有一个焦点，加上这个焦点它才是两个交点，故它会有3A小于二这样一个条件。最后我们解出A是小于3分之2，再和上面的A大于等于3分之1，小于等于4分之3，取公共部分就是3分之1到3分之2。好，这是你我们来总结一下已知函数有零点求参数值它的方法。第一就是直接法，直接求解方程，得到方程的根，再通过解不等式来确定参数范围，这是第一个。第二个就是分参，分离参数的话可以转化成求函数值域问题。第三个就是用数据结合。刚才我们就是用通过这个图像法来解决了，这是三种方法。下面我们来练一道题，还是要大家先做做完之后我给大家对一下这个答案，此题的答案选C，这个题也是一样的，我们把它化成双函数，你看化成两个可画的双函数。有同学说老师我直接构造Y等于x log x加二余Y等于一也可以。但是你们现在画不出这个图像了。当然你说你用单调性去看也行，只不过这不是特别好看，还有正合负担，对不对？所以说还是画成两个可画，那么这两个函数就比较好画。然后我们可以把这个图像做出来。你们看啊这个是相当于把log x向左平移两个单位，那么原来渐近线是Y轴，平移到这里，就变成X等于二这条线，然后和反比例函数有两个交点，有两个焦点。这个时候我们看啊有十根在K到K加一上，这K的值可以取哪些值，直接把它带去就行了这后面这个直接观察，一个是-2到-1，一个是1到2就行了。我觉得最后答案。是-2和1。第二个题型1元2次方程的根的分布问题。我们来看。第二，已知关于X的方程，X方加上两倍的X减1，X加上2M加六等于0。若两根有两，这就用这个方程，两根一个比较大一个比较小，则M的范围，这个就是1元2次方程零点的分布问题。1元2次方程根的分布问题，也叫1元2次函数零点的分布问题。一般来说这种题型考虑四个方面。第一，开口分校，我把这思路。总结一下。第二，对称轴。于。区间的位置关系。第三个区间端点函数值的增幅。函数值的符号。第四个德尔塔delta的字符或者德尔塔的符号，大家注意要考虑这四个方面。好，下面这道题我们来看一下具体的解法。首先构造函数这个比较简单，构造函数这个开口已经向上了，实际上这个只需要二对应的函数值是负值。因为你开口向上，你二对应的是负值，它只能这样画。这样的话就可以保证两个交点分别位于二的两侧就行了。所以我们只需满足一个条件，F2小于零就可以了解出来就是最后答案，这是第一问。我们再看一下第二问，如果两根一根位于0到1之间，应该位于1到4之间。这个我们只需考虑训练端点函数值的就可以了。那这里我们画出这个草图，大家看业务端的这个草图就只需满足F0大于0、F1小于0和F4大于零就可以了。它你只要满足这样一个条件，它它这个两根必然是位于0到1和1到4之间，它不可能有其他的方法。从零点存在性定理也可以理解这样一个含义，所以说M的范围就是负的5分之7到负的4分之5好第三个如果至少有一正根，这个有点难度。第三个有点难度。我们来看一下分这样的几种情况，有三种情况分别分为这个有两个正根。有两个正根的话就是如图所示。那么图一的话，你看先保证与对称轴在右侧0处对称，函数值是大于零的，德尔塔是大于等于零的。等于零有两个相等的这个对吧，这是第一种情况，那么解出来是M是-3到-11解就可以了。第二种情况就是一正一负，一正一负只要满足0，处对象都是小于0，跟那个二刚才一样，就是分隔于零的两侧，只要满足F0小于零就可以了。那么第三个就是一正。跟10. 一正110，那不就相当于对称轴要大于0，对吧？那一根为零就行了，还有一个大于零就让这个运动在右侧就OK了。所以说最后算出来M4-3。综上可知把这三段并起来，M就小于等于负一就行了。好，这是第三小问，这道题有点难度，希望大家加以重视这种类型的题。好，我们来总结一下1元2次方程根的分布问题。转化为二次函数的图像与X轴交点的情况。一般来说是先将函数的草图上下平移确定根的个数，然后用判别式限制在左右平移就可以了。这里像这个确定对称轴有无超过区间的，包括跟的正负等等，还可以用根据系数关系限制。这后面的完全是像初中的中考的时候，那个老师讲的这种水平也可以用，不是说不能用。不过现在高中大家还是用高中的方法去做用图像来解决。就根据我刚才讲的四个方面来做就可以了。我们练一道题，这个是符合的，大家可以进行换元提示一下。好，暂停之后我们。来讲解一下。是题的过程是这样的，先换元，换元之后把T的范围先解出来，是-3到2。然后如果存在大于一的力量，就等价于这个T是大于零的那就相当于你在0到2之间存在15根就OK了。好，然后由这个方程就是我们把这个分离参数得出M等于负T方减4TT是属于0到2。最后只要让Y等于M与Y等于负T方减去这个0到2之间的开口方向向下，这个一根是零，一根是-4。那。这样写。0到2之间就是负T倍的T加四这样写。把二带进去，二代去就是负。的12分。你看图像只是空心到这一步是实心的这一段，然后你再画一个Y等于M与它有交点，有交点，这个就位于-12到0之间，-12可以去B级，你看这个还是由图像来的，所以说M的范围就是-12到0，这是第一问，有点难度。第二问函数FX只有两个互异的零点，阿尔法贝塔求实数M的范围，并求阿尔法贝塔值。那么这个题其实还好，我们可以先2个0点就是阿尔法贝塔，对应的内函数就是T1和T2，什么意思呢？就是你有2个0点不就相当于T1，等于就是我们刚才解的log以二为底，这个阿尔法对吧，就这样来写第二点就是log以二为底，贝塔就给你写写出来之后，根据两个互议，比这个G-3和G负二都大于等于0，这个16减4M也要大于0，就是根据我们刚才讲的那个三个方面，**图来看就行，了解出来就是3到4，所以说M的话就是大于等于3，小于4。如果说你要怕错的话，你就可以画一个草图，对吧？你是-3到2，这是-3，这个是二，我画一个草图，这样一画就可以了。当然要满足德尔塔大于这两边都要正直这个钝轴，钝轴在它们之间就可以了。好，下一个我们来看一下，这个是根据系数关系，我们可以推出T1加T2等于-4T把它代换掉。这个log以二为底，阿尔法贝塔就等于-4，阿尔法贝塔就二的负4次方，就是16分之1就可以了。好，我们小结一下，这节课我们讲的主要是两个，一个是根据零点的情况求参数的取值范围，第二个是1元2次方。根的分布方法就是判别式法，还有图像法。所以一定要注意不能把函数方程问题相互灵活转化，这个一定要。注意我们。练几道题，首先看第一题暂停了，暂停对答案。对，第一题答案选B比较简单，直接有2个0点，直接对称轴为X等于一对吧？已经在中间了，直接让F0大于0，F1小于零就OK了。可以解出这个式子值范围。第二期。暂停，我要给大家对一下答案，此题答案选B. 因为你要满足。函数零点的1到2之内，只要又是连续的，就用零点存在性定理，就根据F1乘F2小于零就可以了。最后解出解这个1元2次不等式，解除范围就是-1到-2分之一。好，这是第二题。第三题。答案选C既然。零点在1到2之间。那么一和二处对应的函数值是一号。同样的我们把它带进去解关于A的一元之后不等式就可以了，可以算出这个A是-1到7好，我们来看最后一道水上演练。好，此题的答案是-12到0。这个我可以画出这个草图给大家看一下。你这个开口方向是向上的，图像只能这样画。你要保证这2个0点位于-2到0和1到3之间，就是要让负二处对应的是大于00处对应小于0，它就只能这样传下来。然后同理这边一对应的是函数值小于03，对应函数大于0，它就只能往上传，就同样只能这样画。那只需满足区间端点函数值的正负，满足这四个条件，写出来就是最后答案，要理解，理解错了就简单了。好，下面我们来做一下托管探究，这个是一个复合函数的零点问题，一定要注意复合函数的零点问题，要画两个函数图像。复合函数的零点个数问题，一般来说是换元法把方法写上换元，就是分离内函数和外函数和图像法。而且分析。的时候坚持是从外向内的一个原则去进行的。所以说你先把外函数图像画出来，然后内函数就相当于Y等于T方加3T加M对吧？让它等于0，整理一下就是画Y等于T方加3T余Y等于负M有几个交点。你看像这个，我们先把内函数的图像画出来，就是T等于谁呢？FX那么这个是外函数，这个就相当于内函数，对吧？不是，说错了，这个是内函数，这个相当于是外函数那现在我们坚持由外向内，我们先把外函数图像画出来，外函数图像就这样来画，开口方向向上对吧？这个是Y等于T方加上一个三，T1根是0，这是T轴这个是Y轴，这个是-3，然后和Y等于负M相交，当然T有范围，我们等一下再看，有内涵数学看我们来看一下内函数的图像，这个是T轴，这个是X轴，是T等于FX，T等于FX我们看ln x就是这样。的画的图像。这个是ln x图像。这是大于。零的图像。这是10内函数的图像是经过它是配方之后，就是X减一的平方加上一个三。很明显负数大到一上单调递减，零处对应的是4，这是四，它是一个单调递减的一个图像一竖对应的是三。本来这边是虚线没有了，这是实心的。好了，那现在咱们我再换一个颜色笔，我们来分析一下，我换个紫色笔，你要求有000点，就是要求有三个根。大家看这个TK取全体时速。如果说我就像这样画条直线有两根，一根是T1，一根是谁呢？T2，那T是大于零的那你这边画的就相当于Y画了一个大于零的一个图像，对吧？这边有一个交点，T2是比负三还要小负三还要小，你就随便画个比负三小，反正你注意，你要有一根是在复制上的话，它这边是只有一个焦点。那么换句话说，你只要画到下方来了，Y等于负M画到下方来了，这边有两根都是负值，两根都是负值。你在画T等于T1和T等于T2的时候，两个人都是负值，那T等于T1，T1T2两个焦点都是对应的。X就是根，这个时候只有两根，不可能有三个焦点。所以说这个负M大家注意，不可能，是在下方的，就是负M不可能小于0，负M不可能小于0，负M只能大于等于0，也就是M只能小于等于0。我们再去讨论为零的情况，如果为零，一根是-3，一个是零，一个是-3，一个是零，也是两个交点也不行。所以说这个FM只能画上方，你这边已经确定有个焦点，只要小于负三以后有焦点，我就让这边有两个焦点，有两个焦点你们看啊，你这个跟这边的这个较大的一个T1，必须T等于T1，必须是大于等于四才可必须大于等于4。所以这里面我们把这个为四的位置把它求出来，就是你这个位置取4的时候看对应值是多少，取四带进去就是四的平方加上一个3乘4四四十六加12就是二十八。也就是说你这个负M必须要大于谁呢？大于这样一个。28才可以. 负M大于等于2次方也是可以，GM小于等于负2次方就行了，这是我们刚才的一解题过程，我们来看一下具体的解析。根据我们刚才画的这个图像设T等于FX则图由图像知，当T大于等于4的时候，T等于FX有两个根，T小于4的时候T等于FX只有一个根。所以说这有000点，所以等价于GX等于HX加上它它有2 0点，其中T小于4，T2大于等于-4，这是得出来的。所以说他们这个方法和我们刚才方法不一样，所以只要满足第二个大于0，H4小于等于0就可以了。这样的话我们解出M小等于-4，-28，它这种方法也行，我刚才那个方法也是一般的解法，也很重要。这是这一道题，我们来看一下变式，变式相对简单一些。MV何时有两个？一个50年不就看德耳塔这个定位比较简单，大家直接口算一下就可以了。有2个0点，德尔塔大于0GM小于3分之4，你一个零点等于3分之4，无零点M大于3分之4。比较简单，我就不再多说了，就再打一下就行了。我们关键看第二问和后面的，如果差于一个零点的原点，它这种零时方程的根求出M值就行了，比较简单。第二问一根大于2，一根小于2，那不就是让二处对应的那个值，对吧？开口向上的话，开口向下的话，就是让二组对800就可以了，就是根据图像来做的。你们看啊我还是画一下，画一下形象一下。你们看只要是这样的，它就一根位于左端，一根位于右端。如果开口方向向下，刚好反过来，对吧？就让二定的函数值小于零的开口向下，就让二定的函数值大于零的就行了。好，今天的课就上到这里。本节课的难度较大，希望大家做题的时候多以理解搞搞透为主，一定要注意，一定要搞得通透。你要是不通透的话，这个数学学了就没有什么太大的意义了。好，今天的课就上到这里，下期我们再见。