第16练 等差数列与等比数列的应用《数学》拓展模块一下册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》第16练，聚焦等差数列与等比数列应用，以“基础-中档-综合”三阶分层设计，通过实际情境问题实现从单一公式应用到跨知识综合的巩固路径，培养数学建模与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一数列公式应用|选择题1（女善织）等古算情境题，直接考查等差数列基本量计算| |中档|复杂情境数列计算|填空题12（塔七层）等问题，需结合等比数列求和公式推导项的值| |综合|等差等比综合应用|解答题14（季度利润），融合等差中项与等比通项，考查多公式关联应用|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一下册（高教版第三版） 第七章 数列 第16 练 等差数列与等比数列的应用 一、选择题 1．《张丘建算经》曰：今有女善织，日益功疾（注：从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布）．若该女第一天织布2尺，现有一月（按30天计），共织布390尺，则从第2天起每天比前一天多织布（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．某工厂2026年1月的产值为100万元，计划从2月起，每月产值比上月增长，按照此计划，预计该工厂2026年全年的总产值约为________万元．（参考数据：，，）（    ） A． B． C． D． 3．为宣传家乡，“保山文旅”制定了一个为期5周的“粉丝增长计划”，通过每周在抖音平台发布一系列优质视频实现粉丝增长．若其周粉丝增长量成等差数列，且第五周增长的粉丝数为第一周的3倍，5周目标共增加50万粉丝，则第2周应增长的粉丝数量是（ ） A．5万 B．7.5万 C．10万 D．12.5万 4．小李同学在高三第一次月考成绩进步时，妈妈奖励了他1支纪念签字笔，并承诺：之后每次月考，若成绩较上一次进步，则奖励的签字笔数量翻倍，否则不奖励．小李最终以优异成绩考入理想大学，期间共获得31支纪念签字笔，则他月考成绩进步的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．某古街元宵节挂灯笼，第一座牌楼下挂6盏灯笼，从第二座起，每座牌楼下比前一座多挂2盏，一共挂了10座牌楼.那么这10座牌楼共挂了（   ）盏灯笼. A．24 B．150 C．166 D．176 6．某林场计划第一年造林40公顷，以后每年比上一年多造林，则5年后造林总面积约为（   ） A．186公顷 B．244公顷 C．356公顷 D．199公顷 7．某剧院有20排座位，从第二排起，每排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有座位的个数是（　　） A．1020 B．2000 C．2200 D．2400 8．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问该人第四天走的路程为（   ） A．48里 B．24里 C．12里 D．6里 二、填空题 9．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传．意思是：有斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多斤，直到第8个孩子为止．在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为________． 10．现有《九章算术》“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，则该女子第三天织布的尺数为__________． 11．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，已知最上面一层铺了块瓦片，且往下每一层多铺一块，若斜面上共铺了层瓦片，则共铺了________块瓦片. 12．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一.”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为_______. 三、解答题 13．某网店销售手机壳，第一个月销售了100个，之后每个月比上个月多销售20个. (1)求该网店第3个月的销售量； (2)求该网店前3个月一共销售了多少个手机壳. 14．某村办企业在年度生产中，前三季度的利润逐季增长且成等差数列，后三季度的利润成等比数列.已知第二、第三季度利润之和是12万元，全年共盈利28万元，试问：该企业第四季度盈利多少万元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块一下册（高教版第三版） 第七章 数列 第16 练 等差数列与等比数列的应用 1、 选择题 1． 《张丘建算经》曰：今有女善织，日益功疾（注：从第二天开始，每天比前一天多织相同量的布）．若该女第一天织布2尺，现有一月（按30天计），共织布390尺，则从第2天起每天比前一天多织布（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】B 【分析】根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的求和公式即可得解. 【详解】根据题意，建立等差数列模型，设数列为，其中，，公差为， 则，解得， 故选：. 2．某工厂2026年1月的产值为100万元，计划从2月起，每月产值比上月增长，按照此计划，预计该工厂2026年全年的总产值约为________万元．（参考数据：，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，从 1 月到 12 月，各月产值构成首项 、公比 的等比数列，再根据等比数列求和公式解答即可. 【详解】由题意可得，从 1 月到 12 月，各月产值构成首项 、公比 的等比数列， 设 1 月产值为 万元，公比 ， 则2026年全年的总产值，代入，则. 故选：B. 3．为宣传家乡，“保山文旅”制定了一个为期5周的“粉丝增长计划”，通过每周在抖音平台发布一系列优质视频实现粉丝增长．若其周粉丝增长量成等差数列，且第五周增长的粉丝数为第一周的3倍，5周目标共增加50万粉丝，则第2周应增长的粉丝数量是（ ） A．5万 B．7.5万 C．10万 D．12.5万 【答案】B 【详解】设该等差数列为，其公差为，依题意，， 则，即，解得， 所以第2周应增长的粉丝数量. 故选：B. 4．小李同学在高三第一次月考成绩进步时，妈妈奖励了他1支纪念签字笔，并承诺：之后每次月考，若成绩较上一次进步，则奖励的签字笔数量翻倍，否则不奖励．小李最终以优异成绩考入理想大学，期间共获得31支纪念签字笔，则他月考成绩进步的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】第一次月考进步奖励1支笔，之后每次进步奖励数量翻倍， 因此每次进步获得的笔数构成首项，公比的等比数列． 由等比数列求和公式，得，解得， 所以小李同学获得了5次奖励，即有5次月考成绩是进步的． 故选：C． 5．某古街元宵节挂灯笼，第一座牌楼下挂6盏灯笼，从第二座起，每座牌楼下比前一座多挂2盏，一共挂了10座牌楼.那么这10座牌楼共挂了（   ）盏灯笼. A．24 B．150 C．166 D．176 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列的求和公式即可得解. 【详解】由题意可知，每座牌楼下挂的灯笼构成一个首项为，公差为的等差数列， 则， 故选：. 6．某林场计划第一年造林40公顷，以后每年比上一年多造林，则5年后造林总面积约为（   ） A．186公顷 B．244公顷 C．356公顷 D．199公顷 【答案】B 【分析】根据等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】由题意知每年的造林面积构成等比数列，记作， 其首项，公比， ∴前5项和（公顷）． 故选：B. 7．某剧院有20排座位，从第二排起，每排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有座位的个数是（　　） A．1020 B．2000 C．2200 D．2400 【答案】A 【分析】先根据等差数列通项公式求解出第一排的座位数，再由等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】由题意可得，该剧院的座位构成等差数列， 即公差，，且， ∴，即， 解得， ∴个， ∴这个剧院一共有1020个座位. 故选：A. 8．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问该人第四天走的路程为（   ） A．48里 B．24里 C．12里 D．6里 【答案】B 【分析】根据题目所给信息建立等比数列模型来求解. 【详解】设该人第天走里路， 因为从第二天起每天走的路程为前一天的一半，所以数列是公比的等比数列， 已知（表示前天走的总路程）， 可得：，解得， 所以（里）， 综上，该人第四天走的路程为里， 故选：B. 二、填空题 9．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传．意思是：有斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多斤，直到第8个孩子为止．在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为________． 【答案】 【分析】根据等差数列的前项和公式列方程求解即可. 【详解】由题意知每人所得的旅费构成等差数列， 其中，， 则，解得． 故答案为：. 10．现有《九章算术》“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，则该女子第三天织布的尺数为__________． 【答案】4 【分析】根据织布尺数满足等比数列，借助等比数列的前n项和与通项公式求解即可； 【详解】某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍， 所以该女子每天织布的尺数满足等比数列，且公比. 因为， 所以， 所以，即第三天织布的尺数为4， 故答案为：4 11．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，已知最上面一层铺了块瓦片，且往下每一层多铺一块，若斜面上共铺了层瓦片，则共铺了________块瓦片. 【答案】 【分析】由题意，每层瓦片数构成等差数列，可利用等差数列前项和公式求解. 【详解】由题意知，每层铺的瓦片构成等差数列，且，， 所以. 故答案为：. 12．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一.”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为_______. 【答案】 【分析】根据题意建立等比数列模型，再由等比数列的前项和公式，和通项公式求值即可. 【详解】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列， 设塔顶灯盏数为，则有，解得， 从塔底数第二层灯的盏数为. 故答案为：. 三、解答题 13．某网店销售手机壳，第一个月销售了100个，之后每个月比上个月多销售20个. (1)求该网店第3个月的销售量； (2)求该网店前3个月一共销售了多少个手机壳. 【答案】(1)个. (2)个. 【分析】（）根据题意可知每月销售量成等差数列，利用等差数列的通项公式即可得解. （）利用等差数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）销售手机壳，第一个月销售了100个，之后每个月比上个月多销售20个， 则每月销售量构成等差数列，首项，公差， 则第三个月的销售量为个， （2）因为每月销售量构成等差数列，首项，公差， 则前3个月一共销售量为个. 14．某村办企业在年度生产中，前三季度的利润逐季增长且成等差数列，后三季度的利润成等比数列.已知第二、第三季度利润之和是12万元，全年共盈利28万元，试问：该企业第四季度盈利多少万元？ 【答案】16万元 【分析】假设四季度的利润分别是，，，，然后得到，，计算即可. 【详解】设四季度的利润分别是，，，， 则①，②， 由①②得，，或，. 因利润逐季增长，所以，. 所以该企业第四季度盈利16万元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $