同学们好，这节课我们来学习基本不等式。今天这个课是对基本不等式进行拔高，所以说希望大家要做好心理准备。部分的题跟以前比的话还是难度大一些。当然了咱们这一讲里面的基本功能是提高课里面的习题。可以说在高三的学生看来，他也不是特别的难。我们一个层次一个层次，一个台阶一个台阶的往上提。所以说对于初次接触高中数学的你们要有耐心，先把这个学好之后，我们再逐渐的对这个课的难度进行加大。上节课咱们在学的过程当中已经学会了。比如说你去这个黄金店买黄金，怎么样算你才算的最就是说你买这个黄金最划算。第二个去加油站加油，上节课我不给大家说过？如果说我们知道石油的价格是在不断变化的，不可能是一成不变的。假如说你家里的这个车子，说我每次去加油站就加30升油，固定加3升油，或者另外一种是另外一种这个加法，就是我每次去加油站都加200块钱油。到底哪一种加法哪一种加油的方法省钱，这个也是基本不能思考它的内容。所以说通过上节课学了之后，大家已经可以跟你们的父母交流了，到底是哪一种加油的这个技巧，就是说更省钱一些。好，我们今天这节课重点是针对这个高考的题型来进行拔高。首先我们来看一下第一类分离校园法最值。这个分离消元法求最值，可以说是比较的重要的。也就是说我们把多元化成一元的方法。我们首先看，第一，已知X大于0，YY等于0，X加2Y加2XY等于8，求X加2Y的最小值。这里我们消元就是根据前面的这个X加2Y加上一个2XY就是根据这样一个条件，我用X来表示Y或者我用Y来表示X然后最后把它换掉就行了。所以这里面的第一步，由X加2，Y加2来从Y等于8，我们用X来表示Y好，我们看一下如何用X表示Y就是这一步我这个答案解析直接推导出来了。有同学可能具体的就是从这一步推到Y等于2加2X分之8减X不会推。我现在展示就是把它写详细一点展示给你看。如果说你要想用X表示Y在这里面我们就把所有的X听好了，所有X看成是常数，Y看成Y未知数，那不就相当于解关于Y的1元1次方程吗？所以说把这个二三项，大家注意，把这个二三项合并同类项，那可以写成2加2X倍的Y等于。然后把这个X移到等式的右端，那么就等于8减X最后再把这个你们看这是常数，把这个常数除过来，也就是把系数化为一，那么就变成Y等于2加2X分之8减X。这个就是讲解完了，我们再看一下后面的。因为X大于0，Y大于0，所以X大于0小于8，这个是怎么来呢？因为这个Y是大于0，Y大于0，这个分母是大于零的，所以说这个分子8减X是大于08减X大于零可以推出X小于8，是这么推导来的。所以X加2Y我们现在把Y换掉，那么就是二乘以刚才这个式子和分母的提个二出来约掉，那就剩下一个X加1分之8减X所以说我们可以写成X加上一个X加1分之9减1减X就配出一个负的X这一步我们专门有一个名字叫做分离乘数法。分离常数法就是上面最高次数为一次，下面最多次数也为一次的形式。我们可以分离常数，只要上下数一致，我们都可以分离常数。就是我们变成负的X加一就减个一再加个一变成九减去这个整体，然后我们裂开成两项，X加1分之9减去X加1分之1，X加一那就减1，最后再配凑。为什么要配送呢？因为可以配出这个X加一和X加1分之9乘积是一个定值的形式，可以再用基本等式一换来了，这个是刚才我们还讨论相等的条件。所以说是我们来说，我们看当且仅当X加一等于X加1分之9，即X等于2的时候，等号是成立的。所以说X加2Y的最小值就是4，这是第一，我们称之为消元法，也是咱们常见的方法重要的方法之一。注意这个消元法，那么我们来延伸探究，他说如果说我们改成这种形式，求还是从外呢？当然这个题用直接法做也行，你用消元法，用直接法都可以。我们先念消元法，由刚才这个式子大家可以看一下，用X表示YY就等于X减一分之X加3。然后整理一下，X和Y就等于X乘以X减一分之X平方加上一个3X然后我们进行配送配凑，配凑上面这个可以配出一个X减一的平方，这个可以配凑成五倍的X减1再加4，然后裂开成三项就行了。这里我再给大家提供的方法，如果说你配送水平不行，你不会去说你们就换元，什么意思呢？大家看我再提供一种思路，从这里开始我们就令X减一等于T则X就等于7加1换掉。所以说这一步就变成了X减一是T，那么就T分之X全部用T换掉，那就变成这个XY就变成了T加一的平方加上一个三倍的C，T加1，这样来写。整理一下分子二次三项式口算整理T方这本来有个二期，这个三期就是加上五期，这有个一三乘一是有个3加起来是4，然后列成三项，T分之T方就是TT分之4写中间还有常数7分之5T写到后面你们看就相当于这个为T之后，我们换成三项。你们发现没有？对于一个分式的结构，如果一个是二次，一个是一次，我们就另一次整体为T换油换掉，这样的话就不需要再配送了。因为配送有些时候可能会配送错，而且配送的手段比较的灵活，有些时候不是特别好掌握，那么就用换元做，然后再用基本不等式，那么就大于等于二倍的根号下，它两个相乘就是4，再加上一个五，所以最后这个结果就是9，然后再讨论相等条件就可以了。这里我给大家提供一种解法，当前仅当X减一等于X减1分之4，那我们可以算出来X减1平方等于4，X减1就等于2，不能取-2，刚好是一正二定相等。这样的话我们可以算出最小值为九，我们看一下这个反思含有多个变量的条件最值问题的解决方法。一般来说对于多个变量的条件最值问题，若无直接利用进步自己求解，我们可以尝试减少变量的个数。一定要注意，就是消元即用其中一个变量表示另外一个甚至另外多个，对吧？甚至另外多个，我们再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题，这是咱们的一个常见的手段，我们也称之为消元法。初中好像就学过对吧？从消元解方程的这个，现在我们是校园求最值，包括消元解不等式等等，都是一个非常重要的技巧。与校园还有一个相关性的方法，称之为换元法。刚才我们用了一种方法叫换元法，这个都是高中阶段的一个重点，都是重要的两个方法。我们练一道题，这跟高新例题是一样的，大家可以暂停做做完之后给大家对，这道题的答案是5加2等于6。这个具体的过程可以这样来写。就是将B也就是。将A用B来表示，或者用B来表示。A表示完了之后，可以先解除这个范围。因为A是等于B加1除以B减2，大于0B加一大于0，所以说B是B减2就大于0，所以B大于2，所以A加2B把A换掉，用B加1除以B减2，再加上2B然后分离一个常数出来对吧？上面构造成B减2，再加就减个2，再加个2，加2加1就变成加三的形式，就是分子变成这两项，然后裂开B减二分之B减2就有一个一和这后面的这个有一个减有一个四，还有减4，合并起来就是个5。最后我们整理完了之后，这个式子就变成了这种情况。刚好让这两个层级为什么一直可以用基本不等式一解就完了，这是比较常规的一道题，还要验证相等的条件即可。所以A加2B的最小值就是5加2倍根号6。那我们来看下面来看第二类题型，利用基本不等式求参数的值或者取值范围。我们来看一道例题，已知4X加X分之一，在X等于删除去的最值，求A的值。你看这个含参有些时候它就是倒着出题。这道题我你们可以先思考，思考完之后再看我们的示范性的解题过程。好，跟你们刚才暂停之后这个对了答案，对下答案，看能不能做对这36，这个答案4X加X分之一是大于等于两倍的根号下4X乘以X分之一满足一正二定三相等，这个就是四倍根号A我们看如果说取最小值取整的话，就4X只能等于X分之一即。解出来X就是二分之根号一，你要让它等于3。这样的话我们算出A是根号，A是2乘3是6，对吧？所以说A是36，经过这个验证肯定是成立的，所以这是第二的过程，我们反思一下，求参数的值或者是取值范围的一般方法。第一个分离参数转化为求代数式的一个最值问题。第二个我们来观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或者是取值范围。我们来练一道题，这道题比较的有意思，这道题恒成立问题，大家注意恒成立问题等下后面我们还要讲恒成立问题。有一类常规的方法叫做分离变量法，也就是我把这个2A加B把它存到这边来，然后再进行。所以说此题的答案选B那这个具体解法就是根据我刚才所讲，把这个分离过来，变成这个式子，把这个然后再打开，后面就利用基本不等式来求解。因为2A加B乘以A分之2加B分之1，这个拆成四项，把4加1合并起来，这个刚好满足一正二定三相等的条件。我们已经连上过一节课，所以说这个就比较简单了。两个乘积是42倍的根号4 94，所以算出这个值是9。完成率问题，只要前面课我们也讲过，只要满足M小于等于它的最小值就是恒成立的对吧？所以说M小于等于9就行了。好，我们来看一下第三类题型，基本不等式的综合应用。这里我们还是以一道题为例，大家还是要注意这个稍微难一点的题，你们视频暂停一定要先思考再听，不要怕浪费时间。已知A大于0，B大于0，求A分之一加B分之一加上二倍根号AB的最小值。对于这样一个最小值，我们在求的时候，能利用基本不等式就用利用不等式。如果说没有出现基本等式怎么办呢？我们对它进行变形，而且有些题目可能得连续利用两次基本分析。你像我们这个例三这个题型就是多次使用基本不等式的体现。注意，它是属于多次使用基本不等式，什么意思？你比如说现在最近正在进行这个欧洲杯，对吧？欧洲杯像原来我在200 2002年的时候，我们看了一个世界杯。你看当时那个巴西队牛，这个巴西队有一个3R组合，3R组合哪三个R呢？就是罗纳尔多、小罗纳尔多，罗纳尔迪尼奥，还有尼瓦尔多，这三个人很牛。他们有一个什么能力？就连续就是叫连续射门的能力。就是他一次射不进去之后，球被弹出来之后，它立即再补射。像我们这个一次，你一次性用进步不等式求不出来了，你就放弃了，你就放弃了，那你这题就放弃了，那就真的放弃了。你像有些人就是踢球也是第一次射不进来，有这个太难算了，不上门了还手。这个跟你们刚才有些同学就是第一次用进步不等式尝试无果之后，他就开始放弃了。所以说你看我们前面这个视频的这个视频课，就是这个系列课。我们前面说过，高考命题人对咱们考生有四个要求，其中有个要求就是考生的个人的情感品质，就是个人的素质。其中包括这个心态，你的心态是不是很稳，你的意志是否坚韧，你有没有一种锲而不舍的精神，这都是咱们高考要考察的。有些同学表示不服，他说老师你说的这个好像我还是有点不同意。但是万一这个题就相当于在我前头压了一座大山，就相当于让我解哥德巴赫猜想，我可能穷其一生我都解不出来。他这个话也不能说没有道理。所以说咱们在攻克难题的时候，一定要切记有一个参考时间。一般一道题最亮不亮的话超过半个小时。如果超过半个小时了，你可以寻求帮助对吧？与同学讨论交流，向老师求教等等这些手段都是可以的，所以说这些一定要的切忌。好，我们看这道题的解法，就是先把前两项利用基本不等式求解。因为满足正值AB都是正值，所以说A分之1B分之一都是正值，所以A分之一加B分之1一定大于等于。就是前两项我们用基本不等式就大于等于二倍的根号下两个乘积，这是第一次应用取代。然后我们看二倍的根号下B分之一加上二倍的根号下AB这两个乘积又是一个定值1 24，所以说再一次应用基本方程式去的。但是我跟大家说一下，如果说你这个代数式可以取得四两次取等，我们要考虑三相等两次取等的条件一定要一致，就算他们不能矛盾冲突。比如说你第一次取等A等于一，第二次取等了A必须等于三才取等，那就不一致，这叫不一致，说明零最后最小值不是4。如果第一次去的A可以取一，就是去的A也是取这个一致，一致它就可以对吧？好，我们看一下，所以说两次去的都是A和B相等，而且第二次去的就是根号AB等于1，AB值为一就行了。所以说A等于B等于B时候可以满次两次取等，可以满足满足两次取等的条件，那就可以取到最小值4。好，我们来反思一下，多次使用基本不等式，一定要保证几次等号成立的条件能够同时成立。而且要善于发现这个定值，还要善于用拼凑换原、长值代换等手段来进行，这是反思感悟了。我们来看一下第跟踪训练3，这道题其实就是我们前面想的配送，你看你们拿这个题自己尝试一下，做完之后看能不能对上有同学说老师这个好难，看到实际上就是在于配送，我们看一下解题技巧，换元也可以，换元就省了这个配凑。我们根号A加一等于M根号B加三等于N这样的话把它换掉之后，这个A加B加4就变成M方加N方就等于A加B加四等于9。所以根据我们前面讲的这样一个基本不等式的一个结论，我不知道大家还有没有印象，就是M加N的平方小于等于两倍的M方加N方。这里继续根据M加N直接开根号，所以说M加N的平方就小于等于。因为M方加N方是9，就小于等于18，所以说M加N就小于等于三倍。根二当且仅当MN等于2分之3倍根号根号2的时候，然后是成立的那这道题本身的难度不是也不算小也不算很大，就中档，中长期。好，这个题我们就讲到这里。换元做比较的容易理解，也比较的易于操作。我们对这节课进行小结，首先我们学了三个，一个是分离相圆法求最值，第二个利用基本不等式求参，第三类题型是基本不等式综合应用，里面涉及到消元换元、拼拼凑拼凑。这里面多次使用基本不等式的时候，一定要注意等号成立的条件是否一致。在此我们再强调一下，大家在做题的过程当中一定要细心。我们下面来练四道小题随堂演练。第一题还是要暂停之后对下这个结果，此题答案选C看看你是否做对了这个原因。A选项中X正负不知道，B选项中正负不知道，D选项也是正负不知道。不满足一正二定三相等的政治，也只有C是对的。这道题就是没有考察。到政治。第二题可以用一的代换，直接用这个整体层就是常值代换。此题的答案是选D我们看啊由X加1，不是由X加Y我们可以变成X加Y乘以1，这就叫长值代换，就是刚才我们那个技巧里面的叫长值代换。这样的话可以把式子的结构变成两项进行改变。然后把它打开之后，会出现我们比较所熟知的四项，其中这两项乘积为一个定值，然后可以套基本不等式，刚好它满足一正二定三相等。当然第三个相等我们要算当其顶端Y分之9X等于X分之Y的时候，等号成立，同时可以解出X等于4，Y等于12，这个解我就不再给大家解了，这个比较简单。所以说又因为X加Y大于等于M横成立，就M小于等于X加Y的最小值，所以说M就小于16。对，这是恒成立的一个常见解法。第三题X已经告诉我们是正值了，这道题的答案选B这个我们可以把分子分母同时除以X大家注意有这一项，有这些同学可能没想到把分子分母同时除以XX方除以X变成X1，除以X变成X加1，那么下面刚好出现一正二定三相等的情况，下面有最小值导过来就有最大值。所以说本来下面是大于等于，所以说你这个整体式就应该是小于等于二倍的根号下X乘以X分之一二这样来写，所以说Y有最大值1，当且仅当X等于X分之一的时候取得，GX等于一的时候取得，这个有最大的意义。我们看第四小题第四小题，第四小题其实如果说有同学比较不想换原话，你们就直接构造。你看这是A加1，我这里就写个A加1，加上一个B加1，我构造成跟它是一样的，对吧？那这里面我们就可以算出来这个是几，这个就是两边同时加一，那就变成3，所以这个就大于等于，所以说这个就小于等于。这个我们可以用方法一，这个我不给大家调解析，给大家直接讲。所以说这个就A加一乘以A加1A加1乘以B加1，那么就小于等于二分之A加一加上一个B加一对吧？这样来写括起来的什么括起来的这个平方，因为这里是三，所以这是4分之9之间一步到位。当前仅当这个我不再验证了，当前仅当它们相等的时候去最值对吧？就A和B相等。那么这个方法一，有的老师在写，还有方法2，有啊，那么方法二我们是直接把这个直接法的话。我们由A加1乘以. B加1，这个打开写成AB加A加B再加一完成四项，这个就是一，这个就不就变成AB再加上一个二，然后再根据A加B是个定值，直接放缩小于等于这个二分之A加B括起来的平方再加2。你们看这是4分之1加2不就是4分之9，对吧？这个也可以，这个方法是也行。那么还有没有说老师还有什么方法呢？有啊，那方法很多。这些我们看啊，如果说我们用常值代换也行，比如说我们用方法三，这个方法三变式怎么算呢？我把分子分母就是由刚才首先得到这一步，把分子分母同时乘以3，我们变成三倍的A加1，变成三倍的A加1，然后乘以B加一除以这个A加1，加上一个B加1，状态变，但是它次数不一样，次数不一样怎么办？我就把它平方这个位置变成一个九，那我下面变成一个品房的形式。这样的话再看你这个有什么用处。比如说我这个式子看起来很复杂怎么办呢？我把换元换掉，A加一等于M就这个为MB加一等于N换掉，写成九倍的MN除以下面不就是M加N的平方吗？整理一下，九倍的MN除以M方加上两倍的MN再加上一个M方，把分子分母同时除以MN就变成9除以M方，除以MN就变成M除以N对吧？N方除以MN就变成N除以M2，MN除以MN就变成2。下面这两项根号可以用进不等式大于等于反过来写成小于等于9除以二倍的根号一再加2，这个也是可以变成4分之1等等。还有其他方法，还可以用换元，还可以用令它为T用根的判别式法等等。这个我们以后后面我们还会再逐渐学到了。我们先讲这三种方法，下面我们来看这个解析解析的过程，跟我们刚才讲的那个是一样的，就是配送来做好。我们来讲最后一类探拓广探究的这道题。这道题，这个简单度你们做一下，给大家对一下。这道题的答案是填八的过程这样来写，就是先把上面打开，打开这个X加2Y刚好就是7。这样的话我们可以把上面分子可以写成2X加Y，2XY加8，下面就是根号XY然后我们拆成两项，就是根号XY分之二倍的根号二倍的XY就是这一个，它分之它加根号XY2分之8，这个一月份之后就变成两倍根号XY加上根号XY分之8，这个再用基本不等式来求就行了。所以说比较的简单，还是要验证相等的条件。当且仅当二倍根号XY等于根号XY分之八等号成立，这个变式这个变式第一个直接套套直接也可以。你看这里面有一个直接，我先展示给大家看一下，就说这个X加2Y加上一个XY这不就是30，对吧？等于这个X加2Y就大于等于二倍的根号下X乘以2Y再加上一个XY小Z然后令根号XY. 等于T. 那么这个就变成二倍根号2T再加T方小于等于30，整理一下对吧？然后用基本不等式，用1元2次不等式的解法，那就是T方加二倍根号2T然后再减去30小于等于0，那么这可以写成这个三倍根号2和5倍根号2。大家看三五十五乘以二不就20，不就等于30吗？对吧？负号放上面111 10字相乘法，所以说我们可以写成T减三倍根号乘以T加五倍根二，小于等于0。所以说最后这个T计算的是小于等于三倍根二，因为它这个很正直，对吧？当然这个是大于零了。好了，那写到这一步之后，这个不就有最大值吗？TG更换XY小于等于三倍根二，所以说XY就小于等于18，这是我们解的一种直接法。给大家看一下，我们引用1元2次不等式来解，依然是可以的。这里面我们这个答案的方法是用消元法，大家看一下是不是跟你们解的过程是一样的就行了可以。暂停看一下瞄页。这里面涉及到配错，尤其是这一步，把这个负号提出来之后，原来是最小的，括号里面是最小的对吧？加个负号之后，我们可以变成求最大的就行了，比较的麻烦。当前顶当。X等于6Y除以3的时候，等号成立这个XY的18，那么求X加Y最小值怎么办呢？依依依然是一样的，我们可以用消元对吧？这跟刚才例题一样的，你们对一下这个过程就行了，比较的简单。最后这个答案是八倍根2减3，我不再多讲了，跟前面题型可以说是一模一样的。由今天的这个基本不等式的系列课，我们可以发现有些题目可以出的很难。当然了这个基本不等式的压轴题我们还是没有出到。回头到后面我们这个题同步提高班的课，我们会再讲，本节课就结束了，感谢你的观看，下期我们再见。