同学们好，这一期我们来讲新的章节，就是第二章。第二章这个章的名字是1元2次函数、1元2次方程和1元2次不等式这三个二次之间的关系。其中这讲不等关系与不等式是咱们第一小节。这节的内容比较简单，但是大家作为初学者，在学习的过程当中还是不能掉以轻心。我们来看一下岛屿，我们知道在数学中对于等量关系和不等量关系也是日常生活当中最基本的关系。处处都有体现的。你比如说同学之间的高矮比较、轻重比较，再比如说国家人口的多少，面积的大小，再比如说新冠疫情传播速度的快慢比较，所以说这里面有一句诗叫做横看成岭侧成峰，远近高低各不同。比如说今年中考刚刚考完之后，你们同学之间的数学成绩也有所比较啊。这个就是我们所说的嗯，本次的关系和不等关系。我们看一下这个里面的一个小问题。在生活中我们经常看到下面的一些标志，这些标志我相信大家应该都见过。这些标志代表什么样的含义，不知道大家都清楚不清楚。你比如说第一个，大家试一试看能不能说上来第一个标志它是一个什么样的，它代表一个什么样的含义。这里是比如说大家如果说要去这个高速公路，高速公路你们要知道这个是一个限速的标志，大家注意这是限速的标志。第二个是限重，还有限高和限宽巷，七点半到10点，那个是限行的，要注意。第一个是限速，这个是代表的是最低限速50公里。最低这个高速公路最低是60，这个是最低限速50公里每时。第二个是限制重量，就是限重。限重就是说你这个重量是0到10吨，不能超过十吨。第三个是限高，最高不能超过3.5。你现在有一些大的车辆，对吧？拉货的货车比较高。第四个限宽，因为有些车子比较宽限宽是3米。第五个是时间范围，你这个时间段，我这个是上班的，或者是这个是开放的等等。这是实际生活中的一些不等关系式，大家要了解一下就行了。我们再看一下问题2，说你能用不等式或不等式组表示下列问题的不等关系吗？比如说第一个，老社团成员要求男性的成员人数M应不多于50人，不多于那不就小于等于吗？女性成员人数N不少于那不就大于等于吗？所以我们写的话就是M小于等于50，N大于等于10。那这里面的M和N都是非零自然数，或者叫正整数。比较的简单。我们第二个，某大学生应聘某公司，要求月薪不低于3000元。这里面我们写的话可以设楽心为X圆，则X大于等于B3000。第三个是小明的身高为X小华的身高为Y则小明比小华矮矮。这里我们可以写一个关系式，就是X小于Y第三个三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这个比较简单，我们就不再说了。第四个连接直线外点和直线上的各个点的线段当中，垂线段最短，那不就C一大于等于CD吗？当然了这里面我们要体现这个最终，对吧？所以说CD是最小的。我们来看一下这里面。的一些定义。常见的文字语言就是大于高于错误，不就是大于小于等于低于少于就是小于号。大于等于至少不低于就是大于等于一，小于等于至多不超过就是小于0。所以说对于像这类问题，我们一般来说注意同一个题目单位是否是一致的，我们要用适当的不等号去连接。如果多个不等关系，我们就用不等式组来表示，这个还也比较好理解。一道题为例，我们来讲解一下某汽车公司因发展需要需要购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金，购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车。根据需要，A型汽车至少买五辆，B型汽车至少买六辆。写出满足上述的所有的不等关系的不等式组。这里我们当然需要试了，对吧？我们可以设购买A型汽车和BB型汽车分别为X辆额外量。这里面像设设完之后，你们就可以根据刚才讲的刚才说的这个提议对吧？刚才说的提议A型汽车至少买五辆，B是比方买买六辆对吧？像你这个X要大于等于5，Y大于等于6，这两个先写出来，你是不超过就是小于等于1000万。那就用40乘以X就是你总共A型汽车是X0，那我们就乘以这个40万，它的单价加上B型汽车的钱要小于等于1000万。当然这里面XY是属于正数就行了。题比较简单，我们了解一下就可以了。不是，这一节课不是很重要的重点等于三个二次关系是咱们的重点。用不等式表示不等式关系的步骤。一般来说第一步就是审题，找一些关键词什么像那个至少大于像刚才不超过什么什么对吧？不超过1000万，适当的设未知数表示变量。像第二问，这第二步就是我们刚才设的XY第三步用不等号表示关键词并连接变量的不等式。所以这类题的难点大家注意，这个难点就是如何正确的找出其中隐性不等式，不等关系有变量的实际意义来限制范围。像有些题目难的话，就是它的隐含范围不太好找。确确实实在咱们高考数学题中有一些隐含范围题就是不太好找。这个大家要有心理准备，要有这个。意识。我们练练题，用不等式或不等式组表示下面的不等关系。我们来看跟踪训练的第一小题，某高速公路规定通过车辆的车货总高度一起从地面算起不能超过4米，这个比较简单，直接列就行了，就是H大于0小于等于4对吧？那么第二个A与B的和是费用是那不就A加B吗？A加B不就是A与B的和吗？非负实数，那不就是大于等于零了，所以A加B大于等于0，这两个比较简单。我们看第三个，在一个面积小于350平方米的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长大于宽的四倍。这里面已经有一个关系叫L大于4W对吧？这个跟关系比较简单，当然LW都是大于零的，还有面积小于350平方米，那我们就用L加上10，这个W加上10，那就小于350就行了。这个题也不是特别难，理解就可以了。我们来看一下第二类题型是做差法来比较大小的。我们来看一下做差法比较大小。这里的这个题大家要注意，这个做差是咱们比较不等式里面可以说是非常重要的一种方法。一般来说比较法可以分为做差和做差。我们先看做差，做差就是做差与零比，比较的简单。你比如说在初中阶段，我们知道由于数轴上的点与实数都是一一对应的，所以可以利用数轴上点的位置关系来比较实数的大小。具体如何规定我们来看一下，比如说我们这个图，我们画个数轴，这是A点，这是B点，A点是AB点是小B那么如果A点在B的左侧，那么就是小于小B同理它又是在要换的位置，就是大于它，这个也比较好理解，所以他这个依据就是A减B就等价于A减B大于零了。A等于B就减就等价于A减B等于BA小于B就等价于A小于B等于B所以也比较好理解。但是这个结论我们要看一下，要比较两个实数的大小，我们可以转化为比较它们的差与零的大小。一定要注意比较它们的差与零的大小。这里面要注意就是做差比较只需判断它的正负，就是它的符号。至于它的值管理是多大，这个是没有什么关系的。而对于两个正值也可以采用做商，我们的做差跟零比做商跟1比。你看这里面如果说两个都是正值，对吧？如果A乘BA除以B大于一，那么就等价于A大于B这里面就是AB都是正值这样一个特点项就可以了。因为都是负值，那肯定也可以。AB大于1，那么就等价于两边同乘以B变化就等于A小于B这个是在A乘AB都是负值的情况下来讨论了。好，这个理解就行了。这里面第三个。对于某些问题也可以采用中间值。那么在高中阶段这个中间值比较特别的重要。我们来看一道例题，比如这个利润比较2X方加5X加3与X方加4X加2的大小比较直接做差，直接做差就可以了。做差运算完了之后，发现是一个X方加X加1。而且这个大家注意，你通过配方之后，这个变成X加2分之1的平方，就加上一个4分之1，再减一个4分之1，后面变成加上4分之3。所以这是初中阶段的配方法，我不再细讲了。这个是肯定是恒大于零的，我们说做差就零比，所以说前面比后面大大这个填大于号。好，大家看一下这个解析就行了。我们来看一下第这个反思，做差比较两个实数大小的基本步骤。第一做差就是A减B第二变形你可以采用什么配方，包括因式分解、通风、有理化等手段。然后定好之后，于零比利用AB的大小比较基本事实就可以了。就是说它如果大于0A大于B小于0AB小于B对吧？这个刚才已经讲过了，这道题你们直接展开做差就可以了。你们先暂停一下，等一下对一下，答案其实比较简单。看一下，直接做差，前面化简是X方加10，X加上21，后面是X方加4，X减23，做差之后是负三小于0。所以说填小于号。我们看第三类叫重要不等式，这个一定要出，切记，这是一个重点，叫重要不等式。这是一个24届国际数学大会，好像是2004年好像是啊我们看啊在北京召开的第24届国际数学家大会的会标。抽象出来的图形，那你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三形面积之和的大小吗？如果从中可以得出什么样的不等式呢？如果可能，如果他们之间是否有可能相等呢？如果相对来满足什么条件呢？等等，这一下子抛出来好几个问题，或者大家听完之后什么感想？这里我们看一下，每一个小四边形就是二分之AB，如果四个零我们就再乘上一个四，这是AB我们的这个边，这个边这边就是根号下的A方加B方，两个一乘就是A方加B方。而且大家发现没有你这个举那个不是说这个是正方形的面积始终是大于四个小直角扇形面积之和，那它一定是大于2AB当然了，如果说你这个A和B相等，你们可以画图AB相等刚好可以把它拼接到一起。这是我们刚才的这个思路分析，就得到这样一个不等式。当直角扇形变成等腰直角扇形的时候，那么这个里面的小扇形EFGH就缩成一个点，此时有相等，这个我们称之为重要不等式。其实证明的话，我们还有一种这种方法来证明来看我后面这个掉的这个掉了这个，这是一个证明过程，对吧？直接移项的那个完全平方式一致就完了，比较的简单。刚才那就是几个意义，后面这个真的就是一个代数上的证明过程。我们来看下一道。第三，已知A大于0，B大于0，证明这个不等式成立。直接做差对吧？直接做差，做差之后化简会发现刚好是A减B的平方，我们说这个A减B的平方是恒大于等于零的，这个是成立的当且仅当A等于B的时候，等号是成立的又简单。那么我们看第二个仍然是做差，然后用分组分解，大家可以看一下这个过程，然后A3加B3对吧？A3加B3之后，你可以两两结合，结合完了之后，因式分解会得到A加B乘以A减B的平方，就是这样一个因式。这样的因式的话，因为大家注意这个为什么是大于等于呢？我们来讨论如果AB都为正值，成自然而然成立对吧？如果AAB都为，就是说有两个里面，这里面AB都是正值。假设人家有一些题目不知道AB那你这题就需要进行分类讨论，通过讨论要发现可能这个结果都是不一样的。当然有些时候这个变形之后，这个结果有可能是一样的。这个具体题具体分析啊不要死劲背。所以这里面我们来反思一下，比较两个数的大小关系最基本的方法就是利用做差法，通过因式分解或配方的方法，把差转化成几个因式乘积的形式。而且通过逻辑推理得到每一个因式的正负，也就是它的符号，从而判断两个数的大小关系。这是咱们的要反思感悟的东西。我们来练一道题，跟踪训练3，已知A大于0，证明A加A分之一大于等于2，所以这是入门级的。回头到这个后面的话就更简单了。我们看方法一，利用A方加B方大于等于或者AB所以说A加A分之一就相当于根号A分，A根号一的平方加根号A分之一的平方，那么它一定是大于等于二倍的，根号一乘以根号1分之1就是2。这第一个比较简单，我们来看第这个方这个方法一比较简单，我们看方法2，方法2直接减个二就做差比，刚好它是一个完全平方式，也可以做出来这个解法的。他用的这个原理它都是不一样的，比较的有意思，这是跟踪训练三的证明过程。好，这节课我们来进行一个小结。学了三个东西。第一个用不等式组表示不等关系，第二个是做差法，第三个是重要不等式。这个方法主要是做差法，就我们刚才讲的这个做差法常见误区就是实际问题中变量一定要注意它的实际意义。也就是说你把这个范围给搞定，那后面就合格了。我们练几道题，第一，某高速公路要求行驶的车速V最大速度为120公里每时，同一车道的话，车辆间距D不得小于10米，用不等式表示。首先你这个V小于等于120对吧？这个肯定要写的。还有这个间距D不小于它，不得小于就大于它，大于等于它。所以说这个答案选一比较简单。我们来看一下。第二个，完成一项装修工程，勤务工需要垫付工工资，每人是50块钱，瓦工40块钱，现有工人的工资预算是2000块钱。那么你这个木工X和瓦工到底取多人怎么算呢？大家注意。用木工每人。50块钱，不是50X吗？对吧？这不就是50X吗？加上瓦工每人40，就是40万，就是总的钱数吗？总的钱数你能不能超过2000？肯定不能超过2000。那两边的同时除以10，这是写写这个X除以一个十，那不就变成5X加4Y小于等于2000除以1。这个刚才我们除以10就是变成200了，对吧？好，所以说此题的答案选D，把它讲完，我们看第三个，第三个还是一样的做差。还是要做差，这个M减N等于X方减去负X减1。整理一下X方加X再加1，加X再加1，这个是1元2次方程。我们知道跟刚才讲的是一样，配偶方会发现这个是X加4，不是加2分之1的平方，再加上一个4分之3，所以这是恒大于零的，所以说M大于。若实数A大于BA方减AB余，它大于零还是做差，这个没什么好说的，就直接做差之后化简之后是A减B的平放就OK了。好，拓广探究了这两个一个答案是2，一个答案是正负一。原因就是还是直接利用基本不等式就可以了。你们看啊A方加B方减2，AB就等于A减B的平方。所以说A方加B方一定大于等于2，AB那就大于等于2，那这个就做完了。第一个空非常的简单，我们看第二个，当你检查A等于B的时候，等于正负一的时候取得最小值。那我们看啊当前点到A等于B等于正负一，我们说等号成立成两个相等，那就是AB就等于A方，AB等于A方。那你A和B相等的时候就这样，这个好像没什么问题，我们再看一下下一道这个。便是有学生若干人，住宿若干就是住若干宿舍。如果每间住四人，那么还余49人。如果每间住六人，只有一间不满，但不空求宿舍兼的天数和学生人数，这题还是一样的，大家暂停，我给你们调过程看一下，设宿舍有S间，这学生就是4X加19。我们看一下，每间宿舍四人N1阶，就是有多少有X减，那不就4X了，对吧？你还试一下19，说明这个人数就是4X加19。一题4X加19，小于6X就是住6间的话还住不满对吧？小于84X加19等于六倍X减1。这个一般来说都能列到，就是两边同时，两边同时限制，你不能说只考虑一端对吧？解得X有这样一个范围，再由它是正整数可以推出X取的是12还有11这3个字，其他都不行。所以说学生的人数再带你去算，比如4乘10加19，40就是59了。第二个同理，把11和12代数分别对应的有63和67这类人数，这样333 10个人数，通过今天的这个不等式和不等关系学习，你们大体对这个不等式这一章节的入门的知识点应该有一个大概的了解。希望大家再接再厉，好好的把这个视频的题都搞透。开学之后，回去学校之后，你们解的才比较顺手。好，今天课就上到这里，感谢大家的收看，下期见。