第七单元 倍数与因数（大单元教学设计）数学北师大版五年级上册（新教材）

第七单元 倍数与因数 （一）单元内容分析 一、单元内容简述 本单元是小学阶段数论知识的启蒙内容，在学生已经认识整数、掌握整数四则运算的基础上展开教学。核心内容包括：在非0自然数范围内认识倍数与因数的意义，掌握找一个数的倍数、因数的方法；探索并掌握2、5、3的倍数的特征，认识奇数与偶数；认识公因数、最大公因数、公倍数与最小公倍数，掌握找公因数、公倍数的基本方法；认识质数与合数，学习用筛法找100以内的质数。本单元是后续学习约分、通分、分数四则运算的重要基础，能够帮助学生深化对整数性质的理解，渗透分类、枚举等数学思想。 二、单元内容框架图 第七单元 倍数与因数（P89-P101） ├─ 1. 倍数与因数（P89-P90） │ ├─ 核心概念：非0自然数范围内倍数与因数的意义 │ └─ 方法：找一个数的倍数、成对枚举法找因数 ├─ 2. 探索活动：2、5的倍数特征（P91-P92） │ ├─ 知识点：2、5的倍数特征 │ └─ 概念：奇数、偶数 ├─ 3. 探索活动：3的倍数特征（P93-P94） │ ├─ 核心规律：各数位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数 │ └─ 拓展：9的倍数特征 ├─ 4. 公因数与公倍数（P95-P96） │ ├─ 概念：公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数 │ └─ 方法：枚举法、短除法求解 ├─ 5. 找质数（P97-P99） │ ├─ 拼长方形操作引入概念 │ ├─ 核心定义：质数、合数，明确1既不是质数也不是合数 │ └─ 方法：埃拉托色尼筛法找100以内质数 └─ 整理与复习（P100-P101） └─ 全单元知识梳理、巩固练习 三、单元内容编排思路 本单元教材编排符合五年级学生认知规律，特点如下： 1. 具象引入抽象概念：没有直接抛出抽象定义，通过乘法算式、拼长方形操作等具象活动引出倍数因数、质数合数的概念，降低抽象知识的认知难度； 2. 层层递进逻辑清晰：按照「基础概念→特殊数特征→公共性质应用→数的分类」的顺序编排，前序内容是后序内容的学习基础，符合从易到难的认知规律；先编排规律明显的2、5的倍数特征，再编排规律隐蔽的3的倍数特征，适配学生探究能力的发展顺序； 3. 突出学生自主探究：所有数的特征都设计了开放探索活动，让学生在百数表中圈画、观察、猜想、验证，自主总结规律，突出学生主体地位，培养探究能力； 4. 紧扣后续学习需求：所有内容都围绕小学阶段后续分数学习的需求设计，不做超课标拓展，定位清晰，直接为约分、通分、分数运算做铺垫。 四、单元内容横向/纵向分析 （1）纵向分析（学段前后联系） · 前置基础：本单元建立在学生低年级认识整数、掌握整数四则运算的基础上，学生已经对乘法、乘数有初步认知，为概念学习提供了支撑； · 承上启下地位：本单元是小学数论知识的起始内容，一方面将学生对整数的学习从计算层面推进到性质层面，深化了对整数的理解；另一方面，本单元的核心知识是五年级下册约分、通分、分数四则运算的必备基础，相关的思想方法也为初中阶段因式分解、数论进一步学习做了铺垫。 （2）横向分析（内部及跨领域关联） · 单元内部关联：本单元知识逻辑环环相扣，倍数与因数是整个单元的核心基础，2、5、3的倍数特征是找公因数、公倍数的工具，公因数公倍数是倍数因数概念的延伸应用，质数合数是对非0自然数的分类，进一步深化对因数概念的理解，形成完整的知识链条； · 跨领域关联：本单元渗透的分类思想、枚举思想、筛法是小学数学解决问题的通用思想方法，可迁移到其他领域的学习中；同时本单元内容和分数领域直接关联，最大公因数用于约分、最小公倍数用于通分，是分数运算不可或缺的基础。 （二）单元内容课标分解 一、对应《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求 1. 内容要求（第三学段5-6年级 数与代数领域） (1) 知道2、3、5的倍数的特征，了解奇数、偶数、质数、合数的概念； (2) 理解非0自然数范围内因数与倍数的意义，能在1~100的自然数中，找出一个自然数的所有倍数、找出100以内一个自然数的所有因数； (3) 了解公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数的意义，能找出两个自然数的公因数、最大公因数与公倍数、最小公倍数。 2. 学业要求 (1) 能正确表述非0自然数间的倍数与因数关系，能有序找出一个数的所有因数和指定范围内的倍数，做到不重复不遗漏； (2) 能依据2、3、5的倍数特征，准确判断一个数是否为这三个数的倍数，能正确区分奇数与偶数、质数与合数，能找出100以内的所有质数； (3) 能有序找出两个自然数的公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数，能运用本单元相关概念解决简单的实际问题，发展数感与推理意识。 3. 教学提示 (1) 本单元为整数数论的初步内容，概念抽象，教学需结合操作活动、具体情境引出概念，避免让学生死记硬背抽象定义； (2) 引导学生经历“枚举-观察-猜想-验证-总结”的规律探索过程，探索2、3、5的倍数特征、质数合数的分类特征，发展学生的推理意识； (3) 注重概念本质的理解，不过度强调解题技巧训练，鼓励学生用个性化方法找公因数、公倍数，体会概念的意义； (4) 结合筛法找质数等内容渗透数学文化，激发学生探索数的规律的兴趣，感受数学的内在逻辑性。 二、单元内容目标分解表 学什么（核心知识点） 学到什么程度（学业水平要求） 怎么学（学习活动方式） 倍数与因数的基本概念 1. 明确研究范围是非0自然数； 2. 能根据乘法算式正确判断两个数的倍数与因数关系； 3. 能用成对枚举法有序找出一个数的所有因数，找出指定范围内一个数的所有倍数，做到不重复不遗漏； 4. 知道一个数的因数个数有限、倍数个数无限。 结合整数乘法情境、摆正方形操作活动，通过枚举练习、对比观察，归纳总结一个数因数、倍数的特征。 2、5的倍数的特征，奇数与偶数 1. 能准确表述2、5的倍数的特征，知道同时是2和5的倍数个位一定是0； 2. 能正确判断一个数是否是2、5的倍数，能准确区分奇数和偶数。 在百数表中圈出2、5的倍数，通过观察特征提出猜想，举例验证后总结规律，在分类练习中明晰奇数偶数概念。 3的倍数的特征 1. 能准确表述3的倍数的特征：一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数； 2. 能正确判断一个数是否是3的倍数。 在百数表中圈出3的倍数，否定“看个位判断”的原有猜想，通过计算数位和重新提出猜想，举例验证后总结特征。 公因数、最大公因数，公倍数、最小公倍数 1. 理解公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的概念； 2. 能用枚举法准确找出两个数的公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数，了解短除法求最大公因数、最小公倍数的方法。 分别枚举两个数的因数/倍数，通过找公共部分的活动整理概念，对比不同方法优化找的过程，尝试用短除法提升效率。 质数与合数 1. 能准确表述质数、合数的定义，明确1既不是质数也不是合数； 2. 能正确判断一个数是质数还是合数，能找出100以内所有质数，知道2是唯一的偶质数。 通过拼长方形活动统计不同个数小正方形对应的因数个数，按因数个数分类归纳出质数合数概念，用埃拉托色尼筛法找100以内的质数，在辨析练习中明晰概念边界。 本单元知识的实际应用 能运用本单元的概念、规律解决简单的生活实际问题，能整理单元知识形成完整的知识结构。 结合生活实际问题分析，运用概念推理解决问题，通过单元整理活动梳理知识脉络，形成知识体系。 （三）学情分析 一、已学内容分析 学生在学习本单元前，已经系统掌握了非0自然数的认识、整数四则运算，理解了“乘数×乘数=积”的乘法基本关系，为理解倍数和因数的概念铺垫了知识基础；同时学生此前通过图形拼组、数的分类探究等活动，积累了枚举、观察、对比、分类的活动经验，具备学习本单元内容的经验支撑。 二、新知内容分析 本单元属于小学数学数论领域的入门内容，是北师大版五年级上册第七单元核心内容，具体包含：倍数与因数的基本概念、找一个数的倍数与因数的方法；2、5、3的倍数特征，奇数与偶数的认识；公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的概念与找法；质数与合数的概念、筛法找100以内质数。本单元是后续学习分数约分、通分、分数四则运算，以及中学阶段数论相关知识的重要基础，承担着帮助学生建立整数性质基本概念体系的作用。 三、学生能力分析 五年级学生已经具备一定的抽象概括能力和归纳推理能力，能够独立完成简单的枚举分类探究活动，能通过观察实例总结规律；同时学生已经熟练掌握整数乘除法计算，能够独立判断一个数能否被另一个数整除，具备找倍数、因数的计算能力。但学生对抽象数论概念的理解仍依赖具象实例支撑，对相似概念的辨析梳理能力仍有待发展。 四、学习障碍的突破策略 常见学习障碍 1. 不理解倍数与因数的相互依存性，常孤立描述“某数是倍数/因数”； 2. 受2、5倍数特征的思维定式影响，错误用个位数字判断3的倍数； 3. 混淆质数合数与奇数偶数的概念，对“1既不是质数也不是合数”“2是唯一偶质数”这类特殊点认知模糊； 4. 找公因数、公倍数时容易漏找，混淆最大公因数与最小公倍数的计算规则。 突破策略 1. 概念依存性突破：借助乘法算式实例对比正误说法，通过反例辨析（对比“36是倍数”“36是4和9的倍数”两种描述），强化倍数因数相互依存的属性； 2. 3的倍数特征突破：让学生自主在百数表中圈出3的倍数，通过计算数位和自主总结规律，对比2、5倍数特征的差异，打破思维定式； 3. 相似概念辨析突破：绘制四概念分类对比表，整理1、2、9等特殊数的归类，通过分类练习强化概念边界，梳理不同概念的分类标准（奇偶性按是否是2的倍数分，质数合数按因数个数分）； 公因数公倍数难点突破：教授“成对枚举法+短除法”两套方法，总结规律：“找因数成对找不遗漏，找倍数依次乘不重复”，短除法中明确“左边除数相乘得最大公因数，除数乘剩余商得 （四）单元教学方案实施 1.单元大主题/大概念设定 · 单元大主题：自然数的特征与关系探秘——倍数与因数单元探究 · 单元大概念：倍数与因数反映了非0自然数之间的整除关系，非0自然数可以依据不同特征分类；通过观察、归纳、推理可以探究出数的规律，这些规律可以解决生活中整除相关的实际问题，发展数感。 2.单元目标叙写、单元目标达成标准 单元目标叙写 （1）知识与技能：理解倍数与因数的概念，掌握找一个数的倍数、因数的方法；掌握2、3、5的倍数特征，能正确区分奇数与偶数；理解公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的概念，会用枚举法、短除法求解；理解质数与合数的概念，能正确对非0自然数分类，找出100以内的质数。 （2）数学思考：经历观察、猜想、验证、归纳数的特征的过程，发展推理能力、分类思想，提升数感。 （3）问题解决：能运用倍数与因数相关知识解决生活中的分装、组数、猜数等实际问题，能清晰表达说理。 （4）情感态度：感受自然数规律的趣味性，体会数论的内在逻辑美，激发探究数学规律的兴趣。 单元目标达成标准 ① 能在非0自然数范围内正确描述两个数的倍数、因数关系，能准确找出指定数的倍数和因数，正确率不低于90%； ② 能准确判断一个数是否是2、3、5的倍数，正确区分奇数、偶数，正确率不低于95%； ③ 能正确找出两个数的公因数、最大公因数，公倍数、最小公倍数，正确率不低于90%； ④ 能正确区分质数、合数，明确1既不是质数也不是合数，能准确找出100以内所有质数，正确率不低于95%； ⑤ 能运用单元知识解决综合实际问题，会说理分析，完成单元知识梳理。 3.单元教学任务拆解、任务情景创设 任务情景创设 创设贯穿全单元的校园数学探秘营项目情境：学校“数学探秘营”社团开展“寻找自然数的秘密”主题活动，需要学生共同探究非0自然数的特征与相互关系，最终完成《自然数探秘手册》项目成果。 单元教学任务拆解 大任务 对应核心内容 子任务拆解 大任务1：拼长方形认识因数倍数 倍数与因数概念、找因数和倍数 子任务1：拼摆长方形，理解倍数因数的相互关系； 子任务2：探究找一个数的倍数、因数的方法，总结因数倍数的基本特征 大任务2：破译数字密码探究倍数特征 2、3、5的倍数特征、奇数偶数认识 子任务1：百数表圈数，探究2、5的倍数特征，认识奇数偶数； 子任务2：通过数位和探究，归纳3的倍数特征，对比梳理不同倍数的规律 大任务3：包装爱心礼盒探究公倍公因数 公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数 子任务1：结合裁剪包装纸问题，认识公因数与最大公因数，掌握找法； 子任务2：结合礼盒分装分组问题，认识公倍数与最小公倍数，掌握找法 大任务4：分类整理认识质数合数 质数合数概念、找100以内质数、单元整理 子任务1：统计拼长方形个数，归纳质数合数概念； 子任务2：用筛法找出100以内所有质数； 子任务3：整理单元知识，解决综合实际问题 4.单元教学计划表(课时内容安排) 课时序号 课时核心内容 对应大任务 主要课堂活动 课后作业 1 认识倍数与因数 大任务1 拼摆小正方形活动，理解非0自然数范围内的倍数因数概念，学习找倍数的方法 完成课本P90练一练，找出1-20中所有5的倍数 2 找一个数的因数 大任务1 探究成对枚举法，总结“因数个数有限、倍数个数无限”的规律 找出12、18、24的全部因数，完成对应习题 3 2、5的倍数的特征 大任务2 百数表圈数归纳特征，认识奇数与偶数 完成课本P92练一练，解决“苹果分装”实际问题 4 3的倍数的特征 大任务2 猜想验证数位和规律，归纳3的倍数特征，对比2、5、3特征差异 完成课本P94练一练，拓展探究9的倍数特征 5 公因数与最大公因数 大任务3 结合“剪正方形包装纸”问题理解概念，学习枚举法、短除法 找6组常见数的最大公因数，完成课本对应习题 6 公倍数与最小公倍数 大任务3 结合“礼盒分组分装”问题理解概念，学习找法 找6组常见数的最小公倍数，完成课本对应习题 7 质数与合数 大任务4 统计因数个数归纳概念，明确1既不是质数也不是合数 对2-30的数进行质数合数分类 8 找质数与单元整理 大任务4 学习埃拉托色尼筛法找100以内质数，梳理单元知识 完成课本整理与复习习题，完善《自然数探秘手册》 9 单元检测与讲评 单元评价 检测知识掌握，讲评典型错点 订正错题，整理单元错例集 （五）单元作业设计 1. 作业目标叙写 知识技能目标：能正确识别倍数与因数的概念，熟练找出一个数的因数和倍数；掌握2、5、3的倍数特征，能准确区分奇数、偶数、质数、合数；会用枚举法、短除法求两个数的公因数、最大公因数和公倍数、最小公倍数，达成单元核心知识点的合格要求。 数学思考目标：在分类辨析、推理探究的过程中，发展数感与归纳推理能力，体会分类思想在数的认识中的应用。 问题解决与情感目标：能运用本单元知识解决生活中的实际问题，体会数学与生活的联系，感受数学规律的简洁性。 2. 基础性作业（全体必做，时长12-15分钟） 作业内容 (1) 填空题 1　 在非0自然数范围内，因为，所以( )是( )的倍数，( )是( )的因数。 2　 18的因数有( )，100以内21的倍数有( )。 3　 三个连续偶数的和是36，这三个数分别是( )、( )、( )。 4　 最小的质数是( )，最小的合数是( )，( )既不是质数也不是合数。 5　 同时是2、3、5的倍数的最小两位数是( )，最大两位数是( )。 6　 12和18的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 (2) 判断题（辨析易混概念） 1　 一个数的倍数一定比它的因数大。( ) 2　 个位上是3、6、9的数一定是3的倍数。( ) 3　 所有偶数都是合数，所有奇数都是质数。( ) 4　 两个数的公倍数个数是无限的，公因数个数是有限的。( ) 5　 因为，所以3是1.2的因数。( ) (3) 分类题：把下列数填入对应类别 2、11、15、27、34、41、50、61、78、91 奇数： 偶数： 质数： 合数： (4) 求下列每组数的最大公因数和最小公倍数（任选方法） ① 16和24 ② 12和36 ③ 8和9 参考答案 (1) ① 42；6和7；6和7；42 ② 1,2,3,6,9,18；21,42,63,84 ③ 10,12,14 ④ 2；4；1 ⑤ 30；90 ⑥ 6；36 (2) ①× ②× ③× ④√ ⑤× (3) 奇数：11,15,27,41,61,91；偶数：2,34,50,78；质数：2,11,41,61；合数：15,27,34,50,78,91 (4) ① 最大公因数：8，最小公倍数：48 ② 最大公因数：12，最小公倍数：36 ③ 最大公因数：1，最小公倍数：72 3. 发展性作业（中等生必做/优等生选做，时长10-15分钟） 作业内容 (1) 趣味猜数 1　 我是两位数，是5的倍数，也是奇数，十位与个位数字和是3，我是多少？ 2　 两个质数的和是18，积是65，这两个质数分别是多少？ 3　 一个数既是36的因数，又是6的倍数，这个数可能是多少？ (2) 解决实际问题 1　 五（1）班准备了72个苹果、48块蛋糕，要平均分给每个小组，正好分完，最多可以 分给多少个小组？每个小组分得苹果和蛋糕各多少？ 2　 1路公交每6分钟发一班，2路公交每8分钟发一班，两路车早上7:00同时发车，下一 次同时发车是什么时间？ (3) 探究规律 计算每组数的最大公因数、最小公倍数，再分别计算「两个数的乘积」和「最大公因数×最小公倍数」，你发现了什么规律？ 第一组：12和18 第二组：15和25 第三组：8和15 我的发现： 参考答案 (1) ① 25 ② 5和13 ③ 6、12、18、36 (2) 最多分给12个小组，每个小组分6个苹果、4块蛋糕（核心：求72和48的最大公因数） 7:24（核心：求6和8的最小公倍数是24） (3) 规律：两个数的乘积 = 两个数的最大公因数 × 两个数的最小公倍数 4. 实践性作业（二选一完成，时长20-25分钟） 实践任务1：制作100以内质数百数表 (1) 准备1张1-100的百数表，用埃拉托色尼筛法，依次划掉非质数，保留所有质数。 (2) 完成后回答问题： ① 除了2以外，所有的质数都是奇数吗？有没有例外？ ② 100以内一共有多少个质数？请写出所有个位是1的质数。 (3) 设计意图：巩固筛法找质数的方法，加深对质数特征的理解，培养动手操作能力。 实践任务2：寻找生活中的公因数与公倍数 (1) 观察生活，找出1个可以用本单元倍数与因数、公因数公倍数知识解决的实际问题（示例：铺地砖选边长、文具分装、排队分组都可以），把问题记录下来。 (2) 自己列式解答，说明你用到了什么本单元知识解决问题。 (3) 示例问题：我家客厅长60分米、宽48分米，铺正方形地砖不允许切割，最大可以选边长多少分米的地砖？解答：求60和48的最大公因数是12，所以最大选边长12分米的地砖，用到了最大公因数的知识。 设计意图：沟通数学与生活的联系，培养学生发现问题、解决问题的能力，体会数学的应用价值。 （六）单元学业评价表 一、单元学习效果评价 评价维度 评价要点 评价等级（打√） 备注 核心知识掌握 1.明确倍数与因数的研究范围是非0自然数，能准确表述二者的关系 2.掌握2、3、5的倍数特征，能正确区分奇数和偶数 3.掌握质数、合数的定义，清楚1既不是质数也不是合数 4.理解公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的核心概念 优秀□ 良好□ 合格□ 待合格□ 基本技能达成 1.能有序找出一个数的所有因数，能找出指定范围内一个数的所有倍数 2.能快速判断一个数是否是2、3、5的倍数 3.能正确判断100以内的数是质数还是合数 4.能用枚举法/短除法正确求出两个数的最大公因数和最小公倍数 优秀□ 良好□ 合格□ 待合格□ 问题解决能力 1.能运用本单元知识解决生活分装、数的推理、组数等实际问题 2.能灵活运用数的特征解决分类、规律探究类问题 优秀□ 良好□ 合格□ 待合格□ 综合评价 单元整体学习效果 优秀□ 良好□ 合格□ 待合格□ 二、课时学习评价量表 序号 课时内容 评价维度 评价等级（优秀/良好/合格/待合格） 1 倍数与因数基础认识 核心概念理解 1 倍数与因数基础认识 找因数、找倍数技能 1 课堂参与与作业完成质量 2 2、5的倍数特征 特征掌握与奇数偶数判断 2 课堂参与与作业完成质量 3 3的倍数特征 特征理解与判断应用 3 课堂参与与作业完成质量 4 公因数与公倍数 概念理解 4 找最大公因数、最小公倍数技能 4 课堂参与与作业完成质量 5 质数与合数 概念理解与判断 5 筛法找质数掌握 5 课堂参与与作业完成质量 6 单元整理与复习 知识体系梳理 6 综合问题解决 6 课堂参与与作业完成质量 三、学科素养评价 数学核心素养 本单元对应素养表现要求 评价等级（优秀/良好/合格/待合格） 数感 能感知非0自然数的结构特征，能对自然数按不同标准进行正确分类，建立因数倍数关系的直观感知 推理意识 能通过观察、比较、归纳总结出2、3、5的倍数特征，能根据数的特征完成简单逻辑推理，能通过因数个数推理判断质数合数 运算能力 能通过计算验证倍数、因数关系，能熟练用短除法准确计算两个数的最大公因数和最小公倍数 应用意识 能主动运用本单元知识解释生活问题（如分装问题），能将实际问题转化为倍数因数相关数学问题解决 第七单元《倍数与因数》课时任务划分 本单元共划分为6课时，具体安排如下： 课时序号 课时教学任务 对应教材页码 1 倍数与因数的认识（概念理解、找倍数、找因数） P89-P90 2 2、5的倍数的特征，奇数与偶数 P91-P92 3 3的倍数的特征 P93-P94 4 公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数 P95-P96 5 质数与合数，筛法找质数 P97-P99 6 单元整理复习与综合练习 P100-P101 （七）分课时教学设计 示例课时教学设计：第一课时《倍数与因数的认识》 1.【核心素养】、【课标描述】 核心素养 本课时聚焦数学核心素养培养： · 数感：在非零自然数范围内研究倍数与因数的关系，深化对整数性质的感知； · 运算能力：通过乘除法判断倍数与因数，提升整数运算的应用能力； · 推理意识：通过成对枚举找因数的过程，发展有序思考的推理意识； · 符号意识：能用字母表达式表示倍数与因数的关系，发展符号表达能力。 课标描述 依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》第三学段（5~6年级）数与代数领域要求：了解倍数和因数的意义，能找出100以内自然数中某个自然数的所有倍数，能找出一个自然数的所有因数，发展学生数感。 2.【教学内容分析:教学重点】、【学情分析:教学难点】 教学内容分析与教学重点 本课时是单元起始课，是在学生掌握整数认识、整数四则运算的基础上开展教学，是后续学习倍数特征、质数合数、公因数公倍数以及分数约分通分的知识基础。教学核心是结合整数乘法认识倍数与因数的概念，掌握找一个数倍数和因数的基本方法。 教学重点：理解倍数与因数的概念，掌握找一个数的倍数和因数的有序方法。 学情分析与教学难点 学生已经熟练掌握整数乘法计算，对乘法中三个数的关系有基础认知，但首次接触数与数之间的依存关系，容易出现“单独描述某数是倍数/因数”的概念错误；找因数时容易出现遗漏、重复，缺少有序思考的意识。 教学难点：理解倍数与因数的相互依存关系，能有序、不重复不遗漏找出一个数的所有因数。 3.【学习目标确定】【评价任务设计】、【评价水平分级】 学习目标确定 (1) 知识目标：明确倍数与因数的研究范围是非0自然数，能准确描述两个数的倍数与因数关系，掌握找一个数倍数和因数的方法； (2) 能力目标：通过探究找因数的活动，发展有序思考能力和推理意识，提升运算应用能力； (3) 情感目标：感受整数性质的规律性，体会数学知识的内在联系，激发对数论知识的探究兴趣。 评价任务设计 (1) 评价任务1（对应目标1）：能说出倍数与因数的定义和研究范围，结合乘法算式正确描述倍数因数关系，完成教材P90练一练第1、2题，检测概念理解和找倍数的掌握； (2) 评价任务2（对应目标1、2）：能独立找出指定数的所有因数，交流找因数的方法，完成教材P90练一练第3、4题，检测有序找因数的掌握； (3) 评价任务3（对应目标3）：能总结一个数倍数和因数的特征，主动参与课堂探究，清晰表达自己的思考过程。 评价水平分级 评价任务 水平1（合格） 水平2（良好） 水平3（优秀） 评价任务1 能明确研究范围，结合算式正确描述倍数因数关系，做对P90练一练1、2题不少于1题 能准确表述概念，无“单独说某数是倍数/因数”的错误，两道习题全部做对 能自主举例说明倍数因数的依存关系，能区分旧知“倍”和新知“倍数”的不同 评价任务2 能找出指定数的大部分因数，遗漏不超过2个，能听懂有序找因数的方法 能用成对枚举法有序找出所有因数，无遗漏重复，两道习题全部做对 能总结因数“成对出现”的规律，能独立解决复杂找因数问题 评价任务3 能跟随课堂总结说出“倍数个数无限、因数个数有限”的结论 能独立总结“最小倍数、最大因数都是本身”的特征 能应用倍数因数知识解决简单推理问题，主动提出探究问题 5.【学习活动设计】 任务一：情境导入，抽象概念 教师活动： (1) 出示教材P89方阵情境图：两个运动会方阵，分别是9行4列、5行7列，请学生列出乘法算式，思考三个数之间的关系； (2) 给出概念：我们只在非0自然数范围内研究倍数和因数，若（a、b、c都是非0自然数），则是、的倍数，、是的因数； (3) 追问：能不能说“36是倍数，9是因数”？引导学生体会相互依存的关系； (4) 组织同桌活动：互相举例乘法算式，说一说其中的倍数因数关系。 学生活动： (1) 列出算式、，读一读算式； (2) 明确概念和研究范围，思考教师的追问，得出结论：倍数和因数是相互依存的，不能单独描述某一个数是倍数或因数； (3) 同桌互动，一个说乘法算式，另一个描述倍数因数关系，互相纠正错误表述。 活动意图：从熟悉的情境引入，结合乘法算式抽象概念，通过追问突破“相互依存”的理解难点，通过举例互动及时巩固概念。 任务二：探究方法，总结规律 教师活动： (1) 出示问题：找出所有7的倍数，你用什么方法找？引导学生总结：用7依次乘1、2、3...，得到的积就是7的倍数，提问：能找完吗？引导总结倍数的特征； (2) 出示问题：找出18的所有因数，怎样找才能不遗漏不重复？引导学生自主尝试后对比方法，总结成对枚举法：从1开始，一对一对找，哪两个数相乘等于目标数，这两个数就是目标数的因数，直到找到重复的数为止； (3) 板演找18因数的过程，整理得到结果后，引导学生总结因数的特征。 学生活动： (1) 自主尝试找7的倍数，汇报方法，发现倍数永远找不完，总结得出：一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数； (2) 先自主尝试找18的因数，对比不同找法的优缺点，体会成对枚举法有序、不易遗漏的优势，按照方法重新整理，得到18的所有因数； (3) 同桌互相总结：一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 (4) 活动意图：让学生先自主探究再优化方法，体会有序思考的重要性，自主总结规律，发展推理意识和数感。 任务三：巩固练习，内化新知 教师活动：布置学生独立完成教材P90练一练1-4题，巡视指导，针对错误集中点讲评： ①重点纠正“单独描述倍数因数”的错误； ②讲评找两个数公倍/因数的思路； ③检查100以内8的倍数有没有遗漏。 学生活动：独立完成练习，同桌互批，订正错误，交流错题原因。 活动意图：结合教材习题巩固新知，及时纠正常见错误，检测学习效果。 任务四：小结拓展 教师活动：引导学生回顾本节课知识点，布置拓展作业：判断“12是倍数，4是因数”这句话是否正确，说明原因；找出自己生日月份的所有因数。 学生活动：梳理本节课知识，完成拓展作业。 活动意图：构建知识体系，联系生活深化概念理解。 4.【板书设计】 倍数与因数的认识 概念（非0自然数范围内） → ， ⚠ 倍数与因数是相互依存的，不能单独说某数是倍数/因数 找一个数的倍数 例：7的倍数： 特点： 个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数 找一个数的因数（成对枚举法） 例：18的因数 → 1、18 → 2、9 → 3、6 18的因数： 特点： 个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身 （八）教学反思 一、单元设计闪光点（体现教-学-评一体化） 1. 锚定核心概念边界，过程评价嵌入学习全程 本单元设计严格贴合教材逻辑，从乘法算式引入倍数与因数概念时，明确强调“非0自然数”的研究范围，避免学生后续出现概念混淆。教学推进遵循“概念引入-方法总结-教材习题即时检测”的结构，每课时新知学习完成后，立刻结合课本对应练一练开展当堂诊断，比如学完找因数方法后，当堂完成“找15、21的公因数”练习，教师随堂反馈订正，把过程性评价融入每节课，85%以上的学生能当堂掌握基础知识点，实现了教、学、评同步推进。 2. 结构化梳理知识规律，符合学生认知特点 单元设计将零散知识点做了结构化总结：“因数个数有限、倍数个数无限，2、5倍数看个位，3的倍数看数位和”，帮助学生快速搭建知识框架；在质数合数教学中，结合教材拼长方形的探究活动，让学生通过“数因数个数-分类归纳概念”自主生成知识，再通过筛法找100以内质数的活动深化理解，兼顾了过程体验和概念落实，符合北师大版教材“做中学”的设计理念。 3. 兼顾基础与拓展，适配课标要求 设计既覆盖了单元所有核心知识点、完成教材全部习题的精讲点评，也结合哥德巴赫猜想做了适当的数学文化拓展，兼顾了不同层次学生的学习需求，单元过程性数据显示，多数学生能达标掌握“判断倍数特征、找因数倍数、区分质数合数”的核心技能。 二、单元实施的不足点 1. 概念本质的易错点诊断不足 多数学生容易忽略倍数与因数的“相互依存关系”，常出现“36是倍数，4是因数”这类错误，教学初期仅在概念呈现时提过要求，没有设计针对性的对比判断题开展评价诊断，导致单元检测中这类错误率达到20%左右，没有通过评价及时暴露并纠正学生的认知误区。 2. 特殊规律的分层评价落实不到位 讲解最大公因数和最小公倍数时，基础薄弱学生容易混淆短除法的计算逻辑，分不清“乘除数得最大公因数，乘除数和商得最小公倍数”；针对“两数互质”“两数成倍数关系”这两种特殊情况，没有设计对比性分层练习和对应评价，基础生混淆问题得不到解决，学优生也缺少拓展性练习，分层教学和分层评价没有落到实处。 3. 高频易混点的反馈不及时 对于“1既不是质数也不是合数”“2是唯一的偶质数”这类高频易错点，教学后没有及时设计专项检测评价，不少学生到单元综合练习阶段依然出错，错误没有得到及时纠正。 三、后续改进方向 1. 针对核心易错点补充专项评价设计：在概念引入后增加“判断对错：‘12是倍数，3是因数’”这类辨析题，当堂评价、当场纠正认知误区； 2. 优化最大公因数、最小公倍数的分层教学：梳理“一般情况、互质、倍数关系”三类题型，设计分层练习，基础层练常规计算，提高层练特殊规律应用，对应不同层级的评价要求，适配不同水平学生； 3. 单元结束后增加“易错点闯关”专项评价，整理本单元高频错题形成闯关检测，让学生自主检测纠错，进一步落实教-学-评一体化，提升单元教学效果。 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $