第七单元 中国的世界遗产——解决问题（知识清单）数学青岛版五四制五年级上册（新教材）

第七单元 中国的世界遗产——解决问题 单元知识清单讲义 【知识导图+知识梳理+典例精讲+培优练习】 知识导图 知识梳理 知识点1：分数四则混合运算的运算顺序 1. 运算规则：分数四则混合运算顺序与整数、小数四则混合运算顺序完全一致。 2. 具体顺序：同级运算（只有加减或只有乘除），从左往右依次计算；两级运算（既有加减又有乘除），先算乘除，后算加减；有括号的先算括号里面的，再算括号外面的，有多层括号先算小括号，再算中括号。 3. 计算要求：计算过程中能约分的先约分，最终结果必须化为最简分数；运算步骤清晰，避免跳步出错。 4. 易错点拨：严禁混淆运算顺序，不可先算加减后算乘除；有括号必须优先计算括号内算式。 知识点2：分数四则混合运算的简便计算 1. 核心依据：整数的运算定律和运算性质同样适用于分数四则运算，可简化计算步骤、降低计算难度。 2. 常用运算定律 加法：交换律、结合律； 乘法：交换律、结合律、分配律； 减法性质：。 3. 简便技巧：观察算式特点，优先凑整、约分，拆分接近整数的分数（如、），灵活运用乘法分配律是本单元简便计算的核心考点。 知识点3：稍复杂的分数乘法实际问题（单位“1”已知） 1. 题型特征：题目中整体数量（单位“1”）已知，已知部分分率，求比单位“1”多几分之几或少几分之几的量。 2. 两类核心题型公式 ① 比单位“1”少几分之几：单位“1”的量 ×（1－对应分率）= 所求量 ② 比单位“1”多几分之几：单位“1”的量 ×（1＋对应分率）= 所求量 3. 解题思路：找准单位“1”→判断所求量对应分率→代入公式列式计算。 4. 易错点拨：区分“少几分之几”和“是几分之几”，切勿直接用单位“1”乘原始分率。 知识点4：稍复杂的分数除法实际问题（单位“1”未知） 1. 题型特征：题目中整体数量（单位“1”）未知，已知比单位“1”多/少几分之几的对应具体量，求单位“1”的量。 2. 两类核心题型公式 ① 已知比单位“1”少几分之几的量：对应量 ÷（1－对应分率）= 单位“1”的量 ② 已知比单位“1”多几分之几的量：对应量 ÷（1＋对应分率）= 单位“1”的量 3. 解题方法：可列算术法（除法）或方程法解答，方程法更直观、不易出错，适合复杂题型。 4. 核心辨析：单位“1”已知用乘法，单位“1”未知用除法（或方程）。 典例精讲 【典型例题】 计算下面各题，能简便的要简便计算。 ＋＋                      －＋－ 24×（＋－）              ×÷ 【答案】；； 10； 【分析】（1）利用加法交换律简便计算； （2）利用加法交换律和减法性质简便计算； （3）利用乘法分配律简便计算； （4）按顺序先算乘法再算除法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【对应训练】 计算下面各题。能简算的要简算，写出必要的计算过程。 ①        ②            ③ ④         ⑤         ⑥ 【答案】①19；②；③17； ④；⑤；⑥4 【分析】①运用乘法分配律简算； ②除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数，将除法转化为乘法，从左往右计算； ③先算乘法，再根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）简算； ④将除法转化为乘法，分别计算两个乘法的结果，再相减； ⑤先算括号里的除法，再算括号外面的除法； ⑥先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算括号外面的除法。 【详解】① ＝ ＝24－9＋4 ＝15＋4 ＝19 ② ＝ ＝ ＝ ③ ＝ ＝ ＝18－1 ＝17 ④ ＝ ＝ ＝ ⑤ ＝ ＝ ＝ ＝ ⑥ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4 【典型例题】 在第32届夏季奥运会上，中国获得了38枚金牌，比银牌数量多银牌的数量是所获奖牌总数的中国共获得奖牌多少枚？ 【答案】88枚 【分析】（1）本题需要连续两次确定单位“1”。首先根据“金牌比银牌数量多”，把银牌数量看作单位“1”，金牌数量是银牌的，已知金牌数量求银牌数量（求单位“1”），用除法计算，对应的量除以它所占的分率； （2）然后根据“银牌的数量是所获奖牌总数的”，把奖牌总数看作单位“1”，银牌数量是总数的，银牌数量（1）中已经求得，那么已知银牌数量求奖牌总数（求单位“1”），用除法计算，对应的量除以它所占的分率。 【详解】求银牌数量： （枚） 奖牌总数： （枚） 答：中国共获得奖牌88枚。 【对应训练】 某工厂的女工人数是男工人数的，因工作需要，又调入女工30人，这时女工人数比男工人数多。这个工厂原来共有工人多少人？ 【答案】180人 【分析】设男工人数为单位“1”。原来女工人数是男工的，调入30名女工后，女工人数比男工多，此时女工人数是男工的（1＋）。调入的30名女工对应的分率是（1＋－），因此男工人数为：30÷（1＋－），原来女工人数是男工的，用男员工的人数乘可得原来女工人数。最后用男工人数加女工人数即为原来总人数。 【详解】30÷（1＋－） ＝30÷（1＋－） ＝30÷ ＝100（人） 100×＝80（人） 100＋80＝180（人） 答：这个工厂原来共有工人180人。 【典型例题】 学校美术小组有24人，比书法小组的人数多。书法小组有多少人？ 【答案】20人 【分析】已知美术小组有24人，比书法小组的人数多，把书法小组的人数看作单位“1”，则美术小组的人数是书法小组的，得出等量关系：书法小组的人数×＝美术小组的人数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设书法小组有 人。 答：书法小组有20人。 【对应训练】 在一次献爱心捐款活动中，五、六年级学生共捐款2800元，五年级捐款的钱数是六年级的，五、六年级各捐款多少元？（用方程解） 【答案】五年级1200元；六年级1600元 【分析】把六年级的捐款看作单位“1”，设六年级捐款x元，则五年级捐款x元，根据等量关系：五年级捐款的钱数＋六年级捐款的钱数＝2800元，列方程解答即可得六年级捐款数，再用2800减六年级捐款数可得五年级捐款数。 【详解】解：设六年级捐款x元，则五年级捐款x元。 x＋x＝2800 x＝2800 x＝2800÷ x＝2800× x＝1600 2800－1600＝1200（元） 答：五年级捐款1200元，六年级捐款1600元。 培优练习 一、填空题 1．2025年，国家为促进消费品以旧换新，部分家电产品可享受销售价格的补贴（实际支付比售价减少）。笑笑的爸爸置换了一台享受此补贴的售价为2500元的空调，实际只需要支付( )元。 【答案】2000 【分析】分析题目，把空调的原售价看作单位“1”，则实际支付的钱数是原售价的（1－），根据求一个数的几分之几是多少用乘法列式计算。 【详解】2500×（1－） ＝2500× ＝2000（元） 2．“学校图书馆有故事书120本，________，科技书有多少本”，如果解决这个问题列式为“120÷（1－）”，那么横线上的信息是( )。 【答案】故事书本数比科技书少 【分析】根据算式120÷（1－）可知，单位“1”是科技书的本数，是未知量，用除法计算。（1－）表示故事书的本数是科技书的几分之几，由此可以推出横线上的条件。 【详解】算式120÷（1－）中，120是故事书的本数，单位“1”是科技书的本数。 （1－）表示故事书比科技书少，即故事书的本数是科技书的（1－）。 所以横线上的信息是：故事书比科技书少。 3．小丽和奶奶一起绕着体育馆散步，小丽绕馆一圈需要4分钟，奶奶绕馆一圈需要5分钟。两人同时同地，相背而行，( )分钟后相遇。 【答案】 【分析】把绕体育馆一圈的路程看作单位“1”，速度＝1÷绕一圈的时间，两人同时同地，相背而行相遇时间＝1÷两人速度和，由此解答本题。 【详解】把绕体育馆一圈的路程看作单位“1”。 1÷4 1÷5 1÷（） ＝1 ＝1× （分钟） 所以，两人同时同地，相背而行，分钟后相遇。 4．神舟飞船的太阳能帆板采用新材料，每块重量为千克。若制造某飞船需用8块太阳能帆板，总重量为( )千克。有24吨材料，如果材料损耗是总重量的，那么实际使用的材料重量是( )吨。 【答案】 6 22 【分析】每块太阳能帆板的重量×块数＝相应块数的总重量；将材料的总重量看作单位“1”，实际使用的材料重量是总重量的（1－），材料的总重量×实际使用的对应分率＝实际使用的材料重量。 【详解】×8＝6（千克） 24×（1－） ＝24× ＝22（吨） 所以若制造某飞船需用8块太阳能帆板，总重量为6千克。有24吨材料，如果材料损耗是总重量的，那么实际使用的材料重量是22吨。 5．小明骑自行车从家出发去外婆家，前的路程每时行15千米，中间的路程每时行12千米，后的路程每时行10千米，小明全程的平均速度是( )千米/时。 【答案】12 【分析】把整段路程看作单位“1”，先用每段路程除以速度求出每段需要的时间，然后再用两地的距离除以总时间就是平均速度。 【详解】（小时） （小时） （小时） ＝ ＝1÷ ＝ ＝ ＝12（千米/时） 小明全程的平均速度是12千米/时。 6．《四元玉鉴》是元代数学家朱世杰所著的一部数学古籍，正文分为上、中、下三卷共288问，其中，上卷有75个问题，上卷的问题数量比下卷少，要解决“下卷有多少个问题”，可以列综合算式为：( )。《四元玉鉴》的中卷有( )个问题。 【答案】 103 【分析】将下卷问题数看作单位“1”，上卷的问题数量比下卷少，则上卷是下卷的1－。根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解题。用总问题数减去上、下卷的数量求出中卷数量。 【详解】 ＝75÷ ＝75× ＝110（个） 288－75－110＝103（个） 列综合算式为：，《四元玉鉴》的中卷有103个问题。 7．在第33届巴黎奥运会上，我国体育代表团成绩骄人，共获得了40枚金牌，获得的银牌数量是金牌的，获得的铜牌数量比银牌少。巴黎奥运会上我国体育代表团共获得银牌( )枚，铜牌( )枚。 【答案】 27 24 【分析】先求银牌数量时，把金牌数量看作单位“1”，已知金牌是40枚，银牌数量是金牌的，单位“1”已知，用乘法计算银牌数量。再求铜牌数量，把银牌数量看作单位“1”，铜牌数量比银牌少，也就是铜牌数量是银牌的，单位“1”（银牌数量）已经求出，继续用乘法计算铜牌数量。 【详解】银牌的数量： （枚） 铜牌的数量： （枚） 8．科学兴趣小组的同学制作件昆虫标本，比植物标本的件数多，植物标本有( )件，当时，植物标本有( )件。 【答案】 20 【分析】（1）昆虫标本比植物标本多，也就是昆虫标本是植物标本的，把植物标本看作单位“1”，求单位“1”用除法，a除以，可求得植物标本多少件； （2）将24代入（1）中求得的含a的式子里，求得植物标本多少件。 【详解】（1）用含a的式子表示植物标本的件数： （件） （2）当时，植物标本有： （件） 所以：植物标本有件，当时，植物标本有20件。 二、选择题 9．某少年宫里航模班有40人，是舞蹈班人数的，舞蹈班有多少人？设舞蹈班有人，可列方程为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】这道题的关键是找准单位“1”，这里舞蹈班人数是单位“1”，已知航模班人数是它的，所以用“单位‘1’的量 × 对应分率 ＝ 对应数量”来列方程。 【详解】设舞蹈班有 x 人 。 航模班人数 ＝ 舞蹈班人数 ​ 已知航模班有40人，代入可得：x ＝ 40 10．工程队要铺设一段长km的管道，第一次铺设了km，第二次铺设了全长的。算式解决问题是（    ）。 A．第二次铺设了多少千米 B．两次一共铺设了多少千米 C．还剩下多少千米 D．第一次比第二次多铺设多少千米 【答案】D 【分析】将这条管道长度看作单位“1”，表示的是第二次铺设管道的长度，km是第一次铺设管道的长度，算式是求两者的差值，据此可得出答案。 【详解】km是第一次铺设管道的长度，表示的是第二天铺设管道的长度，则算式解决的问题是：第一次比第二次多铺设多少千米。 11．根据下图中的关系，说法错误的是：（    ）。 A．六（1）班的数量是六（2）班的； B．六（2）班有40件； C．两个班一共有72件； D．六（2）班有32件。 【答案】D 【分析】根据线段图可知，六（1）班有32件，六（2）班比六（1）班多，六（1）班的数量看作单位“1”，六（2）班的数量是六（1）班的1＋。 【详解】六（2）班的数量： 32×（1＋） ＝32× ＝40（件） 两个班总数：32＋40＝72（件） 六（1）班数量是六（2）班数量的： 32÷40＝ 说法错误的是六（2）班有32件。 12．为响应“双碳”战略号召，建设绿色校园，光明小学积极推进智慧能源管理系统应用。6月份通过开展“随手关灯”行动措施，当月用电量降至1200千瓦时。经能源监测平台分析，该月用电量比5月份节约了，5月份的用电量是（    ）千瓦时。 A．1200×（1＋） B．1200÷（1＋） C．1200×（1－） D．1200÷（1－） 【答案】D 【分析】把5月份的用电量看作单位“1”。6月份的用电量是5月份的（1－），根据对应量除以对应分率等于单位“1”的量，列式为1200÷（1－）。 【详解】A．1200×（1＋），该算式中，把6月份的用电量看作单位“1”，5月份比6月份多，与题意不符。该选项错误。 B．1200÷（1＋），该算式中，把5月份的用电量看作单位“1”，6月份比5月份多，与题意不符。该选项错误。 C．1200×（1－），该算式中，把6月份的用电量看作单位“1”，5月份比6月份少，与题意不符。该选项错误。 D．1200÷（1－），该算式中，把5月份的用电量看作单位“1”，6月份比5月份少。与题意相符。该选项正确。 13．中国北斗卫星导航系统是我国自主研制的全球卫星导航系统，目前在轨卫星有50颗，比全球定位系统（GPS）卫星数量的少6颗。全球定位系统（GPS）有（    ）颗卫星。 A．32 B．77 C．28 D．98 【答案】A 【分析】把全球定位系统卫星数量看作单位“1”，单位“1”的再少6颗是北斗卫星的数量，单位“1”的对应50加6颗，用56除以即可。 【详解】（50＋6）÷ ＝56÷ ＝56× ＝32（颗） 14．《九章算术》中记载了这样一个问题：有人背米过关卡，过外关时，用全部米的纳税；过中关时，用剩余米的纳税；过内关时，再用剩余米的纳税，最后还剩5斗米。这个人过内关前有多少斗米？正确列式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把这个人过内关前有米的数量看作单位“1”，则还剩的5斗米对应的分率为1，单位“1”未知，用除法计算。5÷对应的分率＝这个人过内关前有多少斗米。 【详解】A．找错单位“1”，列式错误。 B．剩下的5斗米÷对应的分率（1）＝过内关前有多少斗米，列式正确。 C．找错5斗米对应的分率，列式错误。 D．5斗米为过内关后剩下的，其对应的分率为1－纳税对应的分率，列式错误。 15．有一个容器最多可以盛水60mL。如图，将该容器倾斜，阴影部分表示容器中剩余的水。如果将容器放正加满水，需（    ）mL。 A．35 B．30 C．25 D．20 【答案】C 【分析】将一整杯水看作单位“1”，如下图，将水分成上下两部分，下半部分是杯，上半部分是杯的，将两部分相加是现在水的杯数，用“1”减去现在水的杯数，即是还要加水的杯数；已知这个容器最多可以容纳60mL，根据求一个数的几分之几，用60mL乘还要加的杯数，即可求出还要加水的体积。 【详解】＋（1－）× ＝＋× ＝＋ ＝＋ ＝（杯） 60×（1－） ＝60× ＝25（mL） 如果将容器放正加满水，需25mL。 16．某品牌最新一代扫地机器人上个月卖出20万台，___________，本月比上个月多卖出多少台？如果列式为20×，那么补充的信息应该是（    ）。 A．上月卖出的台数是本月的 B．本月卖出的台数比上月多 C．本月卖出的台数是上月的 D．上月卖出的台数比本月多 【答案】B 【分析】A．上月卖出的台数是本月的，把本月卖出的台数看作单位“1”，单位“1”未知，用上月卖出的台数除以，求出本月卖出的台数，再减去上个月卖出的台数，即是本月比上个月多卖出的台数。 B．本月卖出台数比上月多，把上月卖出的台数看作单位“1”，单位“1”已知，用上月卖出的台数乘，求出本月比上个月多卖出的台数。 C．本月卖出的台数是上月的，把上月卖出的台数看作单位“1”，单位“1”已知，用上月卖出的台数乘，求出本月卖出的台数，再减去上个月卖出的台数，即是本月比上个月多卖出的台数。 D．上月卖出的台数比本月多，把本月卖出的台数看作单位“1”，则上月卖出的台数是本月的（1＋），单位“1”未知，用上月卖出的台数除以（1＋），求出本月卖出的台数，再减去上个月卖出的台数，即是本月比上个月多卖出的台数。 【详解】A．若补充的信息是“上月卖出的台数是本月的”，求本月比上个月多卖出的台数，列式为20÷－20，不符合题意； B．若补充的信息是“本月卖出台数比上月多”，求本月比上个月多卖出的台数，列式为20×，符合题意； C．若补充的信息是“本月卖出的台数是上月的”，求本月比上个月多卖出的台数，列式为20×－20，不符合题意； D．若补充的信息是“上月卖出的台数比本月多”，求本月比上个月多卖出的台数，列式为20÷（1＋）－20，不符合题意。 三、计算题 17．脱式计算。（能简算的要简算）                    【答案】 ； 25； 【分析】（1）用加法的结合律，先把和相结合，计算得1，再做加法。 （2）用乘法的分配律，括号里的数依次和18相乘，再把所得的积相加。 （3）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，先把除法变成乘法，再按照从左往右的顺序计算。 【详解】（1）＋＋ ＝＋ ＝＋1 ＝ （2）×18 ＝×18＋×18 ＝10＋15 ＝25 （3）×÷ ＝×× ＝× ＝ 18．下面各题，怎样算简便就怎样算。 350＋4590÷45×15                           【答案】1880；20； 6； 【分析】（1）按照运算顺序，先算除法，再算乘法，最后算加法。 （2）根据分数除法法则，除以一个分数等于乘它的倒数，所以原式转化为，再根据乘法分配律进行简便计算。 （3）利用乘法分配律去掉括号，原式变为，分别计算乘法，原式转化为5＋，先将后边的两个分数相加凑成1，再和5相加，计算出结果即可。 （4）先计算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后算中括号外的除法。 除以一个分数等于乘它的倒数。 【详解】（1）350＋4590÷45×15 ＝350＋102×15 ＝350＋1530 ＝1880 （2） ＝20 （3） ＝5＋1 ＝6 （4） 19．看图列方程解答。 【答案】   【分析】由图可知，妈妈的月收入是5500元，比爸爸少，把爸爸的月收入看作单位“1”，设爸爸的月收入为元，则妈妈的月收入比爸爸少元；根据“爸爸的月收入－少的收入＝妈妈的收入”可列出方程为，计算得，然后根据等式的性质，方程两边同时乘求解出的值，即为爸爸的月收入。 【详解】 解： 所以爸爸的月收入是7700元。 20．结合线段图列式计算。 【答案】240÷（1－）＝400（人） 【分析】观察线段图，上边线段表示的人数是单位“1”，下边线段表示的人数是上边的（1－），下边线段表示的人数÷对应分率＝上边线段表示的人数，据此列式计算。 【详解】240÷（1－） ＝240÷ ＝240× ＝400（人） 上边线段表示的人数是400人。 四、解答题 21．为庆祝中国代表队在巴黎奥运会取得辉煌的成绩，新区小学童声嘹亮合唱团积极排练。合唱团总人数为40人，其中男生人数相当于女生人数的，合唱团中男、女生各有多少人？ 【答案】男生：15人；女生25人 【分析】设女生人数有x人，男生人数相当于女生人数的，把女生人数看作单位“1”，则男生人数有x人，女生人数＋男生人数＝40人，列方程：x＋x＝40，解方程，即可解答。 【详解】解：设女生人数有x人，则男生人数有x人 x＋x＝40 x＝40 x＝40÷ x＝40× x＝25 男生人数：25×＝15（人） 答：合唱团男生有15人，女生有25人。 22．石狮文旅集团公众号发布的一个时装周开幕秀宣传视频，大约收到560个收藏量。转发量是收藏量的，比点赞量多。这个宣传视频的转发量和点赞量分别是多少个？ 【答案】680个；520个 【分析】转发量是收藏量的，收藏量是单位“1”，单位“1”已知，是求单位“1”的几分之几是多少，用乘法计算求出转发量；转发量比点赞量多，把点赞量看作单位“1”，转发量相当于点赞量的，点赞量未知，所以用转发量除以它相对应的分率求得点赞量。 【详解】 （个） （个） 答：这个宣传视频的转发量是680个，点赞量是520个。 23．地球的表面积约为5.1亿平方千米，这一面积由陆地和海洋组成，其中海洋面积约占地球表面积的。那么陆地面积大约有多少亿平方千米？ 【答案】亿平方千米 【分析】把地球表面积看作单位“1”，已知海洋面积占，则陆地面积占总面积的。已知单位“1”，求它的几分之几是多少，用乘法计算。 【详解】 （亿平方千米） 答：陆地面积大约有亿平方千米。 24．为庆祝小学毕业，六（1）班为每位同学定制了一本毕业纪念册。男生册和女生册共49本，女生册比男生册多，六（1）班男、女生各有多少人？（列方程解答） 【答案】男生21人，女生28人 【分析】把男生人数看作单位“1”，女生人数是男生人数的1＋。设男生人数为x，根据男生人数加女生人数等于总人数49的等量关系列方程求解。 【详解】解：设男生有x人，则女生有（1＋）x人。 x÷＝49÷ x×＝49× x＝21 女生人数：49－21＝28（人） 答：男生有21人，女生有28人。 25．学校科技节有四个孩子合买了一个价值360元的航空模型，已知第一个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的，第二个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的，第三个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的。第四个孩子实际付了多少元？ 【答案】元 【分析】把航空模型的总钱数看作单位“”。根据第一个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的，可知第一个孩子付的钱数占总钱数的；同理，第二个孩子付的钱数占总钱数的，第三个孩子付的钱数占总钱数的。先求出前三个孩子付的钱数占总钱数的分率之和，再求出第四个孩子付的钱数占总钱数的分率，最后用总钱数乘第四个孩子付的钱数占总钱数的分率，即可求出第四个孩子实际付的钱数。 【详解】第一个孩子付的钱数占总钱数的： 第二个孩子付的钱数占总钱数的： 第三个孩子付的钱数占总钱数的： （元） 答：第四个孩子实际付了元。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 中国的世界遗产——解决问题 单元知识清单讲义 【知识导图+知识梳理+典例精讲+培优练习】 知识导图 知识梳理 知识点1：分数四则混合运算的运算顺序 1. 运算规则：分数四则混合运算顺序与整数、小数四则混合运算顺序完全一致。 2. 具体顺序：同级运算（只有加减或只有乘除），从左往右依次计算；两级运算（既有加减又有乘除），先算乘除，后算加减；有括号的先算括号里面的，再算括号外面的，有多层括号先算小括号，再算中括号。 3. 计算要求：计算过程中能约分的先约分，最终结果必须化为最简分数；运算步骤清晰，避免跳步出错。 4. 易错点拨：严禁混淆运算顺序，不可先算加减后算乘除；有括号必须优先计算括号内算式。 知识点2：分数四则混合运算的简便计算 1. 核心依据：整数的运算定律和运算性质同样适用于分数四则运算，可简化计算步骤、降低计算难度。 2. 常用运算定律 加法：交换律、结合律； 乘法：交换律、结合律、分配律； 减法性质：。 3. 简便技巧：观察算式特点，优先凑整、约分，拆分接近整数的分数（如、），灵活运用乘法分配律是本单元简便计算的核心考点。 知识点3：稍复杂的分数乘法实际问题（单位“1”已知） 1. 题型特征：题目中整体数量（单位“1”）已知，已知部分分率，求比单位“1”多几分之几或少几分之几的量。 2. 两类核心题型公式 ① 比单位“1”少几分之几：单位“1”的量 ×（1－对应分率）= 所求量 ② 比单位“1”多几分之几：单位“1”的量 ×（1＋对应分率）= 所求量 3. 解题思路：找准单位“1”→判断所求量对应分率→代入公式列式计算。 4. 易错点拨：区分“少几分之几”和“是几分之几”，切勿直接用单位“1”乘原始分率。 知识点4：稍复杂的分数除法实际问题（单位“1”未知） 1. 题型特征：题目中整体数量（单位“1”）未知，已知比单位“1”多/少几分之几的对应具体量，求单位“1”的量。 2. 两类核心题型公式 ① 已知比单位“1”少几分之几的量：对应量 ÷（1－对应分率）= 单位“1”的量 ② 已知比单位“1”多几分之几的量：对应量 ÷（1＋对应分率）= 单位“1”的量 3. 解题方法：可列算术法（除法）或方程法解答，方程法更直观、不易出错，适合复杂题型。 4. 核心辨析：单位“1”已知用乘法，单位“1”未知用除法（或方程）。 典例精讲 【典型例题】 计算下面各题，能简便的要简便计算。 ＋＋                      －＋－ 24×（＋－）              ×÷ 【对应训练】 计算下面各题。能简算的要简算，写出必要的计算过程。 ①        ②            ③ ④         ⑤         ⑥ 【典型例题】 在第32届夏季奥运会上，中国获得了38枚金牌，比银牌数量多银牌的数量是所获奖牌总数的中国共获得奖牌多少枚？ 【对应训练】 某工厂的女工人数是男工人数的，因工作需要，又调入女工30人，这时女工人数比男工人数多。这个工厂原来共有工人多少人？ 【典型例题】 学校美术小组有24人，比书法小组的人数多。书法小组有多少人？ 【对应训练】 在一次献爱心捐款活动中，五、六年级学生共捐款2800元，五年级捐款的钱数是六年级的，五、六年级各捐款多少元？（用方程解） 培优练习 一、填空题 1．2025年，国家为促进消费品以旧换新，部分家电产品可享受销售价格的补贴（实际支付比售价减少）。笑笑的爸爸置换了一台享受此补贴的售价为2500元的空调，实际只需要支付( )元。 2．“学校图书馆有故事书120本，________，科技书有多少本”，如果解决这个问题列式为“120÷（1－）”，那么横线上的信息是( )。 3．小丽和奶奶一起绕着体育馆散步，小丽绕馆一圈需要4分钟，奶奶绕馆一圈需要5分钟。两人同时同地，相背而行，( )分钟后相遇。 4．神舟飞船的太阳能帆板采用新材料，每块重量为千克。若制造某飞船需用8块太阳能帆板，总重量为( )千克。有24吨材料，如果材料损耗是总重量的，那么实际使用的材料重量是( )吨。 5．小明骑自行车从家出发去外婆家，前的路程每时行15千米，中间的路程每时行12千米，后的路程每时行10千米，小明全程的平均速度是( )千米/时。 6．《四元玉鉴》是元代数学家朱世杰所著的一部数学古籍，正文分为上、中、下三卷共288问，其中，上卷有75个问题，上卷的问题数量比下卷少，要解决“下卷有多少个问题”，可以列综合算式为：( )。《四元玉鉴》的中卷有( )个问题。 7．在第33届巴黎奥运会上，我国体育代表团成绩骄人，共获得了40枚金牌，获得的银牌数量是金牌的，获得的铜牌数量比银牌少。巴黎奥运会上我国体育代表团共获得银牌( )枚，铜牌( )枚。 8．科学兴趣小组的同学制作件昆虫标本，比植物标本的件数多，植物标本有( )件，当时，植物标本有( )件。 二、选择题 9．某少年宫里航模班有40人，是舞蹈班人数的，舞蹈班有多少人？设舞蹈班有人，可列方程为（    ）。 A． B． C． D． 10．工程队要铺设一段长km的管道，第一次铺设了km，第二次铺设了全长的。算式解决问题是（    ）。 A．第二次铺设了多少千米 B．两次一共铺设了多少千米 C．还剩下多少千米 D．第一次比第二次多铺设多少千米 11．根据下图中的关系，说法错误的是：（    ）。 A．六（1）班的数量是六（2）班的； B．六（2）班有40件； C．两个班一共有72件； D．六（2）班有32件。 12．为响应“双碳”战略号召，建设绿色校园，光明小学积极推进智慧能源管理系统应用。6月份通过开展“随手关灯”行动措施，当月用电量降至1200千瓦时。经能源监测平台分析，该月用电量比5月份节约了，5月份的用电量是（    ）千瓦时。 A．1200×（1＋） B．1200÷（1＋） C．1200×（1－） D．1200÷（1－） 13．中国北斗卫星导航系统是我国自主研制的全球卫星导航系统，目前在轨卫星有50颗，比全球定位系统（GPS）卫星数量的少6颗。全球定位系统（GPS）有（    ）颗卫星。 A．32 B．77 C．28 D．98 14．《九章算术》中记载了这样一个问题：有人背米过关卡，过外关时，用全部米的纳税；过中关时，用剩余米的纳税；过内关时，再用剩余米的纳税，最后还剩5斗米。这个人过内关前有多少斗米？正确列式是（    ）。 A． B． C． D． 15．有一个容器最多可以盛水60mL。如图，将该容器倾斜，阴影部分表示容器中剩余的水。如果将容器放正加满水，需（    ）mL。 A．35 B．30 C．25 D．20 16．某品牌最新一代扫地机器人上个月卖出20万台，___________，本月比上个月多卖出多少台？如果列式为20×，那么补充的信息应该是（    ）。 A．上月卖出的台数是本月的 B．本月卖出的台数比上月多 C．本月卖出的台数是上月的 D．上月卖出的台数比本月多 三、计算题 17．脱式计算。（能简算的要简算）                    18．下面各题，怎样算简便就怎样算。 350＋4590÷45×15                           19．看图列方程解答。 20．结合线段图列式计算。 四、解答题 21．为庆祝中国代表队在巴黎奥运会取得辉煌的成绩，新区小学童声嘹亮合唱团积极排练。合唱团总人数为40人，其中男生人数相当于女生人数的，合唱团中男、女生各有多少人？ 22．石狮文旅集团公众号发布的一个时装周开幕秀宣传视频，大约收到560个收藏量。转发量是收藏量的，比点赞量多。这个宣传视频的转发量和点赞量分别是多少个？ 23．地球的表面积约为5.1亿平方千米，这一面积由陆地和海洋组成，其中海洋面积约占地球表面积的。那么陆地面积大约有多少亿平方千米？ 24．为庆祝小学毕业，六（1）班为每位同学定制了一本毕业纪念册。男生册和女生册共49本，女生册比男生册多，六（1）班男、女生各有多少人？（列方程解答） 25．学校科技节有四个孩子合买了一个价值360元的航空模型，已知第一个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的，第二个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的，第三个孩子付的钱是其他孩子付的总钱数的。第四个孩子实际付了多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $