1.5相似三角形的性质（第1课时相似三角形对应高、中线、角平分线的性质）（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形对应高、中线、角平分线的性质，通过回顾相似三角形对应角相等和对应边成比例的旧知，结合三角形其他元素的提问，搭建学习支架引导学生探究新性质。 其亮点是以“问题驱动-探究推导-实例应用”展开，如通过作垂线解决距离问题、推导角平分线性质等培养数学思维（推理能力）和数学眼光（几何直观），课堂小结结构化呈现性质，结合高脚杯、正方形零件等实际问题助学生形成模型意识，教师可高效教学，学生提升知识应用能力。

第1章 图形的相似 第1课时相似三角形对应高、中线、角平分线的 性质 1.5 相似三角形的性质 导入新课 前面，我们学了哪些相似三角形的性质？ 相似三角形的对应角相等、对应边成比例。 回顾一下，我们学三角形时，三角形除了角和边这两种元素外，还有哪些元素？ 高、角平分线、中线，周长、面积等 思考：如果两个三角形相似，那么，对应的这些元素有什么关系呢？ 今天，我们一起来研究相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的性质 学 习 目 标 1 2 理解并掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比的性质。（重点） 能运用相似三角形对应线段的比等于相似比解决相关的计算和证明问题。（难点） 新知探究 思 考 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AH，A′H′分别为对应边BC，B′C′上的高，那么 = 吗？ A B C H A′ B′ C′ H′ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 △ABH∽△A′B′H′. ∠AHB=∠A′H′B′=90° 先找角，再找边 先找两角 ∠AHB=∠A′H′B′=90° ∠B=∠B′. ∠B=∠B′. 新知探究 思 考 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AH，A′H′分别为对应边BC，B′C′上的高，那么 = 吗？ A B C H A′ B′ C′ H′ 解：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′. 又∠AHB=∠A′H′B′=90°， ∴△ABH∽△A′B′H′. ∴= ． 你能得到什么结论？ 相似三角形对应高的比等于相似比. 对应高的比 对应边的比 相似比. 例1 如图，AB∥PQ，AB=100m，PQ=120 m. 点 P，A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上．若AB与PQ的距离是40m，求点C 到直线PQ 的距离. 典例分析 平行得相似，△CAB∽△CPQ. 作垂线，找距离 过点C作PQ的垂线CD,与AB的延长线相交于点E. D E CE=40cm 求CD的长，就是求相似三角形中的△CPQ的高. CE也是相似三角形中的△CAB的高. 例1 如图，AB∥PQ，AB=100m，PQ=120 m. 点 P，A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上．若AB与PQ的距离是40m，求点C到直线PQ的距离. 典例分析 解：∵ AB∥PQ， ∴ △CAB∽△CPQ. 由 “相似三角形对应高的比等于相似比” 可得， = = . 又AB=100 m，PQ=120 m，DE=40 m，∴ CD=240 m. D E 过点C作CD⊥PQ，垂足为点 D. 设 CD 交AB 的延长线于点 E， ∴CE⊥AB，DE=40 m. 典例分析 例2 如图，已知△ABC∽△A′B′C′ ， AT， A′ T′分别为对应角∠BAC，∠B′A′C′的角平分线=吗？ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 △ABT∽△A′B′T′. ∠BHT=∠B′H′T′ 先找角，再找边 先找两角 ∠AHB=∠A′H′B′=90° ∠B=∠B′ ∠BAC=∠B′A′C′ ∠BHT=∠BAC ∠B′H′T′=∠B′A′C ∠BHT=∠B′H′T′ 例2 如图，已知△ABC∽△A′B′C′ ， AT， A′ T′分别为对应角∠BAC，∠B′A′C′的角平分线=吗？ 典例分析 解：∵ △ABC∽△A′B′C′ ，∴ ∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′. 又 AT， A′T′分别为对应角∠BAC，∠B′A′C′的角平分线， ∴ ∠BAT=∠BAC=∠B′A′C′=∠B′A′T′， ∴ △ABT∽△A′B′T′， ∴ = . 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比. 你能得到什么结论？ 相似比. 新知探究 议一议 A′ B′ C′ D′ A B C D 已知△ABC∽△A′B′C′ ，若AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的中线，则 = 成立吗？ 由此你能得出什么结论？ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 △ABH∽△A′B′H′. 先找角，再找边 解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴ = = , ∠B=∠B′. ∵ AD，A′D′分别为△ABC，△A′B′C′的中线， ∴BD=BC， B′D′=B′C′，∴ = = = . 又∠B=∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′. ∴ = ． 只找到一个角相等 再找这个角的夹边 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 新知探究 总结归纳 相似三角形的性质定理1 相似三角形对应线段的比等于相似比. 1.相似三角形对应高的比等于相似比. 2.相似三角形对应的角平分线的比等于相似比. 3.相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 基础巩固题 新知应用 1、两个相似三角形对应边比为8:9，那么相似比为 ，对应边上的高之比为 ，对应边上的中线比为 ，对应角的角平分线比为 。 2、两个相似三角形对应角的角平分线比为5:4，可直接得到对应边上的高之比为 ，对应边上的中线比为 。 8:9 8:9 8:9 8:9 5:4 5:4 相 似 三 角 形 对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比 都等于相似比. 基础巩固题 新知应用 3、已知△ABC与△DEF相似且相似比为4：1，则△DEF 与△ABC的对应边上的高之比为（　　） A．4：1 B．1：4 C．16：1 D．2：1 B 4．如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3．若BE＝6，则B′E′的长为______． 　 相似三角形对应高的比等于相似比. 相似比是有顺序的. 相似三角形对应线段的比等于相似比. 基础巩固题 新知应用 6．两个相似三角形的相似比为2∶3，已知其中一个三角形的一条中线为12，那么另一个三角形对应的中线是________． 18或8　 5、在△ABC中，DE∥BC，AH是△ABC的角平分线，交DE于点G. DE : BC＝2 : 3，那么AG : GH＝________． 2 : 1 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 中线谁长谁短呢？ 要分类讨论. 基础巩固题 新知应用 7.已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条中线，且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. ∴DN=3cm. 解：因为△ABC∽△DEF 基础巩固题 新知应用 8.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD=4， A′D′=3，BE=6，求B′E′的长. ∵ AD=4， A′D′=3， BE=6， ∴B′E′=4.5. 解：∵ △ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线， 能力提升题 新知应用 9.如图，在中，点在上，交于点，为 的中 点，交于点 ，下列说法错误的是( ) D A. B.是 的中点 C. D. 平行得相似. 平行线分线段成比例. 能力提升题 新知应用 10.图①是装满红酒的高脚杯示意图， 装酒的杯体可看作一个三角形，液面 宽度为 ，其他数据如图所示，喝 掉一部分后的数据如图②所示，此时 液面宽度 为( ) C A. B. C. D. 相似三角形对应高的比等于相似比. 能力提升题 新知应用 11.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长为13 cm，边BC上的高AD为6 cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． (1)求证：△AEF∽△ABC； 解：(1)证明：∵四边形EGHF是正方形， ∴EF∥BC． ∴△AEF∽△ABC． (2)求这个正方形零件的边长． 能力提升题 新知应用 (2)设EG＝EF＝x． ∵△AEF∽△ABC，∴＝． ∴＝． ∴x＝． 答：正方形零件的边长为 cm． 如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC长为13 cm，边BC上的高AD为6 cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． (1)求证：△AEF∽△ABC； (2)求这个正方形零件的边长． 课堂小结 高 相似三角形对应高的比等于相似比 角平分线 中线 相似三角形的性质 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 感谢聆听! $