精品解析：山东省济南市历下区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

八年级数学学情调研 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，在菱形中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的3倍 C. 扩大为原来的9倍 D. 不变 4. 如图，小明用四根木条钉成一个矩形木框，推动得到．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. C. D. ， 6. 在以下平行四边形中分别标注了部分角的度数，其中不能判定其为菱形的是（ ） A. B. C. D. 7. 每年七月份济南都会在大明湖景区举办“荷花艺术节”，为保障荷塘水质清澈、荷花长势良好，某团队承接了荷塘的清淤任务．若该团队实际每日清淤量比原计划提高，将提前天完成全部任务．设该团队原计划每日清淤量为，根据题意可列分式方程（ ） A. B. C. D. 8. 已知，满足，，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，已知正方形的边长为，对角线，相交于点，以顶点，，，为圆心，分别以，，，为半径画弧，与正方形的一组邻边各交于一点，连接所有交点，，…，，得到八边形（如图2阴影所示），则这个内嵌于正方形的阴影八边形的边长为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，．如图1，被分成了三个部分，现将绕点按逆时针方向旋转到（如图2），再将沿平移至，且与重合（如图3）．若四边形为菱形，则的长为（ ） A. 0.9 B. 1 C. 1.1 D. 1.2 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是_________． 12. 下图为小颖某次学科诊断“发挥水平”的雷达图，其中语文、数学、英语、物理、道法、历史六门学科的“发挥水平”构成了一个六边形，这个六边形的内角和为___________． 13. 如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝___． 14. 在菱形中，对角线，相交于点，交于点，已知，，则菱形的面积为___________． 15. 在矩形中，，，点，分别为，边上的点，且，若，则的长为___________． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，为的中点，点是外一点，连接，，，若四边形是平行四边形，求证：四边形是矩形． 20. 某果园原计划种80棵桃树，每棵桃树平均结800个桃子，现准备多种一些桃树提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，平均每棵桃树的产量就会减少2个桃子，但多种的桃树不能超过60棵．如果要使总产量达到76000个，那么应多种多少棵桃树？ 21. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根、满足，求实数的值． 22. 如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 23. 解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． （1）请你利用这种方法解方程：； （2）已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 24. 如图1，在正方形中，点为线段的中点，连接，过点作交于点，且垂足为点． （1）求证：； （2）如图2，延长，过点作，交射线于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求证：． 25. 如图1，在菱形中，对角线，相交于点，点为的中点，连接交于点，延长至，使，分别连接，，． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）若改变菱形的形状，则四边形的形状也随之改变．如图2，当四边形为菱形时，求的度数； （3）如图3，当菱形为正方形时，若，请直接写出的长为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学学情调研 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，在菱形中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程． 选项A：，只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 选项B：含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义； 选项C：分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义； 选项D：未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程的定义． 综上，故选A． 3. 如果分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的3倍 C. 扩大为原来的9倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】将x和y扩大后的数值代入原分式，化简后与原分式对比即可得出结论． 【详解】解：由题意得，x和y扩大为原来的3倍后，新分式为： ， ∴新分式与原分式相等，即分式的值不变． 4. 如图，小明用四根木条钉成一个矩形木框，推动得到．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，根据平行线的性质求出即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵中， ∴． 5. 关于的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】将方程整理后，通过提取公因式因式分解，得到方程的根． 【详解】解：， 移项得：， 提取公因式得：， 化简得：， ∴ ． 6. 在以下平行四边形中分别标注了部分角的度数，其中不能判定其为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一组邻边相等的平行四边形为菱形或两条对角线互相垂直的平行四边形为菱形． 【详解】.由图可得，, 所以, 因为四边形是平行四边形， 所以四边形是菱形； .因为,四边形为平行四边形， 所以, 即, 所以, 所以四边形是菱形； .根据此图不能判定四边形为菱形； .因为四边形是平行四边形， 所以, 所以, 所以, 所以四边形为菱形． 7. 每年七月份济南都会在大明湖景区举办“荷花艺术节”，为保障荷塘水质清澈、荷花长势良好，某团队承接了荷塘的清淤任务．若该团队实际每日清淤量比原计划提高，将提前天完成全部任务．设该团队原计划每日清淤量为，根据题意可列分式方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用工作时间工作总量工作效率，分别求出原计划和实际的完成天数，根据“原计划天数实际天数提前的3天”列分式方程即可． 【详解】解：设原计划每日清淤量为，实际每日清淤量比原计划提高， 实际每日清淤量为，总清淤量为， 原计划完成天数为，实际完成天数为， 实际提前3天完成任务，即原计划天数比实际天数多3天， 可列方程：． 8. 已知，满足，，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据和满足的等式，通过作差因式分解得到的值，再通过代数式变形代入已知条件即可求出，用到初中因式分解和代数式变形知识． 【详解】解：∵，， 两式作差得：， 对左边因式分解得：， 整理得：， ∵， ∴， ∴，即， 则， ∵， ∴． 9. 如图1，已知正方形的边长为，对角线，相交于点，以顶点，，，为圆心，分别以，，，为半径画弧，与正方形的一组邻边各交于一点，连接所有交点，，…，，得到八边形（如图2阴影所示），则这个内嵌于正方形的阴影八边形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设阴影八边形的边长为，则，，再利用勾股定理列式求解即可． 【详解】解：设阴影八边形的边长为，则，， 在中，， 即， 整理得 解得（负值已舍去）， 即阴影八边形的边长为． 10. 在中，，，．如图1，被分成了三个部分，现将绕点按逆时针方向旋转到（如图2），再将沿平移至，且与重合（如图3）．若四边形为菱形，则的长为（ ） A. 0.9 B. 1 C. 1.1 D. 1.2 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转及菱形的性质可得，过作于，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：，，， ， 由旋转可知， ， 又四边形为菱形， ，则， 过作于， ，即， 解得，， ， ． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． 12. 下图为小颖某次学科诊断“发挥水平”的雷达图，其中语文、数学、英语、物理、道法、历史六门学科的“发挥水平”构成了一个六边形，这个六边形的内角和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式，代入的值计算即可． 【详解】解：六边形的内角和为． 13. 如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝___． 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系可得出，将其代入即可得出结论． 【详解】解：关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题关键． 14. 在菱形中，对角线，相交于点，交于点，已知，，则菱形的面积为___________． 【答案】 30 【解析】 【分析】根据斜边上的中线结合菱形的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为. 15. 在矩形中，，，点，分别为，边上的点，且，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，即，设，利用勾股定理可得，再证四边形为菱形，得到互相垂直平分，利用勾股定理得到，然后得到，再由求解即可． 【详解】解：， ， 又，且， ，则， 设，则， 在中，， 即，解得， 连接，相交于点， 又， 则且， 四边形为平行四边形，又， 四边形为菱形，则互相垂直平分， ，， ， ． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式方程即可； （2）利用公式法求方程即可． 【小问1详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得, 检验：时，， 所以是原方程的解； 【小问2详解】 解：移项，得， 则， 故方程的根为， 即． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 把代入，原式． 19. 如图，在中，，为的中点，点是外一点，连接，，，若四边形是平行四边形，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵D为中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，D为中点， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，进而证明四边形是平行四边形，根据等腰三角形三线合一得到，即可证明四边形是矩形． 【详解】略． 20. 某果园原计划种80棵桃树，每棵桃树平均结800个桃子，现准备多种一些桃树提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，平均每棵桃树的产量就会减少2个桃子，但多种的桃树不能超过60棵．如果要使总产量达到76000个，那么应多种多少棵桃树？ 【答案】应多种20棵桃树 【解析】 【分析】设应多种x棵桃树，根据要使总产量达到76000个，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设应多种x棵桃树，根据题意得： ， 解得：，， ∵多种的桃树不能超过60棵， ∴不符合题意舍去， ∴， 答：应多种20棵桃树． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根、满足，求实数的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【小问1详解】 解： 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． 【小问2详解】 解：方程的两个实数根、， ∴，， 原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去），． 22. 如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，标记与交于点，由题意求得，，进而可得到，分析可得，，从而求得，根据与矩形重叠部分的面积为，得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，标记与交于点， 在中， ∵，，， ∴点到的距离，即的高为， ∵， ∴点刚好在矩形的上边所在直线上， ∴， 当时，点进入矩形左侧， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与矩形重叠部分的面积为， ∴， 解得，， ∵， ∴． 23. 解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． （1）请你利用这种方法解方程：； （2）已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）， （2）是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【小问1详解】 解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； 【小问2详解】 略 24. 如图1，在正方形中，点为线段的中点，连接，过点作交于点，且垂足为点． （1）求证：； （2）如图2，延长，过点作，交射线于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，求证：． 【答案】（1）证明：∵在正方形中， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 由(1)知，又知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）证明：如图3，连接， 由(1)知， ∴， 由(2)知，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【解析】 【分析】(1)根据已知条件运用“”证得，可得结论； (2)根据已知条件运用“”证得，可得结论； (3)连接，根据已知条件运用“”证得，得，，再由，证得是等腰直角三角形可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 如图1，在菱形中，对角线，相交于点，点为的中点，连接交于点，延长至，使，分别连接，，． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）若改变菱形的形状，则四边形的形状也随之改变．如图2，当四边形为菱形时，求的度数； （3）如图3，当菱形为正方形时，若，请直接写出的长为________． 【答案】（1）证明：∵菱形 ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∵点为的中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由三角形中位线定理得到，然后证明，则，即可求证； （2）根据菱形的性质以及直角三角形斜边中线的性质证明是等边三角形，再由互余求解即可； （3）设，由（1）知是的中位线，则，而四边形是平行四边形，故，那么，再由正方形的性质结合勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴ 由（1）知 ∴ ∵ ∴ ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：设， 由（1）知是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∴ 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $