第二章 有理数的运算 导学案 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦有理数的加减乘除、乘方、混合运算及近似数，通过数学符号发展史和麦粒问题导入，搭建从数的认识到运算的学习支架，引导学生逐步掌握运算法则与运算律。 融入数学文化激发学习兴趣，分层设计“牛刀小试”到“直击考点”练习夯实运算能力，结合温度、质量等实例培养应用意识，助力学生用数学思维理解运算逻辑，提升数学眼光与表达能力。

第2章 有理数的运算 （教师版） 章节故事 故事一： 加减乘除（+、-、×(·)、÷(:)）等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们。别看它们这么简单，直到17世纪中叶才全部形成。 法国数学家许凯在1484年写成的《算术三篇》中，使用了一些编写符号，如用d表示加法，用m表示减法。这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的《商业速算法》中，他用“+”表示超过，用“-”表示不足。到1514年，荷兰的赫克首次用“+”表示加法，用“-”表示减法。1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“+”和“-”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用。 以符号“×”代表乘是英国数学家奥特雷德首创的。他于1631年出版的《数学之钥》中引入这种记法。据说是由加法符号+变动而来，因为乘法运算是从相同数的连加运算发展而来的。后来，莱布尼兹认为“×”容易与“x”相混淆，建议用“·”表示乘号，这样，“·”也得到了承认。 除法符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英国得到了推广。除的本意是分，符号“÷”的中间的横线把上、下两部分分开，形象地表示了“分”。至此，四则运算符号齐备了，当时还远未达到被各国普遍采用的程度。 故事二： 国际象棋是印度宰相西萨·班·达依尔发明的。国王舍罕知道后非常赞赏，就把宰相达依尔召到面前，说：“老爱卿，你以自己的聪明才智发明了这种变化无穷、引人入胜的游戏，我要重重地奖赏你。” 宰相达依尔跪倒在国王面前，说：“陛下，你的恩赐，臣万分感激。” 国王说：“我可以满足你最大胆的要求，只要你能想到的，你就可以得到它。” 宰相不做声，低着头沉思。 “不要害怕！”国王鼓励说：“说出你的愿望来吧，我会使你满意的。” “陛下，”宰相说，“那就请你在棋盘的第一个小格内赐给我1粒麦子吧。” “什么？1粒麦子？”国王感到非常意外，惊讶地问。 “是的，陛下，1粒普通的麦子。”宰相说，“请在第二个小格内赐给我2粒，第三个小格内赐给我4粒，第四个小格8粒，第五个小格16粒，照这样下去，每一小格是前一小格的2倍。 把摆满棋盘64个小格的所有麦子赏赐给你的仆人吧！” “竟是这种愿望！你不是在开玩笑吧？”国王有些生气了。他觉得这种要求是对国王财富的一种蔑视。他便用一种讥讽的口吻说：“老爱卿，这种要求大概你不会怕我满足不了你吧？”当时就叫侍从扛来一口袋麦子。 特殊的发奖仪式开始了。国王亲手在第一小格内放了1粒麦子，在第二小格放了2粒，第三小格放了4粒，第四小格放了8粒。然后就很扫兴地离开了，叫侍从代替他，并嘱咐说：“填满方格，给他送去就行了。” 聪明的你想一想，总共需要多少麦子呢？ 第01讲 有理数的加法 概念引入 👉 有理数的加法 有理数加法法则： 1. 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加. 2. 异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3. 互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数. ⚔牛刀小试 计算： （1）（﹣4）+（﹣7）； （2）1.3+（﹣2.7）； （3）67+（﹣73）； （4）（+3.8）+（﹣4.9）． 解：（1）（﹣4）+（﹣7）＝﹣（4+7）＝﹣11； （2）1.3+（﹣2.7）＝﹣（2.7﹣1.3）＝﹣1.4； （3）67+（﹣73）＝﹣（73﹣67）＝﹣6； （4）（+3.8）+（﹣4.9）＝﹣（4.9﹣3.8）＝﹣1.1． 👉 有理数加法运算律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变. 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 3. 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到简化运算的目的，通常有下列规律 ①互为相反数的两个数先相加一一“相反数结合法”; ②符号相同的两个数先相加一一“同号结合法” ③分母相同的数先相加一一“同分母结合法”; ④几个数相加得到整数，先相加一一“凑整法” ⑤整数与整数、小数与小数相加一一“同形结合法”。 ⚔牛刀小试 计算： （1） （2） （3）． 解：（1） 原式＝（3+5）+[（﹣2）+（﹣8）] ＝9+(﹣11) ＝﹣2 （2） 原式＝[（﹣）+（﹣5）]+（3+2） ＝﹣6+6 ＝0 （3）． 原式＝﹣++0 ＝0 直击考点 1．计算（﹣180）+（+20）的过程正确的是（　A　） A．﹣（180﹣20） B．+（180+20） C．+（180﹣20） D．﹣（180+20） 2．计算5+（﹣3），结果正确的是（　A　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 3．计算（﹣12）+7的结果等于（　C　） A．﹣8 B．﹣7 C．﹣5 D．19 4．与3的和为0的数是（　A　） A．﹣3 B．3 C． D．﹣ 5．计算（﹣5）+（﹣3）的值是（　D　） A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8 6．温度由﹣13℃上升8℃是（　B　） A．5℃ B．﹣5℃ C．11℃ D．﹣11℃ 7．计算： （1）（+21）+（﹣31）＝　﹣10　；（2）（﹣3.125）+（+3）＝　0　；（3）（﹣）+（+）＝　　； （4）（﹣3）+（﹣）＝　﹣3　；（5）（﹣2）+|﹣2|＝　0　；（6）|﹣1|+|﹣|＝　2　． 8．计算： （1）+（﹣）； （2）（﹣）+（﹣）； （3）（﹣）+； （4）（﹣）+（﹣）； （5）+（﹣2）； （6）（﹣）+（﹣1）；（7）（﹣1）+（﹣2）；（8）3+（﹣1）． （1）原式=﹣（﹣）=﹣ （2）原式＝﹣（+）＝﹣1； （3）原式＝+（﹣）＝； （4）原式＝﹣（+）＝﹣； （5）原式＝＝﹣（2﹣）＝﹣2； （6）原式＝﹣（+1）＝﹣1； （7）原式＝﹣（1+2）＝﹣3； （8）原式＝+（3﹣1）＝2． 9．计算： （1）23+（﹣17）+6+（﹣22） （2）（﹣2）+3+1+（﹣3）+2+（﹣4） 解：（1）23+（﹣17）+6+（﹣22） 原式＝（23+6）+[（﹣17）+（﹣22）] ＝29+（﹣39） ＝﹣10； （2）（﹣2）+3+1+（﹣3）+2+（﹣4） 原式＝[（﹣2）+2]+[3+（﹣3）]+[1+（﹣4）] ＝﹣3． 10．计算： （1）（﹣41）+（+56）+（﹣21）+（﹣31）； （2）+（﹣）++（﹣）． 解：（1）（﹣41）+（+56）+（﹣21）+（﹣31） 原式＝[（﹣41）+（﹣21）+（﹣31）]+（+56） ＝﹣（41+21+31）+（+56） ＝﹣93+56 ＝﹣（93﹣56） ＝﹣37； （2）+（﹣）++（﹣） 原式＝[+（﹣）]+[（﹣）+] ＝（﹣）+（﹣+） ＝+（﹣） ＝﹣． 11．7箱橘子，标准质量为每箱15千克，每箱与标准质量差值如下（单位：千克，超过的用正数表示，不足的用负数表示）：0.3，﹣0.4，0.25，﹣0.2，﹣0.7，1.1，﹣1，称得总质量与总标准质量相比超过或不足多少千克？7箱橘子共有多少千克？ 解：0.3+0.25+1.1+（﹣0.4）+（﹣0.2）+（﹣0.7）+（﹣1）＝﹣0.65（千克）， 15×7﹣0.65＝104.35（千克）， 答：不足0.65千克，共104.35千克． 第02讲 有理数的减法 概念引入 👉 有理数的减法 1. 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 2. 有理数加减混合运算的一般步骤是先利用减法法则，将减法转化成加法，再运用加法交换律和结合律，使计算简便. ⚔牛刀小试 1. 计算： （1）（﹣5）﹣（﹣6） （2）（﹣5）﹣（+6） （3）（﹣11）﹣0 （4）0﹣3 解：（1）（﹣5）﹣（﹣6）＝﹣5+6＝1； （2）（﹣5）﹣（+6）＝﹣5+（﹣6）＝﹣11； （3）（﹣11）﹣0＝﹣11； （4）0﹣3＝0+（﹣3）＝﹣3． 2. 计算： （1）1.6﹣（﹣2.5）； （2）0.4﹣1； （3）（﹣3.8）﹣7； （4）（﹣5.9）﹣（﹣6.1）； （5）（﹣2.3）﹣3.6； （6）4.2﹣5.7； （7）（﹣3.71）﹣（﹣1.45）； （8）6.18﹣（﹣2.93）． 解：（1）1.6﹣（﹣2.5）＝1.6+2.5＝4.1； （2）0.4﹣1＝0.4+（﹣1）＝﹣0.6； （3）（﹣3.8）﹣7＝（﹣3.8）+（﹣7）＝﹣10.8； （4）（﹣5.9）﹣（﹣6.1）＝（﹣5.9）+6.1＝0.2； （5）（﹣2.3）﹣3.6＝（﹣2.3）+（﹣3.6）＝﹣5.9； （6）4.2﹣5.7＝4.2+（﹣5.7）＝﹣1.5； （7）（﹣3.71）﹣（﹣1.45）＝（﹣3.71）+1.45＝﹣2.26； （8）6.18﹣（﹣2.93）＝6.18+2.93＝9.11． 3. 计算： （1）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6）； （2）3）+5+（﹣8）； （3）2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2）； （4）﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2． 解：（1）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6） 原式＝（4.7+8.9）+[（﹣7.5）+(﹣6)] ＝13.6+（﹣13.5） ＝0.1； （2）3）+5+（﹣8） 原式＝3﹣2+5﹣8 ＝（3+5）+[（﹣2）+（﹣8）] ＝8+（﹣11） ＝﹣2； （3）2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2） 原式＝（2.7+1.2）+[（﹣8.5）+（﹣3.4）] ＝3.9+（﹣11.9） ＝﹣8； （4）﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2 原式＝﹣0.6+0.4+[（﹣0.08）+（﹣0.92）]+[（﹣2）+2] ＝﹣0.2+（﹣1）+0 ＝﹣1.2． 4. 计算： （1）23﹣17﹣（﹣7）+（﹣16） （2）+（﹣）﹣1+ （3）（﹣26.54）+（﹣6.4）﹣18.54+6.4 （4）（﹣4）﹣（﹣5）+（﹣4）﹣3 解：（1）原式＝（23+7）+[（﹣17）+（﹣16）] ＝30+（﹣33） ＝﹣3 （2）原式＝（+﹣1）+（﹣） ＝﹣． （3）原式＝（﹣26.54）+（﹣18.54）+[（﹣6.4）+6.4] ＝（﹣26.54）+（﹣18.54） ＝﹣45.08 （4）原式＝（﹣4）+5+（﹣4）﹣3 ＝（﹣4）+（﹣3）+（﹣4）+5 ＝﹣8+（﹣4）+5 ＝﹣12+5＝﹣6． 直击考点 1．计算﹣1﹣2＝（　C　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 2．下列各式的计算结果为负数的是（　D　） A．|﹣2﹣（﹣1）| B．﹣（﹣3﹣2） C．﹣（﹣|﹣3﹣2|） D．﹣2﹣|﹣4| 3．下列运算正确的是（　B　） A．﹣2+（﹣5）＝﹣（5﹣2）＝﹣3 B．（+3）+（﹣8）＝﹣（8﹣3）＝﹣5 C．（﹣9）﹣（﹣2）＝﹣（9+2）＝﹣11 D．（+6）+（﹣4）＝+（6+4）＝+10 4．2020年12月14日（周一）武汉市某学校操场上的气温为2℃，当时学校七年级1班教室内的气温是20℃，此时这个教室的室外的气温比室内气温低（　A　）℃． A．18° B．﹣18° C．22° D．﹣22° 5．下列运算结果正确的是（　D　） A．﹣6﹣6＝0 B．﹣4﹣4＝8 C． D． 6．下列算式：①2﹣(﹣2)＝0；②(﹣3)﹣(+3)＝0；③(﹣3)﹣|﹣3|＝0；④0﹣(﹣1)＝1．正确的有（　A　）④对 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．写成省略加号和的形式后为﹣6﹣7﹣2+9的式子是（　D　） A．（﹣6）﹣（+7）﹣（﹣2）+（+9） B．﹣（+6）﹣（﹣7）﹣（+2）﹣（+9） C．（﹣6）+（﹣7）+（+2）﹣（﹣9） D．﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9） 8．下列式子可读作“负10、负6、正3、负7的和”的是（　B　） A．﹣10+（﹣6）+（+3）﹣（﹣7） B．﹣10﹣6+3﹣7 C．﹣10﹣（﹣6）﹣3﹣（﹣7） D．﹣10﹣（﹣6）﹣（﹣3）﹣（﹣7） 9．计算： （1）16﹣47； （2）28﹣（﹣74）； （3）（﹣37）﹣（﹣85）； （4）（﹣54）﹣14； （5）123﹣190； （6）（﹣112）﹣98； （7）（﹣131）﹣（﹣129）； （8）341﹣249． 解：（1）16﹣47＝16+（﹣47）＝﹣31 （2）28﹣（﹣74）＝28+74＝102 （3）（﹣37）﹣（﹣85）＝（﹣37）+85＝48 （4）（﹣54）﹣14＝（﹣54）+（﹣14）＝﹣68 （5）123﹣190＝123+（﹣190）＝﹣67 （6）（﹣112）﹣98＝（﹣112）+（﹣98）＝﹣210 （7）（﹣131）﹣（﹣129）＝（﹣131）+129＝﹣2 （8）341﹣249＝92 10．计算． （1）（﹣7）﹣（﹣14）﹣（﹣8） （2）﹣1﹣（﹣）﹣（+） （3）1.7﹣（﹣0.3）﹣（﹣2.5） 解：（1）（﹣7）﹣（﹣14）﹣（﹣8） 原式＝﹣7+（14+8） ＝﹣7+22 ＝15 （2）﹣1﹣（﹣）﹣（+） 原式＝﹣1+[+(﹣)] ＝﹣1+(﹣1) ＝﹣2； （3）1.7﹣（﹣0.3）﹣（﹣2.5） 原式＝1.7+0.3+2.5 ＝2+2.5 ＝4.5． 11．用较为简便的方法计算下列各题： （1）3﹣（+63）﹣（﹣259）﹣（﹣41） （2） （3） （4）． 解：（1）原式＝3+(﹣63)+(259+41)＝﹣60+300＝240； （2）原式＝[2+(﹣10)]+[(﹣8)+(﹣3)]＝﹣8+(﹣11)＝﹣19； （3）原式＝(598﹣84)+[(﹣12)+(﹣31)]＝514﹣44＝469； （4）原式＝[(﹣8721)+(﹣1279)]+(53+43）＝﹣10000+97＝﹣9903． 第03讲 有理数的乘法 概念引入 👉 有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数与零相乘，积为零. 2. 几个不为零的有理数相乘，先确定积的符号，再将绝对值相乘. 若其中有一个乘数为0，则积为0 注：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定. （1）当负因数有奇数个时，积为负 （2）当负因数有偶数个时，积为正 ⚔牛刀小试 1. 计算： （1）3×（﹣5）＝　﹣15　；（2）（﹣5）×（﹣4）＝　20　； （3）﹣2×0＝　0　；（4）（﹣2）×＝　﹣　； （5）（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）＝　﹣6　； （6）（﹣3）×（+2）×（﹣5）＝　30　． 2. 计算： （1）×（﹣6） （2）﹣5×2 （3）﹣×（﹣） （4）×2.5 （5）（﹣0.7）×（﹣） （6）×0.3 解：（1）×（﹣6）＝﹣2； （2）﹣5×2＝﹣10； （3）﹣×（﹣）＝＝； （4）×2.5＝＝7； （5）（﹣0.7）×（﹣）＝＝； （6）×0.3＝＝1． 3. 计算： （1）（﹣2）×3×4×（﹣1） （2）（﹣5）×（﹣6）×3×（﹣2） （3）（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2） （4）（﹣3）×（﹣1）×2×（﹣6）×0×（﹣2） 解：（1）（﹣2）×3×4×（﹣1） 原式＝+（2×3×4×1） ＝24 （2）（﹣5）×（﹣6）×3×（﹣2） 原式＝﹣（5×6×3×2） ＝﹣180 （3）（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2） 原式＝+（2×2×2×2） ＝16 （4）（﹣3）×（﹣1）×2×（﹣6）×0×（﹣2） 原式＝0 👉 倒数 1. 倒数：若两个有理数的乘积为1，则称这两个有理数互为倒数；其中一个数是另一个数的倒数. 2. 注意：0没有倒数. ⚔牛刀小试 1. 2021的倒数是（　C　） A．2021 B． C． D．﹣2021 2. 如果一个数的倒数等于它本身，那么这个数为（　A　） A．1或﹣1 B．1或0 C．﹣1或0 D．±1或0 👉 乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变. 即 . 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.即 . 3. 分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.即 ⚔牛刀小试 1. 选择适当方法，简便计算： （1） （2） （3）﹣15×24+15×13+15． 解：（1）（+﹣）×（﹣12） 原式＝×（﹣12）+×（﹣12）﹣×（﹣12） ＝﹣6+(﹣4)+3 ＝﹣7； （2）﹣19×6 原式＝（﹣20+）×6 ＝﹣20×6+×6 ＝﹣120+ ＝﹣119 （3）﹣15×24+15×13+15 原式＝15×（﹣24+13+1） ＝15×（﹣10） ＝﹣150； 2. 计算： （1）（﹣﹣）×105 （2）（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣） （3）2.25×（﹣3.5）×（﹣40）×20 （4）17.48×37-174.8×(-1.9)+8.74×88 解：（1）原式＝×105+(﹣)×105+(﹣)×105 ＝35+(﹣75)+(﹣42) ＝﹣82； （2）原式＝××× ＝3； （3）原式＝（2.25×40）×（3.5×20） ＝90×70 ＝6300； （4）原式＝17.48×37+17.48×19+17.48×44 ＝17.48×（37+19+44） ＝17.48×100 ＝1748． 直击考点 1．计算（﹣5）×3的结果等于（　C　） A．﹣2 B．2 C．﹣15 D．15 2．下列各数中，与﹣5的乘积得0的数是（　C　） A．5 B．﹣5 C．0 D．1 3．计算|﹣2×4×0.25|的结果是（　C　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 4．下列算式中，积为负数的是（　B　） A．0×（﹣5） B．（﹣2）×（﹣）×（﹣） C．（﹣1.5）×（﹣2） D．4×（﹣0.5）×（﹣10） 5．计算（﹣3）×（4﹣），用分配律计算过程正确的是（　A　） A．（﹣3）×4+（﹣3）×（﹣） B．（﹣3）×4﹣（﹣3）×（﹣） C．3×4﹣（﹣3）×（﹣） D．（﹣3）×4+3×（﹣） 6．如果□×（﹣）＝1，则“□”内应填的实数是（　D　） A． B．2019 C．﹣ D．﹣2019 7．下面计算正确的是（　A　） A．﹣5×（﹣4）×（﹣2）×（﹣2）＝5×4×2×2＝80 B．12×（﹣5）＝﹣50 C．（﹣9）×5×（﹣4）×0＝9×5×4＝180 D．（﹣36）×（﹣1）＝﹣36 8．计算：（﹣）×15×（﹣1）＝　 15 　． 9．计算： （1）（﹣13）×（﹣6） （2）﹣×0.15 （3）（+1）×（﹣1） （4）3×（﹣1）×（﹣） （5）﹣2×4×（﹣1）×（﹣3） （6）（﹣2）×5×（﹣5）×（﹣2）×（﹣7） 解：（1）（﹣13）×（﹣6）， 原式＝13×6， ＝78； （2）﹣×0.15， 原式＝﹣0.05； （3）（+1）×（﹣1）， 原式＝﹣（×）， ＝﹣2； （4）3×（﹣1）×（﹣）， 原式＝3×1×， ＝1； （5）﹣2×4×（﹣1）×（﹣3）， 原式＝﹣（2×4×1×3）， ＝﹣24； （6）（﹣2）×5×（﹣5）×（﹣2）×（﹣7）， 原式＝2×5×2×5×7， ＝700． 第04讲 有理数的除法 概念引入 👉 有理数的除法 1. 有理数的除法法则： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0. （2）除以一个数（不等于0），等于乘以这个数的倒数. 2. 有理数的乘除混合运算，通常把除法转化为乘法进行计算.把乘除混合运算统一成乘法的真正意义在于使乘法交换律结合律、约分等能够适用，使计算变得简便. ⚔牛刀小试 1. 计算： （1）（﹣84）÷（﹣7）．（2）（）÷11 （3）1 （4）2 解：（1）(﹣84)÷(﹣7) 原式＝84÷7 ＝12 （2）（）÷11 原式＝﹣× ＝﹣ （3）1 原式＝﹣1× ＝﹣ （4）2 原式＝×（﹣） ＝﹣2 2．计算： （1）0.9÷ （2）（﹣）÷5 （3）﹣18÷（﹣） （4）÷（﹣8） （5）÷（﹣） （6）2÷÷（﹣） 解：（1）0.9÷3 原式＝× ＝ （2）（﹣）÷5 原式＝﹣× ＝﹣ （3）﹣18÷（﹣1） 原式＝18× ＝10 （4）2÷（﹣8） 原式＝﹣× ＝﹣ （5）2÷（﹣2） 原式＝﹣1 （6）2÷÷（﹣4） 原式＝﹣2×× ＝﹣1． 3. 计算： （1）1.25÷（﹣0.5）÷（﹣2）×1 （2）（﹣81）÷（+3）×（﹣）÷（﹣1） 解：（1）1.25÷（﹣0.5）÷（﹣2）×1 原式＝÷÷×1 ＝×2××1 ＝1 （2）（﹣81）÷（+3）×（﹣）÷（﹣1） 原式＝﹣81÷×÷ ＝﹣81××× ＝﹣ 4. 计算 （1） （2）（﹣81）÷2.25×÷（﹣32） （3） 解：（1） 原式＝﹣×× ＝ （2）（﹣81）÷2.25×÷（﹣32） 原式＝81××× ＝ （3） 原式＝﹣××× ＝﹣ 直击考点 1．计算的结果为（　D　） A． B． C．18 D．﹣18 2．下列计算正确的是（　C　） A．0÷（﹣3）＝﹣ B．（﹣）÷（﹣）＝﹣5 C．1÷（﹣）＝﹣9 D．﹣8÷（﹣）＝1 3．计算（﹣6）÷（﹣）的结果是（　C　） A．﹣18 B．2 C．18 D．﹣2 4．下列等式成立的是（　A　） A． B． C． D． 5．计算（﹣32）÷4×（﹣8）结果是（　C　） A．1 B．﹣1 C．64 D．﹣64 6．计算： ＝　1　；＝　　；×3＝　　； 10＝　12　；2＝　　；15＝　18　． 7．填空：①﹣40÷（﹣5）＝　8　；②﹣（36）÷6＝　﹣6　；③8÷（﹣0.125）＝　﹣64　；④　0　÷32＝0． 8．计算： （1） （2） （3）（+48）÷（+6） （4） 解：（1）＝﹣6 （2）＝×6 ＝14 （3）＝8 （4）＝ ＝﹣ 9．计算： ①（﹣16.8）÷（﹣3）； ②； ③； 解：①原式＝16.8÷3 ＝5.6 ②原式＝ ＝ ③原式＝﹣ ＝﹣ ＝ 10．计算： （1） （2） 解：（1）原式＝（﹣36﹣）× ＝﹣36×﹣× ＝﹣20﹣ ＝﹣20 （2）原式＝×（×）× ＝×1× ＝ 第05讲 有理数的乘方 概念引入 👉 有理数的乘方 1. 乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数. 2. 乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0 ⚔牛刀小试 1. 计算：（1）（﹣）3 （2）（﹣）2 （3）﹣（﹣3）3 解：（1）（﹣）3 原式＝﹣（××） ＝﹣ （2）（﹣）2 原式＝× ＝ （3）﹣（﹣3）3 原式＝33 ＝3×3×3 ＝27 2. 计算：（1）23 （2）﹣54 （3）﹣ （4）﹣（）3 解：（1）23＝8 （2）﹣54＝﹣625 （3）﹣＝﹣ （4）﹣（）3＝﹣． 3. 计算： （1）(﹣2)2×(﹣3)2 （2） （3） （4） 解：（1）(﹣2)2×(﹣3)2 原式＝4×9 ＝36 （2） 原式＝9× ＝3 （3） 原式＝× ＝10 （4） 原式＝9×× ＝9 👉 科学计数法 1. 把一个数表示成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式叫做科学计数法.． 2. 确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． ⚔牛刀小试 1. 风云二号是我国自行研制的第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学计数法表示应为（　D　） A．0.358×105 B．35.8×103 C．3.58×105 D．3.58×104 2. 某市在一次扶贫助残活动中，捐款约61800000元，请将61800000元用科学计数法表示，其结果为（　C　） A．0.618×109 元 B．6.18×106元 C．6.18×107 元 D．618×105 元 3．（1）用科学计数法表示下列各数： ①900200 ②11000000 ③﹣510000 解：①900200＝9.002×105 ②11000000＝1.1×107 ③﹣510000＝﹣5.1×105 （2）将科学计数法表示的数写为原数： ①6.070×103 ②6×107 ③104 解：①6.070×103 ＝6070 ②6×107＝60000000 ③104＝10000 直击考点 1．（﹣）×（﹣）×（﹣）可表示为（　C　） A．﹣ B．3×（﹣） C．（﹣）3 D． 2．表示的意义是（　A　） A． B． C． D． 3．（﹣2）2等于（　D　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 4．2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道．将59000用科学计数法表示应为（　C　） A．0.59×105 B．5.9×105 C．5.9×104 D．5.9×103 5．用科学计数法表示的数3.61×108．它的原数是（　C　） A．36100000000 B．3610000000 C．361000000 D．36100000 6．的底数是　　，指数是　3　，计算的结果是　﹣　． 7．计算：﹣32×（﹣2）3＝　72　． 8．计算： （1）（﹣5）4 （2）﹣54 （3） （4） （5）（﹣1）2013 解：（1）（﹣5）4＝625 （2）﹣54＝﹣（5×5×5×5）＝﹣625 （3）（﹣）3＝﹣（××）＝﹣ （4）﹣＝﹣ （5）（﹣1）2023＝﹣1 9．计算： （1）（﹣2）4 （2）﹣（﹣2）3 （3）（﹣2）2×（﹣3）2 （4） （5）|﹣32﹣2|﹣|﹣23+8| （6）（﹣0.5）2×（﹣2）2×（﹣10）3 解：（1）（﹣2）4 原式＝16 （2）﹣（﹣2）3 原式＝﹣（﹣8） ＝8 （3）（﹣2）2×（﹣3）2 原式＝4×9 ＝36 （4）（﹣3）3×（﹣）2 原式＝﹣27× ＝﹣ （5）|﹣32﹣2|﹣|﹣23+8| 原式＝|﹣9﹣2|﹣|﹣8+8| ＝11-0 ＝11 （6）（﹣0.5）2×（﹣2）2×（﹣10）3 原式＝﹣（×4×1000） ＝﹣1000 10．（1）用科学计数法表示下列各数：①2021；②576万；③0.027×104；④﹣70890． （2）把下列用科学计数法表示的数还原成原数：①3.5×106；②1.20×105；③﹣9.3×104；④﹣2.34×108． （3）下列的数各是几位数？①6×108；②1.4×107；③1019；④5.2×10n． 解：（1）用科学计数法表示下列各数． ①2.021×103；②5.76×106；③2.7×102；④﹣7.089×104． （2）把下列用科学计数法表示的数还原成原数： ①3 500 000；②120 000；③﹣93 000；④﹣234 000 000． （3）①还原成原数是600000000，是9位数； ②还原成原数是14000000，是8位数； ③还原成原数是10000000000000000000，是20位数； ④还原成原数是5200…0[有（n﹣1）个0]，是（n+1）位数． 11．计算： （1） （2）． 解：（1）原式＝﹣9× ＝﹣4 （2）原式＝﹣8×× ＝﹣ 第06讲 有理数的混合运算 概念引入 👉 有理数的混合运算 有理数混合运算法则： 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 如果有括号，先进行括号里的运算 3. 同级运算，应按从左到右的顺序进行计算； 4. 如果有绝对值，要先做绝对值内的运算． ⚔牛刀小试 1. 计算 （1）﹣165+265﹣78﹣22+65 （2） （3） （4）32÷（﹣2）3+（﹣2）3×﹣22 解：（1）﹣165+265﹣78﹣22+65 ＝（﹣165+265）﹣（78+22）+65 ＝100﹣100+65 ＝65 （2） ＝﹣×××3 ＝﹣1 （3） ＝×（﹣）﹣×（﹣）﹣×（﹣） ＝﹣2+1+ ＝﹣ （4）32÷（﹣2）3+（﹣2）3×﹣22 ＝﹣9÷8+8×﹣4 ＝﹣+6﹣4 ＝ 2. 用你喜欢的方法计算下面各题： （1）0.25×3.86×40 （2）4÷÷4 （3）49× （4） （5） 解：（1）原式＝0.25×40×3.86 ＝10×3.86 ＝38.6 （2）原式＝4×5﹣× ＝20﹣ ＝19 （3）原式＝（48+1）× ＝48×+ ＝46+ ＝46 （4）原式＝+（+） ＝+4 ＝4 （5）原式＝×（﹣+） ＝×（1﹣） ＝× ＝ 3. 计算： （1） （2） 解：（1）原式＝81××× ＝1 （2）原式＝﹣16﹣3×4×（﹣）×（﹣） ＝﹣16﹣12×× ＝﹣16﹣ ＝﹣17 直击考点 1．下列算式计算结果为正数的是（　B　） A．2+（﹣3） B．2﹣（﹣3） C．2×（﹣3） D．2÷（﹣3） 2．下列运算正确的是（　D　） A．0+（﹣2）＝2 B．﹣1﹣2＝﹣1 C．×（﹣）＝﹣1 D．﹣12÷（﹣4）＝3 3．下列运算中，正确的是（　C　） A．﹣3+（﹣9）＝﹣6 B．﹣5﹣（﹣3）＝﹣8 C． D． 4．下列正确的有（　D　） A．（﹣8）+（﹣15）＝7 B．（﹣3）÷（﹣6）＝2 C．2﹣2×（﹣8）＝0 D．|﹣6|+7＝13 5．下列计算正确的是（　C　） A．﹣8﹣5＝﹣3 B．8÷（﹣）＝36﹣48＝﹣12 C．﹣24＝﹣16 D．（﹣3）2÷3×＝9 6．在等式“（﹣4）□（﹣2）＝2”中，“□”中的运算符号是（　D　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 7．计算下列各题： （1）2+（﹣1）＝　1　； （2）3﹣10＝　﹣7　； （3）（﹣2）×3＝　﹣6　； （4）12÷（﹣3）＝　﹣4　； （5）＝　5　； （6）1÷5×＝　﹣　． 8．下列算式中，①﹣（﹣2）2＝4，②﹣5÷×5＝﹣5，③，④（﹣3）2×（﹣）＝3，⑤﹣3﹣6＝﹣9．计算错误的是　 ①②③④　．（填序号） 9．计算：32﹣（﹣2）3＝　 17　． 10．计算： （1） （2） （3） （4）（﹣2）2×3+（﹣3）3÷9 解：（1） 原式＝（﹣5）+（﹣3） ＝﹣8 （2） 原式＝（）+[（﹣）+（﹣1）] ＝1+（﹣1） ＝﹣ （3） 原式＝4×2﹣×48﹣×48+×48 ＝8﹣66﹣112+180 ＝10 （4）（﹣2）2×3+（﹣3）3÷9 原式＝4×3+（﹣27）÷9 ＝12+（﹣3） ＝9 11．计算： （1）﹣7﹣（﹣10）+4 （2）（﹣+）×（﹣24） （3）18﹣6÷（﹣2） （4）8÷（﹣2）2+（﹣）×4． 解：（1）﹣7﹣（﹣10）+4 原式＝﹣7+10+4 ＝7 （2）（﹣+）×（﹣24） 原式＝×（﹣24）﹣×（﹣24）+×（﹣24） ＝﹣36+16﹣6 ＝﹣26 （3）18﹣6÷（﹣2） 原式＝18+3 ＝21 （4）8÷（﹣2）2+（﹣）×4 原式＝8÷4﹣×4 ＝2﹣2 ＝0 第07讲 近似数 概念引入 👉 近似数与准确数 准确数与近似数：与实际完全符合的数称为准确数；与实际接近的数称为近似数. ⚔牛刀小试 1. 下列问题中，哪些是近似数？哪些是精确数？ （1）地球半径是 6371米；（2）一星期有 7天；（3）光的速度是每秒 30万千米； （4）我国古代的 4大发明；（5）某学校有 36个班级；（6）小明的体重是 46.3公斤． 解：根据近似数和精确数的定义可得： （1）近似数；（2）精确数；（3）近似数；（4）精确数；（5）精确数；（6）近似数． 2. 下列各题中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？ （1）通过第三次全国人口普查得知，山西省人口总数为3297万人； （2）生物圈中，已知绿色植物约有30万种； （3）某校有1148人； （4）由于我国人口众多，人均森林面积只有0.128公顷； （5）这个路口每分钟有3人经过； （6）地球表面积约5.1亿平方千米． 解：（1）近似数；（2）近似数；（3）准确数；（4）近似数；（5）近似数；（6）近似数； 👉 精确度 一个近似数的精确度可用四舍五入法表述.一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. ⚔牛刀小试 1. 用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值． （1）2.953（保留一位小数） （2）0.9541（精确到百分位） （3）2.5678（精确到0.001） （4）5678999（精确到万位） 解：（1）2.953≈3.0（保留一位小数）； （2）0.9541≈0.95（精确到百分位）； （3）2.5678≈2.568（精确到0.001）； （4）5678999≈568万（精确到万位）． 2. 用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： （1）0.4605（精确到0.01）； （2）3.955（精确到十分位）； （3）132.5667（精确到千分位）； （4）86.4（精确到个位）； （5）1.820648（精确到小数点后第四位）； （6）4.6298（精确到千分位）． 解：（1）0.4605（精确到0.01）≈0.46； （2）3.955（精确到十分位）≈4.0； （3）132.5667（精确到千分位）≈132.567； （4）86.4（精确到个位）≈86； （5）1.820648（精确到小数点后第四位）≈1.8206； （6）4.6298（精确到千分位）≈4.630． 直击考点 1．下列说法正确的是（　D　） A．近似数4.20和近似数4.2的精确度一样 B．近似数4.20和近似数4.2的有效数字相同 C．近似数3千万和近似数3000万的精确度一样 D．近似数52.0和近似数5.2的精确度一样 2．下列数据①小明班上有45人；②吐鲁番盆地低于海平面155米；③某次地震中伤亡10万人；④小红测得数学书的长度是21.0厘米．其中精确的数据个数有（　C　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（　B　） A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02 4．2019年11月，联合国教科文组织正式宜布，将每年的3月14日定为“国际数学日”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是圆周率数值最接近的数字．将圆周率“π”用四舍五入法取近似值3.14，是精确到（　C　） A．个位 B．十分位 C．百分位 D．千分位 5．利用“四舍五入”法，把数25.395精确到0.01所得的近似数是（　B　） A．25.39 B．25.40 C．25.4 D．25.3 6．用四舍五入法，分别按要求取0.17326取近似值，下列结果中错误的是（　C　） A．0.2（精确到0.1） B．0.17（精确到百分位） C．0.174（精确到0.001） D．0.1733（精确到0.0001） 7．用四舍五入法将3.1459精确到百分位的近似值为 　3.15　 8．用四舍五入法对3.14取近似数精确到个位的结果是 　3　． 9．小亮的体重为43.85kg，若将体重精确到1kg，则小亮的体重约为　44　kg． 10．近似数0.034，精确到　千分　位． 11．按括号内的要求对下列各数取近似值 （1）130.96（精确到十分位）≈　131.0 　． （2）46021（精确到百位）≈ 4.60×104　． 12．下面表述中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？ （1）实验室里有18盏日光灯． （2）某人的身高是168厘米． （3）多媒体教室共有45台电脑． （4）世界著名海峡马六甲海峡长1080千米． 解：（1）（3）的数据是准确数，（2）（4）的数据是近似数． 13．用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似值． （1）349995（精确到百位）；（2）349995（精确到千位） （3）3.4995（精确到0.01）；（4）0.003584（精确到千分位） 解：（1）原式≈350000＝3.500×105；（2）原式≈350000＝3.50×105；（3）原式≈3.50；（4）原式≈0.004． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数的运算 （学生版） 姓名：__________ 章节故事 故事一： 加减乘除（+、-、×(·)、÷(:)）等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光在数学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们。别看它们这么简单，直到17世纪中叶才全部形成。 法国数学家许凯在1484年写成的《算术三篇》中，使用了一些编写符号，如用d表示加法，用m表示减法。这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的《商业速算法》中，他用“+”表示超过，用“-”表示不足。到1514年，荷兰的赫克首次用“+”表示加法，用“-”表示减法。1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“+”和“-”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用。 以符号“×”代表乘是英国数学家奥特雷德首创的。他于1631年出版的《数学之钥》中引入这种记法。据说是由加法符号+变动而来，因为乘法运算是从相同数的连加运算发展而来的。后来，莱布尼兹认为“×”容易与“x”相混淆，建议用“·”表示乘号，这样，“·”也得到了承认。 除法符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英国得到了推广。除的本意是分，符号“÷”的中间的横线把上、下两部分分开，形象地表示了“分”。至此，四则运算符号齐备了，当时还远未达到被各国普遍采用的程度。 故事二： 国际象棋是印度宰相西萨·班·达依尔发明的。国王舍罕知道后非常赞赏，就把宰相达依尔召到面前，说：“老爱卿，你以自己的聪明才智发明了这种变化无穷、引人入胜的游戏，我要重重地奖赏你。” 宰相达依尔跪倒在国王面前，说：“陛下，你的恩赐，臣万分感激。” 国王说：“我可以满足你最大胆的要求，只要你能想到的，你就可以得到它。” 宰相不做声，低着头沉思。 “不要害怕！”国王鼓励说：“说出你的愿望来吧，我会使你满意的。” “陛下，”宰相说，“那就请你在棋盘的第一个小格内赐给我1粒麦子吧。” “什么？1粒麦子？”国王感到非常意外，惊讶地问。 “是的，陛下，1粒普通的麦子。”宰相说，“请在第二个小格内赐给我2粒，第三个小格内赐给我4粒，第四个小格8粒，第五个小格16粒，照这样下去，每一小格是前一小格的2倍。 把摆满棋盘64个小格的所有麦子赏赐给你的仆人吧！” “竟是这种愿望！你不是在开玩笑吧？”国王有些生气了。他觉得这种要求是对国王财富的一种蔑视。他便用一种讥讽的口吻说：“老爱卿，这种要求大概你不会怕我满足不了你吧？”当时就叫侍从扛来一口袋麦子。 特殊的发奖仪式开始了。国王亲手在第一小格内放了1粒麦子，在第二小格放了2粒，第三小格放了4粒，第四小格放了8粒。然后就很扫兴地离开了，叫侍从代替他，并嘱咐说：“填满方格，给他送去就行了。” 聪明的你想一想，总共需要多少麦子呢？ 第01讲 有理数的加法 概念引入 👉 有理数的加法 有理数加法法则： 1. 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加. 2. 异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3. 互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数. ⚔牛刀小试 计算： （1）（﹣4）+（﹣7）； （2）1.3+（﹣2.7）； （3）67+（﹣73）； （4）（+3.8）+（﹣4.9）． 👉 有理数加法运算律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变. 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 3. 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到简化运算的目的，通常有下列规律 ①互为相反数的两个数先相加一一“相反数结合法”; ②符号相同的两个数先相加一一“同号结合法” ③分母相同的数先相加一一“同分母结合法”; ④几个数相加得到整数，先相加一一“凑整法” ⑤整数与整数、小数与小数相加一一“同形结合法”。 ⚔牛刀小试 计算： （1） （2） （3）． 直击考点 1．计算（﹣180）+（+20）的过程正确的是（　　） A．﹣（180﹣20） B．+（180+20） C．+（180﹣20） D．﹣（180+20） 2．计算5+（﹣3），结果正确的是（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 3．计算（﹣12）+7的结果等于（　　） A．﹣8 B．﹣7 C．﹣5 D．19 4．与3的和为0的数是（　　） A．﹣3 B．3 C． D．﹣ 5．计算（﹣5）+（﹣3）的值是（　　） A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8 6．温度由﹣13℃上升8℃是（　　） A．5℃ B．﹣5℃ C．11℃ D．﹣11℃ 7．计算： （1）（+21）+（﹣31）＝　 　；（2）（﹣3.125）+（+3）＝　 　；（3）（﹣）+（+）＝　　； （4）（﹣3）+（﹣）＝　 　；（5）（﹣2）+|﹣2|＝　 　；（6）|﹣1|+|﹣|＝　 　． 8．计算： （1）+（﹣）； （2）（﹣）+（﹣）； （3）（﹣）+； （4）（﹣）+（﹣）； （5）+（﹣2）； （6）（﹣）+（﹣1）；（7）（﹣1）+（﹣2）；（8）3+（﹣1）． 9．计算： （1）23+（﹣17）+6+（﹣22） （2）（﹣2）+3+1+（﹣3）+2+（﹣4） 10．计算： （1）（﹣41）+（+56）+（﹣21）+（﹣31）； （2）+（﹣）++（﹣）． 11．7箱橘子，标准质量为每箱15千克，每箱与标准质量差值如下（单位：千克，超过的用正数表示，不足的用负数表示）：0.3，﹣0.4，0.25，﹣0.2，﹣0.7，1.1，﹣1，称得总质量与总标准质量相比超过或不足多少千克？7箱橘子共有多少千克？ 第02讲 有理数的减法 概念引入 👉 有理数的减法 1. 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 2. 有理数加减混合运算的一般步骤是先利用减法法则，将减法转化成加法，再运用加法交换律和结合律，使计算简便. ⚔牛刀小试 1. 计算： （1）（﹣5）﹣（﹣6） （2）（﹣5）﹣（+6） （3）（﹣11）﹣0 （4）0﹣3 2. 计算： （1）1.6﹣（﹣2.5） （2）0.4﹣1 （3）（﹣3.8）﹣7 （4）（﹣5.9）﹣（﹣6.1） （5）（﹣2.3）﹣3.6 （6）4.2﹣5.7 （7）（﹣3.71）﹣（﹣1.45） （8）6.18﹣（﹣2.93） 3. 计算： （1）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6） （2）3）+5+（﹣8） （3）2.7+（﹣8.5）﹣（+3.4）﹣（﹣1.2） （4）﹣0.6﹣0.08+﹣2﹣0.92+2 4. 计算： （1）23﹣17﹣（﹣7）+（﹣16） （2）+（﹣）﹣1+ （3）（﹣26.54）+（﹣6.4）﹣18.54+6.4 （4）（﹣4）﹣（﹣5）+（﹣4）﹣3 直击考点 1．计算﹣1﹣2＝（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 2．下列各式的计算结果为负数的是（　　） A．|﹣2﹣（﹣1）| B．﹣（﹣3﹣2） C．﹣（﹣|﹣3﹣2|） D．﹣2﹣|﹣4| 3．下列运算正确的是（　　） A．﹣2+（﹣5）＝﹣（5﹣2）＝﹣3 B．（+3）+（﹣8）＝﹣（8﹣3）＝﹣5 C．（﹣9）﹣（﹣2）＝﹣（9+2）＝﹣11 D．（+6）+（﹣4）＝+（6+4）＝+10 4．2020年12月14日（周一）武汉市某学校操场上的气温为2℃，当时学校七年级1班教室内的气温是20℃，此时这个教室的室外的气温比室内气温低（　　）℃． A．18° B．﹣18° C．22° D．﹣22° 5．下列运算结果正确的是（　　） A．﹣6﹣6＝0 B．﹣4﹣4＝8 C． D． 6．下列算式：①2﹣(﹣2)＝0；②(﹣3)﹣(+3)＝0；③(﹣3)﹣|﹣3|＝0；④0﹣(﹣1)＝1．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．写成省略加号和的形式后为﹣6﹣7﹣2+9的式子是（　　） A．（﹣6）﹣（+7）﹣（﹣2）+（+9） B．﹣（+6）﹣（﹣7）﹣（+2）﹣（+9） C．（﹣6）+（﹣7）+（+2）﹣（﹣9） D．﹣6﹣（+7）+（﹣2）﹣（﹣9） 8．下列式子可读作“负10、负6、正3、负7的和”的是（　　） A．﹣10+（﹣6）+（+3）﹣（﹣7） B．﹣10﹣6+3﹣7 C．﹣10﹣（﹣6）﹣3﹣（﹣7） D．﹣10﹣（﹣6）﹣（﹣3）﹣（﹣7） 9．计算： （1）16﹣47 （2）28﹣（﹣74） （3）（﹣37）﹣（﹣85） （4）（﹣54）﹣14 （5）123﹣190 （6）（﹣112）﹣98 （7）（﹣131）﹣（﹣129） （8）341﹣249 10．计算． （1）（﹣7）﹣（﹣14）﹣（﹣8） （2）﹣1﹣（﹣）﹣（+） （3）1.7﹣（﹣0.3）﹣（﹣2.5） 11．用较为简便的方法计算下列各题： （1）3﹣（+63）﹣（﹣259）﹣（﹣41） （2） （3） （4）． 第03讲 有理数的乘法 概念引入 👉 有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. （2）任何数与零相乘，积为零. 2. 几个不为零的有理数相乘，先确定积的符号，再将绝对值相乘. 若其中有一个乘数为0，则积为0 注：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定. （1）当负因数有奇数个时，积为负 （2）当负因数有偶数个时，积为正 ⚔牛刀小试 1. 计算： （1）3×（﹣5）＝　 　； （2）（﹣5）×（﹣4）＝　 　； （3）﹣2×0＝　 　； （4）（﹣2）×＝　 　； （5）（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）＝　 　； （6）（﹣3）×（+2）×（﹣5）＝　 　． 2. 计算： （1）×（﹣6） （2）﹣5×2 （3）﹣×（﹣） （4）×2.5 （5）（﹣0.7）×（﹣） （6）×0.3 3. 计算： （1）（﹣2）×3×4×（﹣1） （2）（﹣5）×（﹣6）×3×（﹣2） （3）（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2） （4）（﹣3）×（﹣1）×2×（﹣6）×0×（﹣2） 👉 倒数 1. 倒数：若两个有理数的乘积为1，则称这两个有理数互为倒数；其中一个数是另一个数的倒数. 2. 注意：0没有倒数. ⚔牛刀小试 1. 2021的倒数是（　　） A．2021 B． C． D．﹣2021 2. 如果一个数的倒数等于它本身，那么这个数为（　　） A．1或﹣1 B．1或0 C．﹣1或0 D．±1或0 👉 乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变. 即 . 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.即 . 3. 分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.即 ⚔牛刀小试 1. 选择适当方法，简便计算： （1） （2） （3）﹣15×24+15×13+15 2. 计算： （1）（﹣﹣）×105 （2）（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣） （3）2.25×（﹣3.5）×（﹣40）×20 （4）17.48×37-174.8×(-1.9)+8.74×88 直击考点 1．计算（﹣5）×3的结果等于（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣15 D．15 2．下列各数中，与﹣5的乘积得0的数是（　　） A．5 B．﹣5 C．0 D．1 3．计算|﹣2×4×0.25|的结果是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 4．下列算式中，积为负数的是（　　） A．0×（﹣5） B．（﹣2）×（﹣）×（﹣） C．（﹣1.5）×（﹣2） D．4×（﹣0.5）×（﹣10） 5．计算（﹣3）×（4﹣），用分配律计算过程正确的是（　　） A．（﹣3）×4+（﹣3）×（﹣） B．（﹣3）×4﹣（﹣3）×（﹣） C．3×4﹣（﹣3）×（﹣） D．（﹣3）×4+3×（﹣） 6．如果□×（﹣）＝1，则“□”内应填的实数是（　　） A． B．2019 C．﹣ D．﹣2019 7．下面计算正确的是（　　） A．﹣5×（﹣4）×（﹣2）×（﹣2）＝5×4×2×2＝80 B．12×（﹣5）＝﹣50 C．（﹣9）×5×（﹣4）×0＝9×5×4＝180 D．（﹣36）×（﹣1）＝﹣36 8．计算：（﹣）×15×（﹣1）＝　 　． 9．计算： （1）（﹣13）×（﹣6） （2）﹣×0.15 （3）（+1）×（﹣1） （4）3×（﹣1）×（﹣） （5）﹣2×4×（﹣1）×（﹣3） （6）（﹣2）×5×（﹣5）×（﹣2）×（﹣7） 第04讲 有理数的除法 概念引入 👉 有理数的除法 1. 有理数的除法法则： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0. （2）除以一个数（不等于0），等于乘以这个数的倒数. 2. 有理数的乘除混合运算，通常把除法转化为乘法进行计算.把乘除混合运算统一成乘法的真正意义在于使乘法交换律结合律、约分等能够适用，使计算变得简便. ⚔牛刀小试 1. 计算： （1）（﹣84）÷（﹣7） （2）（）÷11 （3）1 （4）2 2．计算： （1）0.9÷ （2）（﹣）÷5 （3）﹣18÷（﹣） （4）÷（﹣8） （5）÷（﹣） （6）2÷÷（﹣） 3. 计算： （1）1.25÷（﹣0.5）÷（﹣2）×1 （2）（﹣81）÷（+3）×（﹣）÷（﹣1） 4. 计算 （1） （2）（﹣81）÷2.25×÷（﹣32）． （3） 直击考点 1．计算的结果为（　　） A． B． C．18 D．﹣18 2．下列计算正确的是（　　） A．0÷（﹣3）＝﹣ B．（﹣）÷（﹣）＝﹣5 C．1÷（﹣）＝﹣9 D．﹣8÷（﹣）＝1 3．计算（﹣6）÷（﹣）的结果是（　　） A．﹣18 B．2 C．18 D．﹣2 4．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 5．计算（﹣32）÷4×（﹣8）结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．64 D．﹣64 6．计算： ＝　　； ＝　　； ×3＝　　； 10＝　　； 2＝　　； 15＝　　． 7．填空：①﹣40÷（﹣5）＝　　；②﹣（36）÷6＝　　；③8÷（﹣0.125）＝　　；④　　÷32＝0． 8．计算： （1） （2） （3）（+48）÷（+6） （4） 9．计算： ①（﹣16.8）÷（﹣3） ② ③ 10．计算： （1） （2） 第05讲 有理数的乘方 概念引入 👉 有理数的乘方 1. 乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数. 2. 乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0 ⚔牛刀小试 1. 计算：（1）（﹣）3 （2）（﹣）2 （3）﹣（﹣3）3 2. 计算：（1）23 （2）﹣54 （3）﹣ （4）﹣（）3 3. 计算： （1）(﹣2)2×(﹣3)2 （2） （3） （4） 👉 科学计数法 1. 把一个数表示成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式叫做科学计数法.． 2. 确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． ⚔牛刀小试 1. 风云二号是我国自行研制的第一代地球静止气象卫星，它在地球赤道上空距地面约35800公里的轨道上运行．将35800用科学计数法表示应为（　　） A．0.358×105 B．35.8×103 C．3.58×105 D．3.58×104 2. 某市在一次扶贫助残活动中，捐款约61800000元，请将61800000元用科学计数法表示，其结果为（　　） A．0.618×109 元 B．6.18×106元 C．6.18×107 元 D．618×105 元 3．（1）用科学计数法表示下列各数： ①900200 ②11000000 ③﹣510000 （2）将科学计数法表示的数写为原数： ①6.070×103 ②6×107 ③104 直击考点 1．（﹣）×（﹣）×（﹣）可表示为（　　） A．﹣ B．3×（﹣） C．（﹣）3 D． 2．表示的意义是（　　） A． B． C． D． 3．（﹣2）2等于（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4 4．2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道．将59000用科学计数法表示应为（　　） A．0.59×105 B．5.9×105 C．5.9×104 D．5.9×103 5．用科学计数法表示的数3.61×108．它的原数是（　　） A．36100000000 B．3610000000 C．361000000 D．36100000 6．的底数是　　，指数是　　，计算的结果是　　． 7．计算：﹣32×（﹣2）3＝　　． 8．计算： （1）（﹣5）4 （2）﹣54 （3） （4） （5）（﹣1）2023 9．计算： （1）（﹣2）4 （2）﹣（﹣2）3 （3）（﹣2）2×（﹣3）2 （4） （5）|﹣32﹣2|﹣|﹣23+8| （6）（﹣0.5）2×（﹣2）2×（﹣10）3 10．（1）用科学计数法表示下列各数：①2021；②576万；③0.027×104；④﹣70890． （2）把下列用科学计数法表示的数还原成原数：①3.5×106；②1.20×105；③﹣9.3×104；④﹣2.34×108． （3）下列的数各是几位数？①6×108；②1.4×107；③1019；④5.2×10n． 11．计算： （1） （2） 第06讲 有理数的混合运算 概念引入 👉 有理数的混合运算 有理数混合运算法则： 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 如果有括号，先进行括号里的运算 3. 同级运算，应按从左到右的顺序进行计算； 4. 如果有绝对值，要先做绝对值内的运算． ⚔牛刀小试 1. 计算 （1）﹣165+265﹣78﹣22+65 （2） （3） （4）32÷（﹣2）3+（﹣2）3×﹣22 2. 用你喜欢的方法计算下面各题： （1）0.25×3.86×40 （2）4÷÷4 （3）49× （4） （5） 3. 计算： （1） （2） 直击考点 1．下列算式计算结果为正数的是（　　） A．2+（﹣3） B．2﹣（﹣3） C．2×（﹣3） D．2÷（﹣3） 2．下列运算正确的是（　　） A．0+（﹣2）＝2 B．﹣1﹣2＝﹣1 C．×（﹣）＝﹣1 D．﹣12÷（﹣4）＝3 3．下列运算中，正确的是（　　） A．﹣3+（﹣9）＝﹣6 B．﹣5﹣（﹣3）＝﹣8 C． D． 4．下列正确的有（　　） A．（﹣8）+（﹣15）＝7 B．（﹣3）÷（﹣6）＝2 C．2﹣2×（﹣8）＝0 D．|﹣6|+7＝13 5．下列计算正确的是（　　） A．﹣8﹣5＝﹣3 B．8÷（﹣）＝36﹣48＝﹣12 C．﹣24＝﹣16 D．（﹣3）2÷3×＝9 6．在等式“（﹣4）□（﹣2）＝2”中，“□”中的运算符号是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 7．计算下列各题： （1）2+（﹣1）＝　　； （2）3﹣10＝　　； （3）（﹣2）×3＝　　； （4）12÷（﹣3）＝　　； （5）＝　　； （6）1÷5×＝　　． 8．下列算式中，①﹣（﹣2）2＝4，②﹣5÷×5＝﹣5，③，④（﹣3）2×（﹣）＝3，⑤﹣3﹣6＝﹣9．计算错误的是　 　．（填序号） 9．计算：32﹣（﹣2）3＝　 　． 10．计算： （1） （2） （3） （4）（﹣2）2×3+（﹣3）3÷9 11．计算： （1）﹣7﹣（﹣10）+4 （2）（﹣+）×（﹣24） （3）18﹣6÷（﹣2） （4）8÷（﹣2）2+（﹣）×4． 第07讲 近似数 概念引入 👉 近似数与准确数 准确数与近似数：与实际完全符合的数称为准确数；与实际接近的数称为近似数. ⚔牛刀小试 1. 下列问题中，哪些是近似数？哪些是精确数？ （1）地球半径是 6371米；（2）一星期有 7天；（3）光的速度是每秒 30万千米； （4）我国古代的 4大发明；（5）某学校有 36个班级；（6）小明的体重是 46.3公斤． 2. 下列各题中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？ （1）通过第三次全国人口普查得知，山西省人口总数为3297万人； （2）生物圈中，已知绿色植物约有30万种； （3）某校有1148人； （4）由于我国人口众多，人均森林面积只有0.128公顷； （5）这个路口每分钟有3人经过； （6）地球表面积约5.1亿平方千米． 👉 精确度 一个近似数的精确度可用四舍五入法表述.一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. ⚔牛刀小试 1. 用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值． （1）2.953（保留一位小数） （2）0.9541（精确到百分位） （3）2.5678（精确到0.001） （4）5678999（精确到万位） 2. 用四舍五入法按下列要求取各数的近似数： （1）0.4605（精确到0.01）； （2）3.955（精确到十分位）； （3）132.5667（精确到千分位）； （4）86.4（精确到个位）； （5）1.820648（精确到小数点后第四位）； （6）4.6298（精确到千分位）． 直击考点 1．下列说法正确的是（　　） A．近似数4.20和近似数4.2的精确度一样 B．近似数4.20和近似数4.2的有效数字相同 C．近似数3千万和近似数3000万的精确度一样 D．近似数52.0和近似数5.2的精确度一样 2．下列数据①小明班上有45人；②吐鲁番盆地低于海平面155米；③某次地震中伤亡10万人；④小红测得数学书的长度是21.0厘米．其中精确的数据个数有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（　　） A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02 4．2019年11月，联合国教科文组织正式宜布，将每年的3月14日定为“国际数学日”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是圆周率数值最接近的数字．将圆周率“π”用四舍五入法取近似值3.14，是精确到（　　） A．个位 B．十分位 C．百分位 D．千分位 5．利用“四舍五入”法，把数25.395精确到0.01所得的近似数是（　　） A．25.39 B．25.40 C．25.4 D．25.3 6．用四舍五入法，分别按要求取0.17326取近似值，下列结果中错误的是（　　） A．0.2（精确到0.1） B．0.17（精确到百分位） C．0.174（精确到0.001） D．0.1733（精确到0.0001） 7．用四舍五入法将3.1459精确到百分位的近似值为 　 　 8．用四舍五入法对3.14取近似数精确到个位的结果是 　　． 9．小亮的体重为43.85kg，若将体重精确到1kg，则小亮的体重约为　 　kg． 10．近似数0.034，精确到　　位． 11．按括号内的要求对下列各数取近似值 （1）130.96（精确到十分位）≈　 　． （2）46021（精确到百位）≈ 　． 12．下面表述中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？ （1）实验室里有18盏日光灯． （2）某人的身高是168厘米． （3）多媒体教室共有45台电脑． （4）世界著名海峡马六甲海峡长1080千米． 13．用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似值． （1）349995（精确到百位）；（2）349995（精确到千位） （3）3.4995（精确到0.01）；（4）0.003584（精确到千分位） 2 学科网（北京）股份有限公司 $