同学们好，今天我们来进行暑期初升高数学衔接课的第十六讲，1元2次函数与方程的学习。初中阶段我们已经学过1元2次函数和1元2次方程，那么到高中阶段，我们仍然要学这个1元2次函数和1元2次方程。当然了有同学说你初中学的和高中学的是不是有一些不一样？那么通过今天课的学习，你就能发现到底有什么样的相同之处，有什么样的不同之处。我们在复习它的意义在哪里？其实主要就是一个复习课，下面我们来开始进行本节课的正式内容。首先我们来看一个岛屿，在我国历史上有很多杰出的数学家。你像这个祖冲之主分支，像他的这个主根，有一个著名的原理叫主根原理。马上在后面，我们高中课上也会讲这个主根原理。你想让我们用这个主根原理可以推到球的体，包括这个秦九韶。我们这有这个秦九韶公式，就求这个面积是等于根号下的P乘P减A乘以P减B再乘以P减C其中P是三角形ABC周长的一半，这个ABC分别为三角形的三边。当然这些大家不一定耳熟能详，你看有的你像我们这里面写的是耳熟能详，但是有些人恐怕这个亲友勺都没听过，可能祖冲之听过。还有就是我国古代的数学，重点在于计算，可以说我们中国古代的这个计算水平还是可以的。那我们来看一下，像我们高考数学考的几本古书，里面有一本古书叫做九章算术，是非常爱考，还有一个数书九章也比较爱考。你像这个算法桶中，这个算法统中，也是比较爱考的算法通过。对，但是大家注意九章算术的一贯作风，就是给个问题配个答案，你剩下自己去想，如何去解呢？那可能需要大家自己去来解决，所以说对于求解1元2次方程方法很多。我们今天等一下，我会在这个前面的部分讲因素分解的时候，讲那个十乘法则，我会给大家再串一下，就是跟其实前面课我们已经说过了，对吧？这里面十字相乘法前面的课我们没有细说。我们来看一下十字相乘法这几个因式。对于这个十字相乘法大家一定要注意它的由来。前面的课我们已经说过了，这几个你们直接来计算就行了，我只说一点，我只说一点，这个十字相乘法是对于二次三项式，甚至就是二次三项式的升级版都可以用，包括含餐的。你们看啊我们这个第三个和第四个就相对麻烦一点点，对吧？当然你要是初中掌握好这几个都不成问题。比如第一个，我们左边可以分解成1乘1，或者写成X乘以X就这两个相乘要等于这个X方。后面这个三我们可以拆成1乘3 2个十字交叉相乘就是3X加X只要能能等于中间项的系数，中间项那我们写的时候横着写，我们就可以写成X加1乘以X加3就可以了，这是第一个。第二个我们看在分解的时候，我们可以分解成这个1乘5，那么这边需要用负的对吧？拆成-1乘-1熟练的话就不要写X了，直接用系数。只要十字交叉相乘之后再相加就是一乘-1加5乘负一就是-6，等于中间项的一次项的系数。那么写的时候横着写，写成一乘X减1，就是X减一再加5乘X减1就可以了。那么这个后面我们这个三三的话把N看成是常数，M看成未知数。所以说我们分解的时候可以写成1乘1。这个-3N可以写-3N方可以写成N或者负N乘以3N是交叉相乘，那么就等于中间性的系数。二人写的时候可以写成横着写，写成一乘M减1M加3对吧？这样来写的话，我们就可以拆分成M加3和乘以M减N最后这个也比较的简单，直接拆成A乘1，然后负一拆成。因为这边是A减1，所以说负一放上面一层，放下面十字交叉相乘之后，就可以拆解成A减1，等于一次项的系数A减1，写的时候横着写，就写成AX减1乘以X加一就行了，这是礼仪比较的简单，属于初中内容，我们快速来讲一下就行了。我们来看一下这个反思判定能否使用十字相乘法。分解因式的时候，一般来说使用delta这个德尔塔为完全平方数的时候，可以在整数范围内对该多项式进行十字相乘。当然我们有时候需要对二次项系数和常数项进行多次拆分。才可以把问题给解决，这个咱们注意了就行了。我们来看跟踪训练一，这个我不再细讲了，直接报这个答案，就是X加5乘以X减2。这个四加是这样的，大家看一下就行了。我们再看一下第二道，第二道稍微麻烦一下，也是一样的。你们看这个拆分的这个时间，我给大家说一下，你不是两个都是负的吗？那不就直接拆成负A方，负的A加1，对吧？两个乘积就是1乘1，这个一乘就等于两系数。所以说我们列的时候，就这样的列开列成X减A方，X减去1加1，所以说这个裂开，我们这个武汉的这边的很多的线下同学说AEM老师这个题我不会做，我当时就裂开了。你看这跟那个有点像。好，我们来看第二类题型1元2次方程。这个1元2次方程的解法，在此我们简单的回顾一下。第一种叫做直接开平方法。直接开平方法比如说举个例子，比如说X平方减9等于0，直接开平方，对吧？X平方等于9，X不就等于正-3，这个是直接开平方。第二个，我们用这个因式分解法，这里面主要是考虑到这样几个。第一个公式法，此时的公式法主要是平方差公式和完全平方公式两个。第二个十字相乘法，用十字相乘法分解因式对吧？第三个分组分解法，分组分解法上节课我们已经讲过对吧？多项的我们可以分组解，这里还有提公因式法，最简单的这个提公因式，这是四个。第三个配方法，这个我相信很多同学都是耳熟能详的。配方法第四个求根公式法。求根公式法这个求根公式就是对于形如AX方加BX加C等于0，那么这个求根公式就是X等于负，B加减根号delta就是B方减去4AC开根号除以一个2A的形式，这个是求公式法。好，我们就先串联到这里，然后我们来看一下这边的有几项例题，这个跟系数关系，这个推导也比较简单。我们来看一下例2，求下列方程的根，这个直接用十字相乘法就行了，可以推出X1根是-2。第二个我们用求根公式法来解就行了，这个我就不再细讲了，咱们直接看一下答案就行了。我们看第二个跟刚才那个是一样的，我们可以直接持宣传法令它为零A不为零。这个话有两根，一根是负A分之一。当然要讨论两个是否相等，也不讨论也可以，只有两根。在这里我们1元2次方程根需要注意，首先要把方程变成一般形式验证delta对吧？有两根有根的话要注意一有两个，一定要注意根与方程的解的区别，还要注意对根进行化简。我们看一下相对难一点的题，这道题大家先看一下，这道题你可以先提两个硬件往里面带。当然了，这个难度比较大对吧？我们可以直接把这个带出式通分。通分由刚才的根据系数关系或者叫韦达定理仪可以得出两分之和是三两枝一是-2分之1。那么通分之后，上面进行配凑，配凑分子变成X1加X2，平方减去两倍的X减X2，就是你加个201减X2，然后再减个二的X1加X2。相信在初中的时候老师都讲过，直接把值再往里面带，计算出是负十就行了。好，我们看后面的第三个1元2次函数图像函数与图像。这也是我们说为什么再回忆一下初中详节课的内容没学好的话，现在还有一次机会学。好，我们看问题2，1元2次函数与1元2次方程的根判别式有什么关系呢？这里彤彤老师肯定也讲过，我们再回忆一下。因为这个德尔塔大于零数，我们这方向有两根，你令它等于0，不就相当于求1元2次函数图像与X轴的交点。所以说第二大于零就相当于20行图像与XO有两个交点。你这个X1X2这个两个就是交点的横坐标。德尔塔等于零就说明方程有一个实数根或者是两个相等的实数根。此时二次函数与原子轴只有一个交点，加入它小于就无四根，说明二次函数图像与X轴没有交点。这是咱们这个理解，你要画图像就是这样的。如果一个图像是开口方向向上是这样的，说明德耳塔小于0，相切说明德耳塔等于0，相交说明德尔塔是大于0，要理解这个图像的含义就行了。我们看第三图像与X轴交点。首先这已经定义好了，它是二次函数，所以说你这个K减3一定不等于0。如果说这里面的没有带K不等于3，全部都错的，选这个AAB都是错的。AX有交点不就相当于德耳塔大于等于0。所以解这个不等式算出来是什么就是什么，对吧？所以这个答案选D，这个过程也比较的简单，来看一下就行了。我们来看一下原生态量，如果把此题二次函数去掉了，那就要考虑了对吧？那就考虑K等于三了，这个答案就选B了。如果说US有两个交点，那不就德耳塔大于0，如果无交点就德耳塔小于零了，分别来解就行了。这是延伸探究的三个，我们来看一下反思，你会不会反思？你想一想，这里面会通过调查的符号来判断二次函数的图像与原始轴交点。那么二次项含参的时候要注意题目中是否强调二次函数，没有强调要进行讨论，一定要切记，我们的高中梯度都是这样的跟踪训练。这道题比较的有意思，这道题大家一定好好做一下，看能不能做出来我给大家对一下这个答案，通过你暂停这个视频之后做的这个结果看是否一样。这题答案选A这个原因，我再调给大家看一下。你们看这个图像你画的对不对？就是你先构造一个战略函数，那么这个函数有两根，一根是A0，一根是B0，这个与X交点1个A01个B0，A小于B你可以随便这样一画对吧？这个是A这是B，这个Y是什么呢？就相当于这个红色的线向上平移两个单位，对吧？它就相当于向上拼音两个单位，拼音两个单位。你们看我现在我把这个颜色换一下，换一个你向上皮秒大约就是原来你这个是5Y轴，而不是XX轴，我就变成Y等于二的在线了。你看你Y等于二的话，就是你看这边这个焦点，我们就变成这样一个形式了。大家看这个是啊变成绿色了，那这不就整个跟着PE吗？所以说他说阿尔法贝塔是方程Y等于零的两根。我这个画的还不标准，我应该是这样画的，我应该把它往下画的。你看开始我们也不知道画的标准本，对吧？我们在改，不断的尝试。你看这有两个人这个是A，而不是这个是阿尔法了。那么这个焦点不是非常棒，所以说阿尔法和贝塔位于A和B之间，随着此题三选A就这样来做的。希望大家能听懂。好，这节课我们整理整理一下这个资金，首先我们学到有十字相乘复习的1元2次方程的解法。1元2次函数图像。这里面主要是两个方法，一个观察一个图像。二次函数如果含参，尤其是二次项含参，一定要注意对是否为零进行分类讨论就可以了。下面我们来进行四道小题的训练，随堂演练的四道小题，第一题大家暂停，然后对答案。第一题答案选A比较简单，因为直接把它因式分解到直接对比系数就可以了。第二题就初中了，直接套公式，直接口答就可以了，选D第三题这个已经告诉我们是1.2元方程K一定不能为零，上去把AD排除。你看一下此题答案是选C，注意，有时入根对吧？直接套公式就行了，套delta大于等于零即可，这个比较简单。第四题两根要注意配凑，加个二倍的X1X2减去个二倍X1X2，对吧？此题答案是14，看这个配置的过程是否是一样的。好，我们看一下下面的已知1元2次函数的图像，如右图所示，则下列选项正确的是。这道题大家要注意A看开口对吧？开口向上A大于0，开口向下A小于0。所以此时开口方向向下A就是小于0，所以A由开口确定。那么这个B怎么确定？B由对称轴或者是顶点的横坐标一样的，那么由这道题我们知道负的2A分之B肯定是小于零的，它是在Y轴的左侧，那就说明AB同号，AB同号，所以说可以推出B也是小于C与Y轴交点坐标就是零C这是初中的知识，所以说C是大于零的。那么两负一正这个A那就对了。另外有同学说那个3A和2B怎么办呢？你不就-2A分之B，对吧？我们看一下，因为你这个3A大于2B2边同时除以-4A因为A是一个小于-4A就是个正值，同时除以-4A左边变成-4A分之3A注意，-4A这是一个正值。正值的话两边同乘-4A不变号，就是不等号的方向不发生改变，那就变成2A除以-4A你们看我除以-11的目的，这边就变成负的21分之B变成钝轴。好，这个就变成负的4分之3，那说明你这个对称轴小于负的4分之3，但是我们这个提示负一是不是小于负的4分之3呢？你们会发现原来它真的是小于负的4分之3，因为负一就比它小，对不对？这个题我们可以得出这个B选项，发现也是一个对的。那A队B队C那么C怎么判断呢？我们看CC这个里面，当X等于负一的时候有最大值。好，那我们再看一下负一带力学，X等于负一的时候，那么变成A减B加C这个是最大的对吧？你这个最大的时候，大家看啊这个最大的这A减B加C一定是大于等于。你们看啊这里面有一个AM方，你们看把这个式子你把它整理一下，可以写成AM方加BM小于等于A减B，这里面刚好少个C，那我把这个不等式两边同时加个C就是左边就相当于M对应的函数值，右边就相当于这个负一对应的函数值，那不就是成立的吗？因为你这个负一处对的是最大值，所以说你M处对应的函数值肯定小于一处对应的函数值，所以说C也是对的。那么D选项我们来看一下D选项，D选项就是X取-2，我们看你这个位置，-1到1之间的间距是2，那么-1到-3的间距，这个间距也是2。那么负二在哪里呢？负二不知道在哪里。那负二比如说老师我这个负二好像没领，你们看啊，你们看这个-1到0之间对应的是一个正值。那么短距离的话，你这个位置-2到-1的距离和-1到0的距离是一样的。所以说你这边的有多高，你负二定的这个值，从这边来和这个零系数这个东西一样的，说明负二对应的函数值代进去之后，这个负二对应的函数应该是一个大于零的值，就D就错了，这是我刚才的解析。大家可以再看一下这个答案的具体的过程，你们可以看一下是不是给你们做的是一模一样的。这是第一面了，这是第二面的。这是第二名了。好，我们来看一下变式，变式这几个我们直接解就行了，归纳结论。这个比较简单，我就不再讲了。归纳结论就是这一个其实就是十字相乘法的一个过程。这是一个运算过程解决问题这个我也不再细讲了。这个我们前面已经说了很多了，不作为重点。因为是现在你已经是一个高中生了，这个应该都比较简单。还有延伸拓展了，这个可有所有可能的值，大家看一下是不是算出来这四个值，这个也比较简单。好，我把上面的调给大家看一下，就是对这个进行拆分就行了，也比较简单。好，今天的课我们复习课我们就上到这里。从下节课开始我们来讲1元2次不等式，是一个重点，1元2次不等式也是一个非常基本的内容，希望大家课前进行预习。好，下期我们再见，感谢大家的收看。