精品解析：湖北武汉市武昌区2025-2026学年高二下学期期末供题数学试卷

武昌区2025-2026学年度下学期高二年级期末供题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】． 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，解得，所以. ，又，所以，所以. 3. 记等比数列的前项和为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列片段和的性质即可求解. 【详解】已知等比数列的前项和为，设公比为， 根据等比数列片段和的性质，，，是以公比为的等比数列，即， 由于，变形得，则，故D正确. 4. 已知为正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】判断充分性（由能否推出）， 因为，，所以， ， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即， 因此，由可以推出，充分性成立. 判断必要性（由能否推出）， 因为，所以， 因为， 所以 ，即，即， 则，即由“”可以推出“”，必要性成立. 故“”是“”的充要条件. 5. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数及复合函数的单调性求解即可. 【详解】令， 因为函数在定义域内是单调递增函数， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于0， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 6. 已知一个圆锥的顶点是，底面半径为为底面圆心，为圆锥的母线，，若的面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在中，，， 取中点，连接，有，如图 ， 由的面积为得，解得， 所以， 所以圆锥的体积为. 7. 已知函数，若对任意的都有，则的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为对任意的都有，所以是函数的最大值点， 所以，所以， 不妨取，则，所以， 令，解得， 所以的单调递减区间是. 8. 已知函数有两个极值点，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得有两个不等正根，即，设，则，求出的范围，求出，构造函数， 利用导数法得到的最大值，从而得到的范围，构造函数，利用导数法求出单调性从而得到，求出，由的最大值得到，通过求交集得到取值范围. 【详解】因为有两个极值点，且， 所以有两个不等正根， 即， 则，即， 设，则， 因为，所以， 则转化为，解得， 因为，所以， 因为，所以， 则， 令， ， 设， ， 当时，，在 单调递减， 则， 则，在单调递减， 当时（临界），取最大值为， 当，由洛必达法则可知， 综上可得， 令，， 当时，，在单调递增， 因为，所以 因为，所以， 因为在处取得最大值， 方程有两个正根的充要条件是， 因为， 所以. 则取值范围为，故选项B正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了解学生体质情况，某校随机抽取名高二学生作为样本，其中女生人，男生人，将其身高划分为五个层次．（ ） 层次 学生占比 A. 样本中层次的学生人数为 B. 总体中男生与女生的比例一定为 C. 若男生样本平均数为，女生样本平均数为，则样本总体平均数为 D. 用频率估计概率，从该校高二学生中任取人，恰有人身高属于层次的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据各层次占比总和为即可判断A；根据样本与总体的关系即可判断B；根据总体平均的计算公式即可判断C；根据题意可知属于层次的概率，结合古典概型的性质即可求解. 【详解】对于A，根据各层次占比总和为，可知， 则样本中层次的学生人数为，故A正确； 对于B，样本中男生与女生的比例是，但样本是随机抽取的，不能推断出总体中男生与女生的比例是，故B错误； 对于C，根据题意，样本中总体平均是，故C正确； 对于D，根据题意，层次的学生占比是，即概率， 从该校高二学生中任取人，恰有人身高属于层次的概率为 ，故D正确. 10. 已知双曲线分别为双曲线的左右焦点，是双曲线上位于第一象限的动点，分别是的内心、重心，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 点的横坐标为2 B. 点的纵坐标可以表示为 C. 的最大值为 D. 若轴，则为钝角 【答案】ABD 【解析】 【分析】由内切圆的性质可判断A；设的周长为，内切圆半径为，由计算可判断B；设，结合题意可得，再利用两点间距离公式计算可判断C；由题意可得，根据可判断D. 【详解】由题意可知双曲线，得， 所以， 对于A，设的内切圆与切点为， 由切线长相等可得， 设，则，解得， 内心在轴上的投影点即为切点，所以点的横坐标为2，故A正确； 对于B，设，则有， 设的周长为，内切圆半径为， 则， 因为， 所以，故B正确； 对于C，因为是双曲线上位于第一象限的动点， 所以，即， 当时，且，所以， 设，则，故C错误； 对于D，重心的坐标为， 若轴，则，解得， 代入可得，即， 则， 因为， 所以为钝角，故D正确. 11. 已知函数在上单调递增，且对任意，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 函数是奇函数 【答案】AD 【解析】 【分析】先赋值求出排除常函数，构造转化为指数型函数，得到，再分别代入验证ABC个选项，对于D，利用变形即可证明函数是奇函数． 【详解】对于A，令，得： 整理得，解得，或， 若，令， 得，即， 解得，这与在上单调递增矛盾， 所以，A正确； 对于B，由， 得， 令，则，且， 由在上单调递增，得在上单调递增， 由指数函数性质，单调递增且满足的函数为， ，B错误； 对于C，由，得， 不恒等于， 所以不是奇函数，C错误； 对于D，令，得， 所以，即， 所以函数是奇函数，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线存在斜率为3的切线，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转换成，时有解，进而可求解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 曲线存在斜率为的切线，等价于方程在上有解，整理得， 因为，所以，因此，即， 故实数的取值范围是. 13. 在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】设，则，， 由题意可知，则， 化简可得，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 到一定点的距离为定值，则该定值为. 14. 设，函数，令，若存在正整数，使得成公比为的等比数列，则称为的一个“可取公比”，的所有可取公比的乘积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，，， 由，令，求得，得到，又由，得到，结合公比为，即可求解. 【详解】由函数，且， 可得， 则 ， 因为成等比数列，所以， 可得， 令，可得 即， 整理得，即， 因为，所以， 当时，可得； 当时，可得； 又因为，所以， 又由，， 所以等比数列的公比为，其中， 所以的所有可取公比的乘积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，其中角的对边分别为． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换可得，进而利用正弦定理可得，进而利用余弦定理可求得角的大小； （2）根据三角形内角和以及为锐角三角形，从而可得出的取值范围，再将转化为关于的函数即可求解． 【小问1详解】 由正弦定理，设． 原式可化为． 因为，所以． 所以由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 又因为，所以． 【小问2详解】 由，得． 又为锐角三角形，所以． 由，可得． 由正弦定理，． 当时，， 故． 16. 某无人机对光伏电站电池板进行智能巡检，每次巡检会给出“异常”或“正常”两种结果．记事件表示“第次巡检结果为正常”，事件表示“该电池板良好”，已知，每次巡检结果相互独立． （1）求； （2）检修部门规定：若低于，就会触发人工检修，求触发人工检修时的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由全概率公式，列出方程，即可求解； （2）先由全概率公式得，根据题意，得到不等式，进而确定的值. 【小问1详解】 解：设，因为， 由全概率公式，． 可得，解得，所以． 【小问2详解】 解：由全概率公式得， 因为低于，可得． 当时，； 当时，， 所以触发人工检修的最小次数为. 17. 如图，在三棱柱中，平面，点到平面的距离为1． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为，所以． 又因为平面，且平面， 所以,, 因为，且平面， 所以平面． 过作，垂足为，则平面， 所以． 又，且平面， 所以平面． 则， 即到的距离为1， 所以到的距离也为1， 在中，由勾股定理可得①， 由面积公式可得, 即②， 由①②解得， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，过作，垂足为，从而得平面，且有，即可得证； （2）结合（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）得 又因为平面，且平面，所以． 在直角三角形中，， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 由于， 所以, 所以， 即, 设平面的一个法向量为， 则，解得， 则． 设直线与平面所成角为，则． 又， 因此． 18. 已知函数，其中 （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，， （i）求实数的取值范围； （ii）设为函数的图象上两点，经过两点的直线与轴交于点，证明：对任意，点在直线的下方． 【答案】（1）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，故的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）（i）； （ii）由（i）得，． 设直线与轴交于点，由两点式可得①． 又， 代入①，整理得． 而． 则． 由于，有． 又，所以． 令，则． 又，所以当时，，即． 故． 因此，即点在直线的下方． 【解析】 【分析】（1）求导，分，和三种情况，得到函数单调区间； （2）（i）在（1）基础上，分，，和四种情况，结合函数单调性判断出答案； （ii）由（i）得．计算出．换元得到，求导，得到，即点在直线的下方． 【小问1详解】 因为，所以． 解得，令． 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，，故在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，其中． 故当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，故的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 （i）若对任意，恒有，则应为区间上的最大点． 当时，， 对任意，有在上单调递增，符合要求． 令，由（1）得． 当时，有，对任意，有在上单调递增，符合要求． 当时，有，对任意，有在上单调递增，符合要求． 当时，则，对任意，有在上单调递减， 所以存在，使得，不合题意． 综上，实数的取值范围为 （ii）略 19. 已知点，圆，一动圆过点，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知为曲线上一点（异于），设曲线在点处的切线分别为，在点处的切线为与分别交于两点． （i）若切线的斜率为，求； （ii）当点在曲线上运动时，求四边形的面积的取值范围，并求面积取得最小值时直线的方程． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）或． 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义可得轨迹方程； （2）（i）先得到椭圆上一点的切线方程为，求出和的坐标，计算出； （ii）分切线的斜率不存在和存在两种情况，分别表达出四边形面积，结合导函数求出取值范围，得到答案 【小问1详解】 设动圆的半径为，因为动圆过点，圆心为，又动圆与圆内切，设切点为， 所以． 圆的圆心为右焦点，半径为8，即． 因此的轨迹是以为焦点的椭圆，其中． 所以． 故曲线的方程为． 【小问2详解】 （i）因为，， 设在椭圆上一点处切线方程， 联立，整理得， 由，有， 又因为，所以，故切线方程为． 即椭圆在处切线，椭圆在处切线． 设切线的方程为， 椭圆的斜率为的切线满足，所以． 联立与，即和，故，解得， 故，得． 同理得． 于是． 故． （ii）当切线的斜率不存在时，不妨设， 中，令得，中，令得， 故，故，， 与的距离为， 故四边形的面积； 当切线的斜率存在时，设切线的方程为． 联立与，得，同理， 则． 可得四边形的面积为． 由得，． 设．则 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故最小值在处取得，且． 当时，． 综上，当时，四边形面积取最小值，此时． 所以直线的方程为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武昌区2025-2026学年度下学期高二年级期末供题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 记等比数列的前项和为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个圆锥的顶点是，底面半径为为底面圆心，为圆锥的母线，，若的面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若对任意的都有，则的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个极值点，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了解学生体质情况，某校随机抽取名高二学生作为样本，其中女生人，男生人，将其身高划分为五个层次．（ ） 层次 学生占比 A. 样本中层次的学生人数为 B. 总体中男生与女生的比例一定为 C. 若男生样本平均数为，女生样本平均数为，则样本总体平均数为 D. 用频率估计概率，从该校高二学生中任取人，恰有人身高属于层次的概率为 10. 已知双曲线分别为双曲线的左右焦点，是双曲线上位于第一象限的动点，分别是的内心、重心，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 点的横坐标为2 B. 点的纵坐标可以表示为 C. 的最大值为 D. 若轴，则为钝角 11. 已知函数在上单调递增，且对任意，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 函数是奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线存在斜率为3的切线，则实数的取值范围是___________． 13. 在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________． 14. 设，函数，令，若存在正整数，使得成公比为的等比数列，则称为的一个“可取公比”，的所有可取公比的乘积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，其中角的对边分别为． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 16. 某无人机对光伏电站电池板进行智能巡检，每次巡检会给出“异常”或“正常”两种结果．记事件表示“第次巡检结果为正常”，事件表示“该电池板良好”，已知，每次巡检结果相互独立． （1）求； （2）检修部门规定：若低于，就会触发人工检修，求触发人工检修时的最小值． 17. 如图，在三棱柱中，平面，点到平面的距离为1． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数，其中 （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，， （i）求实数的取值范围； （ii）设为函数的图象上两点，经过两点的直线与轴交于点，证明：对任意，点在直线的下方． 19. 已知点，圆，一动圆过点，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）已知为曲线上一点（异于），设曲线在点处的切线分别为，在点处的切线为与分别交于两点． （i）若切线的斜率为，求； （ii）当点在曲线上运动时，求四边形的面积的取值范围，并求面积取得最小值时直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $