同学们好，从这节课开始，咱们连着讲三节习题课。然后再把这张结束之后，我们再做个项目总结。最后我们再讲几节三角函数那一章节的开一部分的课，然后就结束这个暑假的初高中数学衔接课程。首先我们看一下与指数函数对数函数有关的一个习题课。我们为什么把习题课放到后面呢？就是想对前期学习的东西我们进行一个复习。也相信有一些同学都通过这样几天的学习之后，可能指数函数和对数函数的部分的性质已经忘记了。通过这节课我们对于这些性质进行延伸复习。好，下面我们来看一下第一类题型指数型函数的单调性问题。这也是咱们拓展加深的部分。首先咱们看第一函数Y等于三的X分之一的单调递减区间，大家看这实际上是一个复合函数，对于咱们前期已经讲过复合函数的一些性质。那么这道题大家来看一下单调减区间到底是哪一个选项。此题的答案选D这个原因首先要求函数的定义域，所以说我们在解题的过程当中，不管任何时候都要坚持一个重要的原则，就是定义定义域优先的原则。这里我写一下。叫定义域优先的原则。由这个我们。可以解出X是不等于零的。这样就把区间分成无穷大到0和0到正的无穷大。所以说A选项首先要排除，那么再根据单调性我们当然可以换元。换元是可以写成三的U次密，其中这个U是等于X分之一。这样的话我们就分解成两个函数，这个称之为外函数，这个称之为内函。根据同增异减的法则，外函数是单调递增的，内函数在两个曲线上分别都是单调递减的，故根据同帧。所以复合函数单调性的法则叫做同增异减，就是内外增减性一致，就是增，就是内增外增是增，内减外减也是增。内增外减和内减外增这两种情况都是减了，所以说此题是相反的，所以说它只有减区间，分别就是两个区间。对于这样的两个基本初始函数的单调性，我就不再讲了。好，这是我们的解析，大家可以简单的看一下，根据增减的就是不一致性，我们判断该函数只有单调递减曲线，没有单调递增区间。好，下面我们来看第二小题，判断函数单调性。那么这道题同样进行换元，它是一个复合函数的单调性，换元同样也可以求值域。下面咱们来看一下具体解题过程。首先令分子这个整体X方减2X等于U这样的话我们可以对U进行画图或者是口算，也可以或者是配方。因为我们这对于二次函数来讲，就是由对称轴处一分为二，一部分单调递增，一部分单调递减。那么Y函数。就是Y等于3分之1的U次方，所以这个解析里面写的不够详细。这里面我们再说一下，这个FX换元之后就变成了3分之1的U次方，这个是Y函数，这个Y函数底数是3分之1。我们知道外函数是单调递减，而内函数在负无穷大到1。就是你你把这个图像画出来之后，我们知道在负无穷大到一就这一段这一段到一这里它是单调递减，一到正琼的这一段它是单调递增的这是增区间。所以最后这个函数在负穷上到一是单调递增的。因为是内部是减，外部始终都是减的，减为增，所以它就变成最后综合函数的这个复合函数的NDL递增区间。反之这一段就是单调递增区间。好，大家始终注意这个法则，叫做我们再强调一遍四个字，童真意见解题要注意，你要搞清楚要分清楚内外函数，你要搞清楚谁是内函数，谁是外函数，一定要来分清。好，下面我们来看值域，值域通过换元之后，发现内函数的值域。大家看啊这个内函数值域很简单，是大于等于负一。那么反映到外面就是外函数定义。因为你们看内函数的因变量就是外函数的自变量，所以说内函数值域就是函数定域。这样的话由Y函数单调递减负一处取得最大值，所以说小于等于三又因为它是本身它就大于零的指数函数，所以说这个值域就是0到3左开右闭。好，大家可以把这道题反思一下。这是中档题，也是基本题型之一，也是咱们拓广探究部分的一个重要的体现，希望大家要加以掌握。好，下面咱们延伸探究一下一把本例的函数，如果说改成FX等于2的负X方加2X求单调区间一样的换元了。这里我直接讲一下，算了，我们不再调解析了，等下体系直接略过去。我们另外函数是二的U次方内函数是U等于二的。稍等一下，我把这个清个屏重新写一下。好，我们这样就是令这个分子整体为U这样的话我这个Y函数可以写成Y等于FX等于2的U次方，这个就是外函数。内函数就是U等于负的X方加2X我把它配个方，写成负的X减一的平方，再加上一个一，这个是内函数。我这个整理好之后，大家看啊外函数始终是单身，外函数是。增函数内。函数内函数图像比较的简单，它是一个单调，就是开口向下，单调性从对称轴处一分为二的。所以说从零就是负无穷大到一这一段，大家看这一段它是真真在负无穷大到零上，内函数是真，外函数始终是真真为真。所以最后的单调增区间就是-2到1，那么单调减区间就是一到正无穷大，这是咱们要注意的。所以最后大家看一下这个结果，可以这样来写就行了。当然你这个两段都带B级，就这个位置带B级也是对的，也是可以的。好，下面我们来看一下第二小题，如果把本例改成这个式子怎么办呢？同样还原同样的，那么我们可以令T等于2的N次方，这个就相当于内函数。那相当于内函数，换元之后，这个式子就相当于外函数，就是Y等于它是外函数，这里面要解释一下，根据通知意见的法则，内函数是真，所以说外函数的最后的真就是最后的甄。在这里面从一处一分，对，从一处一分为二就相当于X从零处一分为二。当然我们首先可以先解值域，这个值域很简单，值域就是跟刚才这个解的是大于等于-4比较简单。那我们看这个单调性单调性。因为你这个T是从一处一分为二，T从一处为二就相当于X从零处划分。如果T小于等于一就等价于X小于等于一。所以说这个区间分负增大到0和0到正无穷大两种情况来讨论。又因为指数函数T等于2X次方在负增长到0上是单调递增，所以函单调递减曲线就是负向到0。你看内增外这边是减，所以说整个函数减去线就是它，那么另外一半零到就是零到正无穷大，也就是对应的T是一到正无穷大。外函数是单调递增，内函数也是单调递增。所以说它在整个零的总体就带到递增了。好，这是第二题，非常的重要。这两题都是用一个共同的原则，就是我的意见希望大家能够不知道能不能听懂，没听懂的可以再私信我。好，这是第二题，我们下面来看一下反思求指数型函数的单调区间。首先要求出函数的定义域，然后将函数分解成两个部分，利用这个同增异减的原则求出这个复合函数。注意，这种函数我们称之为复合函数的单调性。第二个，关于指数型函数Y等于A的XFX幂的单调性有两点决定。第一，底数就是外函数单调性。第二，内部的单调性，再根据复合函数的单调性，同时意见的方式来去就行了。刚才两例主任讲的是这样两种情况，下面我们来看一个例子，函数Y等于2分之1的X平方减一的减2的单调区间。首先还是要换源，你们做做完之后，我对这个答案，此题的答案选B很简单，写成Y等于2分之1的U次幂。这个是外函数单调递减，内函数就是U等于，它这个解析没写全，我把这个写上U等于X方减2，那么外面是减的，你要求减区间就是求内函数的增区间，那么这个是开口方向向上的抛物线，那这样画的增区间不就是零到正中间方向，这一段是单调递增的，所以说答案选B。下一个，这个跟我们刚才解析是一样的，我已经口述过了，去看看看能不能理解透。下一个我们看第二类对数型函数的单调性问题，跟刚才一样也是会有一些空间意见的题在就是用那个复合函数单调性，大家一定要注意地域那个指数型的，它一般来说都是R但是对数都不一样。我们来看一下具体的题，首先看这道题就不一样，这道题首先我们来求这个这道题，首先我们还是换元，我先把这个思路讲一下，然后我们再看解析，换元就是Y等于log以2分之1为底U这个是Y函数。这个Y函数很明显是单调递减的，因为底数是2分之1，是大于零小于一的。那么内函数就是U等于X方减3X加5，当然这要注意，这个是要大于零。的这是定义域。好，然后。我们再看再看这里，我们一定要对内函数的图像做一个分析。他的分析是这样，因为你你求的是什么单调区间，一定要注意把这个两根给求出来，我们解这个两根可以配方，可以用成功设法求公式，X就等于负，B就是3加减根号delta德尔塔是-3的平方九减去一个四，ac就是4乘1乘5。大家看一下，发现居然这个没根，那梅根不就相当于是什么全指数，你看我们开始一遍还是有根的，对不对？发现最后发现无根的话，那不就更好解吗？大家注意，这个题可以改造，如果改造是有两端，你看大于零就取两端，这区间就分为负无穷大到X1，还有X2到正的无穷大。那么最后这个内部是单调递减，外部也是单调递减，就是最后的整区间相反，这个就是减区间，这样来解，如果说这个德耳塔小于0，你看德尔塔等于负三的平方，9减4，ac减去4乘5居然是小于零的那小于0，那它既然这样设计，我们就这样来解。你会发现它这个函数恒大于0，对吧？无根无交点。那我们直接从对称轴处一分为二，那就更简单了，连两根就不用解了，说错了，是2分之3，连两根就不用解了。所以这一个区间一定是分成负无穷大到2分之3，以及2分之3到正无穷大。那么这一段左边是减的，就内部是内部内函数是减的，而外函数也是一个减的，所以是最后的增区间。对，这是最后的真区间，这是真区间，那相反这个一定是一个什么区间呢？先区间。好，下面我们来看一下。这个解析。你看德耳塔小名恒成立，定义域是全体实数。换元之后，负重大到-2分之3是减的，外部也是减的，故它是单调递增的对吧？不是画这个就是这一部分的增，这一部分减。又因为Y函数是单调递减的，故函数在这个上面是单调递增的。这个2分之3到这个是单调递减的实际上大家注意，这两个带中括号更为准确，从这里开始，我们这里面都带中括号，这个更准确一些。好，下面我们来看一下延伸探究的这道题，跟前面那个指数的是一样的，需要还原。大家思考一下，一定要注意思考一下，思考一下。我等一下我跟大家对一下这个答案。好。来看一下解题过程。首先还是换原理，T等于它根据它是单调递减的。我们看Y函数在也是从一数一分为二，原来指数一数，一分为二就是X取0的话分解，而这个一就相当于从0.4处分解。你比如说你T大于等于一对吧？Y函数是真的，那就相当于log 0.4为底X对数大于等于log 0.4为底0.4的对数。又因为它是单调递减了，因为底数是0.4，所以说X就小于等于0.4。等于这样的话有第一个区间零到这个0.4。好，我们看一下解析，这是Y函数的两段。然后我们看一下解出X0到0.4，刚好使得T在争取减少内减外增大家看啊内减外增这个是内部是减的，外部跑到T大于等于是真的。这整个函数就是减区间，你看0到0.4就是减区间，同理这一段就是增区间思路都是差不多的，希望大家通过这几个例子，对于同增异减的法则已经有一个比较清晰直接的认识，下面我们接着来看。反思感悟。大家先把反思感悟看一看，这里有两个方法，两个最基本的是前面讲的，一个是定义一个图像。今天的这个课我们又增加了一个复合法，这个复合法的主要是涉及到一个同真异减的法则，这个考试也爱考，希望大家给予重视。下面我们接着来看一些相关的其他题型。先练一道，练一道还是用来先求定义域。你看前面的题，那个定义域刚好德尔塔小于0，对吧？那这个就不是了。做完之后给大家对一下铅球订阅-1到1，这个比较简单不再说了。如果以后大家想快速解决的，建议换元之后画出两个函数图像，你们看这个是Y函数图像，可以先画这个轴，画成T轴，这个轴化成Y轴，单调递减的。就这样的话，你看外部始终是单减，外部是减函数，内部就是开口方向向下这样去画，然后-1到1，因为下方没有图像对不对，所以说是-1到1。你看从零处一分为二，所以说当X从-1到0的时候，内部是增，外部是减，所以说整个函数就是递减的，所以说这个减区间就是-1到0，可以用左开右闭表示，因为双开也不算错，所以说这里面就是我们刚才的分析。同样0到1刚好反过来，那同理这个是单调递增的，故最后的区间一个是0到1，一个是-1到0，这是跟踪训练。2，下面我们来看一下第三类函数的综合应用。首先看这个例题。这个例题很经典，也是用换元法做的，还涉及到对数运算。我们来讲一下。首先这个函数解析式。我们把它打开，打开第一项就是log以二为底4的对数加log以二为底的X对数。第二个第四就是92乘以，这个是可以写成两项，对吧？可以写两项。因为这个4分之1我们可以写成二的负2次方，把负二挪到前面来就是负的2分之1，然后X减2就可以写log以二为底X对数减去log以2为底2的对数就是减1，然后把它打开整理换元下面我们就注意换元，换元一定要注意新元的取值范围，注意换元法一定要注意。这里面要强调一一定要注意新元的取值范围。你是不要急着兴奋的往下算，你先把T的范围接近再说，对吧？T等于log以二为底X的单调递增的函数，根据X范围是2分之1到4把2分之1单据是负一把四单据对应的log一为底46 92。确定完之后我们再看这个Y函数，就是一个二次函数在给定区间上的最值。这个也是咱们前面讲过比较简单，由图像看，由图像和区间位置关系来看比较简单。所以说对称轴就是-2分之1，开口方向向下，所以说负二分之那么它在-1到2上，在-2分之1处有最大值，对吧？你因为你是在-1到-2分之一单调增，在-2分之1到2上单调递减。既然这样的话，你-2分之1有最大值，负一和2上谁离盾都远，是一个最小值。很明显二一圆线，所以说二层有最小值。那这个值域就是4到8分之9，比较的简单，我就后面就不再讲了。好，我们下面来看一下反思，求对数型的值域。一般来说先求整数的范围，也就是我们所说的定义域。这里面主要涉及的是定域，然后利用对数函数的单调性来求解。就可以了。我们练几道题，首先第一题值域，这直接可以观察了，定义域是R内部整体是大于一的，因为三的X次幂是大于零的，加一就大于一，所以再根据单调递增，那么就大于log 12为底一的对数是大于0。故第一个值域是零的总数的比较简单。我们看第二个跟刚才那个例题一样，也是换元。大家暂停给大家对一下这个答案。这个过程是这样的，你们看做的一样不一样。如果熟练的同学这个位置可以不用换原。如果你感觉是大脑受不了你就把它换个圆，换个圆这个范围一处有最小值是0，次数有最大值2，其实0到2的，然后再根据二次函数的再给你趋向值域来解就行了。好，这个答案解析是没有用还原的，实际上我们可以用还原过程都是一样的，这个电流是T等于2分之3，开口方向向上对吧？开口方向向上。好，这个是一，这是2，这个轴换成T轴，这是Y好，所以说最小值就是4分之1。那么你是在零到这个二场对吧，0到2上零处对应的是最大的对吧？零处对应的是最大的，零带进去之后就对应。的值是2。好。下一下一个，我们来总结一下这个知识清单有三个，主要讲的指数型的单调性，倍数型的单调性及值域，还有只对综合型的，就这三个方面。换元法是咱们这节课的精髓，这里面的常见误区就是一定要注意对数的真数大于0，这样一个定义域的依据，不要忘记了就行了。下面我们来练几道题，首先看第一题，原理，你套路都是那么多，你们直接念就行了。你说讲到现在你还不知道原理，那你就把例题再过几遍，再好好来再做这个第七题，第一题选A不再说了，就是内减外减对吧？看换元之后两个都是减的，所以说整个函数是增区间。第二个还是要注意，先求定域，你只要带无穷大的全部排除掉，所以答案只能从AC里面的C选一下。根据同增异减的法则，首先有异议对吧？有异议解除是-1到3。根据GMS它是开口象限，从一除一分为二。所以说在-1到1上是增，1到3上是减。又因为Y函数始终是减的，所以说根据增减，你看这个增这个减，那这个就变成一个减去减另外一个就变成一个真曲线，这个是要注意同增异减的法则，这真区间是1到3。下一个，这个题比较经典，这题好好做一下，这是经典中的经典题型。好，因为它还掺。那这个题我点讲一下，看你做的对不对，有同学已经选出答案，我先不报答案。首先大家看A肯定是正值大于0，且A等于一。这样的话我们换元组成两个函数，这个是外函数，内函数就是U等于2减X来看这个内函数一定是单减的。为什么呢？因为你这个KX加B这个K是负AA是正值，负A就是负值，所以说单调递减。那么根据同增异减的法则，你要求是减了，所以你这个Y函数必须是单帧的，通知意见必须单帧。所以可以推出A一定是大于一的，所以说这个C肯定错了，A肯定错了，对吧？第二步考虑单调性，你这个U一定要大于0，就是U在0到1上一定保证是大于零的，一定要很满足。谁呢？优势大于零的，U大于零就是U的最小值大于0。既满足U的最小值大于0，你看你最小值大于0，其他不都大于零吗？根据它的单调递减，所以说在一处取得最小值即X等于一的时候，2减U就等于2减A乘1就2减A要大于0，所以说可以推出A是小于2，两个取交集同样都满足，所以A就大于一。小鱼这此题答案选B看你选的对不对，下面我们来看一下第四题，这个值域还是让配方简单一点，一直到这种分段，配方方方向整体优势大概率3，然后根据单调递增，所以说整体就大于等于一好，所以说这个值域就是一到中旬了，左臂右开，我们下面连练一道特殊探究题。大家看这些符号不要吓跑了，其实没那么可怕的。好，我们来看。一下。这道题的具体解法。此题的答案选A看你做的对不对。这里一题一得FX这两个乘积之后，变成这样一个式子。你们看这个式子变的对不对？如果这是变错了，说明题意没有理解透。我们来看一下它到底前面这个规则，根据前面这个规则，我们再回放到前面。第一，对于任意的M属于RM乘0等于零乘M就是都是M只要你去乘一个零就是M不管你是左层还是右层，交换率也是一样的，这是一个。第二个，M乘N乘P那么这个如果说结合之后乘以P，就相当于P乘里面的是MN然后再用M乘以PN乘以P再分别相加就可以了。所以说这一步，我们看两个数，大家看啊两个数层，两个数乘。你说两个数层怎么搞？那你你可能还真真的不会搞了，为什么呢？因为这里M乘0等于零乘M对吧？这个是运算的法则，现在这里面没有乘法，没有乘号，所以说弄起来还是有点难度。当然了这里面老师你看你这个是M，我是不是可以返回去，对不对？你说我可以返回去减，你返回去解也行。反正像这种题，它对于这样一个规律，这个规律大家一定要得理解透。如果说你理解不透，你后面这个计算可能都要有问题。好，我们我们来看一下，就是像有些同学脑洞大开到了几对，M不就等于M乘0，所以他把这个换成西塔一的X减一次幂，我们乘上一个零括起来好像还挺有道理的。然后再乘上一个一的一减X然后再cost三个。你看这个就是M了，这个就是N了。你会发现只要有N的地方都是00乘以0乘以一还是C就又还原了，对不对？最后还有一个M乘以N就是零了，所以说你这一项就是相当于乘0乘0就是P。那当然你要按照这个写，可以写成这个是。P. 那是一的一减X次幂乘以M乘0M乘N，对不对？相当于一的X减一次幂乘以一个0. 加上M. 就是一的X减一次幂对吧？乘上P就是乘上一个P就是一一的一减X次幂。大家发现跟这原来是一样的，等一下可以消掉了是吧？好，然后我们再加上N乘P就是0，再乘上一个P那就是一的一减X次幂。你看我这个就是由这个规则，我随便写的对吧？这个就是零了，零乘任何值还是这个值，所以说它就等于一的一减X次幂对吧？加上这个4。所以说我们我们这样一个理解也没问题。我们讲这个东西，大家注意讲这个东西，就是让大家来理解这一个结构的。我们看后面的这个计算，你看刚才我们推的这个计算，两个相乘乘这个数就是它。所以说我们里面成立也可以，外面成立也可以。你看我们现在从外面成立，外面成立之后，大家看这个就是相当于凌晨这两个层级。你看根据刚才的零乘2个层级，加上一个它乘0，还有一个它乘0，就是根据刚才的式子得到了。得到之后，前面大家看啊，这两个和谐就是一的0次方，对不对？这个是一的X减111个是一的一减X，这就画出来了，有点难度，就这一步有点难。好，故F1减X就等于把它换掉，就是一的负X加上F1的X加1。而F1加X就等于一的X加上一个一的负X加1。这样的话会有一个F1减X等于F1加X也是前面咱们讲的结论，故关于X等于一对称，所以这个A选项是对的，下面我们来看一下后面的UFX等于这个式子，我们把它写成分式形式，令U等于一的X减一次幂可以得到Y是U加U分之一，这是Y函数。好，得到之后我们看当X小于一的时候，U等于一的X减1次方，它这个是个负值，负值就属于0到1之间，而且是个单真的雇你在U加U分之1，我们这是一个双钩函数，U在0到1范围之内，它是单调递减，内部是单调递增，所以内增外减就是单调递减，故它在复制那道一方，已经是单调递减，这就证明了这样一个单调性。当X大于一的时候，反之，一样的，它这个范围是一到纵向单调递增，刚好反过来是单调递增，所以说B就是错的。然后我们再看一下，根据单调性，你FX先减后增，所以说一处取得最小值就是F1把F1带进去，这个值就是3FC是啊这是我们注意的两个方面一个是解除解析式，第二个是判断它的单调性。要不然这个都做不出来。因为一小于2的3分之2次幂，小于2的2分之3次幂，故有这个单调性可以推出。它是反过来是大卡，所以D是错误的，这个D. 是错的下面。我们来看一道变式，变式这个题比较的经典，还是要暂停这种。思考。UFX的定义域为R，我们可以得到AX方加2X加1。你肯定你要求定义肯定是解这个不等式，你要大于零恒成立解题才是R对吧？这个也很好理解。所以说根据咱们前面讲的一比一的，就是1元1次不等式解出来解题不可能是R只能是AX方加2X加1A不能为零。如果构造成函数，这个二次函数的图像横在X轴上方，即德尔塔小于0，开口要向上。所以说A大于0，L它是小于0，解出来这个范围是A大于。一看一下你们解出来的结果对不对，这是第一问的答案。好，我们再看一下第二问，如果指令是R这个比较有意思，这个有点绕，看大家能不能绕得清楚。好，我给大家对一下答案，值域是R注意，也就是说你这个内函数的定义域必须可以取到0到正数的所有值。因为你Y函数是对数函数，对吧？所以对数函数只有取得所有的正值才可以，弄一个正值都不行。所以说刚才的你换元之后，那个二次函数如果说德尔塔小于零在上方，那么这一段的正值都取不到，肯定是错的。所以说这个反过来，德尔塔应该大于等于零或者一次函数，也可以保证你这个可以取到所有的正值。因为这题没有要求定义域，所以说我们看这个解析，也就是说Y等于AX方加2X加一可以取遍一切正数。所以说当A等于零的时候，2X加一可以区别一些正数，可以符合题意。因为你没有要求定域X取一切整数，他这个写完之后，这个2X加一只要大于零就可以了，也就X大于-2分之1，这就是新的领域，就可以区别。一切正常。第二个。如果A不等于，只需刚才已经说了，只需开口向上，然后它大于等于零就可以了。你开口向下也不行，开户向上，你看你有最大值到无穷大的那一段也取不到，所以说也是错的。综上可知八点了一就行，但是最后的范围是0到1，今天的课难度相对较大一些，不知道大家都听懂了没有？没有听懂的同学要反复刷视频，反复的去和同学讨论。今天的课就上到这里，下一节我们接着来讲习题课，下一期我们再见。