1.2 一元二次方程的解法（第6课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，核心知识点为Δ=b²-4ac及根的三种情况。课堂导入通过知识回顾求根公式及使用前提，结合问题引入中判断方程是否有实根的提问，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡到判别式的探究。 其亮点在于以问题驱动和探究交流培养数学思维，如推导Δ与根的关系发展推理能力，例题和巩固练习分层设计，方法点拨总结“化定算判”步骤形成结构化思维，课堂小结系统梳理知识提升数学语言表达。学生能提升逻辑推理和问题解决能力，教师可利用完整流程和分层素材提高教学效率。

1.2 一元二次方程的解法（6） 第一章 一元二次方程 学 习 目 标 1 2 理解一元二次方程根的判别式的定义和意义． 掌握利用Δ的值判断一元二次方程实数根的三种情况． 3 能不解方程，直接判别方程根的情况；能根据根的情况反求参数取值． 知识回顾 1．一元二次方程求根公式是什么？使用公式的前提条件是什么？ x＝ （b2－4ac≥0），使用公式的前提条件是 b2－4ac≥0 ． 2．为什么必须满足 b2－4ac≥0 才能开平方？ 负数没有平方根，根号内必须非负． 问题引入 判断下列方程是否有实数根： (1) x2－2x＋1＝0； (2) x2＋x＋1＝0； (3) 2x2－3x－2＝0． 思考：是否存在一种更快捷的方法，无需解方程就能直接判断一元二次方程是否有实数根？ 获取新知 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)通过配方，可以变形为 ． 因为 4a2＞ 0，所以这个方程是否有实数根取决于 b2－4ac ． 我们把式子 b2－4ac 叫作一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ＝b2－4ac． 讨论交流 Δ（b2－4ac）与一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的实数根之间有什么关系？ 当 Δ＞0时，＞0，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ＝0时，＝0，方程有两个相等的实数根； 当 Δ＜0时，负数不能开平方，方程没有实数根． x＝ 利用Δ的符号可以判别一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根的情况． 新知归纳 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的根的情况： 当 Δ＞0时，有两个不相等的实数根； 当 Δ＝0时，有两个相等的实数根； 当 Δ＜0时，没有实数根． 有实数根 例题讲解 例7 不解方程，判别下列方程根的情况． 解：(1) 由 a＝2，b＝3，c＝－4， Δ＝32－4×2×(－4)＝41＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根． (1) 2x2＋3x－4＝0；　 (2) 16y2＋9＝24y；　 (2) 原方程可变形为 16y2－24y＋9＝0． 由 a＝16，b＝－24，c＝9， Δ＝(－24)2－4×16×9＝0， 可得原方程有两个相等的实数根． 例题讲解 例7 不解方程，判别下列方程根的情况． 解：(3) 原方程可变形为 5x²－7x＋5＝0． 由 a＝5，b＝－7，c＝5， Δ＝(－7)2－4×5×5＝－51＜0， 可得原方程没有实数根． (3) 5(x²＋1)－7x＝0．　 方法点拨 利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的基本步骤是什么？ 一化：化成一般形式 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) ； 二定：确定 a、b、c 的值(带自身正负号) 三算：代入计算 Δ＝b2－4ac； 四判：根据 Δ 正负判断根的三种情况． 新知巩固 不解方程，判别下列方程根的情况： (1) x2＋3x－1＝0； (2) x2－6x＋5＝0； 解：(1) 由 a＝1，b＝3，c＝－1， Δ＝32－4×1×(－1)＝13＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根 . (2) 由 a＝1，b＝－6，c＝5， Δ＝(－6)2－4×1×5＝16＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根 . (3) 2y2－3y＋4＝0； (4) x2＋5＝2x ． 解：(3) 由 a＝2，b＝－3，c＝4， Δ＝(－3)2－4×2×4＝－230， 可得原方程没有实数根. 新知巩固 不解方程，判别下列方程根的情况： (4) 原方程可变形为 ＋5＝0． 由 a＝1，b＝－，c＝5， Δ＝(－)2－4×1×5＝0， 可得原方程有两个相等实数根． 讨论交流 ① 只有一元二次方程（a≠0）才能用判别式； ② 判断前必须把方程整理成标准一般式 ax2＋bx＋c＝0 ； ③ a、b、c全部包含自身正负符号，代入计算不能丢负号． 利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时需要注意哪些问题？ 例题讲解 例8 判别关于 x 的一元二次方程 x²＋kx＋k－1＝0的实数根的情况． 解：由 a＝1，b＝k，c＝k－1， Δ＝k2－4×1×(k－1)＝k2－4k＋4＝(k－2)2． 因为 (k－2)2≥0，Δ≥0， 所以原方程一定有实数根． 例题讲解 变式 已知关于x的一元二次方程 mx2－(2m＋1)＋m＝0 (m≠0)有两个 不相等的实数根，求m的取值范围． 即 [－(2m＋1)]2－4·m·m＞0，解得 m ＞－ ． 解：∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ Δ＞0， ∵ m≠0， ∴ m的取值范围是 m ＞－ 且 m≠0． 探究交流 　　若一元二次方程的二次项系数与常数项异号，则原方程是否一定有实数根？ 解：设一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)． ∵ 二次项系数a与常数项c异号，∴ ac＜0， ∴ －4ac ＞0， ∵ b2≥0，∴ b2－4ac ＞0， 即 Δ＞0． ∴ 该方程一定有两个实数根． 新知巩固 1．当k取何值时，关于x的一元二次方程 x2－kx＋4＝0有两个相等的实 数根？求此时方程的根． ∴ (－k)2－4×1×4＝0，解得k＝±4． 解：∵ 关于x的一元二次方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根， ∴当k＝±4时，方程有两个相等的实数根． 当k＝4时，x2－4x＋4＝0，解这个方程得 x1＝x2＝2； 当k＝－4时，x2＋4x＋4＝0，解这个方程得 x1＝x2 ＝－2． 新知巩固 2．当 k 取何值时，关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋k－1＝0有两个相等的实数根、 有两个不相等的实数根、没有实数根． 解：Δ＝(－2)2－4×1×(k－1)＝8－4k， 当 Δ＝8－4k＝0时，k＝2； 当 Δ＝8－4k＞0时，k＜2； 当 Δ＝8－4k＜0时，k＞2， 所以当k＝2时，方程有两个相等的实数根； 当k＜2时，方程有两个不相等的实数根； 当k＞2时，没有实数根． 新知巩固 3．求证：关于x的方程 x2＋(2m＋1)x＋2m－1＝0有两个不相等的实数根． 证明：由 a＝1，b＝2m＋1，c＝2m－1， Δ＝(2m＋1)2－4×1×(2m－1) ＝4m2－4m＋5 ＝(2m－1)2＋4， ∵ (2m－1)2≥0， ∴ Δ＝(2m－1)2＋4＞0， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 课堂小结 2.2 一元二次方程的解法（6） 根的判别式的定义： Δ＝b2－4ac 三条核心结论：Δ＞0，两不等实根；Δ＝0，两相等实根；Δ＜0，无实根 一般步骤： 化一般式→定a，b，c→算Δ→判根 两类题型：①不解方程判根：②已知根的情况求参数 感谢聆听！ $