4.2+整式的加法与减法（课时3）（教学课件） 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦整式的加法与减法，通过“两位数交换数字相加/相减”小组游戏导入，引导学生用代数式表示数并推导规律，衔接同类项“两同两无关”判定，搭建从具体问题到整式加减运算（去括号、合并同类项）的学习支架。 其特色在于以游戏探究激活数学眼光，从现实问题抽象出整式模型，如用10a+b表示两位数推导和为11(a+b)，培养抽象能力与模型意识。通过生活类比（苹果合并）、例题分层（化简、求值、实际应用）强化数学思维，提升运算与推理能力。学生能在活动中感悟数学本质，教师可依托清晰流程与实例高效教学。

4.2 整式的加法与减法 （课时3） 人教版（2024） 七年级上册 任意写一个两位数 交换它的十位 数字与个位数字，又得到一个数 两个数相加 重复几次看看，谁能先发现这些和有什么规律？对于任意一个两位数都成立吗？ 小组游戏1 合作探究 整式家族的“三兄弟”：认识代数式核心成员 代数式家族里，单项式是独立的“积木块”，多项式是积木搭成的“小房子”，二者合在一起便统称为整式，构成了整式运算的基础框架。 单项式 & 多项式 统称：整式 核心结论：整式的加减运算，本质上就是对括号的处理与同类项的合并，是连接单项式与多项式运算的关键桥梁。 1.7.2013 刚刚我们提到了整式，那到底什么是整式呢？其实整式家族有三位核心成员：单项式、多项式和整式本身。大家可以把单项式想象成一块块独立的积木，而多项式就是用这些积木搭成的小房子。单项式和多项式合在一起，就统称为整式。而我们今天要学习的整式加减，其实就是围绕着两个核心操作展开的：去括号和合并同类项。 ‹#› 同类项判定 生活中我们会把同类物品归类，数学中整式也有“家人”——同类项。判断它们是否“同姓同源”，只需记住核心口诀：“两同两无关” ▍核心规则详解 1. 判定“两同”：所含字母必须完全相同；相同字母的指数也必须分别相同。 2. 排除“两无关”：与系数的大小无关；与字母的排列顺序无关。所有常数项互为同类项。 关键点①：两同 字母相同 + 相同字母指数相同，缺一不可。 关键点②：两无关 只看字母和指数，系数大小、字母顺序不用管。 特例：常数项 如 5、-8、π 等，所有数字常数都是同类项。 小试牛刀：判断 2a²b 与 2ab² 是否同类项？π 与 3 呢？ 解析：2a²b与2ab²指数不同，不是；π和3都是常数，是同类项。 1.7.2013 我们已经知道要“分类整理”，那在数学里，什么样的项才算“一家人”呢？它们叫做“同类项”。判断标准很简单，就两条：第一，所含的字母必须完全一样；第二，相同字母的指数也必须完全一样。记住这个口诀：“两同两无关”。现在，大家来当一回小法官，看看下面这几组是不是同类项？ ‹#› 如果用 a，b 分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为： . 交换这个两位数的十位数字和个位数字， 得到的数是： . 将这两个数相加可得： 10a + b 10b + a 探究点1：整式的加减运算及应用 【游戏揭秘】 (10a + b) + (10b + a) = 10a + b + 10b + a = (10a + a) + (10b + b) = 11a + 11b = 11(a + b) 原来不管个位和十位上的数字是几，这两个数字之和肯定是 11 的倍数，结果不变. 探究点1：整式的加减运算及应用 例题练习 合并同类项和去括号是进行整式加减运算的基础，利用它们就可以进行整式的加减运算． 例题练习 总结归纳 3.法则背后的原理是乘法分配律：把同类项的系数看作一个整体，利用 ax + bx = (a+b)x 的形式，实现系数的合并运算，这是整式加减的核心依据。 1.生活与数学的类比：3个苹果 + 5个苹果 = 8个苹果，同理 3x + 5x = (3+5)x = 8x。就像数相同物品一样，同类项可直接合并数量。 2.合并同类项法则：将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 1.7.2013 好，既然找到了同类项，下一步就是合并它们。这个过程非常简单，就像我们数苹果一样。3个苹果加5个苹果，等于8个苹果。同样地，3x加5x，就等于8x。大家发现规律了吗？对，就是把代表数量的系数加起来，而代表东西的字母和它的指数保持不变。这个法则的背后，其实就是我们熟悉的乘法分配律。 ‹#› 典例分析 例1：合并同类项计算： (1) (2x - 3y) + (5x + 4y) (2) (8a - 7b) - (4a - 5b) 解：(1)(2x - 3y) + (5x + 4y) = 2x - 3y + 5x + 4y ➔ 去括号法则应用 = 7x + y ➔ 合并同类项结果 解：(2)(8a - 7b) - (4a - 5b) = 8a -7b -4a +5b ➔ 括号前负要变号 = 4a - 2b ➔ 系数相加减化简 1.7.2013 现在我们来看一个稍微复杂一点的例子。这里有两个多项式的加减运算。第一步，我们需要根据去括号法则去掉括号。注意第二个式子括号前是减号，去掉括号后里面的每一项都要变号。第二步，我们把同类项找出来，比如2x和5x，-3y和4y。最后一步，合并同类项，系数相加，字母和指数不变。看，一个复杂的式子就被我们轻松化简了。 ‹#› 游戏 2：请同学在纸片上写一个两位数，交换个位上的数与十位上的数得到一个新数，将这两个数之差除以原数个位与十位的数字的差，结果是否也不变？ 比如：(15 - 51)÷(1 - 5) 【类比游戏】 探究点1：整式的加减运算及应用 将这两个数相减可得： (10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = (10a - a) + (b - 10b) = 9a - 9b = 9(a - b) 交换前后的两个数字： 10a + b，10b + a 这两数之差是 9 的倍数. 结果依然不变. 探究点1：整式的加减运算及应用 例题练习 例7 做大、小两个长方体纸盒，尺寸如表所示． （1）做这两个纸盒共用纸多少平方厘米？ 例题练习 例题练习 （2）做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米？ 总结归纳 3.解决实际问题分三步：先根据题意列代数式，再去括号、合并同类项化简，最后结合题意得出最终结果。 1.整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项，遵循先括号后合并的顺序。 2.整式加减的本质是：去括号、合并同类项 1.7.2013 非常好！通过刚才的练习，我们可以总结出整式加减的完整法则了。其实就一句话：先去括号，再合并同类项。这个法则不仅适用于纯粹的数学计算，也能帮我们解决生活中的实际问题。解决问题时，我们只需要三步：第一步，根据题目意思列出代数式；第二步，运用法则进行化简；第三步，得出最终答案。 ‹#› 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先 ，然后再 ． 整式的加减运算法则： 去括号 合并同类项 探究点1：整式的加减运算及应用 (1) 2x - 3y + (5x + 4y)； (2) (8a - 7b) - (4a - 5b). 例1 化简下列各式. 解：(1) 原式= 2x - 3y + 5x + 4y = (2x + 5x) + (-3y + 4y) = 7x + y. (2) 原式= 8a - 7b - 4a + 5b = (8a - 4a) + (-7b + 5b) = 4a - 2b. 探究点1：整式的加减运算及应用 概念归纳 整式的加减运算法则 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 系数相加减，字母和指数不变 用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加 新知探索 整式加减结果的注意点 （1）不含同类项； （2）含字母项的系数如果是带分数，要化成假分数； （3）一般不含括号； （4）结果如果是多项式，一般按照某一字母的升幂或降幂排列． 典例分析 例2：做大小两个长方体纸盒，其长、宽、高的尺寸通过字母参数表示，具体数值如下表所示，试通过整式运算解决用料问题。 类型 长 /cm 宽 /cm 高 /cm 小纸盒 a b c 大纸盒 1.5a 2b 2c 问题 (1)：总用料计算 求做这两个纸盒共用料多少平方厘米，即求两个长方体表面积之和，需结合长方体表面积公式展开整式加法运算。 问题 (2)：用料差值计算 求做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米，即求大长方体表面积与小长方体表面积的差，进行整式减法运算。 1.7.2013 接下来，我们用整式加减来解决一个实际问题。假设我们要制作两个长方体纸盒，它们的尺寸用字母表示。问题是，做这两个盒子一共需要多少材料？大盒子比小盒子多用多少材料？这其实就是求两个表面积的和与差。大家先思考一下，长方体的表面积公式是什么？ ‹#› 解：小纸盒的表面积是（2ab + 2bc + 2ca）cm2 大纸盒的表面积是（6ab + 8bc + 6ca）cm2 （1）做这两个纸盒共用料： (2ab + 2bc + 2ca) + (6ab + 8bc + 6ca) = 2ab + 2bc + 2ca + 6ab + 8bc + 6ca = (2ab+6ab)+(2bc+8bc)+(2ca+6ca) = 8ab + 10bc + 8ca (cm2) 典例分析 1.7.2013 ‹#› （2）列式计算：大纸盒用料减去小纸盒用料 原式 =（6ab + 8bc + 6ca） - （2ab + 2bc + 2ca） = 6ab + 8bc + 6ca - 2ab - 2bc - 2ca = (6ab-2ab)+(8bc-2bc)+(6ca-2ca) = 4ab + 6bc + 4ca (cm2) （2）做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米？ 已知条件回顾： 小纸盒表面积：2ab + 2bc + 2ca (cm²)；大纸盒表面积：6ab + 8bc + 6ca (cm²) 典例分析 1.7.2013 接下来解决第二个问题：大纸盒比小纸盒多用多少材料。这次我们用大纸盒的表面积减去小纸盒的表面积。注意，这里是减法，所以小纸盒的表面积要加上括号。去掉括号时，里面的每一项都要变号。然后，同样地，我们合并同类项，最后得出多用的材料是 4ab + 6bc + 4ca 平方厘米。大家看，通过整式加减，我们轻松解决了这个几何问题。 ‹#› 探究点2：运用整式的加减运算化简求值 问题：先化简，再求值： 3y²－x²＋2(2x²－3xy)－3(x²＋y²)，其中 x＝2，y＝－1. 解：(1) 原式＝3y²－x²＋4x²－6xy－3x²－3y² ＝(3y²－3y²)＋(－x²＋4x²－3x²)－6xy ＝－6xy. 当 x＝2，y＝－1 时， 原式＝－6×2×(－1)＝12. 其中 x = -2，y = . 例4 求 的值， 解： 当 x = -2， y = 时， 探究点2：运用整式的加减运算化简求值 = -3x + y2 原式 = (-3)×(-2) + 例题练习 先将式子化简，再代入数值进行计算往往比较简便． 新知探索 整式的化简求值 整式的化简求值以整式的加减运算为基础，具体步骤如下： 一化：利用整式的加减运算将整式化简． 二代：把已知字母或整式的值代入化简后的式子． 三计算：依据有理数的运算法则进行计算． 1.整式加减运算法则 课堂总结 2.整式化简求值的一般步骤 3.整式加减在实际问题中的应用 整式的加减 整式加减法运算法则 求式子的值 先将式子 ，再 数值进行计算，比较简便 应用 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先 ，然后再_________ 去括号 合并同类项 化简 代入 $