2.3.1 乘方 暑期预习导学案（附同步作业）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

2.3.1 乘方 一、学习目标 1、理解乘方的定义，分清底数、指数、幂三个概念，能把连乘算式改写成乘方形式，也能把乘方还原成乘法算式。 2、牢记乘方的符号法则，熟练计算正数、负数、0 的乘方，精准区分和这一组最容易混淆的式子。 3、记住特殊数的乘方规律（1、-1、0、10、0.1 的乘方特点），能够快速口算基础乘方题目。 4、理解乘方属于高级运算，记住四则运算中优先计算乘方的规则，能做简单的乘方混合计算。 5、会用乘方解决折纸、细胞分裂、对折问题等实际应用题，体会简化书写的数学思想。 二、学习重难点 重点：乘方的概念；底数与指数的识别；乘方的符号规律；正确区分带括号和不带括号的负数乘方。 难点：分辨与的含义与结果；指数只作用于底数，不包含符号；负数、分数作底数时必须添加括号。 三、课前旧知回顾 1、乘法的意义：几个相同的数连续相乘；有理数乘法符号规则：负因数个数偶数得正、奇数得负。 2、正方形面积：，记作平方；正方体体积：，记作立方，这就是乘方的雏形。 3、相反数、括号的作用：括号可以把负数、分数看作一个完整的整体。 四、详细核心知识点梳理 知识点 1：乘方的定义、各部分名称 一般地，个相同的因数相乘，记作。 1、运算名称：求 n 个相同因数积的运算，叫做乘方； 2、结果名称：乘方算出来的得数，叫做幂； 3、：叫做底数（参与相乘的那个相同因数）； 4、：叫做指数（表示因数一共有多少个，写在底数右上角）； 5、读法：读作：的次方，或者的次幂。 补充特殊规定：任何一个数本身，都可以看作它的 1 次方，指数 1 习惯性省略不写。 例：，。 知识点 2：书写硬性规则（必考易错点） 1、负数作为底数时，必须加上小括号 正确写法：，代表 4 个相乘； 错误写法：，此时底数只有 3，负号不属于底数。 2、分数作为底数时，整体必须加括号 ，不能写成。 知识点 3：有理数乘方的符号法则（核心口诀：奇负偶正） 1、正数的任意正整数次幂，结果永远是正数； 例：。 2、负数的乘方：指数是奇数，结果为负；指数是偶数，结果为正。 例：，。 3、0 的任意正整数次幂，结果都等于 0：。 知识点 4：极易混淆的两组式子对比（本节最高频考点） 1、 与 的区别 （底数是 - 2，整体四次方） （底数只有 2，先算乘方，再取相反数） 2、 和 的区别 ；，二者完全不相等。 知识点 5：常用特殊数的乘方规律（熟记，提升计算速度） 1、1 的任何次幂永远等于 1：； 2、-1 的乘方：偶次幂为 1，奇次幂为 - 1：； 3、10 的 n 次方：1 后面带上 n 个 0：； 4、0.1 的 n 次方：小数点后 n 位：； 5、任意数的平方永远大于等于 0，也就是（平方的非负性）。 知识点 6：乘方在混合运算中的优先级 有理数运算优先级从高到低： 1、第一级：乘方（最先计算）； 2、第二级：乘除； 3、第三级：加减； 有括号的，优先计算括号内部。 五、典例精讲（标准答题格式） 例 1 把连乘写成乘方形式 ，读作：负 5 的三次方。 例 2 计算两组易混题型 (1) 解：原式 (2) 解：原式 例 3 混合运算计算： 解：先算乘方 原式 例 4 实际应用：一张纸对折，对折 5 次之后一共有多少层？ 解：层数为层。 六、分层课堂练习题（附带完整参考答案） A 组（基础概念题） 1、在中，底数是 ，指数是 ，读作： 。 2、计算：，，，。 B 组（辨析计算题） 1、对比计算： 和 2、？ C 组（乘方混合运算） 计算： D 组（实际应用题） 一根绳子，每次对折剪断，对折 4 次之后，一共分成多少段？ 参考答案 A 组：底数 - 4，指数 3，负 4 的三次方；9、25、-25、1； B 组：；； C 组：原式； D 组：段。 七、易错警示（避坑总结） 1、看到不带括号的负数乘方，千万不要把负号算进底数，负号要最后添加； 2、分数做底数忘记加括号，导致计算结果出错； 3、误以为，正确结果是，只有才等于 1； 4、混合运算时，习惯性先算加减，忘记乘方要最先计算； 5、混淆平方与立方，分不清指数代表相乘的个数。 八、课堂背诵小结 1、乘方就是多个相同因数相乘，指数表示个数，底数是相乘的数； 2、负数、分数当底数，括号一定不能省； 3、符号判定口诀：正数任意次幂都为正，负数奇负偶正； 奇次负、偶次正，1 的所有次幂都是 1； 5、运算顺序牢记：先算乘方，再算乘除，最后算加减。 同步作业 一．选择题（共10小题） 1．一台计算机在104秒内做了1016次运算，则平均每秒能做的运算次数是（　　） A．1020次 B．1012次 C．104次 D．10﹣12次 2．下列各组数相等的有（　　） A．（﹣2）2与﹣22 B．（﹣1）3与﹣（﹣1）2 C．﹣|﹣0.3|与0.3 D．|a|与a 3．下列说法正确的是（　　） A．零除以任何数都得0 B．绝对值相等的两个数相等 C．几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定 D．两个数互为倒数，则它们的相同次幂仍互为倒数 4．（　　） A． B． C． D． 5．定义一种新的运算：，如，则（2•3）•1＝（　　） A． B． C． D． 6．计算﹣42的结果等于（　　） A．﹣8 B．﹣16 C．16 D．8 7．若a2＝25，|b|＝3，则a+b所有可能的值为（　　） A．8 B．8或2 C．8或﹣2 D．±8或±2 8．算式（﹣3）4﹣72之值为何？（　　） A．﹣138 B．﹣122 C．24 D．40 9．若|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x﹣y的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．1 D．﹣1 10．一个数的立方等于它本身，则这个数是（　　） A．0，1 B．1 C．﹣1 D．0，±1 二．填空题（共5小题） 11．若（x﹣4）2+|3x﹣y+5m|＝0，则当y＜0时，m的取值范围是　 　 ． 12．在数学兴趣小组活动中，小明为了求的值，在边长为1的正方形中，设计了如图所示的几何图形．则的值为　 　 （结果用n表示）． 13．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则　 　 ． 14．对于有理数a、b，定义一种新运算，规定a☆b＝a2﹣|b|，则2☆（﹣3）＝　 　 ． 15．定义一种新运算：a*b＝a2﹣b+ab．例如：（﹣1）*3＝（﹣1）2﹣3+（﹣1）×3＝﹣5，则4*[2*（﹣3）]＝　 　 ． 三．解答题（共4小题） 16．计算 （1）﹣32+（）2×（﹣3）3÷（﹣1）25； （2）1（）×2（）． 17．如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2． （1）根据上述规定，计算：（3，27）＝　 　 ，若，则x＝　 　 ； （2）若（4，15）＝a，（8，4）＝b，（2，60）＝c，试探究a，b，c之间的数量关系，并说明理由． 18．丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和．例如给定的平方数为16． 设其中一个正有理数的平方为x2，则另一个正有理数的平方为16﹣x2． 令16﹣x2＝（mx﹣4）2，其中m为整数． 取m＝2，则16﹣x2＝（2x﹣4）2， 于是16﹣x2＝4x2﹣16x+16， 解得x1＝0（舍去），． 所以，， 即． （1）上面的解决过程中，为何将x1＝0舍去？请说明理由． （2）请你将平方数9分为两个正有理数的平方和． 19．观察下列各式： 第1个等式：21﹣20＝2×20﹣1×20＝20 第2个等式：22﹣21＝2×21﹣1×21＝21 第3个等式：23﹣22＝2×22﹣1×22＝22 第4个等式：24﹣23＝2×23﹣1×23＝23 … （1）请仔细观察，写出第6个等式； （2）请你找规律，写出第n个等式； （3）计算：20+21+22+…+22025+22026﹣22027． 2.3.1 乘方 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：1016÷104＝1016﹣4＝1012（次）， 故选：B． 2．【解答】解：A．∵（﹣2）2＝（﹣2）×（﹣2）＝4，﹣22＝﹣2×2＝﹣4，∴﹣4≠4，故此选项不符合题意； B．∵（﹣1）3＝（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，﹣（﹣1）2＝﹣（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，∴（﹣1）3＝﹣（﹣1）2，故此选项符合题意； C．∵﹣|﹣0.3|＝﹣0.3，﹣0.3≠0.3，故此选项不符合题意； D．∵当a≥0时，|a|＝a，当a＜0时，|a|＝﹣a，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．【解答】解：A、零除以任何不等于0的数都得0，错误； B、绝对值相等的两个数相等或互为相反数，错误； C、几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，错误； D、两个数互为倒数，则它们的相同次幂仍互为倒数，正确． 故选：D． 4．【解答】解：． 故选：B． 5．【解答】解：∵， ∴（2•3）•1 •1 ＝4•1 ， 故选：B． 6．【解答】解：﹣42＝﹣16 故选：B． 7．【解答】解：∵a2＝25，|b|＝3， ∴a＝±5，b＝±3， a＝5，b＝3时，a+b＝5+3＝8， a＝5，b＝﹣3时，a+b＝5+（﹣3）＝2， a＝﹣5，b＝3时，a+b＝﹣5+3＝﹣2， a＝﹣5，b＝﹣3时，a+b＝﹣5+（﹣3）＝﹣8， 综上所述，a+b所有可能的值为±8或±2． 故选：D． 8．【解答】解：原式＝81﹣4981﹣49+8＝40， 故选：D． 9．【解答】解：∵|x+2|+（y﹣3）2＝0， ∴x+2＝0，y﹣3＝0， 解得：x＝﹣2，y＝3， 故x﹣y＝﹣2﹣3＝﹣5． 故选：A． 10．【解答】解：立方等于本身的数是﹣1、1、0， 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：根据非负数的性质，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0可知： （x﹣4）2+|3x﹣y+5m|＝0，且（x﹣4）2≥0，|3x﹣y+5m|≥0， ∴x﹣4＝0，3x﹣y+5m＝0， 解得x＝4， 将x＝4代入3x﹣y+5m＝0得：12﹣y+5m＝0， 整理得y＝12+5m， ∵y＜0， ∴12+5m＜0， 解得． 故答案为：． 12．【解答】解：1． 答：的值为1． 故答案为：1． 13．【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， 又m的绝对值为2， 所以m＝±2，m2＝4， 则原式＝0+2×4﹣3×1＝5． 故答案为5． 14．【解答】解：2☆（﹣3） ＝22﹣|﹣3| ＝4﹣3 ＝1． 故答案为：1． 15．【解答】解：∵a*b＝a2﹣b+ab， ∴2*（﹣3） ＝22﹣（﹣3）+2×（﹣3） ＝4+3﹣6 ＝1， ∴4*[2*（﹣3）] ＝4*1 ＝42﹣1+4×1 ＝16﹣1+4 ＝19， 故答案为：19． 三．解答题（共4小题） 16．【解答】解：（1）﹣32+（）2×（﹣3）3÷（﹣1）25 ＝﹣9（﹣27）÷（﹣1） ＝﹣927×1 ＝﹣9+3 ＝﹣6； （2）1（）×2（） ＝12 ＝（12） ＝3 ． 17．【解答】解：（1）∵33＝27， ∴（3，27）＝3； 故答案为：3； ∵， ∴x﹣2， ∴， ∴x2＝25， ∴x＝±5， 故答案为：±5； （2）2a+3b＝c，理由如下： ∵（4，15）＝a，（8，4）＝b，（2，60）＝c， ∴4a＝15，8b＝4，2c＝60， ∴22a＝15，23b＝4，2c＝60， ∵15×4＝60， ∴22a×23b＝2c， ∴22a+3b＝2c， ∴2a+3b＝c． 18．【解答】解：（1）由题知， 当x＝0时，x2＝0， 则不满足正有理数的平方为正数这一条件， 所以x1＝0舍去； （2）由题知， 设其中一个正有理数的平方为x2，则另一个正有理数的平方为9﹣x2， 令9﹣x2＝（mx﹣3）2，其中m为整数， 取m＝2，则9﹣x2＝（2x﹣3）2， 于是9﹣x2＝4x2﹣12x+9， 解得x1＝0（舍去），， 所以， 所以9． 19．【解答】解：（1）由题意可得， 第6个等式为26﹣25＝2×25﹣1×25＝25； （2）由题意可得， 第n个等式为2n﹣2n﹣1＝2×2n﹣1﹣1×2n﹣1＝2n﹣1； （3）20+21+22+…+22025+22026﹣22027 ＝（21﹣20）+（22﹣21）+…+（22027﹣22026）﹣22027 ＝21﹣20+22﹣21+…+22027﹣22026﹣22027 ＝﹣1+22027﹣22027 ＝﹣1． 学科网（北京）股份有限公司 $