同学们好，今天我们来继续学习1元2次不等式这一讲我们主要讲1元2次不等式的应用。中间我们会讲一个新的不等式，即分式不等式的解法。请大家要多多加以小心。分式不等式也是一个易错点，当然了难度不是特别大。咱们今天来看一看分式不等式的解法来怎么解。首先我们来看一下一个问题，X减3除以X加二大于0与X减3乘以X加二大于零等价吗？大家可以思考一下。那么第二个如果带等号，两个都带等号也是不是增加了呢？这里我们可以明确回答一下，第一个是等价的，第二个不等价。因为第二个的前面里面这个S它不能取-2，而后面这个是X可以取负二的，其他都是一样的。所以说这就是他们不对的地方。你想你们初中的时候肯定学过A除以B大于0，那么它不就等价于。注意，这个是我们高中阶段学的重要条件，对吧？这个就等价于A乘B范围。那么A除以B大于等于0，那么应该等价于什么呢？等价于A乘B大于等于0，一定要加上一个且B不为零，把这个给排除掉就可以了。所以由这个类比我们可以来探讨一下分式不等式的一般解法。这里我们先总结一下先总结下一下，我把这个几类的东西，我把它总结出来。总结出来之后，希望大家在应用的时候，以后直接用我这个刚才总结的东西来解就行了。可以做个笔记，一定要切记，做笔记，后面我就不再说了。第一类FX除以GX如果大于0，那么它的解法就是等价于FX除以GX概率，就是把分式不等式转化成整式不等式。如果说这里小于0，这个位置也改成什么小于零就可以了。那么第二种情况，如果FX除以GX它是大于等于0，这个就等价于FX乘以GX大于等于0，且GX不等于0。如果说这里是小于等于0，这个位置变成小于等于0，后面带个不等号就可以了。所以说这个第一题解法比较简单，我们直接由这个小于零就等价于两个相乘小于0，这不就是前面那一节课我们讲了1元2次不等解法吗？给它口算两根，一根负一跟二等于两根之间即可，非常的简单。我们来看一下，注意写解不等式，求解题一定要写成集合的形式。这里面我们强调一下，写成集合的形式，你将来如果说人家求你让你求解集，你写个字在这里是要丢分的。因为我们高中数学的分数一题都是五分，这个丢是丢不起的，你丢五分就丢5操场的人一个就是全省的，武昌老年人都排到你前面去了。你自己想一想这个后果是多严重的，对不对？这个考完之后一分，每丢一分就相当于在心头上割一刀，这个割肉是很疼的。张学友有一首歌叫心如刀割，对吧？你们应该知道那种感受的。好，这个根据我刚才所讲的基础知识，这个就等价于两个相乘大于等于0。当然你先把负化正也行，我们这个解法过程先把负化正，因为是一减X不是X减1，这个要变形，变完之后，再根据两个相乘小于等于0，且分母3X加5不能等于0，然后解除这个解题就行了。这个题也不算难，比较简单，都是基本题型。大家直接套我们刚才讲的这个公式即可，最后还要打铁皮就行了。我们看第三个，第三个大家观察一下。好，大家做做完之后看有看你是不是犯了这样一个问题。如果放在这个问题，恭喜你，你中枪了对吧？如果说你没有看出来，没有犯这个错误，恭喜你，你是一个理解力很不错的同学，你是一个善于观察的同学。你看这边是大于一，不是大于0，你看你是不是搞错了，如果说不是你怎么办呢？你移项，移项之后通风再变，理解这个意思吧？所以说我们把一端减一之后，把一定注意，这边一定是零才可以用，不是零不要用。然后通分通分化简对吧？这个直接让X加2小于0就可以了，这个比较简单，只要注意我们刚才讲的那个适用条件就行了，不要就是挤着挤着都搞忘记了，那就比较危险了。这里面反思，对于比较简单的分式不等式，我们可以直接转化为1元2次不等式和1元2次不等式组来求解。所以要注意等价变形，还有分母不能为零，注意这两个就行了。那么对于不等号右边不为零的较复杂的分数不等式，我们一般来说先移项通分。那刚才那个一对吧？你要注意一端化成零之后，你再用上述的方法去求解。就是我给大家让大家记得这个笔记，这里面训练训练第一题的答案过程是这样的，你们自己可以对一下，看一下，就是转化为不等式组，然后解出来就行了。第二题一端化成0，先要减3，先要减3，减三合并，然后相除小于零等价于相乘小于0，把二直接划掉，一个是正，一个是负，一位于两个人之间就可以了，这个答一下这个解题就行了。我们看第二类题型，第一类题型比较简单，是入门级的。我们来看一下二次函数与1元2次方程、1元2次不等式之间的关系进行应用。这里都是相对高端一些。我们来看一下，第二，这是体现一种逆向出题的思维。就是原来如果说我ABC告诉你了让你解解解集，大家应该都会了。但是我反过来告诉你解集，告诉你这个解集，让你求ABC或者是ABC求其他的不等式解集。这里面你们一定要切记，那个解集的端点2和3一定是1元2次方程的根，这个原理一定要懂。我们这个理论就比较简单了。首先大于零本来是取两端，而结果它是取中间。2到3之间说明你的开口一定是向下的，你看开口只有向下对吧？你大于零的话才可以取中间，说明A是一个什么值，负值再乘个负号变成小伶才取中点，对吧？这样去理解也行。所以说这道题只要能抓住我刚才说的这样一个原理后面就好。解由这个AX方加BX加C大于零的解集为X大于二小于3，可知A肯定是小于0，不可能是大于零的。是72和3是1元2次方程的两根。那这样的话我们由根与系数关系直接来解。A分之B是-5，A分之C是6。两个人之和是负的，A分之B不就A分之B变成负五了吗？好，故这个不等式，这个不等式哪个就是C分之B就是两边同时这样两边同时我们把这个就是由刚才这个式子，让他俩一相除就变成负的6分之5。由A小于0至C肯定是小于零的。因为AC是A分之C是6，说明AC同号，所以说这个不等式CX方加BX加A小于0，这个不等式小于0。我们两边同时除以C，同时除以C要变号变成大于零了，对吧？那么就变成X方加C分之BX加C分之一大于0，即把我们刚才解出来C分之B和C分之一往里面代，因为A分之C16，4分之1不就变成6分之1了吗？往里面带就可以得到这样一个比较常规的一个1元2次不等式。当然你在还原于这个直接求两个整数根就可以了。这个2分之1和3分之1对吧？6分之1两个一加就是6分之5，可以解除。一根是2分之1，根是3分之1就行了。咕不等式的解集就可以解完了。这道题难度是中等的，希望大家都能够掌握好，真正把它学会很关键。我们看这个辩题，这个就是把它延伸一下，探究一下。如果本例中的条件不变，求关于X的不等式。那这里跟刚才条件一样，我们直接由根据系数关系，刚才你们看到刚才这个两个关系C同号对吧？把这个两端的同时除以C仍然是一样的，同时除以C变成X方减C分之BX加C分之A小于0，然后把这个B分之C原来是这个负的6分之5把它带进来，对吧？那就变成由C分之B是-6分之5代就变成加上6分之5X那这个我们来看一下，就到这儿我们来看一定要注意，要算出两根。你算出两根之后，会发现一根是-2分之1，根是-3分之1。同样取两根之间跟刚才那个例题是差不多的差不多的，大家一定要在小心计算的时候，不算很难。第二个，我们若将本例中的条件，关于X不等式这个解集X大于零的选项变为关于X的不等式，大于等于零的解集是-3分之1到2，再求它的解集。那一样的原理都是一模一样的，你们可以暂停解一下之后我们再做个分析，还是一样的方法一以后这个不等式解集是它我们是A小于0，我们看这个方法一，就是普通解法，你看一下做的是不是跟你一样的，得出-3分之1和2次方程1.2元方程两根对吧？跟他刚才的解法是一模一样的。最后两边两边再同时我们这个是有不同的，就是可以单独转化成一个关于A的？换掉一个参数，两边再同时除以A再再消就可以了，这个方法也不错。这样来解对吧？你看一下这个过程，故所求不等式的解集为X大于-3，小于2分之1就行了。这个比较的简单，不是特别难，只要能把刚才的例题掌握好，举一反三就行了。那我们这个方法日方法日我们来看一下，还是根据系数的关系解除这个负负A分之B和A分之C那么再设这个CX方加BX加A的两根分别是X1X2，要把它解出来。这样的话我们推出C分之一，就是-3分之1乘2分之3导数有没有看到？导数变过来，同理负的四分之B可以用这两个相除可以得到是负的2分之5，这样的话我们可以解出X一是-3，X2是2分之1。这个阶级就是它这个思维都差不多了，大家解的时候小心点就行了，这种例子我们就不再多说了。一般来说每个学校的一个月考卷，可能有这种类型的题，大家要小心，我们反思一下，以至于ABC为参数的不等式的解集要求，其他不能解集一般要遵循。第一个要根据解集来判断二次项系数的符号，这个一定要注意，先判断二次项系数的符号。第二步再根据系数的关系，把BC用A来表示出来，对吧？再代个数上几个不等式，像我们刚才那个探究二里面就是在UHA将不等式转化成具体的1元2次不等式求解就可以了。这是反思感悟。我们练一道题目，有同学说没掌握的还不是特别好，那我们念一下暂停，把视频暂停。暂停之后我们来讲一下，因为X方加AX加B小于零的解集是1到2。那么根据系根与系数的关系，另外它这个二次函数不含参，还简单一些，根据系统关系我们可以解出ABAB解除。直接带进去硬解不就完了吗，对不对？所以说此题比较简单，我就不再多说了，多讲了。就是打出写集合的形式，我只强调这一点，我们就是把它剪完之后，一定要注意把它写成集合的形式，切记。我们看第三类情形，1元2次不等式的实际应用问题。这里我们以教材54页例五这题为例，我们来讲一下某种品牌，不是老总牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离S与与汽车刹车前的车速X有有如下关系。这个没印好，大家知道什么意思就可以了。它具体的这个数据我给大家再写一下，这个是S等于-2X加上18分之1XY就是这个18分之1往前挪一点就行了18分之1x fun。他说在一次交通的事故中测的这种刹车距离不小于22.5，那不就列一个关系式，就是S不就应该是大于22.5，22.5这个时候你才是比较，它是比较安全的。实际上我们每一辆车子，根据它的性能都有一个刹车距离。如果说我们说跟车，你跟车跟近了容易追尾，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少才可以满足这样的条件？我们不就相当于解这个1元2次不等式，对吧？所以说UTE可以得S等于-2，X加18分之1，X方大于等于22.5，两边同时乘以18，把它转化成标准形式化简之后，就得到一个X方减36，X减405，大于等于0，十字相乘法一致分解解除两个，一个是四十五，一个是-9，所以小于负九不符合实际题意。16所以说X大于等于45，所以车速至少为45公里每时的复合题，这是这个例题，我们来进行反思一下解不等式用题的步骤。首先要审题，这是第一步，第二步是建模，第三步是解不等式，第四步是答，这是老常规的思路，相信初中老师已经说过了，我们稍微再总结一下就行了。我们练一道题，跟踪训练。三某施工单位还是让视频可以暂停，暂停之后我们再进行讲解。不是暂停之后你们做做完之后直接看一下我的讲解。在某施工单位在对一个长为800米宽600米的草坪进行绿化时是这样想的。它中间那个矩形绿草坪四周是等宽的花坛。如果说要保证绿草坪的面积不小，不小于总面积的2分之1，是确定花坛宽度的取值范围，还是先试列1元2次不等式。这个题型比较常规，你们看一下列的跟你们一样不一样，我来把它调一下，看这个图，设花坛的宽度为X那么草坪的长不就是800减2X，就比较简单，然后宽是600减2X米对吧？这样的话我们根据题可以列一个800减2X乘以600减2X就是我们所说那个题对吧？大于等于2分之1，800乘600不大于等于它的面积以外，对吧？这样的话整理一下得到这个词，然后你们看一下，这个是很复杂，就是这个数额很数值很大。依然尝试用十字相乘法对吧？你比如说二三得六，二不是，是他是700对吧，他700 116，1乘6，对吧？1乘6 1乘1加6，因为负一加负六是-7，这样来想，所以说得出一根是600，一根是七百，那么大于等于600舍掉，因为你要超过600了就不行了。这里面大家看一下，我为什么要舍掉呢？我这里面我稍微点点了一下，来看这个式子。这个是这两个都要大于等于零的，都要大于零的，这个也要大于零的。你800减2NX大于02X小于800，不就X小于400吗？这个是2X小于600，对吧？你的X小于300，所以说你这个X方向肯定是小于300的。小于300米，大于等于600肯定是不符合的。所以这个要舍掉，只能保留X小于等于100，这里面是我要掂量了一个东西，所以由题可以得到理论X要大于小于100。所以说当X在0到100之间取值的时候，绿草坪的面积就我们说绿草坪的面积小于总面积的2分之1。我们对这节课进行一个小结。首先知识点我们讲三个简单的分式不等式的解法，大家可以回忆一下，还记不记得对吧？相除大于零等价于相乘大于0，相除大于等于零等价于相相乘带点0，且分母不能为零，一定要注意，且分母为零，如果一端不是零，非零的，一定要化成零了才可以用。2222次之间的关系及应用，这是我们第二个要讲的。第三个是实际应用问题。这里面的方法主要是一个恒等变形，就是划归转化的思想。常见的误区就是解分式不等式要等待变形。第二个一定要注意十一，像刚才我们那个100对，你不能说你把这个六百还写上去了，那明显不符合题意下面我们来练几道题，第一题你们可以口答，实际上实际上一就商城小明对吧？一根是分，此题的答案选C比较简单。第二题仍然是进行口答，其实你带四个值对吧？你ABCD我们四个选项我们带特值就行了。这里面我教一种方法，除了普通解法之外，比如说我们教我们带四个选项不同的部分。比如说你这个AB有1，我们看分母不能为一，含一的全部都排除。那么这两个一个是含负一把负一单选发现负一为零在里面，那不选B。所以说用筛选判断法更快，那这个答案选B普通解法就是这样的。我们这个解析来，原不等式等价于两个相乘相对于对吧？不，原来为什么是小于等于零呢？因为你这边是一减X所以说变成X减1，两边同时乘以负一，那这边就变成小于等于零了。好，第三题这个答案是选D再答一下D跟刚才那个例题解法是一样的，我们在此就不再多说了。这里面我们可以把这个解析调给大家看一下，看一下。看看你做的是不是这样的。好，我们再看第四题，商品在最近30天内的价格外衣与T之间的关系，而销售量也有一个关系式，所以他们提的有范围就是0到30，那么使这种商品日销售金额是一不小于500元，那不就是这个价格乘时间，对吧？所以说我们列的时候，这样来列，就Z等于T加10乘以这个-7加35，这个大于等于500，就构造一个关于T的一个1元2次不等式，解出T的范围是大于等于十就等于55，其中这个七是属于自然数的就可以了。好，题目的难度不大，我们看一下拓广探究的这道题，思考一下。这个提议我们一块审一下。在一个限速40公里每时的弯道上，甲乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞的。事发后，现场车的甲的刹车距离略超过12米，你的刹车距离就要超过10米。右支甲乙两种车型的刹车距离S与X关系式，与这个车速X2个关系。师也告诉我们了，问我们如何判断这个主要责任。发现没有？数学学好了，到交底也比较简单是吧？你不然的话你还不知道怎么判断。假如你是车主，你看到这个不是特别，他判断特别有问题，对吧？你可以用数学模型去申诉对吧？去好这里我们判断的这个结果是乙车，看你们做的对不对。原因首先由题意列出不等式，S甲大于12对吧？S乙大于10，我们分别求解S甲小于-40或S甲大于30，这是第一个不能1元2次不等式结算了。第二个1元2次不等式解除是乙的，这样的话我们会发现US大，你发现甲的速度肯定是超过30公里每时，乙的速度肯定是超过什么40公里每时。所以说综合比较，乙是超速的，应该负主要责任。再看一个辩题还是一样，审一下题。某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60度的方向，与A市相距400公里。该热道中心B以40公里每时的速度向正北方向移动。这里我来画一个示意图，大家看一下。假如说这个是A，这是A风暴中心，B位于海港城市。这个上北下南左西右东，这个加个10 10字架吧，风向标南偏东60度对吧，我们画个南偏东60度的方向，就这个角度是60度，与A是相近400米对吧。好，这里我们标个B点，就是AB的长400。这个400指的是AB的船，该风暴中心B1 40公里往正北方向。好，现在我们来换一个颜色，正北方向。那这个里面是不是正北的方向，你是往这边跑的，移动就是这个速度V它是等于40公里每时。影响范围的半径是350公里，它实际上是一个圈圈，它是一个圈圈对吧？以B为圆心的一个覆膜圈，随着他走的时候，我们看啊经过多少时间之后，这个受热带风暴影响大约影响时间是多长。实际上大家可以看一下，实际上它在走的时候，它实际上相当于是一个你看我们刚好可以算到B运动到某一个位置了。比如说运到B一的位置，这个长度刚好是多少呢？刚好是350，对吧？如果说你在运动，还有一段操作到这个B2的位置也刚好是多少，对称性是350。那么你这个之间肯定都会影响它，因为这个离得更近了对吧？离得更近了，这个有几何知识我们很容易得出来。当然现在没有学那个解析几何，连人家距离公式也不能用，是吧？我们大家可以看出来影响多长时间呢？就算出这个B1和B2的长度，然后除以这个40公里就是影响的时间，这个也比较的简单，当然你要用不等式解，我们看看怎么列呢？可以这样来列，以A4为圆形，你看我们这个图，正东方向建立这个直角坐标系，我们把这个相关的一些量都求出来，这个台风B的坐标可以把它求出来，X小时是X小时之后到达B点，这个用含有X4来表示，已知A4受台风影响是AP小于等于350，就是根据这个不等式不就摔了，对吧？G200根号3平方加上它440X减200的平方，小于等于350的平方就可以了。然后解这个1元2次不等式就行了，可以算出这个X范围，等于说再用这个6.25减去3.25这个长度，就跟刚才我们说的那个A一和A2，1减2.5小时就行。好，这道题难度也不是特别的大，很都是属于我们新高一里面的话。对于120不等式入门级的题。当然了有些有一部分同学可能怕这个应用题这个也是也也是存在的，所以说做一总体来讲，这个用题还是比较简单的。大家做的过程当中多如果说差了，多训练，多反思就能够突破的，要相信自己。好，今天的课就结束了，感谢大家的收看。那么下一讲下大家注意，下一讲我们将进行复习和提高，就是将这个基本不等式，尤其是基本不等式，我们可能要对它进行拔高。好，下期见。