同学们好，今天这节课比较的重要，是我们高中数学的一个重难点。本节课我们把把这一节课当做一个免费的课，向外推出，让大家免费去学一下这个课程。这节课是基本不等式，对于基本不等式，我们高考中是必须要考察的这一点请大家放心。你像刚刚过去的2020年的2021年的高考数学题，尤其是全国医院的这个题，你像这个统计部分好多的考点都没有考到。但是每年的这个基本不等式肯定是要考察的。所以说你要是学不好，那你这个相关的一些题型你就不会做，相关的分数肯定是要丢的这也是咱们入高中以来第一个重难点。我们来看一下有这样一个岛屿，从前有一个金店的天平坏了。天枰大家应该都知道，初中都学过物理，应该知道天平的两臂长短不相等。就是说本来应该是相等的，结果他不想等这个店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法，那什么样的办法呢？他说先把这个顾客要购买的黄金放入左边的托盘中。你比如说你这是一个托盘，可以看啊，这是个托盘，这个是不一样的。这边是左边的托盘，这个是右边的这个托盘。就是先把这个黄金放在左边的托盘中，右边的加罚得到一个读数，然后再把黄金放入右边的托盘，在左边加入一个砝码，得到第二个读数。然后他说这个时候我们把两个读数相加除以2，除以二就作为黄金最终的质量出售。他问你，你觉得店主这个买卖能做到诚信无欺吗？大这个作为思考题大家想一想。所以说我们要想把今天这个问题给解决了，那你今天那个课必须学好，那你才能够把导语的部分给解决掉。大家先思考，思考完之后我们来先看一下，我们在学今天的课程之后，看一看你学今天课程之前的答案和学到今天课程之后的答案是否是一致的。听完这个课之后，你再回到导语部分再看一看。好，我们来看一下第一种题型叫基本不等式证明与理解。这里我们先引入一个问题，这个是第24届国际数学家大会的会标。这个图形曾经被脑伏笔高考题拿出来当做考题来考。这里我们看一下，其中这个正方形里面嵌套了四个小的全等直角上移。比如说AEB直角三形，还有BFC这样一个直角扇形，这几还有CGDDHA这几个直角三角形的两条直角边分别是A和B斜边就是正方形的边长。那我们知道四个直角三角形它们的面积，大家看这个面积就是阴影部分的。我现在做做的涂的这个色，阴影部分的是每一个直角山林面积都是二分之AB乘以4个，就乘以4，阴影部分面积就是2AB而我们用勾股定理可以得到，正方形的边长是根号下的A方加B方。所以说S正方形的面积就是根号下A方加B方的平方，就是A方加B方。这里面我们易得，如果A和B不相等，易得这个A方加B平方一定是恒大于2。AB这个很理解很好理解。也就是说当你这个三角形AEB通过逐渐的缩小AB的差距，就是最后那段它们相等的时候，此时里面这一个小的正方形这个面积就变成零了，这个时候A方加B方就等于2AB，你们看我们看一下这个提示，可以看一下当前紧张两个相等的时候成立，我们把这样的一个不等式称之为重要不等式。实际上初中阶段我们学过A方减2AB加B方大于等于0，即A减B的平方大于等于0，就是由这个A减B平方等于0，可以推出A方减2AB加B方大于0，由这个我们再反推A方加B方大于等于2AB这个我们称之为重要不等式。实际上这个重要不等式也就是说对于任意实数AB它都是成立的。这是一个椅子。现在我们来看一下第二个问题，如果A大于0，B大于0，我们用根号A和根号B来分别替换上面式中的AB那不就变成根号A减根号B括号的平方大于等于0。那我们也就可以得到根号A加根号B的根号一减根号B的平方，这个是大于等于0。把这个全部换掉之后，就会得到A加B是大于等于2B的根号AB得到这一个4，然后再把二给除过来，证明二给除过来，我们就得到今天咱们要重点讲的一个不等式，称之为基本不等式。在老的教材上我们称之为均值等式，这个也叫做均值不等式。我看第三个问题，上述不等式在重要不等式基础之上转化出来的。那么是否对于所有的A大于B大于都是成立的呢？首先我们来做差，我们用二分之根号AA加B减去根号AB经过通分之后，就是可以得到我刚才说的二分之根号一减根号B括号的平方大于等于0，这是可以的，即这个是成立的。同样我们还有一个性质法，比如说我们想证明根号AB小于等于2分之1加B只要证明二倍根号AB小于等于A加B就可以了。那么这边我们把它移项，移项之后，同样的配凑成一个完全平方差公式，利用平方差公式完全平方差公式配凑成一个完全平方差的形式。所以说可以推出根号一减根号B的平方大于00。这个跟刚才其实是一样的。还有几个一几个亿，这个老狐狸高考题考过，当年考过一个有几个评述，这个等一下我们再说。你像我们学过对于二分之A加B在我们专门有个名字，它叫算术平均数，而根号AB我们称之为几何平均数。我们称为几何平均数，那么这里的CD比如说我们现在AB为圆的直径，C是它上面一点，其中AC等于ABC等于B那这个时候比如说这个是圆心O连接OD，这个OD它就是二分之A加B我们称之为几何平衡。这个根据初中阶段我们学过的射影定理，当然这个摄影定理我们在此我们再回忆一下什么是射影定理。这个射影定理就是在三角形ABD中，D是直角的顶点，AB是斜边，由D向斜边AB做高，垂足为D那我们可以得到这样的三个式子。第一个式子是AD的平方等于AC乘以AB第二个是BD的平方等于BC乘以AB第3个DC的平方等于AC乘以CB这几个的推导方法我就不再讲了，因为初中相信你们都会推。如果不知道的同学可以利用相似。比如说第一个，我们就用三角形ACD和3角形ADB相似，通过相似边相似比相这个都是相等的。对应边相那个比相等可以得到这样一个式子，这个叫声音定理。那么由刚才这个第三个结论，DC的平方等于AC乘BD我们可以得到DC就等于根号下的AC乘以CB那就是根号AB所以图中的DC我们称之为几何平均数。你们看啊随着这个地点在这个半圆弧上的运动的时候，这个AB的值在不断变化。当且仅当A和B相等的时候，此时CD和OD是重合的，这个时候就是相等的。如果说不相等，它一定可以构成直角三形在RT3角形CODC中，这个直角边始终是小于斜边的，这个就是它的几何意义证明过程。好，我们接着来看知识梳理部分的第一个基本不等式。什么是基本不等式？如果A大于B大于0，则根号AB小于等于二分之A加B当且仅当A等于B的时候等号成立。其中我们把二分之A加B看成是算术平均数，叫做算术平方根号AB我们把它称之为几何平均数。两个正数的算术平数肯定是不小于它的几何平均数的，这是知识梳理部分。我们来看一下。第二个求简单代数式的最值。首先我们来以例一为例来讲解一下。当然你当然可以将视频键暂停来尝试一下。已知X大于0，X加X分之四是求它的最小值。这里我们可以尝试一下。那么根据因为X大于0，X加X分之大于等于二倍根号AB就是原来你是二分之A加B大于等于根号AB所以说这里面有两个变形，第一个变形就是A加B大于等于两倍根号AB也就是当你的A乘B为定值时，注意为定值时可以求两个数之和的最小值，就是和，即为定值求和的最小值。第二，取相等的条件就是A等于B的时候取等，一定要注意取等的条件，这个等一下我再总结。第二种情况就是两边同时平方，我们可以得到AB小于等于二分之A加B括号的平方。这个时候如果A加B为定值，可以求A乘B的最大值，可以求A乘B的最大值。像上面这个求的是A加B的最小值，一个是最大值，一个是最小值。那么同样它取等的条件就是A和B相等。所以这里面应用基本不等式一定要注意，要满足三个条件，我们简称为一正二定、san shen 3相等。所谓一正就满足AB都为正值，就是A大于0，B也大于零定。所谓的定就是出现A乘B为定值或者是A加B为定值的时候，我们才可以利用上述这个条件来解决一和二的两类基本的问题。第三个相等，你再看一下，就是渠道定制之后，再看你这个相等的条件是否是满足的。我们看一下这道题，首先X是正值，那么X加X分之四都为正值，那么根据刚才的两个数之和，A加B就大于等于二倍根号AB所以说大于等于二倍的根号下A乘B刚好A乘BX乘以X分之4，它就是一个定值式，开出来就是2，2乘2就是4，那就满足了。那我们再看一下三相等的条件，就是当且仅当X等于X分之4GX等于2的时候等号成立，因此所求的最小值就是4。有同学问老师，那你这道题好像这个相等好像不用管了。比如说人家有些题目设计的时候，这里是X大于3，或者是X大于等于三让你求X加X之三的最值。那我们这个题你要用进步的去做，那就出问题了。所以因为你这个X取2的X大于等于三里面它取不到2。所以说第三个条件一定要来验证。至于X加X分之4在3到在X大于等于三上，那么它的最小值怎么求呢？这个等式等一下我们后面函数部分要研究的东西，我们暂时先不讲。好，我们看一下延伸这个求最大值，这个题相对难一些，为什么呢？它这个符号变了，它不满足基本不等式的一增二定三相等的题目。既然不是我们通过配凑的手段，我们可以把它变成四的那里面我们可以提一个负号，你们看提一个负号，提个负号就变成负X加负X分之4。那么对于X小于零的时候，负X就是个正值，负X分之四也是一个正值。那么它就满足一正两个相乘，十四又满足而定，所以说可以求括弧里面的最小值，加个负号就变成最大值了，这就是此题的解题思路。所以说有大于等于二倍根号它也是4，所以说负的就小于等于-4，那么此题的最大值就是-4。当然我们还要研究，作为思维严谨性，大家一定要切记研究相等的条件。发现X取-2的时候，等号成立是满足题意的，故最大值为-4。这道题比较典型，对于新高一的同学来讲的话，一定要注意，一定要注意当做一个重点题型来对待。当然对还是那句话，对于数学高手这都是简单题。对于基础不好的同学一定要注意该做笔记做笔记。在此强调一下，我们看第二题，这题需要配送。首先我们来看一下X乘以X减一分之，它不是一个定值，X大于一的时候X是个正值，X减1分之4是这个正值。那我们这里面就需要用配凑的手段，就是把前面添一个X减1，那你添一个负一，那我们就再加上一个一。所以这里我们构造一个X减一出来，后面再加个一，我构造的目的就会出现，让X减1乘以X减1分之10是一个定值式。那么我们就可以用基本不等式来求解了。你看大于等于二倍根号下A乘B再加上一个一，所以最后算出这个是5。同样还要验证三相等的条件，还要验证三相等的条件。这里面当且仅当A和B相等，就是我画圈圈那两个要相等的话，我们再把它解1元2次方程，解出X等于3即可，故所求最小值为五，这是第二小题，我们来看一下这个反思。所以这个利用基本不等式求最值时，我们要注意三点。第一正，第二定就是全球定值，要么和为定值对吧？要么和为定值。第三等号是否成立？注意这三点就可以了，一定要注意。你要检验第三点的时候，一定要看这个是不是在已知范围之内，就是你要取那个条件是否在已知范围之内。我们来练几道题，来练一道题，跟踪训练。一大家暂停，然后做做完之后给你对一下答案。好，我们来对一下这个答案，此题的答案选AC，这里我们解释一下，A满足一正二定三相等肯定是成立的。你按两个层级直接套公式就可以了。C因为是负号，跟刚才一样，提高负号出来之后，这样变形也是对的。那么B为什么错呢？大家看一下B为什么错？因为B不满足正的条件，因为A有可能是小于0，所以说它是错的。如果是负值，它模可能大于等于4，吧？那么D的错误原因在哪里呢？D的错误符号相反的对吧？你把它乘过来。我们刚才学的重要不等式是A方加B方大于等于2AB所以说它也是一个错误的选项。这个分析我刚才给大家分析过，我们就不再聊着看了。我们来看第三类题型最值定理。你看问题是你能写出基本不等式的几何变形吗？这是一个重难点。我们首先看第一个第一个变形，还有第二个、第三个。这里前面我们都讲了，这个我就不再多说了。这个2和3这是两个最基本的变形。大家注意，二和三是两个最基本的变形。一个是求两个数乘积最大值，当和为定值的数一个。第三个就是属于两极为定值的数，求两数之和的最小值。那么等一下我们再说其他的结论。这个最值定理就是我们刚才实际上已经讲过了，就是乘积为定值求和的最小值，这是第一个内容。何为定值S的话，我们可以求值的最大值，所以这里面有一个减记实际上这个简单的这个简记为即定和最小和定积为集最大理解就可以了，不用使劲背。这里面有三个关键点，就是刚才说的一证203条的，这个也是不再强调了。我们到具体的就是说一定要在解题过程当中，一定要抓住这三个关键点就可以了。我们看一下例2，例二这道题，大家可以看我我的写的文章，包括上面都有这道题的解法，很多特别的多。今天因为作为新课，这些有7到8种解法非常多。我们今天先讲一种最简单的，回头后面我们再展开讲。这题答案选D因为A大于因为X大于0，Y大于0，所以说二分之X加Y大于等于根号XY所以XY就小于等于二分之X加Y加Y的平方，就直接套公式就可以了。把X加Y等于18代进去，这个九九八十一还是一样的，要验证相等的条件，发现X等于Y等于9的时候成立，比较简单。第二个还是要配凑，大家看这是两个数的乘积，但是X加上1减2，然后它并不相并不是定值，怎么办呢？我们就构造一个二，这个乘个二，外面乘个2分之1，或者把这个二提出来也可以，两个都行，随便。所以说这个最后算出来的答案是8分之1。我们看具体解题过程，就是根据提高2分之1，那么这里面配置成2X这样的话我在画横线的这两项变成BA乘B的和A加B就是AB的，这个和A加B就是2X加1减2X它就是一个定值一，所以说直接套公式就行了，套公式一算，这个就是8分之1。都是最基本的应用，还同样验证相等。当且仅当2X等于1减2X算出X等于4分之1的时候，损耗成立即可，所以Y的最大值就是8分之1，这里我们看啊通过拼凑法，利用基本不等式绝对值。这里就是通过配凑之后，要使得和为常数或者是极为常数。注意何为常数或即为常数，这是我们所说的通过变换系数来凑这个常数。这里我们对拼凑的技巧以展示为基础基础，对利用系数的变化以及等式中常数的调整，这是等价等价转化等价转化。第二个代数式的变形，一拼凑出荷货集的地址为目标。第三个我们要注意拆项添项，要注意利用进步制的前提，一正二定三相等，对吧？这个就不再说了。我们看跟踪训练二一，当X取什么值时，X方加X方分之取得最小值呢？这里首先要大于等于二倍根号AB对吧？这个直接套套完之后，有没有发现当X可以取正负一的时候，这个时候可以取最小值，这个最小值是12，发现这个条件都是满足的，这个排除不了。所以说此题的答案就是这个X取正负一的时候，最小值就是2。我们看第二问还是一样，暂停之后我们再做这个第二问。大家看一下这个X等于正负一的时候，我们知道是一减X方等于。那么当X大于负一小于一的时候，我们知道一加X和1减X都是大于零的。我们可以利用平方差公式将该式子进行因式分解之后，发现两个和就是一个定值2。那我们可以用基本不等式一画对吧？一画就可以了当且仅当两个相等的时候，绝对值也就是X取0的时候取等号，即一减X方的最大值为13X等于0，这是第二小题，这里面大家看基本不能是推导与证明。求简单代数式的最值和最值定理是咱们今天讲的三个知识点。其中方法主要用的是配凑法，常见的误区就是一定要注意，一正二定三相等，尤其是第三个相等，很多同学都没有注意到，这个一定要来注意。好，另外还有几个结论大家给大家给大家简单的说一下，我们到下节课还要再细讲基本不等式。就是今天咱们是作为一个开头的课，这个基本不等式有很多的结论，有它的结论我们到下一讲再再细说。但是我先说两个，比如说对于A方加B方大于2AB这样一个条件，我们两边注意，我们两边同时加上一个A方加B方，我们会得到两倍的A方加B方，那么就大于等于A方加B方加21B就变成A加B的平方。这个有很有广泛的应用，那么这里面它有几个变形。第一个A方加B方就大于等于二分之A加B的平方。你们看这个小变形有一个什么好处呢？就是当你知道A方加B方，求A方加B方的最小值的时候，只要知道A加B的A加B和是个定值的时候，就可以求A方加B方的最小值。你们看前面咱们讲的是求AB的最大值，直到和为定值。所以这里面何为定值？不仅可以求最大值，对于有些市值情况下可以求最小值，它的灵活变形比较多。第二个，我把它反着写，会有一个A加B小于等于根号下两倍的A方加B平方。这个式子我们反着写之后，会有一个什么呢？会有求A加，就是A方加B方为定值的时候，会求A加B的最大值，这是两个最基本的变形。那有没有其他的呢？有像我们刚才讲的还有一个结论，第三个就是A分之B加B分之A是大于等于二的对吧？这是一个结论。第四个结论就是A加B的平方，就是在这个是两边同时加2AB，就是A加B的平方大于等于四倍的AB你看我们就跳过刚才那个是啊直接或者是两边同时平方，也可以得到这样一个结论。还有第五个结论，我写在上面第五个结论。第五个结论，就是我们所说的有一个新的平均数，我们称之为调和平说，这个叫做调和平均数。调和平均数一定是小于等于根号AB小于等于二分之A加B对吧？那么同样它还小于等于这里面，根据刚才大家看这个式子，这个二分之A加B，你们看二分之A加B如果开出来之后，那就小于等于根号下的二分之A方加B方。你看就是由刚才这个是来这是一个这也是一个重要的结论。这个推导大家可以下去尝试一下，也比较的简单。好，这是我们补充的几个结论。当然它还有一些其他的，你像那个更神奇的，如果A和B不相等，AB都是正值，在根号AB和二分之A加B之间。还有一个不等式，因为现在你们是新学的学生，暂时教不了。可以，我可以写给大家看一下，让你们提前看一下这个不等式，我们叫做对数平均数不等式，也简称奥利给不等式。奥利给不等式就是现在网络时髦语，就是前一段时间。对，不是，应该是去年叫奥利给不等式，比较有意思。你像咱们前面提有些不等式，还有一个叫糖水不等式，有好几类比较稀奇古怪的不认识。好，我们接着来看一下隋唐演练。第一题还是暂停之后直接对答案。第一题选B，这个超级简单，我就不再讲了，就是让直接让它们相等的时候成立就可以了。第二题答案选C这个直接提个符号，你看你还记不记得刚才那个题型，提个负号出来，变形之后来解就可以了，也是不算难。只要前面的题型掌握好了就简单，一定要注意取等的条件验证就行了。第三题，看看你做的对不对。第三题答案选B这个原因是选项A不满足取等的条件，故不正确。C各项必须为正，你看你考虑到是不是为正了。第四个选项就是即为定值，所以不正确，也是比较简单的。第四题这个也比较简单，这个只有3，其他的你像这个第一个就是正直，对吧？一正二定三相等，所以说我所以说那个前面也比较简单。好，我们下面来看拓广探究部分，这个拓广探究部分的多选题，这里我们看一个矩形的周长为L面积为S那么四组对数中可以作为SL的对围。这种题型大家看比相对来说比较开放，所以说我们叫开放性试题。因为他这个调结论很多，结论不唯一。结论不唯一，这里面我们来找周长和面积之间的关系就行了。直接射出来之后，我们来看关系，这题答案选AC看你做的对不对。此时我们可以设矩形的长和宽分别为XY那么这里面我们就可以得到X加Y就等于周长的一半，X就等于XY再根据我们前面讲的基本不等式会得到XY小于等于二分之X加Y的平方。这样的话我们就可以得到一个重要的不等式，X小于等于16分之LL方只管验证，你比如说第一个，他第二个为什么错了呢？你这个S是六，L是8，而我们得出这个结果六要小于等于16分之8的平方，我们看啊16分之8的平方，这个是等于4，结果不成立，所以说B是错的。同理以此类推，其他的都这样来验证，直接验证这个不等式就可以了。我们再练一道题，已知XY为正实数3，X加2Y等于10，求W最大值这个单位最大值。大家看我们刚才算的那个有一个是大家还有印象吗？就是A方加B方等于大于等于2AB2边同时加上A方加B方，会有一个二倍的A方加B方大于等于A加B括号的平方。有这样一个不等式，有这个不等式大家看啊，如果说我把这个看成A我把这个看成B那么前面这个整体不就相当于A方吗？这个整体就相当于B方。你们看A方加B方是一个定值，是不是可以求A加B的对B值，所以说最大值，所以A加B就小于等于根号下两倍的A方加。比方好现在所以说这个W那么就等于根号3X加。根号2Y你看这个是A这个是B，那么就小于等于根号下二倍的A方，那就是3X。我加入中括号，再加根号2Y的平方，就是2Y我要把它括起来，你们看到这样的话，看的清楚一点，那么就等于根号下2乘以10就是根号20根号20就是二倍根号5，这不就搞定了吗？刚才我们要验证相等的条件，所以说我这个解题过程大家可以看一下，可能这个答案的解题过程有一些区别，两种方法都行，你喜欢哪一种就用哪一种这节课我们就上到这里，中间基本不等式的难点、重难点，我们在下一讲再进行讲解。包括基本不等式的应用，希望大家在听课的过程当中该记笔记。因为你是一个从初三升高一的一个学生，所以说这里面有一些重要的习惯，对你来说在这个假期养成是很有必要的。感谢大家的收看，感谢大家的收看，我们本节课就上到这里，再见。