第9章 因式分解 暑假专题提优 -2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 暑假专题提优：因式分解-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024），初中数学同步练，以基础巩固为起点，通过情境化问题和综合应用实现能力进阶，分层梯度清晰，适配暑假提优需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一知识点（定义、公式应用）|单选题1-5考查因式分解定义与公式辨析，夯实抽象能力| |中档层|综合应用（跨知识点结合）|填空题14结合几何图形面积，体现几何直观与模型意识| |提升层|复杂问题解决（实际应用、推理证明）|解答题19提价方案比较，培养运算能力与理性精神|

暑假专题提优：因式分解-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024） 一、单选题 1．下列各因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，，则的值是（   ） A．2 B．1 C．3 D．4 3．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．已知a，b满足等式，，，则x，y的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 6．年“强基计划”报名工作于4月启动，山东大学新增“密码科学与技术”专业．在密码学中，有一种用“因式分解”法产生的密码：对多项式因式分解后，再对其中字母赋值，计算各因式结果，再将各因式的结果按不同顺序排列，即可得到密码．例如：对多项式因式分解，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（） A． B． C． D． 7．能被下列数整除的是（   ） A．5 B．8 C．10 D．11 8．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： ● ☆ 其中运用到的方法是 △ 和 □ ． 下列回答错误的是（    ） A．●代表 B．☆代表 C．△可能代表提公因式法 D．□可能代表完全平方公式法 9．已知整式：，其中，，…，，为正整数，为自然数，且（且为整数），下列说法： ①当，时，满足条件的整式有4个； ②若，满足条件的整式有7个； ③当为奇数，设，，且，则所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 10．因式分解：____________． 11．若，，则______． 12．已知 ，则 M 与 N 的大小关系为 M___N．（填>，<或=） 13．已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 14．如图，点、、在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为．若阴影部分的面积为12，，则的值为______． 15．对于一个各个数位上的数字均不为0的四位自然数（a，b，c，d均为大于等于1且小于等于9的整数），若满足，则称这个数是“幂差数”，如四位数5611，因为，所以5611是“幂差数”．若（其中）是“幂差数”，则这个四位数是_______． 三、解答题 16．利用因式分解计算： (1)； (2)． 17．分解因式： (1)； (2) 18．我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法等方法．当不能直接运用以上方法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如： ， ． 根据上面的方法因式分解： (1)； (2)． 19．某种产品因原料涨价，厂家决定对产品进行提价，现有三种方案： ①第一次提价，第二次提价； ②第一次提价，第二次提价； ③第一、二次提价均为． 其中m、n是不相等的正数，三种方案哪种提价最多？ (1)【特例猜想】：为解决这个问题，小武设产品原价为100元，，，计算出方案①②③提价后商品的价格分别为 元、 元、 元，由此猜想，方案 提价最多． (2)【推理验证】：小林认为，这个问题可以直接运用代数推理说明哪一种方案提价最多．请你帮小林写出完整的推理过程． 20．阅读并完成相应问题的解答． 因为，所以． 即能被整除．同理，能被整除． 我们知道，若，则或． 若，即，则或，所以或． 请根据以上的阅读材料，完成以下问题： (1)若，求的值； (2)已知多项式能被整除，求的值； (3)在（2）的条件下，当时，求的值． 《暑假专题提优：因式分解-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A A B D A D B D B 1．A 【分析】本题考查因式分解，运用平方差公式、完全平方公式、提取公因式法，对各选项逐一验证即可得到结果． 【详解】解：对选项A： 由平方差公式得 A正确． 对选项B： B错误． 对选项C： ，正确因式分解为 C错误． 对选项D： ，而 D错误． 2．A 【分析】把所求式子分解因式得到，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 3．B 【分析】因式分解是将多项式写成几个整式的积的形式，需满足变形符合定义且等式成立，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．，是整式乘法运算，不是因式分解，故该选项不符合题意， B．，是因式分解，故该选项符合题意， C．，右边不是整式积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意， D．，是整式乘法运算，不是因式分解，故该选项不符合题意． 4．D 【分析】本题采用作差法比较大小，对作差的算式利用完全平方公式化简，再根据平方数的非负性即可判断与的大小关系． 【详解】解： ∵任何实数的平方都满足， ∴ ， 即． 5．A 【分析】利用平方差公式分解原式，再代入已知条件逐步化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 6．D 【分析】先对多项式因式分解，代入已知，得到三个因式的结果，密码由这三个结果排列得到，对比选项即可得到不可能的密码． 【详解】解：∵ ∴将，代入各因式得，，， ∴三个因式的结果为，，，密码由这三个数按不同顺序排列得到， 对比选项，只有选项包含，缺少，不符合题意． 7．B 【分析】根据提公因式法对原式因式分解，根据化简结果判断能被哪个数整除． 【详解】解：对原式变形提取公因式， ∵，是8的整数倍， ∴原式能被8整除． 8．D 【分析】先逐步对原式因式分解，再判断各选项内容即可. 【详解】解： ； ∴●代表，选项A正确， ☆代表，选项B正确， 分解过程第一步为提公因式法，第二步为平方差公式法，因此△可以代表提公因式法，选项C正确，□代表平方差公式法，不是完全平方公式法，选项D错误. 9．B 【分析】当时，整式，再结合，且，确定、、的取值组合，即可判断①；根据，且（且为整数），确定，，…，，的取值组合，即可判断②；由，得出，且，再结合，得出或，分别求解即可判断③． 【详解】解：当时，整式， ∵，且（且为整数），，，…，，为正整数，， ∴或或，共种，即满足条件的整式有3个，故①错误； ∵，且（且为整数），，，…，，为正整数， ∴当时，，整式，有个， 当时，或，整式分别为，，有个， 当时，或，整式分别为，，有个， 当时，，整式，有个， 当时，，整式，有1个， ∴所有满足条件的整式有个，故②正确； ∵， ∴，且， ∵， ∴或， 当时，即， ∵为奇数， ∴当时，，，此时整式， 当时，，， 解得，，此时整式， 当时，，此时为正整数，其和至少为，故无合适的解，故不符合题意； 当时，即， ∵为奇数， ∴当时，，，此时整式， 当时，，， 解得，或，此时整式或， 当时，，， 解得：，，此时整式， ∴所有满足条件的整式的和为 ，故③错误； 综上所述，正确的有②，共个． 10． 【详解】解： ． 11． 【分析】利用平方差公式将因式分解，再代入已知的和的值计算，即可得到最终结果． 【详解】解：根据平方差公式，可得： ， 将，代入上式，得： ， ∴ ． 12． 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴，即. 13． 【详解】解：原式， ，，， ∴． 14．6 【分析】根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，再减去两个直角三角形的面积，得，结合可求解． 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为a，b， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴． ∵, ∴． 15． 【分析】根据“幂差数”的定义得到，根据平方差公式得到，由题意可知，且和同奇偶，在12的正因数对中，只有2、6同奇偶，进而得到关于m、n的二元一次方程组，求解后可知这个四位数的值． 【详解】解：∵四位自然数是“幂差数”， ∴， ∴， ∵m，n都是的整数， ∴，且和同奇偶， ∵，只有2、6同奇偶， ∴， 解得：， ∴这个四位数是． 16．(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式因式分解后计算； （2）先对式子变形，再用完全平方公式因式分解后计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．(1) (2) 【分析】本题考查分解因式，两个小题都需要先提取公因式，再利用乘法公式继续分解． 【详解】（1）解： （2）解： 18．(1) (2) 【分析】（1）利用分组分解法分解即可； （2）利用拆项添项法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．(1)；；；③ (2)解：方案③提价最多，理由如下： 设产品的原价为元， 当是不相等的正数时， 方案1：提价后的价格为， 方案2：提价后的价格为， 方案3：提价后的价格为， 其中：方案1与方案2的价格相等； ∵ ， ∴， ∴方案3提价最多. 【分析】（1）先分别计算三种情况提价后的价格，再得出猜想即可； （2）通过计算，证明差大于0即可. 【详解】（1）解：小武设产品原价为100元，，， 方案1：提价后的价格为（元）， 方案2：提价后的价格为（元）， 方案3：提价后的价格为（元）. 由此猜想，方案③提价最多. （2）略 20．(1) (2) (3)或 【分析】（1）对于，将等式左边展开，并根据“等式两边多项式相等，对应项系数相等”求解即可； （2）设（a为常数），展开等式右边得，根据对应项系数相等，解得的值，进而计算的值； （3）结合（2）可知，将其代入，并将等号左侧部分因式分解，结合“若，则或”求解即可． 【详解】（1）解：对于， 将等式左边展开得， ∵等式两边多项式相等，对应项系数相等， ∴，解得； （2）解：∵多项式能被整除， 则设（a为常数）， 展开等式右边得， 根据对应项系数相等，可得， 解，得， ∴； （3）解：结合（2）可知，将其代入，得， 因式分解得， ∵若，则或， ∴或， 解得或． 学科网（北京）股份有限公司 $