2027届高考数学人教A版一轮复习第5讲 二次函数与幂函数

该高中数学高考复习讲义聚焦二次函数与幂函数核心考点，系统梳理幂函数定义、图象及性质，二次函数三种解析式与图象性质对比，通过考点梳理、例题方法指导、真题模拟训练的教学环节，帮助学生构建知识网络，突破解题难点。 讲义采用图象对比与分类讨论策略，如通过幂函数图象辨析培养几何直观（数学眼光），二次函数单调性分类讨论提升逻辑推理（数学思维），设置分层练习与模拟真题，确保复习高效，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

2027年高考一轮复习讲义 第5讲 二次函数与幂函数 知识点预览 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 探究核心题型 考点一 幂函数的图象与性质 例1-1 已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8,2)，则f(9)的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．9 答案　B 解析　设幂函数为f(x)＝xa，图象过点(8,2)， 故f(8)＝8a＝2，故a＝， f(x)＝，f(9)＝＝3. 例1-2 (多选)下列命题中正确的是(　　) A.幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B.幂函数的图象一定经过第一象限，一定不经过第四象限 C.若幂函数y=(m2-m-1)x-m+1在(0，+∞)上单调递减，则实数m的值为2 D.“α为奇数”是“幂函数f(x)=xα为奇函数”的充分不必要条件 答案　BCD 解析　A选项，幂函数的图象一定经过点(1，1)，若幂函数在x=0处有定义，则其图象过点(0，0)，若幂函数在x=0处没有定义，则其图象一定不过点(0，0)，A错误； B选项，幂函数f(x)=xα，当x>0时，f(x)=xα>0，所以幂函数的图象一定经过第一象限，一定不经过第四象限，B正确； C选项，由题意可得m2-m-1=1且-m+1<0，解得m=2，C正确； D选项，若α为奇数，则幂函数f(x)=xα为奇函数，若幂函数f(x)=xα为奇函数，α并不一定为奇数，例如f(x)==，故“α为奇数”是“幂函数f(x)=xα为奇函数”的充分不必要条件，D正确. 例1-3. 如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A.-2，-，，2 B.2，，-，-2 C.-，-2，2， D.2，，-2，- 答案　B 解析　根据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象：当n>0时，n越大，y=xn增长速度越快，所以曲线C1的n=2，C2的n=； 当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n=-，C4的n=-2. 跟踪训练 1 (2023·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数， 所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0， 解得n＝1或n＝2， 当n＝1时，f(x)＝x－1＝在(0，＋∞)上单调递减；当n＝2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增． 所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件． 2. 幂函数y＝(0≤m≤3，m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为(　　) A．0 B．2 C．3 D．2或3 答案　D 解析　当m＝0时，y＝x－2，由幂函数性质得，y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减； 当m＝1时，y＝x0，由幂函数性质得，y＝x0在(0，＋∞)上是常函数； 当m＝2时，y＝x4，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，y＝x4在(0，＋∞)上单调递增； 当m＝3时，y＝x10，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，在(0，＋∞)上单调递增． 3. (2023·临沂模拟)如图所示是函数y＝(m，n均为正整数且m，n互质)的图象，则(　　) A．m，n是奇数，且<1 B．m是偶数，n是奇数，且<1 C．m是偶数，n是奇数，且>1 D．m，n是奇数，且>1 答案　B 解析　由幂函数性质可知，y＝与y＝x的图象恒过定点(1,1)，即在第一象限内的交点坐标为(1,1)， 当0<x<1时，>x，则<1； 又y＝的图象关于y轴对称， ∴y＝为偶函数， ∴＝＝＝， 又m，n互质，∴m为偶数，n为奇数． 考点二 二次函数的解析式 例2-1. 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式. 解　方法一　(利用“一般式”解题) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 方法二　(利用“顶点式”解题) 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). 因为f(2)=f(-1)， 所以抛物线的对称轴为x==， 所以m=. 又根据题意，函数有最大值8， 所以n=8， 所以f(x)=a+8. 因为f(2)=-1，所以a+8=-1， 解得a=-4， 所以f(x)=-4+8=-4x2+4x+7. 方法三　(利用“零点式”解题) 由已知得f(x)+1=0的两根为x1=2，x2=-1， 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0)， 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值8，即=8. 解得a=-4. 故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 例2-2. (2025·株洲模拟) 已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为________________． 答案　f(x)＝x2－4x＋3 解析　依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)， 由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)＝3， 所以4a＋h＝3，即h＝3－4a， 所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a， 令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0， 所以ax2－4ax＋3＝0， 设方程的两根为x1，x2， 则x1＋x2＝4，x1x2＝， 所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝16－， 所以16－＝10，解得a＝1， 所以f(x)＝x2－4x＋3. 跟踪训练 1. 已知二次函数f(x)的图象过点(0，3)，对称轴为直线x=2，且方程f(x)=0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  答案　f(x)=x2-4x+3 解析　依题意，设函数f(x)=a(x-2)2+h(a≠0)， 由二次函数f(x)的图象过点(0，3)， 得f(0)=3， 所以4a+h=3，即h=3-4a， 所以f(x)=a(x-2)2+3-4a， 令f(x)=0，即a(x-2)2+3-4a=0， 所以ax2-4ax+3=0， 设方程的两根为x1，x2， 则x1+x2=4，x1x2=， 所以+=(x1+x2)2-2x1x2=16-， 所以16-=10，解得a=1， 所以f(x)=x2-4x+3. 考点3 二次函数的图象与性质 命题点1　二次函数的图象 例3-1. (多选)(2025·潮州模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，其对称轴是直线x=-1，则下列四个结论中，正确的是(　　) A.abc<0 B.a+b+c=0 C.3a+c=0 D.4a+c>2b 答案　BCD 解析　∵抛物线的开口向下，∴a<0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0， ∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴-=-1， ∴b=2a<0，∴abc>0，故A错误； 由题图知，抛物线与x轴的一个交点坐标为(1，0)，于是有a+b+c=0，故B正确； 将b=2a代入a+b+c=0，可得3a+c=0，故C正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-3，0)， ∴当x=-2时，y>0，∴4a-2b+c>0， ∴4a+c>2b，故D正确. 命题点2　二次函数的单调性与最值 例3-2. (2026·广州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围； (2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． 解　(1)由题意知a≠0. 当a>0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝， 所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足≥2， 又a>0，所以0<a≤； 当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝<0， 所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立． 综上，a的取值范围是(－∞，0)∪. (2)①当0<≤1，即a≥时， f(x)在区间[1,2]上单调递增， 此时g(a)＝f(1)＝3a－2. ②当1<<2，即<a<时， f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时g(a)＝f＝2a－－1. ③当≥2，即0<a≤时， f(x)在区间[1,2]上单调递减， 此时g(a)＝f(2)＝6a－3. 综上所述，g(a)＝ 例3-3. 二次函数y=x2+(2a-1)x-3在区间[-1，3]上的最大值为1，则实数a的值为(　　) A.- B.- C.-或- D.-1或- 答案　D 解析　函数y=x2+(2a-1)x-3的图象开口向上，对称轴为直线x=. 若≤1，即a≥-，则当x=3时函数有最大值1，即9+(2a-1)×3-3=1，解得a=-； 若>1，即a<-，则当x=-1时函数有最大值1，即1+(2a-1)×(-1)-3=1，解得a=-1，故a=-1或a=-. 例3-4. 已知函数f(x)＝－x2＋x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b等于(　　) A．－4 B. C．2 D. 答案　A 解析　因为f(x)＝－x2＋x＝－(x—1)2＋≤的图象的对称轴为x＝1，开口向下，函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减， 依题意3b≤，所以b≤， 所以f(x)在区间[a，b]上单调递增， 所以即 所以a，b为方程x2＋2x＝0的两根， 所以a＋b＝－＝－4. 跟踪训练 1. (多选)(2023·银川模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0 C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0 答案　ACD 解析　由二次函数的图象开口向下知a<0，对称轴为x＝－＝1，即2a＋b＝0，故b>0. 又因为f(0)＝c>0，所以abc<0. f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0. 2. 若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值(　　) A．与a无关，与b有关 B．与a有关，与b无关 C．与a有关，且与b有关 D．与a无关，且与b无关 答案　A 解析　函数f(x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝b， ①当b>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，则M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关； ②当b<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，则M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此时M－m＝1－2b，故M－m的值与a无关，与b有关； ③当0≤b≤1时，m＝f(b)＝3a－b2， 若0≤b≤，则f(1)≥f(0)，有M＝f(1)＝1－2b＋3a，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关， 若b>，则f(1)<f(0)，有M＝f(0)＝3a， ∴M－m＝b2，故M－m的值与a无关，与b有关， 综上，M－m的值与a无关，与b有关． 3. (2026·西安模拟)已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0，m]上的值域是[2，3]，则实数m的取值范围是(　　) A.[1，+∞) B.(0，2] C.[2，+∞) D.[1，2] 答案　D 解析　函数f(x)=x2-2x+3的图象的对称轴为直线x=1，且f(0)=f(2)=3，f(1)=2， 画出函数f(x)=x2-2x+3的图象，如图， 由图象可知，要使函数f(x)=x2-2x+3在[0，m]上的值域是[2，3]， 则1≤m≤2，即实数m的取值范围是[1，2]. 4. (2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是(　　) A．α<m<n<β B．m<α<n<β C．m<α<β<n D．α<m<β<n 答案　C 解析　y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m<n)为二次函数，图象开口向上， 因为α，β(α<β)是方程y＝0的两根， 故α，β(α<β)为二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，其中f(m)＝f(n)＝2 023， 画出大致图象如图所示， 显然m<α<β<n. 课时对点精练 一、单项选择题 1．若幂函数f(x)=xα的图象经过第三象限，则α的值可以是(　　) A.-2 B.2 C. D. 答案　D 解析　当α=-2时，f(x)=x-2为偶函数，图象在第一和第二象限，不经过第三象限，A不符合题意； 当α=2时，f(x)=x2为偶函数，图象过原点，分布在第一和第二象限，不经过第三象限，B不符合题意； 当α=时，f(x)=，x∈[0，+∞)，图象过原点，分布在第一象限，不经过第三象限，C不符合题意； 当α=时，f(x)=，x∈R，为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D符合题意. 2．(2023·唐山模拟)若幂函数f(x)＝xα的图象经过第三象限，则α的值可以是(　　) A．－2 B．2 C. D. 答案　D 解析　当α＝－2时，f(x)＝x－2为偶函数，图象在第一和第二象限，不经过第三象限，A不符合题意； 当α＝2时，f(x)＝x2为偶函数，图象过原点，分布在第一和第二象限，不经过第三象限，B不符合题意； 当α＝时，f(x)＝，x∈[0，＋∞)，图象过原点，分布在第一象限，不经过第三象限，C不符合题意； 当α＝时，f(x)＝，x∈R，为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D符合题意． 3．(2025·石家庄统考)已知a=，b=，c=1，则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 答案　A 解析　b==， 而函数y=在(0，+∞)上单调递增，2<9<17， 因此<<1，所以a<b<c. 4．(2023·成都模拟)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[4,5]上是单调函数，则k的取值范围是(　　) A．[32,40] B．(－∞，32]∪[40，＋∞) C．(－∞，32] D．[40，＋∞) 答案　B 解析　因为f(x)＝4x2－kx－8的对称轴为直线x＝，且其图象开口向上， 所以≤4或≥5，解得k≤32或k≥40， 所以k的取值范围是(－∞，32]∪[40，＋∞)． 5．(2026·郑州模拟)已知函数f(x)=x2+2ax+1，若∀x∈[-1，2]，都有f(x)<4，则实数a的取值范围是(　　) A.(，+∞) B.∪(1，+∞) C. D.(-1，1) 答案　C 解析　∀x∈[-1，2]，都有f(x)<4， 即f(x)max<4， 因为f(x)的图象是开口向上的抛物线，所以当x∈[-1，2]时，函数f(x)的最大值在端点处取得，故即 解得-1<a<-. 6．若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 答案　B 解析　由题图看出，f(x)为偶函数，定义域为R， A选项，f(x)==，定义域为[0，+∞)，不符合题意； B选项，f(x)==，定义域为R，且满足f(-x)===f(x)， 故f(x)=为偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，增长速度越来越慢，B正确； C选项，f(x)==的定义域为{x|x≠0}，C错误； D选项，f(x)==()x=，不是偶函数，且在R上为减函数，D错误. 7. (2026·泰州模拟) 已知函数f(x)＝－x2＋2x＋5在区间[0，m]上的值域为[5,6]，则实数m的取值范围是(　　) A．(0,1] B．[1,3] C．(0,2] D．[1,2] 答案　D 解析　f(x)＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6， f(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，画出f(x)的图象如图所示， 由于f(x)在区间[0，m]上的值域为[5,6]， 由图可知，m的取值范围是[1,2]． 8．已知二次函数f(x)=ax2+x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，则+的最小值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 答案　C 解析　二次函数f(x)=ax2+x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)， 故a>0，Δ=12-4ac=0，故ac=， 所以c>0，+==4(a2+c2)+8(a+c) ≥8ac+8×2=2+8=10， 当且仅当a=c=时，等号成立， 故+的最小值为10. 二、多项选择题 9．设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 答案　AB 解析　A中，a<0，b<0，c<0，∴abc<0，符合题意； B中，a<0，b>0，c>0，∴abc<0，符合题意； C中，a>0，b>0，c>0，∴abc>0，不符合题意； D中，a>0，b<0，c<0，∴abc>0，不符合题意． 10．函数f(x)=ax2-2x+1与g(x)=xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为(　　) 答案　BD 解析　因为f(x)=ax2-2x+1，g(x)=xa， 对于A，当a=-1时，f(x)=-x2-2x+1，其图象开口向下，对称轴方程为x=-1，g(x)=x-1=，其图象关于原点对称，且在(0，+∞)上单调递减，故A可能是其图象； 对于B，当f(x)=ax2-2x+1的图象开口向上时，a>0，此时g(x)=xa在(0，+∞)上单调递增，故B不可能是其图象； 对于C，当a=时，f(x)=x2-2x+1，其图象开口向上，对称轴方程为x=2，g(x)=，其图象在[0，+∞)上单调递增，且增长速度越来越慢，故C可能是其图象； 对于D，当f(x)=ax2-2x+1的图象开口向上时，a>0，此时其对称轴方程为x=-=>0，故D不可能是其图象. 11. (2026·枣庄模拟) 已知f(x)=xα(α∈R)，则下列说法正确的是(　　) A.当α=3时，f(π)>f(3) B.若函数f(x)的图象与y轴没有交点，则α<0 C.当α=时，[f(x)]2是奇函数 D.若α=2，则对任意实数x1，x2，有f≤ 答案　ABD 解析　当α=3时，f(x)=x3在R上单调递增，所以f(π)>f(3)，故A正确； 若函数f(x)的图象与y轴没有交点，则函数f(x)在x=0处没有定义，故α<0，故B正确； 当α=时，f(x)=(x≥0)，则[f(x)]2=x(x≥0)，定义域不关于原点对称，故[f(x)]2为非奇非偶函数，故C错误； 若α=2，则f(x)=x2， f==， =， 故f- =- = =≤0，当且仅当x1=x2时，等号成立， 故f≤，D正确. 三、填空题 12．(2023·大庆模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·x4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)＝________. 答案　211 解析　由题意可知 解得m＝2，所以f(x)＝x11，f(2)＝211. 13．(2025·昭通模拟)已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称，且函数g(x)=f(x)-2ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是　　　　　.  答案　[3，+∞) 解析　因为函数f(x)=(m2-3m+3)xm是幂函数，则m2-3m+3=1，解得m=1或m=2. 当m=1时，f(x)=x，该函数是奇函数，不符合题意； 当m=2时，f(x)=x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意. 所以f(x)=x2，则g(x)=x2-2ax，其对称轴方程为x=a. 因为g(x)在区间[1，3]上单调递减，则a≥3. 四、解答题 14．(2025·咸阳模拟)已知函数g(x)=ax2-4ax+1+b(a>0)在区间[1，3]上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值；(7分) (2)若函数g(x)在区间(m-1，2m)上不单调，求实数m的取值范围.(6分) 解　(1)由题意得g(x)图象的对称轴为直线x=-=2， 所以当x=2时，g(x)取得最小值，当x=1或x=3时，g(x)取得最大值， 则解得 (2)由(1)得g(x)=3x2-12x+13，其图象的对称轴为直线x=2， 若函数g(x)在区间(m-1，2m)上不单调， 则m-1<2<2m，解得1<m<3， 所以实数m的取值范围为(1，3). 15．已知幂函数f(x)＝(m2＋4m＋4)xm＋2在(0，＋∞)上单调递减． (1)求m的值； (2)若(2a－1)－m<(a＋3)－m，求a的取值范围． 解　(1)由幂函数的定义可得m2＋4m＋4＝1，即m2＋4m＋3＝0，解得m＝－1或m＝－3. 因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以m＋2<0，即m<－2， 则m＝－3. (2)设g(x)＝x3，则g(x)是增函数． 由(1)可知(2a－1)－m<(a＋3)－m，即(2a－1)3<(a＋3)3， 则2a－1<a＋3，解得a<4， 即a的取值范围为(－∞，4)． 16. 已知幂函数f(x)=(2k-1)(m∈N*)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减. (1)求m和k的值；(7分) (2)求满足(2a+1)-m<(3-2a)-m的实数a的取值范围.(8分) 解　(1)由函数f(x)=(2k-1)为幂函数，则2k-1=1，解得k=1. 由f(x)=(m∈N*)在(0，+∞)上单调递减，得m2-2m-3<0，解得-1<m<3， 而m∈N*，故m=1或m=2， 当m=1时，f(x)=x-4，定义域为{x|x≠0}， 且f(x)为偶函数，符合题意； 当m=2时，f(x)=x-3，定义域为{x|x≠0}，函数为奇函数，不符合题意， 故m=1，k=1. (2)由(1)得m=1，则(2a+1)-1<(3-2a)-1， 即<，故2a+1>3-2a>0或0>2a+1>3-2a或2a+1<0<3-2a， 解得<a<或a∈⌀或a<-. 故实数a的取值范围为∪. 17. 设函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是(　　) A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0 B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0 C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0 D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0 答案　B 解析　令f(x)＝g(x)，可得＝ax＋b. 设F(x)＝，G(x)＝ax＋b， 根据题意，F(x)的图象与G(x)＝ax＋b的图象只有两个交点， 不妨设x1<x2，结合图形可知，当a>0时(如图1)， G(x)＝ax＋b的图象与F(x)图象的左支相切，与右支有一个交点， 根据对称性可得|x1|>x2，即－x1>x2>0，此时x1＋x2<0，y2＝>＝－y1， ∴y1＋y2>0， 同理可得，当a<0时(如图2)， x1＋x2>0，y1＋y2<0. 18. 已知函数f(x)=的部分图象如图所示，则a+b+c等于(　　) A.-3 B.-6 C.13 D.1 答案　A 解析　令g(x)=ax2+bx+c， 则f(x)=， 由图可得方程g(x)=0的两根为2和4， 则g(x)=a(x-2)(x-4)， 又由图象知f(3)=1， 即=1，则g(3)=1， 所以a×(3-2)×(3-4)=1，解得a=-1， 所以g(x)=-(x-2)(x-4)=-x2+6x-8， 所以b=6，c=-8， 则a+b+c=-1+6-8=-3. 19. (2025·岳阳模拟)关于x的不等式(x-1)9 999-29 999·x9 999≤x+1的解集为　　　　　.  答案　[-1，+∞) 解析　不等式(x-1)9 999-(2x)9 999≤x+1可化为(x-1)9 999+(x-1)≤(2x)9 999+2x， 而幂函数y=x9 999和y=x在R上均为增函数， 所以函数f(x)=x9 999+x为R上的增函数， 所以原不等式可化为f(x-1)≤f(2x)， 所以x-1≤2x，解得x≥-1， 故原不等式的解集为[-1，+∞). 2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习讲义 第5讲 二次函数与幂函数 知识点预览 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 探究核心题型 考点一 幂函数的图象与性质 例1-1 已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8,2)，则f(9)的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．9 例1-2 (多选)下列命题中正确的是(　　) A.幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B.幂函数的图象一定经过第一象限，一定不经过第四象限 C.若幂函数y=(m2-m-1)x-m+1在(0，+∞)上单调递减，则实数m的值为2 D.“α为奇数”是“幂函数f(x)=xα为奇函数”的充分不必要条件 例1-3. 如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A.-2，-，，2 B.2，，-，-2 C.-，-2，2， D.2，，-2，- 跟踪训练 1 (2023·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 幂函数y＝(0≤m≤3，m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为(　　) A．0 B．2 C．3 D．2或3 3. (2023·临沂模拟)如图所示是函数y＝(m，n均为正整数且m，n互质)的图象，则(　　) A．m，n是奇数，且<1 B．m是偶数，n是奇数，且<1 C．m是偶数，n是奇数，且>1 D．m，n是奇数，且>1 考点二 二次函数的解析式 例2-1. 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式. 例2-2. (2025·株洲模拟) 已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为________________． 跟踪训练 1. 已知二次函数f(x)的图象过点(0，3)，对称轴为直线x=2，且方程f(x)=0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  考点3 二次函数的图象与性质 命题点1　二次函数的图象 例3-1. (多选)(2025·潮州模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，其对称轴是直线x=-1，则下列四个结论中，正确的是(　　) A.abc<0 B.a+b+c=0 C.3a+c=0 D.4a+c>2b 命题点2　二次函数的单调性与最值 例3-2. (2026·广州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围； (2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． 例3-3. 二次函数y=x2+(2a-1)x-3在区间[-1，3]上的最大值为1，则实数a的值为(　　) A.- B.- C.-或- D.-1或- 例3-4. 已知函数f(x)＝－x2＋x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b等于(　　) A．－4 B. C．2 D. 跟踪训练 1. (多选)(2023·银川模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0 C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0 2. 若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值(　　) A．与a无关，与b有关 B．与a有关，与b无关 C．与a有关，且与b有关 D．与a无关，且与b无关 3. (2026·西安模拟)已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0，m]上的值域是[2，3]，则实数m的取值范围是(　　) A.[1，+∞) B.(0，2] C.[2，+∞) D.[1，2] 4. (2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是(　　) A．α<m<n<β B．m<α<n<β C．m<α<β<n D．α<m<β<n 课时对点精练 一、单项选择题 1．若幂函数f(x)=xα的图象经过第三象限，则α的值可以是(　　) A.-2 B.2 C. D. 2．(2023·唐山模拟)若幂函数f(x)＝xα的图象经过第三象限，则α的值可以是(　　) A．－2 B．2 C. D. 3．(2025·石家庄统考)已知a=，b=，c=1，则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b 4．(2023·成都模拟)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[4,5]上是单调函数，则k的取值范围是(　　) A．[32,40] B．(－∞，32]∪[40，＋∞) C．(－∞，32] D．[40，＋∞) 5．(2026·郑州模拟)已知函数f(x)=x2+2ax+1，若∀x∈[-1，2]，都有f(x)<4，则实数a的取值范围是(　　) A.(，+∞) B.∪(1，+∞) C. D.(-1，1) 6．若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 7. (2026·泰州模拟) 已知函数f(x)＝－x2＋2x＋5在区间[0，m]上的值域为[5,6]，则实数m的取值范围是(　　) A．(0,1] B．[1,3] C．(0,2] D．[1,2] 8．已知二次函数f(x)=ax2+x+c(x∈R)的值域为[0，+∞)，则+的最小值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 二、多项选择题 9．设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 10．函数f(x)=ax2-2x+1与g(x)=xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为(　　) 11. (2026·枣庄模拟) 已知f(x)=xα(α∈R)，则下列说法正确的是(　　) A.当α=3时，f(π)>f(3) B.若函数f(x)的图象与y轴没有交点，则α<0 C.当α=时，[f(x)]2是奇函数 D.若α=2，则对任意实数x1，x2，有f≤ 三、填空题 12．(2023·大庆模拟)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·x4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)＝________. 13．(2025·昭通模拟)已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称，且函数g(x)=f(x)-2ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是　　　　　.  四、解答题 14．(2025·咸阳模拟)已知函数g(x)=ax2-4ax+1+b(a>0)在区间[1，3]上有最大值4和最小值1. (1)求a，b的值；(7分) (2)若函数g(x)在区间(m-1，2m)上不单调，求实数m的取值范围.(6分) 15．已知幂函数f(x)＝(m2＋4m＋4)xm＋2在(0，＋∞)上单调递减． (1)求m的值； (2)若(2a－1)－m<(a＋3)－m，求a的取值范围． 16. 已知幂函数f(x)=(2k-1)(m∈N*)为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减. (1)求m和k的值；(7分) (2)求满足(2a+1)-m<(3-2a)-m的实数a的取值范围.(8分) 17. 设函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是(　　) A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0 B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0 C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0 D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0 18. 已知函数f(x)=的部分图象如图所示，则a+b+c等于(　　) A.-3 B.-6 C.13 D.1 19. (2025·岳阳模拟)关于x的不等式(x-1)9 999-29 999·x9 999≤x+1的解集为　　　　　.  2 / 3 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $