专题05一元二次方程的解法暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年新教材北师大版九年级数学上册

专题05一元二次方程的解法暑假预习讲义 · 方法识记：熟记直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法的适用形式，理清每种解法的解题步骤，对比四种方法的优缺点与适用场景。 ·公式掌握：理解求根公式的推导来源，牢记求根公式 ，能准确确定 a、b、c的取值，掌握公式法通用解题流程。 · 运算能力：熟练运用配方法完成配方变形，规范移项、化二次项系数为 1、配方、开方等操作；会用因式分解法快速求解特殊一元二次方程，规范书写解方程完整步骤。 · 灵活选法：能根据方程结构特征选择简便解法，形如 (x+m)2=n\优先直接开平方法；左边易分解优先因式分解法；无明显特征选用公式法。 · 易错辨析：区分配方时常数项移动、漏乘系数、开方忘记正负号等常见错误，牢记配方时等式两边同步变形的规则。 · 预习提升：自主梳理四种解法之间的内在联系，标记配方、公式计算中的难点疑问，建立一题多解对比思维，课堂针对性突破计算易错点。 预习必备 知识梳理 1.直接开平法 2.配方法 3.因式分解法 4.公式法 5.四大方法对比 6.换元法 7.根的判别式 9.高频易错点 常考题型 精讲精练 1直接开平方法. 2.配方法 3.配方法的应用 4.公式法解一元二次方程 5.由判别式判断方程根的情况 6.由方程根的情况求参数 7.因式分解法解一元二次方程 8.换元法解一元二次方程 9.解分式方程 10.新定义运算 强化题型 解答题7 四种解法总览 一元二次方程标准形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，共 4 种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。 知识点 01 直接开平方法解一元二次方程 1.非负数 a 的算术平方根为 ，平方根为 。 例如：144 的算术平方根为 =12，平方根为 =12。 2.根据 平方根的意义 直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。 例如 x2=25，解得 x=5。 一般地，对于方程 x2=p： 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1) 将方程化为 x2 = p 或(mx + n)2 = p(p 0,m 0)的形式； (2) 直接开平方化为两个一元一次方程； (3) 解两个一元一次方程得到原方程的解。 知识点 02 配方法解一元二次方程 （1）解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为 (x + a)2 = b 的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解。这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 （2）配方法解一元二次方程的一般步骤（示例） 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根。 （3）解题依据：(ab)2 = a2 2ab + b2把公式中的 a 看作未知数 x，并用 x 代替，则 (x b)2 = x2 2bx + b2 知识点03：因式分解法（最简便，优先选用） 1. 适用条件 方程整理后右边为 0，左边二次三项式能分解成两个一次因式乘积。 2. 核心原理 若 A·B=0，则 A=0 或 B=0 3. 解题步骤 （1）移项，把所有项移到左边，右侧化为 0； （2）对左边因式分解（提公因式、十字相乘、平方差）； （3）令每个因式分别等于 0，得到两个一元一次方程； （4）解一次方程，得到两根。 4. 常见分解类型 提公因式：x2-3x=0 x(x-3)=0 平方差：x2-4=0 (x+2)(x-2)=0 十字相乘：x2-5x+6=0(x-2)(x-3)=0 易错提醒 不能两边同时约去含未知数的因式，容易丢根。 知识点04：公式法（通用万能解法） 1. 求根公式推导来源 由配方法对一般式配方推出 (a≠0) 2. 判别式Δ=b2−4ac（判断根的情况） Δ>0：方程有两个不相等实数根； Δ=0：方程有两个相等实数根； Δ<0：方程无实数根。 3. 公式法解题步骤 （1）先把方程整理为标准形式 ax2+bx+c=0(a≠0)； （2）确定 a、b、c，注意携带前面正负符号； （3）计算判别式Δ ，判断有无实数根； （4）Δ0 时代入求根公式计算两根。 知识点05:一元二次方程.四大方法・择优解题 解法名称 适用方程特征 解题核心思路 难易程度 直接开平方法 不含一次项、平方式等于常数 直接对等式两边开平方，注意正负 最简单 因式分解法 方程易分解为两个整式乘积形式 移项整理为乘积为 0，分别求根 计算快 配方法 所有一元二次方程通用 配方转化为完全平方式，再开方 步骤多 公式法 所有一元二次方程通用 套用固定求根公式，代入计算 万能法 知识点06:换元法（整体换元，针对高次 / 重复结构方程） 1.适用题型：方程中出现重复的代数式，形如(ax+b)2+p(ax+b)+q=0，整体重复出现，直接展开会产生四次等高次式子，计算繁琐。 2.核心思路：把重复的整体设为新未知数y，将复杂高次方程转化为标准一元二次方程，求解后再回代求原未知数。 3.完整解题步骤： ①观察方程，找出重复出现的整体，设\(y=\)重复代数式； ②将原方程替换为关于y的一元二次方程； ③选用因式分解 / 公式法解出y的取值； ④把y回代换元式，解关于x的一元一次方程； ⑤检验，写出原方程所有根。 4.举例：解方程(x2+x)2-4(x2+x)-12=0 解：设y=x2+x，原方程变为y2-4y-12=0，因式分解求出y，再分情况回代求x。 5.补充说明：换元法属于转化降次的拓展方法，课本例题、课后拓展题常出现，.是中考高频简便运算技巧。 知识点07:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0))，把 △=b²-4ac 叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即 a0，含参数题目必须分类讨论。 知识点08:高频易错点汇总 易错类型 错误示例 正确操作 失分根源 忽略a≠0 认为(m-2)x2+3x=0一定是一元二次方程 m≠2时才是一元二次方程 遗忘一元二次方程定义限制 开平方漏正负号 (x-1)2=4，只写x-1=2 x-1=±2，两根x1=3,x2=-1 平方根有两个互为相反数值 配方只单边加常数 x2-4x=5，化为(x-2)2=5 两边同时加 4，(x-2)2=9 未遵守等式基本性质 求根公式代错符号 x2-3x-4=0，误取b=3 a=1,b=-3,c=-4 a、b、c需连带前面符号 随意约去含未知数项 x2=3x直接约x，得x=3 移项x(x-3)=0，两根0、3 丢失x=0这个根 题型1直接开平方法. 【典例】若，该方程的解为______． 【答案】 ， 【详解】解： 或 ∴，． 【跟踪专练1】方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可用直接开平方法计算，先移项，再将的系数化为，最后开平方即可得到方程的根． 【详解】解： ，． 【跟踪专练2】若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 先解一元二次方程，然后根据两个根均为正整数列不等式组求解即可． 【详解】解：， ， ，， 关于的一元二次方程的两个根均为正整数， ， 解得， ∴，且a为正整数 观察四个选项，可以为， 故选：D． 【跟踪专练3】定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，． （1）______； （2）若，则的值是______． 【答案】 或 【分析】（1）通过平方比较法判断与的大小，从而确定二者中的最大值； （2）根据的正负分类讨论的取值，分别建立方程求解并结合前提条件筛选出符合要求的解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）由题意得，，即， 当时，，即， 解得，， ∵，， ∴x的值为； 当时，， 即，解得，， ∵，， ∴． 综上，的值是或． 题型2.配方法 【典例】用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 【详解】解：， ， ， 即． 【跟踪专练1】解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 移项得， 两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得． 【跟踪专练2】用配方法解一元二次方程，经配方后得到的方程是______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：∵， 移项，得， 系数化为1，得， 配方，得， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2031 D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，需熟练掌握配方法步骤，通过配方得到的形式，求出、的值后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 与对比，得，， ∴． 故选：A． 题型3.配方法的应用 【典例】对于代数式，当__________时，代数式有最__________（填“大”或“小”）值，其值为__________． 【答案】 大 4 【分析】本题考查代数式的运算，配方法的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键．把化为 ，由平方的非负性得，，从而，由不等式性质，不等式两边同时加或减一个数，不等号不变，即，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 当时，有最大值为4． 故答案为：；大；4． 【跟踪专练1】用配方法解方程，将方程变形为，则的值为（   ） A．4 B．9 C．12 D．14 【答案】B 【分析】将方程通过配方法变形为的形式，确定和的值后求和． 【详解】解： 原方程变形为： 提取二次项系数2： 对括号内的，加上一次项系数一半的平方，并保持等式平衡：即： 展开整理：移项得： 对比形式，得，， 故． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 【跟踪专练2】已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知求出，再代入，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴s的值最大为3． 【跟踪专练3】在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用、非负数的性质，依据题意将化为，又对于任意的，都有，，进而得解．熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 【详解】解：∵ ， 又∵对于任意的，都有，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 题型4.公式法解一元二次方程 【典例】若，则_____． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，先把方程整理成一般式，利用公式法“”解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【跟踪专练1】关于x的一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，熟记求根公式是解题的关键．直接应用一元二次方程求根公式，代入对应系数计算． 【详解】解：方程 中，，一次项系数为，常数项为． 代入求根公式 ，得： 与选项 A 一致， 故选：A． 【跟踪专练2】定义运算：．例如：，则方程的根______． 【答案】， 【分析】本题主要考查了新定义和解一元二次方程，先根据新定义，把方程左边化成一般形式，然后根据公式法解方程即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴,． 故答案为：,． 【跟踪专练3】我们规定一种新运算“”，其意义为，如，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据新定义运算法则列出一元二次方程求解即可. 【详解】解：∵， ∴ 即： 解得： 故选：C ． 题型5.由判别式判断方程根的情况 【典例】一元二次方程根的判别式的值是___________． 【答案】44 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，根据一元二次方程判别式公式，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程的判别式是解决问题的关键． 【详解】解：一元二次方程根的判别式的值是：， 故答案为：44． 【跟踪专练1】关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据根的判别式进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 【跟踪专练2】一元二次方程的根的情况是（      ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的情况 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式“对于一元二次方程，它的根的判别式为，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根”，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：一元二次方程中的， 则这个方程根的判别式为， 所以这个方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【跟踪专练3】．对于一元二次方程，下列说法： ①若c是方程的一个根，则一定有成立； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若，则它有一根为； ④若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的______． 【答案】②③④ 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：若c是方程的一个根，则， ∴， ∴或，故①错误； 若方程有两个不相等的实根，则， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故②正确； 若，则，即： ∴，即：， ∴它有一根为，故③正确； 若，则， 即：， ∵，∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解，解题的关键是掌握代数式，等式的变形． 题型6.由方程根的情况求参数 【典例】已知关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是__________． 【答案】 且 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意知，， 又∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且． 【跟踪专练1】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此计算即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 其中，，， ∴， 化简得， 解得． 【跟踪专练2】若一元二次方程没有实数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，正确求出根的判别式是关键． 根据一元二次方程无实数根的条件，判别式小于零，计算判别式并解不等式． 【详解】解：方程 中，，，， ∵． 由于一元二次方程没有实数解， ∴， 即 ， 解得 ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如果关于x的一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，可得且，再解出方程可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0， ∴且， ∴且， ， 解得： 当时，，则，，不满足一个根大于而小于0，不符合题意； 当时，， 解得：； 综上所述，m的取值范围是． 故选：D 题型7.因式分解法解一元二次方程 【典例】一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 【跟踪专练1】一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】使用因式分解法解题，先移项变形，提取公因式分解后，即可求出方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 【跟踪专练2】观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：； 第2个方程：； 第3个方程：； 第4个方程：； …… 直接写出第n个方程为________，第n个方程的解为________． 【答案】 / ， 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先观察给出的方程序列，总结规律写出第n个方程，再用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】由题意得，第n个方程为， ， ，或， ，， 故答案为：；，． 【跟踪专练3】某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲同学 乙同学 两边同时除以x，得． 移项，得，． 或，解得，． 其中完全正确的是（    ） A．甲同学 B．乙同学 C．都正确 D．都不正确 【答案】B 【分析】根据因式分解法解一元二次方程求解判断即可． 【详解】解：依题意，甲同学的解法错误，方程两边不能同时除以x，这样会漏解； 乙同学利用解一元二次方程方法—因式分解法，计算正确， 因此完全正确的是乙同学． 题型8.换元法解一元二次方程 【典例】已知方程的解是，，则方程的解是__________． 【答案】， 【分析】把方程看作关于的一元二次方程，然后根据题意得到或，再解两个一次方程即可． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程：把看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方程的解． 【跟踪专练1】若，设，原式可化为，即，解得，，故的值为3或.仿照上面的方法，计算当时，的值为________. 【答案】5 【分析】本题考查解一元二次方程．设，将方程转化为一元二次方程，再进行求解即可．注意：． 【详解】解：设， 则原方程可变形为，即， ∴， ∴， 解得：； 又∵ ∴． 故答案为：5． 【跟踪专练2】关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查换元法求一元二次方程的解，令，对于关于的一元二次方程的解为，，则或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：∵方程（m，h，k均为常数，）的解是，， 令， ∴对于关于的一元二次方程的解为，， 即或， 即，， ∴关于的一元二次方程的解是，． 故选：C． 【跟踪专练3】阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 【答案】 5或 5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． （1）仿照例题，设，因式分解后得出，再将值代回求解即可； （2）仿照例题，设，因式分解后得出，再将值代回求解即可． 【详解】解：（1）设，则， ∴，解得， 当时，， 当时，， 故答案为：5或； （2）设  ，则， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 题型9.解分式方程 【典例】用换元法解方程，如果假设，则原方程可以化为关于y的整式方程是______． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，掌握换元法解分式方程的方法是解答的关键．根据题意可得，则有，进而去分母化为整式方程即可． 【详解】解：设，则， ∴原方程化为， 去分母，得， 整理，得． 故答案为：． 【跟踪专练1】解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选：C． 【跟踪专练2】方程的解为________． 【答案】 【分析】把分式方程转化为一元二次方程进行求解，需要对根进行检验． 【详解】， ， ， ， ， ， 解得：， 检验：当时，，是增根，舍去， 当时，，是原分式方程的根， 方程的解为． 【跟踪专练3】解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 【答案】 【分析】将代入原方程，把原方程转化为含的分式方程，再去分母整理即可得到关于的整式方程． 【详解】解：设，则，， 原方程可化为， 两边同时乘以得， 整理得， 得到关于的整式方程是． 题型10.新定义运算 【典例】对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由新定义运算得出，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于实数，定义新运算：， ∴， ∴， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【跟踪专练1】对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 【跟踪专练2】定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程 的参数同时满足 和．且该方程与 互为“同伴方程”， 则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由和可得关于x的方程两个实数根为，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或．掌握“同伴方程”的定义是解题的关键． 【详解】解：∵同时满足和， 关于的方程两个 实数根为 ， 或， 的根为或 ， 与互为“同伴方程”， 或． 故答案为： 1或． 【跟踪专练3】对于函数，规定，例如若则有，已知函数，则方程的解的情况是（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】根据规定将方程转化为一般式，再由根的判别式判断即可． 【详解】解：根据题意： ， 由：， 故：， 即：， ， 没有实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用根的判别式来判断方程根的情况，解题的关键是：要理解规定的内容，将函数转化为一般式后，方程就为一元二次方程再解即可． 解答题 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) 【详解】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， 解得. 2．用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：方程整理得：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先移项，把右侧整体移到左边，提取公因式，利用因式分解法求解一元二次方程． （2）用因式分解法求解． 【详解】（1）解:， ， ， 由因式乘积为0可得： 或， 解得:,． （2）解：， ， 由因式乘积为0可得： 或， 解得：，． 4．解方程：. 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据解分式方程的知识，进行计算，即可求解； 【详解】解：等式两边同乘得：， 整理得：， ，， 经检验：是原方程的解；是增根， 原方程的根为； 5．阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，平方根的性质，掌握换元法是解题关键． 通过换元法将四次方程转化为一元二次方程，求解后代回，根据平方根性质进行取舍即可得到原方程的实数解． 【详解】解：令，则原方程化为：， 解得，， 当时，，则该方程无实数解； 当时，，解得，． 综上，该方程的解为：，． 6．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若该方程只有一个根小于2，求的取值范围． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）根据根的判别式判断即可； （2）先利用因式分解解方程，再进行求解即可 【详解】（1）证明：由题可得：，，， ， 方程总有两个实数根； （2）解：方程可因式分解为， 或， 或， ∵方程只有一个根小于时， ∴， ． 的取值范围为． 7．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【分析】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）根据运算过程即可解答； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； （3）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，代数式的最小值是4． 【详解】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05一元二次方程的解法暑假预习讲义 · 方法识记：熟记直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法的适用形式，理清每种解法的解题步骤，对比四种方法的优缺点与适用场景。 ·公式掌握：理解求根公式的推导来源，牢记求根公式 ，能准确确定 a、b、c的取值，掌握公式法通用解题流程。 · 运算能力：熟练运用配方法完成配方变形，规范移项、化二次项系数为 1、配方、开方等操作；会用因式分解法快速求解特殊一元二次方程，规范书写解方程完整步骤。 · 灵活选法：能根据方程结构特征选择简便解法，形如 (x+m)2=n\优先直接开平方法；左边易分解优先因式分解法；无明显特征选用公式法。 · 易错辨析：区分配方时常数项移动、漏乘系数、开方忘记正负号等常见错误，牢记配方时等式两边同步变形的规则。 · 预习提升：自主梳理四种解法之间的内在联系，标记配方、公式计算中的难点疑问，建立一题多解对比思维，课堂针对性突破计算易错点。 预习必备 知识梳理 1.直接开平法 2.配方法 3.因式分解法 4.公式法 5.四大方法对比 6.换元法 7.根的判别式 9.高频易错点 常考题型 精讲精练 1直接开平方法. 2.配方法 3.配方法的应用 4.公式法解一元二次方程 5.由判别式判断方程根的情况 6.由方程根的情况求参数 7.因式分解法解一元二次方程 8.换元法解一元二次方程 9.解分式方程 10.新定义运算 强化题型 解答题7 四种解法总览 一元二次方程标准形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，共 4 种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。 知识点 01 直接开平方法解一元二次方程 1.非负数 a 的算术平方根为 ，平方根为 。 例如：144 的算术平方根为 =12，平方根为 =12。 2.根据 平方根的意义 直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法。 例如 x2=25，解得 x=5。 一般地，对于方程 x2=p： 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1) 将方程化为 x2 = p 或(mx + n)2 = p(p 0,m 0)的形式； (2) 直接开平方化为两个一元一次方程； (3) 解两个一元一次方程得到原方程的解。 知识点 02 配方法解一元二次方程 （1）解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为 (x + a)2 = b 的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解。这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 （2）配方法解一元二次方程的一般步骤（示例） 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根。 （3）解题依据：(ab)2 = a2 2ab + b2把公式中的 a 看作未知数 x，并用 x 代替，则 (x b)2 = x2 2bx + b2 知识点03：因式分解法（最简便，优先选用） 1. 适用条件 方程整理后右边为 0，左边二次三项式能分解成两个一次因式乘积。 2. 核心原理 若 A·B=0，则 A=0 或 B=0 3. 解题步骤 （1）移项，把所有项移到左边，右侧化为 0； （2）对左边因式分解（提公因式、十字相乘、平方差）； （3）令每个因式分别等于 0，得到两个一元一次方程； （4）解一次方程，得到两根。 4. 常见分解类型 提公因式：x2-3x=0 x(x-3)=0 平方差：x2-4=0 (x+2)(x-2)=0 十字相乘：x2-5x+6=0(x-2)(x-3)=0 易错提醒 不能两边同时约去含未知数的因式，容易丢根。 知识点04：公式法（通用万能解法） 1. 求根公式推导来源 由配方法对一般式配方推出 (a≠0) 2. 判别式Δ=b2−4ac（判断根的情况） Δ>0：方程有两个不相等实数根； Δ=0：方程有两个相等实数根； Δ<0：方程无实数根。 3. 公式法解题步骤 （1）先把方程整理为标准形式 ax2+bx+c=0(a≠0)； （2）确定 a、b、c，注意携带前面正负符号； （3）计算判别式Δ ，判断有无实数根； （4）Δ0 时代入求根公式计算两根。 知识点05:一元二次方程.四大方法・择优解题 解法名称 适用方程特征 解题核心思路 难易程度 直接开平方法 不含一次项、平方式等于常数 直接对等式两边开平方，注意正负 最简单 因式分解法 方程易分解为两个整式乘积形式 移项整理为乘积为 0，分别求根 计算快 配方法 所有一元二次方程通用 配方转化为完全平方式，再开方 步骤多 公式法 所有一元二次方程通用 套用固定求根公式，代入计算 万能法 知识点06:换元法（整体换元，针对高次 / 重复结构方程） 1.适用题型：方程中出现重复的代数式，形如(ax+b)2+p(ax+b)+q=0，整体重复出现，直接展开会产生四次等高次式子，计算繁琐。 2.核心思路：把重复的整体设为新未知数y，将复杂高次方程转化为标准一元二次方程，求解后再回代求原未知数。 3.完整解题步骤： ①观察方程，找出重复出现的整体，设\(y=\)重复代数式； ②将原方程替换为关于y的一元二次方程； ③选用因式分解 / 公式法解出y的取值； ④把y回代换元式，解关于x的一元一次方程； ⑤检验，写出原方程所有根。 4.举例：解方程(x2+x)2-4(x2+x)-12=0 解：设y=x2+x，原方程变为y2-4y-12=0，因式分解求出y，再分情况回代求x。 5.补充说明：换元法属于转化降次的拓展方法，课本例题、课后拓展题常出现，.是中考高频简便运算技巧。 知识点07:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0))，把 △=b²-4ac 叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即 a0，含参数题目必须分类讨论。 知识点08:高频易错点汇总 易错类型 错误示例 正确操作 失分根源 忽略a≠0 认为(m-2)x2+3x=0一定是一元二次方程 m≠2时才是一元二次方程 遗忘一元二次方程定义限制 开平方漏正负号 (x-1)2=4，只写x-1=2 x-1=±2，两根x1=3,x2=-1 平方根有两个互为相反数值 配方只单边加常数 x2-4x=5，化为(x-2)2=5 两边同时加 4，(x-2)2=9 未遵守等式基本性质 求根公式代错符号 x2-3x-4=0，误取b=3 a=1,b=-3,c=-4 a、b、c需连带前面符号 随意约去含未知数项 x2=3x直接约x，得x=3 移项x(x-3)=0，两根0、3 丢失x=0这个根 题型1直接开平方法. 【典例】若，该方程的解为______． 【跟踪专练1】方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练2】若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】定义新运算：对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，． （1）______； （2）若，则的值是______． 题型2.配方法 【典例】用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【跟踪专练1】解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】用配方法解一元二次方程，经配方后得到的方程是______． 【跟踪专练3】用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2031 D． 题型3.配方法的应用 【典例】对于代数式，当__________时，代数式有最__________（填“大”或“小”）值，其值为__________． 【跟踪专练1】用配方法解方程，将方程变形为，则的值为（   ） A．4 B．9 C．12 D．14 【跟踪专练2】已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练3】在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 题型4.公式法解一元二次方程 【典例】若，则_____． 【跟踪专练1】关于x的一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】定义运算：．例如：，则方程的根______． 【跟踪专练3】我们规定一种新运算“”，其意义为，如，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型5.由判别式判断方程根的情况 【典例】一元二次方程根的判别式的值是___________． 【跟踪专练1】关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【跟踪专练2】一元二次方程的根的情况是（      ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的情况 【跟踪专练3】．对于一元二次方程，下列说法： ①若c是方程的一个根，则一定有成立； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若，则它有一根为； ④若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的______． 题型6.由方程根的情况求参数 【典例】已知关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是__________． 【跟踪专练1】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若一元二次方程没有实数解，则的取值范围是___________． 【跟踪专练3】如果关于x的一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 题型7.因式分解法解一元二次方程 【典例】一元二次方程的解为_________． 【跟踪专练1】一元二次方程的解是（    ） A． B．， C．， D．， 【跟踪专练2】观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：； 第2个方程：； 第3个方程：； 第4个方程：； …… 直接写出第n个方程为________，第n个方程的解为________． 【跟踪专练3】某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲同学 乙同学 两边同时除以x，得． 移项，得，． 或，解得，． 其中完全正确的是（    ） A．甲同学 B．乙同学 C．都正确 D．都不正确 题型8.换元法解一元二次方程 【典例】已知方程的解是，，则方程的解是__________． 【跟踪专练1】若，设，原式可化为，即，解得，，故的值为3或.仿照上面的方法，计算当时，的值为________. 【跟踪专练2】关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是（  ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练3】阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 题型9.解分式方程 【典例】用换元法解方程，如果假设，则原方程可以化为关于y的整式方程是______． 【跟踪专练1】解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】方程的解为________． 【跟踪专练3】解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是______． 题型10.新定义运算 【典例】对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【跟踪专练1】对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【跟踪专练2】定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程 的参数同时满足 和．且该方程与 互为“同伴方程”， 则的值为（   ） A．1或 B． C．1 D．2 【跟踪专练3】对于函数，规定，例如若则有，已知函数，则方程的解的情况是（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 解答题 1．解方程： (1)； (2)． 2．用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 3．解方程： (1)； (2)． 4．解方程：. 5．阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 6．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若该方程只有一个根小于2，求的取值范围． 7．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $