商不变的规律（课件）2026-2027学年四年级上册数学冀教版

该小学数学课件围绕“商不变的规律”展开，通过“猴王分桃”故事导入，从8÷2=4到80÷20=4再到800÷200=4，逐步引导学生观察算式中被除数和除数的同步变化，搭建从具体情境到抽象规律的学习支架。 其亮点在于以趣味故事激发学生用数学眼光观察现实世界，通过对比分析算式培养数学思维（推理意识），总结规律及“0除外”关键培养数学语言（模型意识）。如分桃情境让学生直观感知数量关系，判断题强化易错点，口诀助力记忆。帮助学生发展抽象能力和创新意识，教师可依托结构化流程提升教学效率。

商不变的规律 数学王国探险之旅 1.7.2013 同学们好！欢迎来到今天的数学课堂。今天，我们将一起进入一个神奇的数学王国，开始一场探险之旅，去发现一个非常重要的数学规律——商不变的规律。准备好了吗？让我们一起出发吧！ ‹#› 故事引入：猴王分桃 花果山的桃子迎来了大丰收！看着又大又甜的桃子，猴王准备给孩儿们分一分，我们一起来看看第一次分桃的数学奥秘吧！ 猴王来主持 一共8个桃子 分给2只小猴 🤔 想一想：要把8个桃子平均分给2只猴子，每只猴子能分到几个呢？ ✏️ 列算式：总数 ÷ 份数 = 每份数 8 ÷ 2 = 4（个） 🎉 答案：每只小猴子都开心地分到了4个又大又甜的桃子！ 1.7.2013 看，花果山的桃子丰收了！猴王准备分桃子给小猴子们。第一次，猴王拿出8个桃子，要平均分给2只猴子。谁能告诉我，每只猴子能分到几个桃子呢？对啦，用除法计算，8除以2等于4，每只猴子分到了4个桃子。 ‹#› 故事发展：分桃风波 其他猴子闻到香味也赶来啦！猴王灵机一动，又搬出一筐桃子，对大家说：“这次我拿出了一整筐桃子，要平均分给所有到场的伙伴们，看看谁能先算出答案！” 桃子总数：80个 粉粉嫩嫩，果香四溢 猴子总数：20只 排排坐，等着吃果果 🧮 列式计算：80 ÷ 20 = 4（个） 🎉 结果揭晓：每只猴子还是分到了4个桃子！大家拿着桃子，开心地在花果山吃了起来，直夸猴王公平又大方。 1.7.2013 可是，其他猴子也想吃桃子，怎么办呢？猴王灵机一动，拿出了更多的桃子！这次是80个桃子，要分给20只猴子。大家快算一算，现在每只猴子能分到几个桃子？没错，80除以20，商还是4！每只猴子依然分到了4个桃子。 ‹#› 故事高潮：更多的桃子！ 花果山所有的猴子都赶来分桃啦！猴王豪爽地搬出了全部收获——整整800个又大又甜的桃子，对着台下200只馋嘴的猴子说：“别挤别挤，咱们今天平均分着吃！” 🤔 开动脑筋：如果把这800个桃子平均分给200只猴子，你能快速算出每只猴子能分到几个吗？ 列出算式算一算： 800 ÷ 200 = 4（个） ✨ 神奇发现！桃子和猴子的数量都变成了原来的100倍，但每只猴子分到的桃子还是4个！这就是有趣的“商不变规律”哦。 1.7.2013 越来越多的猴子都来了，猴王干脆把所有的800个桃子都拿了出来，要分给200只猴子。同学们，你们猜这次每只猴子能分到几个？让我们列个算式：800除以200。哇！答案竟然还是4！真是太神奇了！ ‹#› 观察与思考：你发现了什么？ 8 ÷ 2 = 4 80 ÷ 20 = 4 800 ÷ 200 = 4 01 同向观察：扩大的规律 对比第一个和第二个算式，被除数和除数同时乘了10，商依然是4；再看第二个和第三个，同时乘10，商还是没变。你发现了什么？ 02 逆向验证：缩小的规律 如果从下往上看，被除数和除数同时除以10，商依然保持不变吗？大胆猜想一下：在除法里，被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商会怎样？ 1.7.2013 同学们，请仔细观察屏幕上的这三个算式。它们的商都是4，但是被除数和除数都在变大。现在请大家思考两个问题：从上往下看，被除数和除数是怎么变化的？商呢？从下往上看，又有什么变化？ ‹#› 规律初探（一）：从上往下看 01 初次观察：基础算式变形 原式：8 ÷ 2 = 4 变式：(8 ×10) ÷ (2 ×10) = 4 💡 发现：被除数和除数同时乘10，商依然是4，保持不变！ 02 再次验证：进阶算式变形 原式：80 ÷ 20 = 4 变式：(80 ×10) ÷ (20 ×10) = 4 💡 发现：同样是同时乘10，商还是稳稳的4，纹丝不动！ 🔍 仔细观察，两次变化的共同点是什么？ 规律大揭秘！ 当被除数和除数同时乘以一个相同的数（0除外）时，商的大小保持不变。这就是商不变性质的核心奥秘，你学会了吗？ 1.7.2013 我们先从上往下看。第一个算式到第二个算式，被除数8变成了80，乘以了10；除数2变成了20，也乘以了10。商呢？还是4，没有变！再看第二个到第三个算式，被除数和除数也都乘以了10，商依然不变。我们好像发现了一个秘密：被除数和除数同时乘以一个相同的数，商不变！ ‹#› 规律初探（二）：从下往上看 01 观察：算式三 → 算式二 800 ÷ 200 = 4 ↓÷10　　↓÷10　　　↓不变 (800÷10) ÷ (200÷10) = 4 💡 发现：被除数和除数同时除以10，商不变！ 02 观察：算式二 → 算式一 80 ÷ 20 = 4 ↓÷10　　↓÷10　　　↓不变 (80÷10) ÷ (20÷10) = 4 💡 发现：被除数和除数同时除以10，商不变！ 核心规律小结 被除数和除数同时除以一个相同的数（0除外），商不变。无论是从上往下还是从下往上观察，这个规律都成立！ 1.7.2013 现在我们反过来，从下往上看。第三个算式到第二个算式，被除数800变成了80，除以了10；除数200变成了20，也除以了10。商还是4！再看第二个到第一个算式，被除数和除数也都除以了10，商还是没有变！这说明，被除数和除数同时除以一个相同的数，商也不变！ ‹#› 总结规律：商不变的规律 💡 核心规律 被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商的大小保持不变。这是除法运算中最基础、最重要的性质之一，也是我们进行简便运算的好帮手。 ⚠️ 特别注意！ 这个数绝对不能是 0！这是规律成立的必要前提，也是考试中最容易被忽略、最容易丢分的易错点，大家一定要记牢！ 课堂小思考：为什么这个数不能是 0 呢？开动你的小脑筋，结合我们学过的“除法的意义”来分析一下吧！ 🔑 关键原因 在数学规则中，除数不能为 0。如果被除数和除数同时除以 0，或者同时乘 0，都会导致除数变为 0，此时算式就失去了数学意义，无法进行计算。 📝 趣味记忆 “同乘同除商不变，唯有零字要除外；牢记前提不马虎，数学计算稳又准。” 把这个口诀记在心里，做题再也不会忘啦！ 1.7.2013 综合我们刚才的发现，我们可以总结出一个非常重要的数学规律——商不变的规律。那就是：在除法里，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商不变。但是，这里有一个非常非常重要的前提，大家一定要记住：这个数不能是0！谁知道为什么不能是0呢？对啦，因为除数不能为0，所以这个规律里的“相同的数”必须把0排除在外。 ‹#› 课堂练习（一）：快速说出答案！ 根据每组第 1 题的商，直接写出下面两题的商，比比谁的反应速度最快！😜 01 第一组 🎈 72 ÷ 9 =8 720 ÷ 90 = ________ 7200 ÷ 900 = _______ 02 第二组 🚀 36 ÷ 3 =12 360 ÷ 30 = ________ 3600 ÷ 300 = _______ 03 第三组 ⚡️ 80 ÷ 4 =20 800 ÷ 40 = ________ 8000 ÷ 400 = _______ 小锦囊：利用“商不变的规律”：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变。掌握这个规律，你就能直接“秒杀”答案啦！ 1.7.2013 好了，现在我们已经掌握了商不变的规律，是时候来练练手了！这里有三组题目，请大家根据每组第一题的商，快速说出下面两题的答案。看看谁能最快最准确地回答出来！ ‹#› 答案揭晓！ 01 第一组 72 ÷ 9 = 8 720 ÷ 90 =8 7200 ÷ 900 =8 💡 规律：被除数和除数同时乘10或100，商始终保持不变！ 02 第二组 36 ÷ 3 = 12 360 ÷ 30 =12 3600 ÷ 300 =12 💡 规律：同时扩大相同的倍数，商依然稳稳当当！ 03 第三组 80 ÷ 4 = 20 800 ÷ 40 =20 8000 ÷ 400 =20 💡 规律：无论末尾加几个0，只要同时加，商就不变！ 🎉 总结时刻：这三组算式完美印证了“商不变的规律”！当被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），它们的商永远不会改变。掌握这个规律，能帮我们快速解决很多复杂的除法计算哦！ 1.7.2013 我们来核对一下答案！第一组的答案都是8，第二组都是12，第三组都是20。大家都答对了吗？我们可以看到，每一组的被除数和除数都同时乘以了10或者100，根据商不变的规律，它们的商当然也就不变啦！ ‹#› 课堂练习（二）：我是小法官（1） 🔍 今日判案挑战 “一个除法算式，被除数是两位数，除数是两位数，商一定是一位数。” 这句话是对的还是错的呢？请在括号里打上 √ 或 × ( ) 💡 思维小锦囊 遇到“一定”这种绝对的说法要多留心！试着举个例子验证一下： 比如：99 ÷ 11 = ? 如果除数再小一点，商会发生什么变化？ ✏️ 行动起来：拿出练习本，写出一个反例，证明你的判断吧！ 1.7.2013 接下来，我们来当一回小法官，判断下面这句话的对错。题目是：一个除法算式，被除数是两位数，除数是两位数，商一定是一位数。这句话对吗？大家可以想一想，或者举个例子来验证一下。 ‹#› 判断题解析：两位数相除，商一定是一位数吗？ × 答案：错误 核心错因：“绝对化”表述不严谨 “一定”意味着毫无例外。虽然整数除法中商常为一位数，但数学中还有小数、余数等情况，这直接推翻了“绝对化”的结论，因此原说法错误。 常规场景：整数商的情况 在小学阶段，我们常遇到的整数除法中，商往往是一位数。例如：99 ÷ 11 = 9，这是符合直觉的常见情况。 关键反例：引入小数后的结果 当计算结果包含小数时，结论就不成立了。例如：25 ÷ 20 = 1.25，这是一个小数，并非一位整数，直接证明了原说法的错误。 💡 避坑锦囊：做判断题时，遇到“一定”、“必须”、“全部”这类绝对化的词语，试着找一个反例来推翻它，就能轻松得出正确答案啦！ 1.7.2013 公布答案！这句话是错误的。虽然在整数除法中，两位数除以两位数，商通常是一位数，比如99除以11等于9。但是，如果我们考虑到小数，比如25除以20等于1.25，商就不是一位数了。所以题目中说“一定”是一位数，就不准确了。我们在做判断题时，一定要特别注意“一定”、“都”这样的词语哦！ ‹#› 课堂练习（二）：我是小法官（2） 01 / 请判断对错 “被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商不变。”（ ） 思考时刻：关键的“小尾巴” 这句话听起来很熟悉，但好像漏掉了一个至关重要的前提条件哦！快回忆一下，这个“相同的数”可以是任何数吗？ 1.7.2013 第二道判断题来了！这句话是不是听起来特别耳熟？它说：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商不变。大家仔细想一想，这句话完整吗？有没有漏掉什么关键信息？ ‹#› 这道题，你答对了吗？ 答案：× 很遗憾，这个说法是错误的。你发现问题出在哪里了吗？ ❓ 为什么会错？因为漏掉了关键前提！ 在数学的除法运算中，“0”是一个绝对的禁区——它永远不能作为除数。题目中的表述忽略了这个最基本的规则，因此结论是不成立的。这也是大家在考试中最容易踩的“坑”哦！ 01 / 错在哪？ 原句缺少了“0除外”这个核心条件。如果同时除以0，算式就违反了除法的定义，变得没有意义，所以这个说法是不严谨的。 02 / 核心原则 0不能作为除数，这是数学运算的铁律。无论是在商不变规律，还是其他除法计算中，一旦除数为0，整个运算就失去了数学意义，这是必须死守的底线。 03 / 正确说法 被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。一定要把这个前提条件补充完整哦！ 1.7.2013 这道题的答案也是错误的！为什么呢？因为它忘记了我们刚刚强调过的那个最重要的前提——0除外！正确的说法应该是：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。这个“0除外”四个字，可是必不可少的哦！ ‹#› 课堂练习（二）：我是小法官（3） 📝 本期考题 一个除法算式的被除数和除数都被同时扩大到原来的100倍，商不变。请仔细判断这句话的对错，并在括号内填入“√”或“×”。 ( ) 💡 思路小锦囊 回顾核心规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。题目中“同时扩大到原来的100倍”，就相当于被除数和除数同时乘以100，这完全符合商不变的规律呀！ 1.7.2013 最后一道判断题！题目说：一个除法算式的被除数和除数都被同时扩大到原来的100倍，商不变。大家仔细分析一下，“同时扩大到原来的100倍”是什么意思？这符不符合我们今天学的商不变的规律呢？ ‹#› 答案：√ 太棒了，你答对了！ 结论：这句话完全正确 “扩大到原来的100倍”是“乘以100”的通俗说法。这是一个常见的数学表达，描述的正是被除数和除数发生的同步变化。 核心原理：商不变的规律 根据数学规则，被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商的大小保持不变。题目中同时乘以100（非零数），完全符合这一规律，因此商不会发生改变。 1.7.2013 这道题的答案是正确的！“同时扩大到原来的100倍”其实就是“同时乘以100”的另一种说法。既然被除数和除数同时乘以了一个相同的数（100），那么根据商不变的规律，它们的商当然是不变的啦！大家都做对了吗？ ‹#› 课堂总结：今天我们学到了什么？ 💡 商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。 01 同步行动 被除数和除数要“有福同享，有难同当”，必须同时发生变化，不能只变一个。 02 运算限定 只能是“乘”或者“除以”同一个数，可不能用加法或者减法哦，那会改变商的大小。 03 公平一致 大家乘的数要一样，除的数也要一样，就像分糖果，每个人分到的必须是一样多的。 04 特别警告 这个数绝对不能是0！因为0不能做除数，这是数学界的“红线”，一定要记住。 🌟 小小数学家寄语：数学的世界充满了规律和奥秘！只要大家在生活中多观察、多思考，大胆去猜想，小心去验证，你们一定能发现更多有趣的数学秘密，成为最棒的数学探索家！ 1.7.2013 好了，同学们，今天的数学课就要结束了。让我们一起回顾一下今天学到的知识。我们学习了商不变的规律，它的核心就是：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。请大家牢记这四个关键要点：同时、乘或除以、同一个数、0除外。希望大家都能用心观察和思考，发现更多数学的奥秘！ ‹#› 谢谢观看 🎉 今天的数学探险完美收官，我们下节课继续探索！ 🎉 1.7.2013 今天的数学探险之旅到此结束！同学们表现得都非常棒！我们下节课再见！ ‹#› $