同学们好，这一节课我们继续学习基本不等式。这个基本不等式的应用非常广泛，其中有一类问题是在实际问题中的应用。上节课我们介绍了基本不等式，其中介绍了有几个平均数，一个是算术平均数，算术平均数不知道大家还有印象吗？这个算术平均数是二分之A加B还有一个几何平均数根号AB而且算术频数是恒大于等于几何频数。再一个我们讲到的基本不等式应用的三个条件，就是一正二定三相等这样的三个条件。这个等一下我们在具体的其中还会在讲到在复习的。我们首先来看第一类题型进步的是在生活中的应用。有这样一个问题，利用基本不等式求最大或者是最小值的时候应注意哪些问题？这个第一一正，所谓一正就是XY都得是正数。二定即定和最小，和定积最大，这个是上节课我们讲的三相等。就是检验等号成立的条件是否满足实际需要，这是我们要注意的三个条件，非常的关键。如果说有一个你忽略了，那你那你这一道题恐怕做的就会有问题。当然如果说你一不小心做对了，并不代表你三这三个提示的注意事项都考虑到位了。我们以一个题为例来讲解一下，这个是教材46页例三的改编题。我们看小您的爸爸，这个小明同学还是那句话，是咱们初等数学的明星人物。他说小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16平方米的巨型游乐园。当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最深，并求所需围栏的长度。这里我们来画一个草图来画一个草图，让我们来画一个矩形，这是一个矩形框。我们可以这样来设，我们设这个长为X米，这个宽为万米。设完之后我们来看一下围栏的长度。这个围栏的长度就变成2X加2Y那就变成二倍的X加Y米。我们来看一下，第一个，这里面有有多种方法来解。你看我最近写的一篇文章，这个文章里面我说了这个一题多解可以锻炼大家的发散思维，对于高中数学课堂上培养大家的创造性思维是很有好处的。所以说大家在听课的过程当中，如果说你要开动自己的大脑，还可以想出今天我们讲第一，除了这两种方法之外，还能想到第三种、第四种，甚至第五种、第六种方法，那就说明你这个发散思维水平很高。当然了，我提倡大家多尝试，一题多见。我们来看一下方法一，由X乘Y等于16。因为告诉我们面积是十六，由X乘Y是等于16。那么我们根据基本不等式，基本公式，我们来看一下第一种方法，因为X乘Y等于16，由基本不等式二分之X加Y大于等于根号XY所以说我们可以知道X加Y那么就大于等于两倍的根号XY因为XY是16，带进来就是二倍根号16，二倍根号16我们计算一下就得到18。所以我们可以得到两倍的X加Y这个就是它的周长，就大于0，两边同时乘2就是2乘8，就是十六。那么这个第一种方法基本上可以推出，当然我们还验证相等的条件，那么取等的条件就是当且仅当X等于Y既然X等于Y的话就是46，那么只有等于4的时候等号成立。那我们写一下是等号成立，因此再打一下。因此这个矩形游乐园是边长为4米的正方形时所用围栏最深所学围栏的长度就是16米，这是方法一。我们再看一下方法2，这个方法二我们可以这样来写，这个有X乘Y等于16，我们可以知道这里面我们采用的什么方法？这个第一种我们称之为直接法，第二种我们称之为消元法，就是把多个未知数转化成一个未知数，就多元化一元的思路。那么这里面我们可以得到这个Y它是等于X分之16，所以两倍的就是它的周长，两倍的X加Y我们把它整理一下，就变成两倍的括弧X加上X分之6。然后我们再用基本不等式，所以说就大于等于二倍的X加X分之16，可以写成二倍的根号下X乘以X分之16，这个计算结果也是等于16。那么当前紧张这种情况下，就是当前仅当X等于X分之16，即X等于4米的时候，仍然是成立的。所以说跟刚才的方法一求的结果是一样的，这是两种方法。好，我们来看一下下一个延伸探究，这个解题过程我就不再书写了，你们大概浏览一下这个书写步骤就行了。好，我们来看后面的延伸探究。如果小明的爸爸只有12米长的围栏，如何设计才能使游乐园的面积最大？就是说到处提。好，你们暂停一下，思考一下，然后我们我们调一下这个过程。这道题就是由已知得二倍的X加Y是等于12，这不刚才的这个周长吗？就当你当这个周长是12GX加Y等于6，求这个面积X的求XY最大值，那我们就可以利用谁呢？XY小于等于二分之X加Y整体的平方直接套公式就可以了。所以有根号X小于等于二分之X加Y我们直接套公式，两边可以直接平方。当然他这样写也行，你不按这个答案写，按照我的写法，就它的两边同平方的面积都是一样的。所以说这个你们可以看一下，可以写成2分之6的平方，直接就等于九就行了。以后熟练了，就直接按照我刚才教的这个方法写，你按我们这个解析的这个答案的方法写也行。所以说当前仅当X等于Y等于三的时候等号成立。因此当游乐园为边长为三的正方形时，面积最大最大面积为9平方米。我们来反思一下，应用基本不能是解决实际问题的步骤，有以下的四个步骤。第一要理解题意，设变量。注意一定要切记每一个具体的实际问题的时候，它的实际意义是不一样的。一定要注意它的实际一就是说白了就是函数的定义域，这个到后面我们再讲这个定义域。第二个我们来看一下构造定值，利用基本不等式求比值，这个是很关键，就是一正二定，你这个定要满足。第三个检验等号成立的条件是否满足题。第四个我们再答一下这个问题。可这是我们反思的四个步骤。我们训练一道题要制作一个容器为四立方米，高为一米的无盖长方体容器，注意是无盖的，安心它是没有盖子的。已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米十元，求该容器的最低总造价是多少？大家可以把视频暂停，然后再看。今天像这种基本的应用题，一般来说十应用题都是比较简单的题目，不是特别难。你说12 1400。好，我们给我们来对一下这个答案。首先设长方体的容器，底面的长和宽分别为A米、B米，成本为万元。由于长方体的容积是4立方米，高于一。注意当然你这里面我们可以画一个草图，比如说我们就画一个长方体的容器，因为现在立体几何你们还没学，我先在这里面我们先画一个长方体的容器，遮住的部分我们可以用虚线来画。你们看上面是无盖子的，它是没有盖子的这是无盖的。好，这里面我们设这个底面的长为A宽为B那么这个高已经告诉我们是一米，就是这一段的长已经告诉我们是1米。成本为万元。由于长方体的容积为四，我们那是底面积乘以高就是长乘宽乘高就是我们长方体容积的容器的体积或者叫容积。我们可以得到S底面积是A乘B是4，这个万，大家注意这个万就是成本。因为我们来看一下底面照片是20，里面说是20，那底下就是20乘以S实际上就是80。你看我们后面这个计算就是八十已经算出来了。那么加上侧面，侧面你看我们看啊第一个侧面就是A乘1，第二个侧面B乘1，那对称的那边两个都是一样的。所以说就是两个A和2个B就是2，A加2B就是侧面积，然后再乘以每平方米的造价是十块钱，我们再乘以10就可以了，最后我们计算结果就是20倍的A加B再加80，我们要算最小造价，直接用A加B大于等于二倍根号1B直接套基本不等式即可。把这个AB的值等于四带进来，可以计算完是160元。所以当且仅当A等于B的时候取得这个是符合题的。因此该容器的最低造价为160元。下面我们接着看第二类题型，基本不等式在几何中的应用。这一类题型涉及到我们初中阶段的平面几何，也就是我们所说的欧式几何，也就是欧几里得几何欧几。第二我们来思考一下，大家还是一样的把视频键暂停，然后再来听我的讲解。我们来看一下，如图所示，矩形ABCD的周长是24，将它沿ac翻折，翻折后AB就翻折到A撇，B撇交DC于PAB的长告诉我们是X用X来表示DP就是表示我们这个犯罪之后的这一段的尝试DP并求出X的范围。这里我把思路点讲一下，因为这个周长是24，所以说一半的长就是AB加BC就是一半的长，那就是十二。所以说我们可以推出这个BC或者叫做什么AD或者是AD。AD和BC都是12减X我们进行口算就行了，所以你这个场面也是12减X好，再看。根据平面几何的知识，平面几何知识在APC中大家看这个三角形，APC中角PAC大家看这个小角，这个小角和CAB相等，又因为DC和AB平行，内错角相等，所以说DCA和CB也相等。这样的话我们可以推出PAC和PCE相等。所以说我们可以推出一个重要的结论，就是PA等于PC得到这个PA等于PD之后，所以说我们可以推出这个PD和PB撇，这两个也是相等的，为什么呢？因为你PB撇加PE不就是边长AB撇，你PD加PCE就是CD，CD和AB相等的，自然而然和AB撇相等。所以说你DP和B撇P肯定是一样的，能得到一个重要的结论，等于B撇P就EP等于PP，这个结论很重要。好，那我得到这个结论之后，我们可以这样来写，你这个总长AB是X，你总长AB是X所以说你这个AP的长，那么就是X减去一个DP，对吧？你这个DP加PC是等于X就是AB的长方形，所以说你第一批加一批也是X这样的话我们用勾股定理，在RT3角形ADB中，勾股定理可以得到这个12减X的平方，再加上DP的平方等于斜边X减去DP的长的平方。然后我们把它打开打开，我们把它整理一下就可以了。这样的话我们可以求出一批关于X方程就可以解完了，这是这道题解题思路。同样我们这里面X减DP一定是大于12，减X也大于DP的长，对吧？这样的话我们可以得出一个X范围。当然这里面还有一个就是我们这个长X要大于12，减X也可以得出X隐含范围应该是大6小于十二。好，我们来看一下具体的运算过程。好，大家看一下，这个就是我刚才的讲解的过程。你们可以根据和刚才那题讲解过程看一看是否是一样的。我们接着来看第二问，求ADP面积的最大值值，即此时的X值。那么这个第二问表达起来就比第一问相对来说简单一些，第一问稍微难一些。在RT3角形ADP中，我们知道S3角形ADP等于2分之1AD乘DP那就是2分之12减X所以12减X就是我们刚才算的这个AD对吧？根据前面的这个第一问，这个DP我们用12减去X分之72两个乘积化简之后得到这样一个式子。化简得到这个式之后，大家注意这个里面有最小值，加个负号就有最大值。所以说我们用基本不等式，用基本不等式，当然我们要先判断一正二定三相等，所以我们用基本不等式，6X加X分之432就大于等于二倍的根号下6X乘以X分之432。这个通过计算之后，化简之后是72倍的2。这里我点讲也不这样，照顾一下基础较差的一些同学，你们注意你们在做的时候啊不要把6乘432千乘，你先用432除以6，看能不能分解一个六出来。六七四十二12，然后二六十二等于0，所以说这个432我们可以拆成6乘72。这样的话你这边有个6，这边有6可以把六给开出来，那么里面就变成根号下72。72我们再拆成36乘以2，再拿个六出来。所以说就六六三十六外面再乘以2，就是72倍根二，要注意拆分，不要有些同学计算能力较差，直接把6乘432乘完之后，他又进行拆分，这个速度就很慢。要学会因式分解，提公因式开到根号外面来，二次根式外面来。我们看一下取等的条件，当且仅当6X等于X分之432GX等于你看约完之后X方等于72，72不就六倍根二吗？所以说X就是六倍根二的时候取等号，这个六倍根号刚好就在6到12之间，它是可以取得的。所以说S3角形ADB的面积就等于108减去6X加X分之432，那么就小于等于108减去72倍根2。所以最后我们再答一下就可以了，所以这一步，一般来说高考还要占一分的。你不打这好像没有交代完，对吧？这个一定要有奇迹。我们来反思一下，在利用基本不等式求最值的时候，要注意猜拼凑。你比如说我们数学上有这么四个字很裹人的，哪四个字呢？就是猜。想强拆的拆对吧？天你不足我们就填一下第二个。放第三个放置第四个缩。其中拆和天我们称之为配凑法，就专门有名字叫配凑法。而放和说顾名思义就是放缩法。对，有些同学猜到了这是一个放缩法，这个配售法和放射法都是比较难的。所以说用这些技巧之后，我们使其满足基本不能使用正定等三个条件。这三个字我们都说烂了，对吧？你看你们要是听到这节课之后，前面我们已经说的太多了，这里面我们就不再强调说了。我们看跟踪训练。2，如图所示，将一矩形花坛ABCD。大家看这个矩形花坛画的比较小，普通的是在这里ABCD扩建了，因为它太小了，扩建对吧？扩建为一个更大的矩形化探AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过C点。已知AB等于4米，AD等于3米，当BM等于何值时，矩形花坛AMPN的面积最小。这里我们同样设未知数，我们可以设BM为X那么由这个DC平行于AM我们可以用相似三角形对吧？相似三角形那么就是ND比上一个NA这个NA，大家注意NA我们可以用ND加上一个三，就是ND比NA。ND比NA那不就等于DC比AM，对吧？这个DC就是AB的长度是4比AM就是4加X这样的话我可以把AD用X表示，我们用十字相乘来解一下，就是ND倍的4加X就等于四倍的ND再加三整理口算。你们看啊这边有一个4ND加上一个NDX等于四倍的NDND看成一个整体，再加上一个十，两边约去CD4ND所以ND那么就等于X分之12。这样我们把把ND推完了，ND推出来是X分之12，我们放到这里。所以说这个矩形的花坛的面积S那它不就等于AM的长，4加X注意这是AM的长，那么乘以AN的长，那不就是3加X分之12吗？最后我们把这个式子整理一下就可以了。整理一下就比如说你4乘3是10二，X乘X分之12也是十二，12加12 4再加3乘X再加12乘以它12乘以X分之12乘以4，就还差这一项，就是X分之48对吧？然后就基本不等式大于等于24加上，其实可以把这个三提出来，就是三倍的二倍根号下三提出这一项就变成X分之16。最后这个计算的这个结果，就等于口算之后是48。所以说当前仅当3X等于X分之48就是这一步。我刚才是跳着写的，如果有同学看不懂，我再把这个补一下。X分之16的就是当前顶，当X等于X分之16，GX等于4的时候取得，对吧？这个等号成立。好，后面不再说了。我们对这一节课进行一个小结，主要讲两个，一个是基本不等式在生活中实际生活中的应用，一个是在几何中应用这个方法。我们前面主要讲了一个配凑法，一个重要的错误就是生活中变量一定要注意，每道题都有每道题的实际意义。所以说你们在解这个基本不等式的时候，一定要注意不要忽略变量的取值范围，这点只要注意到就行了。我们下面当堂练四道小题。首先看第一题还是一样的，每题我在调的时候，你自己视频暂停，然后对答案就可以了。这道题比较简单，这道题答案选C这个过程也比较简单。我简单的说一下，就是我们设矩形长和宽分别为XY则X大于0，Y大于0。由题我们可以得到，我们现在跟刚才那个例题是一样的，两倍的X加Y等于8，所以X加Y等于4。所以说菜矩形菜园的面积S等于XY就小于等于它这个变形就行了。就当前仅当X等于Y等于2的时候取得，所以说最后再答一下，当然这是个选择题，这个都无所谓了。我们看第二小题。好，我来对一下这个答案题，答案选B采用第二种方案划算。这个原因因为任取其中两次加油，假设第一次的油价是M元每升，第二次的油价为N元每升，那么这个时候第一种方案的均价为60分之30M加30N因为第一种方案是每次均加30升的燃油，对吧？所以说这里面，我们就34M加30N了。因为你两次的油价不一样，然后我们再除以整个的60升，这不就算这个平均，对吧？你看你这个平均燃油方案，所以说算出来是二分之M加N它是恒大于等于根号M那么第二种方案的均价就是用两，你是每次加200吗？那每次加200，我们看啊他第一次加的升数就是200除以M对吧？你的价钱是M，这是第一次加的油加了多少升，这第二次同比价，第二次加了油加了多少人，然后用总的价钱除以总的申诉，不就是平均的单价吗？把这个化简一下，就是2MN除以M加N这个就是我们所说的这个调和平均数，它是一个调和平均数。你们看把这两百一曰，那不就是这个M分之一加N分之1分之2。这个整理一下，就是小于等于根号，我们或者你这样直接用进不等式对吧？这个是上面是大于等于二倍根号M消掉MN和根号M1消就变成一个根号M因为现在是大于等于，倒过来不就小于等于。这一步我点讲一下，这道题给大家一个非常重要的技巧，就是以后以后有升有降的时候，很有意思。大家学会之后，家里不是有车子吗？对吧？你看现在的这个家用轿车很多，你回去你可以问一下你的爸爸妈妈，对吧？你看他们怎么加油的，因为油价本来就是一直有升有降。别问他，我们是每次一次加一次，把那个邮箱就加30升，还是每次就加几百块钱，让人家钱加哪一个最划算？所以说大家要注意，以后在加油的时候是按钱加，你不要按申请加这个按前加，按前加。那么通过今天的学习，你按前加这个靠谱一些。所以说这个生活中无处不在，数学是无处不在的，数学学好了可以帮助我们省钱，这个不服都不行了。你看这是一个非常好的一个例子，回去可以和你们的爸妈掰扯，对不对？你看一看他们知不知道，我觉得有些家长可能就不知道。你看你们看啊，今天你花了这些钱买了这个课，你通过第二期把你们家的油钱省下来了，那这个课的价值就很高了，对吧？这就是一种经济学的一个价值。好，我们就讲到这里，我们来看一下第三题，某工厂生产某种产品，第一年的产量为A第二年的增长率为小A第三年的增长率为小B那这两年的平均增长率为XABX军事政府问这四个关系哪一个对？还是一样的暂停，然后再看答案，这道题的答案选B这个原因我们来说一下，那么第一年的产量是A那么在第一年的增长率基础之上，第二年我们就变成了A乘以1加1。这个冲击的应该都说过，比如说它就是A加上一个A乘，它的增长率就是增量，两个A加把A提出来，那么不就变成大A倍的一加A，对不对？好，那么到第三年同理基础上再乘以一个一加AB如果平均增长率它就是每一年都增长X第一年是A乘上一加X第二年还是一个加X不就A倍的一加X平方。好，这里面我们把两端的大一消掉，就得到1加1乘1加B等于一加A负的平方根，然后再用基本不等式放缩，你们看啊基本不能放缩，这里面就可以推出一加X那么就小于等于。所以EX就小于等于2分之2，加上A加B然后把2分之2拆出一个一消掉，拆成一加2分之1加B两个一消掉可以得到X小于等于2P当前点到A等于B的时候取得，这道题也比较有意思，这就告诉我们一点什么呢？你这个平均之后，这个平均增长率比他们简单的相加肯定要小一些，这也是一个常识，大家要注意。我们来看一下最后一个练习题，在如图所示的锐角三角形空地中遇见一个内接矩形宽圆，这个是阴影部分。那么矩形花园面积的最大值为多少？大家注意这里我们可以还是一样的，先设这个答案是400，看你做的对不对。可以先设矩形花园的长为X宽为Y矩形花园的面积那么就是XY就是你设这一段长为X，你这一段常用售卖，你把它设出来，设出来数量。你看这个根据相似ADBADE和ABC相似，那么可以得到AF比AG就等于DE比BC又因为AG等于BC不是事实不是事实。所以说你这个AF和D就是和我们这个里面的DE肯定也是相等的，都是X对吧？你设这个长是X，你FG又是Y所以X加Y就等于40。这样的话我们可以推出这样一个结论。大家可以看一下你做的过程当中，你做出这个X加Y等于40。没有，所以说就基本不等式X加Y大于等于二倍根号XY可以得到XY是小于等于四的。所以说当前仅当X等于Y等于20的时候，这个矩形画圆面积最大，这个最大就是400。我们再看最后一个拓广探究，就是我们对题进行一个拓广，一个小加深。这道题我们可以简单的看一下，一家商店使用一下这个两臂不等长的平称黄金称黄金一位顾客，这就是咱们上节课前面的引子问题，所以说我们今天要把它解决了。购买十克黄金，售货员先把五克的这个砝码放在天平的左盘中，再取一些黄金后面这个天平右盘中使得平衡。然后再找一个五克的方法放在右盘中，再取一些黄金放在它使得平平衡。最后两次趁着的黄金交给顾客，你认为顾客称得的黄金是多少？是不是大于十克还是小于十克，还是选B和D这个比较有意思。我跟你讲这个数学差的顾客恐怕就要被店员忽悠了。你们可以看一下，你认为这个是大于时刻？我们来看一下为什么由于这个天平的两臂不等长，我们现在可以这样，就是完全按照那个我先给答案调出来了。大家看啊这个原因是什么？你看这是个天平，这边是左边，这个是右边，这个中间在中间，因为这已经不等长了，对吧？就是A这是B。我们知道这个先称黄金X克，后称黄金为万克。那么B乘上一个X你不是先放左边，对吧？B乘X就等于这边是放五克砝码，就是5乘1得到第一个关系式。那么同理第二关系是这边乘Y的话，就是A乘Y就等于5乘以B，就砝码放这边，对吧？5乘B这是第二个关系式。这种关系式比较简单，直接根据那个杠杆原理对吧？我们的这个计算一下就行了。我们再看由我们先把这个XY都用AB来表示，可以得到两次的黄金的总量，就是X克加Y克，一个是第一次，一个是第二次，这样的话都可以用AB表示，就是B分之5A加A分之5B把五提出来，用基本不等式，它一定是大于等于5乘以二倍的根号下，B分之A乘以A分之B就等于10。那这样的话我们当然两次相等的时候，可惜人家的天平不一样长，对吧？两臂肯定是不等长的，所以说这个天平称有问题，所以说当前顶当取等的时候成立，但是它不等的话，你这个顾客购买的黄金就要大于十克。那从这个意义上角度，大家发现没有，这个老板好像还亏了是吧？那个顾客还占占了大便宜。所以说大家在称的时候，以后注意你去菜场买菜，你不要怕他没有托盘。如果说是天枰型的，你不要怕他这个两个币不一样，他还是亏的。当然现在人家如果说想想赚你的，他下面那个那个秤是有问题的。他不是在这个天平的两臂不等长的做做这个手脚对吧？那学完之后是不是又开始涨知识了，对不对？所以说这个高中的课还是很有用的，比较有意思。我们来看电视，某书商为提高某套成熟的销售量，准备举办一场展销会。根据市场调查，每套存储定价售价定为X元的时候的这个销售量可以达到这么多万套。你们看这个已经告诉我们了也不要管他怎么来的，人家已经市场调查好了，对吧？这不叫纠结这个位置。像出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，这个改革了之后，每套丛书的供货价分成固定价格和浮动价格。大家注意，如果说你读的理解不了，你一定要注意把这个题多读几遍。这里要注意有一个固定价格和浮动价格，那么固定价格为二次元浮动价格与我们的销售量呈反比例。初中阶段我们学过反比例函数，对吧？Y等于X分之K反比例系数为10，不就X分之十吗？所以说你这个价格一定是20再加X分之10。假设不计其他成本，那么即销售每套丛书的利润等于售价减去供货价格。那么第一问求每套重复利润Y与售价X的函数Y关系给他来喊出关系。并球中每套重组定价为80元时，舒霜能获得总利润是多少钱？那这里我们来把这个有几个量我们来看一下。首先第一个，你这个X大于0，你十减0.1X也是大于零的对吧？这个整理一下，这个X范围应该是大于0。这个我们口算一下，0.1X小于10，两边同时乘以10就是X小于100。这个X是0到100的，那么你这个利润万，一定是等于谁呢？等于你这个总的。大家看下这个售价X那没错，除了数减X减去它的什么，它的成本，那成本不就是20，再加上一个十，你看一下14环比的系数，除以大家看销售量，对吧？你们看他说与销售量呈反比，这个销售量不是这个X，这个销售量应该是十减去0.1X然后再括起来，你们看啊你们初次学高中题，看这个示例的对不对？然后我们再把它化简，X减去这个分子分母同时乘以10，上面变成100除以100减去一个X那么这个减20放后面再减20。这个我们进行整理，可以写成X减100加上一个负号放这个位置，变成X减去100分之100。你减100再加个100，加100减20，那就相当于加个80。大家看我这个配置和前面讲的是一模一样，然后可以用基本或者是来解就可以了。好，我们来看一下后面的这个具体的计算过程，看跟你的做的是一样不一样。也就是说我这个100X减100等于X减100分之100的时候，100的时候可以取得最值，对吧？就是最值。当然这题人家让我们算还是取80的数，它的利润只要把80代进去算。所以说这道题我们直接将第二问已经讲完了。这个第二问就是他说每套书售价是多少吗？我直接配凑，大家看啊直接配凑，直接配置之后，我们直接用这个基本不等式这一解就行了，这个最大的利润是60元。那么这节课我们就上到此，下一节课，下一节课我们开始对这个1元2次函数和1元2次方程进行复习。好，感谢大家的收看，再见。