同学们好，今天这节课我们来学习三个二次之间的关系。这三个二次指的就是1元2次函数、1元2次方程和1元2次不等式。这三个我们也称之为三兄弟。这三兄弟之间可以互相转化又互相联系，联系的特别的紧密。这三个二次之间的关系，可以说在高考中它就是一个基石。如果学不好，很多题目都会做的有问题。首先我们来看一下什么是1元2次不等式。因为1元2次函数和1元2次方程上一讲我们已经讲过，在此不再多说。这里我们引入一个问题，园艺师打算在绿地上用用这个栅栏围成一个矩形区域控制花卉。若这个栅栏的长度是24米，围成的矩形区域的面积要大于20平方米，那么则这个矩形的边长是多少？这个问题非常简单，我们可以这样，我们可以设这个矩形的一条边长为X那么另外一个边长，因为周长的一半是12，那另外一个边长就是12减X米。由题意我们可以得到一个不等关系式，就微型矩形面积不就是X乘以12级，就是你这个12减X乘以这个X吗？这样的话我们得到一个关于X的不等式，其中这个X范围我们知道，既然你不超过这个12，所以X就大于0，小于12就是十二减X要大于0。所以对于这样一个不等式，我们将其整理一下，整理一下之后会得到一个X方减去12X加上一个20小于0，就得到一个解集。那我们今天来学一下这个1元2次不等式到底怎么解。首先我们来下一个，第一，一般的我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二的不等式叫做1元2次不等式。这里面有四个一般形式，大家可以看一下这样的四个形式。第一个是AX方加BX加C大于0，第2个AX方加BX加C小于0。第三个是后面，就是前面都是一样的，后面变成大于0。第四种形式是小于等于0，其中A不能为零，ABC均为常数。把形容这四种形式，它不能是我们称之为1元2次不等式。那我们来下面来探讨一下这个1元2次不等式如何来解。我们看一下问题2，这里课本上实际上有一个图，关于这个Y等于X方减12，X加20，这个具体的解法怎么解？如果说你没看图没看这个课本，我现在来讲解一下。首先这个1元2次方程我们对它进行求根，可以用这个十字相乘法，可以拆成X减2乘以X减10，就是二十拆成20 10，拆成-2乘-2-10，然后自家相声就是-12。恒多企业这个问题，所以说可以推出一根是2，一根是11个是十。好，那我们看一下这个1元2次函数图像怎么画，这个1元2次函数图像一根是2，一根是十。开口方向向上我们可以画成如图所示的情况，这个是Y等于X方减去12X再加上一个20。现在我们来看一下1元2次不等式，由此题我们来解一下这个1元2次不等式。首先看第一个不等式，我现在换一个红色的笔，我们来解一下这样的三个等式。首先看第一个，如果说人家要问第一种类型X方减12X加上一个20大于零的解，大于零的解，那么大于零大家看一下这个整体的就相当于Y就相当于你这个X取何值时，取何值时，你这个Y是大于零的。大家看图像，Y大于零就是我画横线的这两部分，你看我对这个绿色这个图像加粗，你看我画两个弧形圆圈，也就是当你X位于这一段比十大的时候，对应Y都是大于零的。所以说这个时候我们可以得到这个解，应该是比大的这一根十大或者是左端的比二这一根黑小就行了，就是大于大的一根或小于的一根。同理，如果说第二类不不等式，1元2次不等式就是减12X加20。如果大于等于0的话，那么由图像我们可以观察得就大于等于10或者是X小于等于2。同理，如果说第三类1元2次不等式就是X方减12X加上20，如果是小于零的，小于0就取这两根中间。大家看一下，小于零取这两根中间2到10之间任意取一个X对应的Y值都是小于零的，这个X就大于二小于十。如果是第四类不等式，X方减12X加上一个20小于等于0。那么这个时候也是位于两个之间，只不过都带等号，那么就大于等于2，小于等于四就行了。这是一类其中的一类，有两个的情况，当然还有些是没有根的，还有一些解集是空集的情况，等一下我们后面再研究，这个是问题2。好，这里面我们来进行一次知识梳理。一般来说对于二次函数Y等于AX方加BX加C我们把能使AX方加BX加C等于零的实数X叫做二次函数的零点。所以这零点不是个点，只是函数的图像与X轴交点的横坐标。那我们来看一下，根据我们刚才讲的这个过程，是2到10，我就不再细说了，就是由刚才画的图像已经说过了，我们来看一下这个知识梳理仪。首先我们来看一下第一个图，这第一个图我们以开口方向向上为例，这个是德耳塔大于0。我们知道有两根，一根是X1，一个是X2。Delta等于0，两根相等，15根德耳塔小于0，没有实物。这个1元2次方程的根分别是X1X2，这个是有两条相等实根，这个是没有实物的。好，那我们看啊对应的这三个图，我们再看下一张图。那么大于零的解集大家看啊看到我们求大于零的解集，小于零解集。我们来看上一个图，如果大于零解集就是大于大的一根或小于小的一根。大家看这个图，我再给你对后面的，所以说大于零的解集就大于X2，小于什么？小于。小的一个，那么小于0减去就取两根之间。我们注意，大家跟着我的思路，先看这个第一列，这是两个人之间，如果说这里带等号，这个两边都带等号就可以了。就是我们刚才讲的那个实例。那我们来看一下第二种情况，如果德耳塔等于零的情况，德耳塔等于0，我现在不翻了，我直接把这个图挪到这个位置，我画个小一点的图，你看它不是相切吗？如果相切，大家看一下，大于零的解集就除了这个-2A-2A分之B是等于零的，其他都是大于零的。所以说这个解集就是X不等于负的2A分之B同样，如果说对于德尔塔小于零的第三种情况而言，你不管X取何值，它都是成立的。所以说大于零的解集就是全体实数。那么同样小于0，它就是一个空集。同样这边的小于零很明显也是一个空集，根本就找不到。那如果说这里面是小于等于零怎么办呢？那么它就只有一个是成立的，就是负的21分之1。比如我举个例子，你比如说是X平方加2X加1小于等于0，那这个不就可以写成X加一的平方小于等于零吗？你看除了这个解集，除了X取负一之外，其他的值都是大于零的。所以说小于等于零的解集就是X等于负一只有一个一个解，这个解题只有一个解，这个大家要理解就行了。在这里面要注意一点，就是若不等式对应的1元2次不等式能因式分解，那么可直接利用大于取两边，小于取中间的这个原则得到不等式的解集。这全靠这个图像进行分析。你看这个表很重要，它就是阐述了这个三个二次之间的关系。第二个不等式的解集必须写成集合的形式，如果无解，我们就用空气表示。你看我们的后面这两个是用空气来表示的这是大家要注意的地方。好，我们来做一道例题，这道题比较简单。首先我们以后对于1元2次不等式的解题步骤，等一下我们还要再总结。首先化为正值，化为开口方向向上来来进行解就比较简单了。那这个圆不等式两边同时乘以负一，各项都要变号，包括不等号的方向也要发生改变，可以转化成2X方减X加6的大于0。然后因为这个delta是小于，所以说我们来画出它的草图。大家看啊右方的这个图是横在X轴的上方，所以函数的这个函数的图像既然不在X这种，不管你X取何值，都是大于零的。所以说这个解集是全体实数，观察图像可以得到比较的简单。那我们来看第二个，第二个同样的，把二次项系数化为正值，而正式之后进行配方画出图像。刚才已经讲过了，小于等于0，只有一个值对吧？就是X等于3，X等于3，这个比较简单。我们看第三个，看跟你做的一样不一样，直接求两根，一根是负一，一根是三。大于零取两根，就大于大的一根或小于小的一根。根据图像来看，以后熟练的话就直接什么大于3或小于负一就行了。小于零取中间就取-1到3之间，如果带等号都带等号就行了。所以说这里面解不含参数1元2次不等式的步骤，这是一个重点。这个啊希望大家做个笔记。在此我跟大家说一下，希望大家做个笔记。第一步。将不等式的一侧化为零，使得二次项系数为正对吧？这是第一步。第二步进行判别式的判断，第三步求实根，第四步画草图，第四五步写解集。这五步走。这是反思部分。我们来训练几道题，这个具体的过程我就不再细讲了，我直接对答案，你们先做做。完之后对答案。第一个求出两根-16画图，然后可以观察这个解集是小于负一大于6。第二个有陷阱，这里面点击一下这个位置，是二减X注意一定要变成X减2乘以X加三大于0，好多同学这一步就吃亏了。好，化为这个之后，解除两根，就大于大的一根或小于小的根就行了，就大于2或小于-3，这是第二问的答案。我们再看一下含参的1元2次不等式的解法，这是第三类题型，这个含参的1元2次不等式的解法。首先我们以一道例二为例来讲一下原来的那个怎么解，我们还怎么解，对吧？如果说参数不确定，我们对应的讨论就行了。首先我们来看，先把这个1元2次不等式转化成一般形式，转化成AX方加A减二倍的X再减二大于等于零的形式。那你既然是啊如果说没有说是1元2次不等式，就要对A为零进行讨论。如果人家说是1元2次不等式，那A就不能为零。那你只能让A大于0和小于零分两种情况来讨论。如果说告诉只告诉不等式要分三种情况，A大于0、等于0和小于03种情况一定要切记。首先这道题没有说，对吧？没有说，你看这题我们再看一下刚才那个题，他说只是说关于X不等式，没有告诉你这个A是不是为零了，对吧？但是如果说人家考试这里面说1元2次不等式要注意进行讨论。首先看A等于0，A等于零很简单，带进去直接解出X小于等于负一，这是第一步。第二步我们看A大于零的时候，我们就将它进行因式分解。因式分解之后发现有两根，一根是A分之2，一个是负一。既然大于等于0，取两端，那么就大于等于大的一个A分之2或X小于等于小的一根负一。第二三类情况，一小于原不等式可以化为小于等于0。因为为什么呢？因为你这边两边同时除A之后，原来大于等于0，现在变成什么？小于等于0，这一步易错，在此我们强调一下，这一步易错。同样的小于零取中间，那么就位于我们看啊一根是A分之2，一个是负一，那么这两个谁大谁小呢？不确定，所以说还要对A分之2和1进行分类讨论，麻烦来了又得分三种情况讨论。这里面首先看啊，如果A分之2比负一大，A分之2比-1-1大，负一大即A小于-2的时候，我们可以解出X大于等于负一就等于2。A分之2就去两根之间，同样如果两个相等，直接把A带进去，对吧？不就相当于X加一的平方小于等于零吗？那只有一个值对不对？X等于负一刚才已经讲过了。那么第三种情况，如果A分之2小于负一，这个时候即A大于-2小于0的时候，可以解出X范围是大于等于A分之2，全等于负一。也是取两个人之间，只不过这个时候大一根变成负一小的一根变成1分之2了。所以最后我们再打一下，综上所述，当A等于零的解集是X小等于负一，A大于零的解集是这个式子，A小于0。也就是说小于零分三种情况讨论，分别来写出来就可以了。这个是最后这个答的完整的过程，由这个含参的大家可以看一下这个高中的1元2次等式，它的特点要比初中的讨论要复杂一些。所以说有今天的这一道含参的题，你们可以看一下这个难度比前面的集合的难度明显要加深一些。我们来练一道，不是来进行一个反思，在解含参的1元2次行的不等式的时候，往往要对参数进行分类讨论。为了做到不重不漏，我们要注意三个方面。大家看这个三个方面，第一个20项系统讨论，第二个德耳塔讨论，这道题他给的就是两根，就不用讨论德尔塔。第三个两根大小讨论，要注意这三个方面就可以了。大家好，好感感悟一下，就根据刚才那个例题和反思一下，看是不是这回事儿。跟踪训练二这道题来大家先做做完，我们来对一下大家的答案。原不等式也是可以因式分解，大家注意只要能够因式分解，德尔塔一定大于等0，这个就不用再讨论了。德耳塔你看只需讨论两个的大小就可以了，一个是大于它的讨论，一个是等于它的讨论，一个是小于它的讨论，最后再一答就行了。你们看这个解的过程是否是一致的，上一道题怎么解，这个题就怎么解。这里面我们讲了第一个1元2次不等式的概念及其解法。第二个是含参的1元2次不等式的解法。这个方法分为数形结合法、分类讨论法。常见的误区就是解含参的二次不等式15，从而找不到分类讨论的标准，这是一个小难点，我们来下面来进行随堂演练。首先看第一题，这题我们对一下，这个答案选D比较简单。第二题这个也比较简单，答案选D我们看第三题，因为这个德塔小于零了，所以说是全体实数画图就可以了。第三题一定要注意转化成，把这个提醒一下，这个是-2，做了之后看一下这个答案是不是对的，答案选C，一定要注意两边同时乘以负一变成2，X方减5X加减三大于等于0，变过来之后这个答案选C了。第四题含参，含参这个的话我们由M0到1可以比较两个大小，你们看这个解题做的对不对？是M到M减一之间的值。好，我们来推广一下，就拓广推探究一下这个点力，我来对一下这个答案，看你们做的是不是这个结果是负一到5分之11，左边是大于号，右边是小于等于号。这个原因，我们来看一下这个解析。因为你这个A集合是1到3的这个子集，所以说对于这个方程X方减2AAX加A加二等于零这个方程，A有可能是就是说你A如果是空集的话，这个德耳塔就是一个小于零的对吧？首先讨论空集，前面几个我们讲的涨了很多，有同学如果做错，看你是否考虑到这个空机的情况。因为空集是任何结构的知己，对吧？这个是肯定要考虑的，即A方减A减2小于0，所以说解出A是大于-2，负一小于2，那么如果A非空。好，这里我来画一个草图给大家解释一下。你们看你这个结果是1到3，如果说因为你这是小于等于零的，你这是它这是一个二次函数，那么它的图像只能这样画。大家看我这个图像，这个为X1，这个为X2。因为小于等于0就取中间，取的就中间这一段，对吧？小于等于0，也就是说你这个解集肯定是X大于等于X1，小于等于X2。如果说你要是1到3的解集，只能这样画图。我们要从这个四个方面考虑。第一，开口方向已经不用想了，本来是先要考虑开口方向，和开口方向不用讨论了。第二个看对称轴，那这个对称轴一定位于1到3层。第三个德尔塔？第四个区间端点函数值，正负就是一对的函数值和3对的函数值，对吧？有的说老师我们这个如果说他是在他横带他的上方可不可以呢？你会发现如果横在它的上方，那就是空集。刚才已经讨论了对吧？这就不用再管了，不用再管。所以说这里面现在讨论德尔塔大于02号大等于0，只要保证一对的函数值和3对的函数值。注意了，只要成立了就可以了。还有钝轴，我们知道这个钝轴是X等于负的2A分之B那么就是负二分之-2A就是A就是A。所以说对称轴只要位于X等于A只要位于1到3之间就可以了。你看这个是对称轴，这个是区间端点函数值一和3对应的是横是大于等于零的就可以了。这四个条件缺一不可，少一个都不行。这是高中图像的方法，是一个小难点，希望大家给予重视。因为毕竟刚开始学，大家一定要来把它理解透，耐心的想通想透就可以了。好，这边解解完之后两个的结合，比如说这两个结合之后和第三个再结合，和第四个再结合做就行了。最后算出A的范围是它，综上可知再把它并起来，那就是负一到5分之11。左边是大于号，右边是小于等于号就可以了。我们练一道变式，这道题非常的经典，可能要需要讨论调查。我给大家提示一下，你们做完之后，我们再对一下这个过程。因为delta a是4A方减8，所以说当它小于零的时候方程无根对吧？方程无根就是说明开口方向向上，你方程又无根，你开口方向又向上，那图像只能这样画，所以说不能是解集，就是空集，小于空集对吧？要是大于零的话就求两根了。这边分对二等于0，是不是有一根，有一根把这个解出来，解出来就是对应的有两个解，一个是根号2A如果负根号二的话就是负根号2，对吧？这个前面那个表已经说过了，比较简单。第三类情况就是带A操作，带A操作两根大于零取两边，小于零取中间就行了。所以说这个取中间了容量，带一操作。你看这个两个，我们都用含A的代数代数式来表示，此时也就是相当于一个常数，来理解。在综上所述，我们把这个几种情况再合并起来打一下就行了。今天的课我们就上到这里，希望大家对于含参的问题，如果没有理解透，反复多复盘几次，多看几次视频。如果仍然有不理解的可以再私信。好，今天课就上到这里，感谢大家的收看，我们下期见。