同学们好，今天咱们来学习暑假初升高高中数学衔接课教程的第十三讲，等式性质与不等式性质。这个是不等式的一个基础课。当然还是希望大家要认真听，认真理解，该做笔记的要做笔记。这里我们来先看一个岛屿，我们知道08年北京奥运会的召开，这绝对是咱们中国经济发展水平的一个体现。这里就是这里，我们看啊有人说这个北京奥运会超过已经办的任何一届奥运会。像刚才的上述这一段话中，大家能发现哪些不等关系？你们看啊对于这样。一个叙述。你看他说08年北京奥运会注定已成为举世瞩目的一届奥运会，没有之一。那这不就是相当于我们08年北京奥运会他是什么？他是比其他的奥运会都要瞩目。这里面会出现一个不等关系式。同样的这里面还有其他的话，也会有暗含着一种不等关系式。好，这里我们来学第一个性质，等式性质与不等式性质。首先来看这样的五个小问题，判断下列命题是否正确。第一个，如果A等于B那么也可以写成B等于A第二个，如果A等于BB等于C那么A点C这叫等式传递性。第一个就是互交换性互换性，就是说它的位置写左边和右写右边，这个是没有关系的。第三个，如果说在一个方程式两边同时加上一个或减去一个C它还是相等的。同时乘上一个C也是相等的。如果C部分0，同时除以一个C也是相等的这上述这五条全部都是正确的，这些都是等式的基本性质。那我们来看一下不等式的性质是什么呢？下面我们来学习一下不等式的性质。首先我们来看一下对称性，就像刚才的那个对称性一样的。如果A大于B我们也可以写成B小于A注意这个符号就是充要条件。我们前面课程已经讲过，它是可以互相推出的。第二个传递性，如果A比B大，B比C大，那么A肯定大于C当然是不可逆的，小于那么不。可逆的。那么什么叫不可逆呢？什么叫不可逆呢？就是我们倒着推的时候不一定成立。那为什么呢？你比如说你C小于A那么一定可以推出C小于BB小于A吗？不一定。你比如说你一小于二了，你一小于二的话，那我们在取这个值的时候注意比如取个3，那一小于3，但是三并不小于2，这就是就错了，这个不可逆性。那么可加性两边同时加上一个值不变，所以说还是放一跑，这个反着推可以推，这是可逆的。可诚信是什么意思呢？就是两边同时乘一个正数，不等号的方向不发生改变，所以当然要注意，如果是一个负值，不等号的方向由大于号变成小于号，还有同向可加，大的加大的，大于小的加小的，同样可乘。如果都为正值的话，会有一个大的乘大的，大于小的乘小的。同样如果说AB都是正值，同时N次方也是一个大于号的这几个性质是非常重要的。这几个性质这个大于号写下面了，你们要看一下。好，这是七条最基本的性质，需要理解就行了，就理解。那我们来看。一下。这个例一对于实数ABC下列命题中的真命题是，若A大于B则A倍的C方大于B倍的C方。大家想这个对不对？第二个，若A大于B大于0，A分之一大于B分之一，这个很明显是错的。第二个后面错了，那么第一个这个C如果为零，它也是错的。第三个，所以第一个这个C如果说等于0，那可能就这个肯定是错了。如果这个上面越大，倒过来之后就越小，所以这个也是不对的。A小于B小于0。我们看一下，A小于B小于0，这个A分之B它是一个正值，而且我们我们知道这个A分之B一定是小于一。在原来因为我们知道在负的方向上你越小，你的绝对值就越大，所以说它是0到1之间，所以这个也是出来，那么只有第四个是对的，这个也比较简单。如果A大于B我们你想或者是你把它一向通顺也行。你比如说你一项通分写成A分之一减B分之1，通过分写成AB分之，这个B减A它是大于零的。因为B比A小，所以说B减A小于0。你是ABA小于0，所以说AB就是什么小于0，AB小于0，那一正一负，因为A比B大了，所以说A只能大于0，B只能小于0，所以例一的答案选D，这个解析我们就不再说了，刚才已经讲过了。当然这里面还有方法2，我让大家看一下这个特质排除法，你们可以取一些特质来排除。你们看啊这个A选项取个0，B选项取个2，取个一对吧？C选项取个-2，负一就可以把ABC排除。那只有D对我们进行一个反思，利用不等式的性质判断命题真假的注意点。首先第一个，我们运用不等式的性质判断时，一定要注意不等式成立的条件。你不要去弱化条件，尤其是不能想当然。有很多同学在做题的时候喜欢想当然，那可能就会出现一个问题。第二个解有关不等式的选择题的时候，我们也可以采用特指法进行排除。一定要注意，取值一定要遵循如下的原则。首先你要忠实于提议，换句话说就是要满足基础条件。第二个取值要简单，你不要搞的就你取值很难算。比如说刚才你非要娶一个2022的2021次密，这个值你能算出来吗？你是用计算器算，你也是溢出的，你根本就算不了。所以说大家一定要注意取值，尽可能的简单预算你不要取的只是把自己都带到阴沟里面去了，那就完蛋了，这是反思路。我们来练一道题，这道题大家暂停，等下给大家报一下这个答案。对此题的答案选CD你看一看你做的对不对。这个比较简单，可以带特值，也可以直接来计算。因为你这个A分之一小于B分之一小于0。这个越小不管是从正的方向还是负的方向就是同时为正或同时为负，只要出现这个等式下面越小反而越大。所以说A比B大，A比B大，那么绝对值A就小于绝对值B因为负的方向越下越大，绝对值反而越小，对吧？所以说AB都对这个CD就通过A加B小于0和AB大于0，可以判断这个是C是对的。同样这个D也很简单，我们学习下面学习第二个内容，利用不等式的性质来证明不等式。就我们利用这个不等的性质来证明不等式，包括有些解不等式等等，这都是一些题型。比如说这个例2，这个正不等式很多同学比较怕，这里面的方法有一个比较常见的就是比较法，还有综合分析法。在此我先点讲一下这个比较法一般来说我们包含两类，一个是做差比较，这是最基本的方法。做差比较还一个是做商比较。做差比较。跟零比做，商比较跟1比就是同号的时候，我们再用做商比较。我们看此题存在证明的时候，可以两边同时乘以C减AC减B或者是直接做差也行，无所谓。比如说我们有做差，做差之后通分这一步初衷，相信参加过中考的你们应该不是问题。然后把上面进行因式分解，就是合并同类项，提供因式因式分解可以得到这一步。得到这一步之后，再根据C大于A大于B我们知道这个是大于零的，这个也是大于零的，这个也是大于零的，C也是大于零的。所以这题就是什么呢？大于零的，后面这个分析，所以说大于零的话就是前面比后面大就做完了。好，我们来看一下做差法是比较两个代数式的基本方法理论。因为我们刚才所学学过的性质解决本意这里我们看一下，我们来看第一个方法。因为A大于B大于0，所以A分之一小于B分之1，这个是常识。因为C大于0，所以两边同时C之后，编号可以得到A分之C小于B分之C这个也比较简单。所以说我们两边同时做差，那么A分之C减1小于B分之C减1G得到这样一个式子。有同学老师我怎么能想到？你是调答案直接看出来了。好，这里我们实际上是用了一种综合分析法。就是你先看这个不等式，以实验把它拆开，拆成A分之C减1和B分之C减1。那两边减一可以直接与角度倒着推。所以说只要比较A分之C和B分之C你比较A分之1B分之一C是正值，就相当于比较A分之一和B分之一就倒着的推写的时候是顺着写就可以了。这是一种我们所说的分析法来解题。分析法还有一个对应的叫综合法。这个分析法我们专门用四个字，就是有因。捣鼓。原因捣鼓。而。综合法是治国所。因。这是自果说因。那么什么叫由因导果呢？就是因就是条件，由条件来推导这个不是由因导果。这个我写反了，这个分析法是自古所因，是这样的，反着写，写反了。这个是综合法，大家注意分析法就是从结论推这个条件，就是自我顺应。而综合法是由因到果是由条件推结果，这个一定要注意，往往这两个字不分彼此，我们把它统称为什么综合分析法？统称为综合分析法，这个大家一定要注意理解就行了。你看刚才这个就是说分析法，所以说最后我们再判断一下就可以了，就比较简单，就倒过来之后再判断。那么方法二我们看方法二，就是由C大于A大于B我们先把C减A小于C减B推导出来，然后再倒过来。倒过来之后，又因为你这个A大于B大于0，对吧？所以说用大的乘大的，大于小的乘小的，这个完全这个方法二，大家注意方法二完全是利用不等式的性质来解题的，比较的重要。我们的反思一下。首先第一个利用不等式的性质对不等式的证明，其实其实质就是利用性质对不等式进行变形，要注意变形，一定要注意等价。第二个用做差法证明不等式或者是用加法比较大小的原理其实是一样的。变形后一定要注意判断符号，这是两个反思，我们训练一道题，这道题还是用来暂停之后我给大家对一下这个过答案也是有两种方法。第一种方法是作差比较，你们看跟你们做差比较是不是一样的。然后再根据题目中的条件来判断CA乘B和C倍的B减A的符号，从而可以推出这个是大于零的，就可以证明A分之C大于B分之C就可以了。我们再看方法2，方法二是因为A大于B大于0，两边其同时取导数可以推出，也可以推出这个B分之一大于A分之一大于0。因为C小于0，所以B分之C就小于A分之C即A分之C大于B分之C的化学方向就行了，这个题比较的简单，我们来看一下第三类题型，利用不等式的性质求代数式的取值范围。一道例题我们来讲一下，这道题比较的经典，很重要。希望大家如果说不会的话，需要在我你们那个作业本上整理，可以先思考这道题。我们由A大于-6小于8，我们先推这个B大于22小于3，我们先推这个2A的范围和这个2A加B的范围，就是两边同时加B就是大于大的、加大的，小于小的加小的。你们看啊这两个和这个结合起来，对吧？你2A加B就大于小的，加小的就是2加上一个-12就得到-10。这里我解释一下，三加上16就是十九，得到这样一个式子。那这个事之后，我们再看，我们要推A减B的时候，先求负B的范围，把B大于2小于三角边同时乘以负一，得到负B的范围是-3到-2。又因为A的范围是-6，还是一样的，A减B一定要写成A加负B还是一样。A加负B就大于-6，加负三就可以得到-9，右边就是小于-2加8就得到6。好，我们再看后面的，又因为D分之一把它倒过来，那就变成大于3分之1，小于2分之1。注意这一步，这一步由B是大于二小于3，取最大值3的时候有最大值B分之1，有最小值3分之1B取最小的2的时候，对应导过来一定是小于2分之1。那这里面分两种情况。第一种情况就是A为负正值的时候，B分之一求一波。那么A为负值的时候，B这个负A退出来之后，我们再求一步了，分两次。所以说由一二我们并起来之后，这个答案就是-3到4，看一看你做的这个结果是否一致。后面这一步，一定要切记，分两种情况讨论就行了。这一关这是一个小重点，我们来进行总结一下、思考一下、反思一下。利用不等式的性质求最值范围的策略。这里面有两个小策略。第一个，建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系。最后利用一次不等式性质进行运算，求得待求的范围，这是第一个。第二个，同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形，有些时候需要可能扩大范围的，这个大家要注意一下，就我们刚才那个解实际上不是最严谨的解法，但是它不影响做一般的题。好，我们来练一道题，另一道题，这个题还是一样的，大家先思考一下。好，这是两道题空的答案，看一看能不能对得上。第一个解决过程就是还是要求负B的范围，再用A加负B大于大的加大于小的加小的，小于大的加大的就可以了，比较简单。第二个就是先由这个B分之一的范围，然后再用乘法运算来做，就是两个数相乘，大于小的乘小的小鱼大成大的就可以推出，这个是4分之1到2。我们进行一个小结，本节课我们就讲完了，我们进行小结这个等式的性质和不等式的性质进行应用。尤其是第二个是咱们的重点，是本节课的重点，这是两个知识点。那么方法我们主要是讲的一个是做差比较，这里还有就是做差比较，还有做商比较，还有乘方比较法等等。这三个长还有个，这里面我们可以再加上一个分析法，分析法还有综合法等。主要是分析法或者是他们的结合叫综合分析法。这个分析法我们刚才已经说过了，叫做治国。所以而综合法是由因捣鼓，就是一个正的解，一个反着解就行了，这个大家理解就行了。场面误区这里面一定要注意，不管是性质的单向性或者是什么双向性，因为每条线都具有可逆性，不不是不是每条性质都具有可逆性的，所以说有些时候你倒推不一定成立，这个一定要注意，这是一个小误区。紧接着我们来练四道题，非常演练的四道题。第一题直接带特质也行，直接一个比较也行。第一题这个答案选D，这个也比较简单，可利用赋值。比如说你令A为一，B为-2，我们就可以排除一部分选项对吧？有些时候你。排出来。是俩了之后，你再带一个特质对吧？有些时候可能艺术特质搞不定，有带两种特质来进行。排查。第二题看一看，这题都是基础题，这个题答案是选C看你做的对不对，证明也比较简单。C为零的时候，这个A不对，C小于0，B不对，AB小于0，A大于B可以推出，就是刚利用我们刚才讲的那个把它通分，其实就可以看出来对吧？所以C是成立的，同意D不成立。第三小题，此题的答案选C看你做的对不对。这个过程，因为B是大于负四小于2，所以B的绝对值这一步一定要注意。B的绝对值取到这边最大的小于四大于等于0。因为可以取到0，所以说负B的绝对值的范围两边从整个负号那就大于-4小于等于0。又因为A是大于一小于3，所以这个A减B的绝对值就大于负三小于3，这是第三点。我们看第四小题，这个题也比较简单。你们暂停之后。然后对应答案。第一个大于号、第二个小于号、第三个小于号、第四个小于号。这里面我们接着来看最后一个例题，拓广探究的你们还是要先思考一下其中正确的命题为，我给大家对一下这个答案，这只有第一个是对的，这个也比较简单。比如D对于一这个A方减B方等于一，那我们可以推出A加B乘A减B等于1，所以说A减B就等于A加B分之1。因因为因为A加B是个正值，所以说A减B肯定大于0，可以推出A大于B大于0，故这个A加B一定是大于A减B大于零的。若A减B大于等于一则A加加B分之一肯定是大于等于一的。因为它它俩是互为倒数，对不对？你没办法，就刚才这个式子一定可以推出这个式子，就是你A减B如果说A减B大于等于一，那么它一定大于等于0，就等价于A加B肯定是大于零小于一的或者小于等于一的。所以说一定会有这样一个关系存在，这与A加B大于A减B矛盾，所以说故A减B小于一次密。这个推导有点意思，这比前面题目难度大一些。那么对于2，我们取个特殊值，取A等于3，B等于4分之3就可以了。你看3加4分之3怎么可能这是大于一对吧？那对三无取特殊值，A1.9B等于4就可以了。就是上面那个题，我们来看一下这个变式还是一样的暂停，暂停之后给大家对一下这个答案。你们看一下。我的都调完，都调完看一下。先看这个第一面的，因为1元2次函数图像过原点，我们可以我们看啊，所以说这个C为零，所以Y是等于AX方加BX又因为X等于负一的时候，A减B大于等于一，小于等于2。当X等于一的时候，A加B这个大于等于三小等于4。所以说当X取-2的时候，大家注意当X取-2的时候，Y是等于4，A减2B。所以说存在实数，使得这个式它是成立的。而4A减2B就等于M加N就是把它重新打乱打乱M让A和B在整理开始是让MN整理它变换一下变化之后我们看一下。所以对比。系数M加N等于4M减N等于负二解出MN的值，这个也比较简单。二元一次方程组解出来之后，我们可以得到4A减2B就等于A加B加上一个三倍的A减B这个实际上是用一种待定系数法整体来构造这个范围，这是咱们解题思路。你看这样的话，你不要直接用AB的范围来写，我们前面是不是课是不是讲过范围扩大。如果说你要用那个范围扩大，但是整体带的话就可以避免这个范围扩大的可能性。就是我们前面整体求A加B和A减B的目的是整体换，这样的话就可以让这个范围相对来说比较准确。所以说大的大盂大的加大的就是3加3，小于等于小的加小，那个小于等于大的加大的，大于等于小的加小的，大于等于3加3，小于等于4加6就可以了。那后面就可以解出来是6到10。比如说X等于2的时候，Y的取值范围是大于等于六且小于等于10，那么这节课我们就上了上上了10。后面我们会继续深入学习这个不等式，以及后面的难点基本不等式，感谢大家的收看，下期见。