11.4.2 多项式除以单项式（导学案）2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学导学案聚焦“多项式除以单项式”，通过温故知新复习单项式除法及乘法分配律，以思考探究题引导学生拆分转化算式，搭建从已知到未知的学习支架，衔接整式乘除知识体系。 导学案突出类比转化思想，通过四步运算法则培养归纳推理与运算能力，易错点突破及分层练习提升运算精准度，自主与合作探究设计助力学生自主构建知识，发展数学思维的严谨性与创新意识。

2.多项式除以单项式 《多项式除以单项式》导学案 教材版本：华东师大版八年级上册 课时：1课时 一、学习目标 1. 知识目标：理解多项式除以单项式的推导依据与运算法则，明晰整式除法的完整知识体系，掌握多项式除以单项式的运算原理。 2. 能力目标：能熟练运用法则进行多项式除以单项式的基础运算、化简运算，规范解题步骤，精准处理符号、漏项等常见问题。 3. 素养目标：类比单项式除法、多项式乘法的转化思想，培养数形转化、归纳推理的数学思维，提升整式运算的严谨性与熟练度。 二、学习重难点 重点：掌握多项式除以单项式的运算法则，熟练完成各类多项式除以单项式的化简与计算。 难点：准确处理运算中的正负符号，杜绝漏除项问题，熟练完成含乘方、混合运算的整式除法化简。 三、课前预习（温故知新） 1. 单项式除以单项式法则：系数相除，相同字母幂分别相除，被除式独有字母连同指数保留。 2. 单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式每一项，再把所得的积相加。 3. 除法逆运算：乘法与除法互为逆运算，多项式除以单项式可借助分配律转化为熟悉的单项式除法。 4. 思考探究：如何计算 $$(6x^2-4x)\div2x$$？能否拆分式子分步计算？ 四、课堂探究（新知突破） 探究1：推导运算法则 利用乘法分配律的逆运算，将多项式除以单项式拆分转化为多个单项式除以单项式： 示例计算：$$(6x^2-4x)\div2x$$ 原式$$=6x^2\div2x - 4x\div2x=3x-2$$ 归纳法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 公式：$$(am+bm+cm)\div m=am\div m+bm\div m+cm\div m=a+b+c$$ 探究2：标准运算四步法 1. 逐项拆分：多项式有几项，就拆成几个单项式除法算式，不遗漏、不增项； 2. 分项计算：每一项严格按照单项式除法法则运算，重点核对符号、指数、独有字母； 3. 合并整理：将所有商式相加，合并同类项； 4. 最简检查：确保最终结果为最简整式，无同类项、无分式。 探究3：高频易错点突破 1. 漏项错误：多项式几项，结果就有几项，常数项切勿遗漏； 2. 符号错误：多项式中的负项除以单项式，结果符号随原式，逐项判定、不笼统； 3. 指数混淆：除法统一为指数相减，和整式乘法指数相加严格区分； 4.零项误区：整除后项不为0，化简后无项无需保留，杜绝多余书写。 五、典例精讲 例1 基础多项式除法运算 计算：$$(8x^3-4x^2+2x)\div2x$$ 解析：逐项拆分，分别相除，最后合并结果。 原式$$=8x^3\div2x - 4x^2\div2x + 2x\div2x=4x^2-2x+1$$ 例2 含负号、常数项运算 计算：$$(-12a^2b+6ab^2-8ab)\div(-2ab)$$ 解析：除式为负，每一项相除都要变号，逐项细心运算。 原式$$=-12a^2b\div(-2ab)+6ab^2\div(-2ab)-8ab\div(-2ab)=6a-3b+4$$ 例3 混合化简运算 计算：$$[(x+1)(x-1)-x^2]\div(-x)$$ 解析：先算括号内乘法、化简，再做多项式除法。 原式$$=(x^2-1-x^2)\div(-x)=-1\div(-x)=\dfrac{1}{x}$$ 六、课堂练习 1. 基础计算题： （1）$$(9x^2-6x)\div3x$$ （2）$$(16a^3b-8a^2b^2)\div4ab$$ （3）$$(5x^2y-10xy^2+15xy)\div5xy$$ 2. 判断正误并改正： （1）$$(4x^2-2x)\div2x=2x$$（） （2）$$(-6a^2+3a)\div(-3a)=2a+1$$（） 3. 提升化简题： $$[(2x+1)^2-x(4x-1)]\div x$$ 七、课堂小结 1. 核心法则：多项式除以单项式，逐项相除，商再相加，本质是分配律的逆用。 2. 运算口诀：多项式除单项式，逐项拆分不落下；符号指数细核对，化简整齐不出差。 3. 知识体系：完善整式乘除链条（幂运算→单×单→单×多→多×多→单÷单→多÷单）。 八、课后作业 1. 基础题：完成教材课后对应习题，熟练掌握多项式除以单项式基础运算。 2. 提升题：化简求值 $$[(x-2y)^2-4y^2]\div x$$，其中$$x=2，y=1$$，巩固综合化简与求值题型。 自主学习 一、知识链接 1.单项式与多项式相乘的法则：_____ ___． 2.计算：2x(x2＋3x＋4)＝__________． 二、新知预习 1.一幅长方形油画的长为(a+b),宽为m,求它的面积. 面积为________________=_______________. 2.若已知该油画的面积为(ma+mb),宽为m,求它的长. 解：列式：_____________________ 合作探究 一、探究过程 探究点：多项式除以单项式 问题 根据T1中得到的式子，你能算出T2中列式的结果吗？若能，写出结果. 【要点归纳】多项式除以单项式，先用这个多项式的________除以这个________，再把所得的商________. 例1 计算： （1）（18a2b﹣6ab）÷（﹣6ab）； （2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a． 【针对训练】计算： (1)(－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3； (2)(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)． 【方法总结】多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题. 例2 先化简，再求值：（9ab3+12a4b2）÷3ab，其中a＝﹣1，b＝﹣2． 【针对训练】先化简，再求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x＝2020，y＝2021. 二、课堂小结 多项式除以单项式： 1．多项式除以单项式的运算实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法． 2．多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数相同，即被除式有n项，商仍有n项，不要漏项． 3．要熟练地进行多项式除以单项式的运算，必须掌握它的基础运算，幂的运算性质是整式乘除法的基础． 4．符号仍是运算中的重要问题，用多项式的每一项除以单项式时，要注意每一项的符号和单项式的符号． 当堂检测 1．计算（﹣4x3+2x）÷2x的结果正确的是（　　） A．﹣2x2+1 B．2x2+1 C．﹣2x3+1 D．﹣8x4+2x 2．计算：（﹣6x3+9x2﹣3x）÷（﹣3x）＝（　　） A．2x2﹣3x B．2x2﹣3x+1 C．﹣2x2﹣3x+1 D．2x2+3x﹣1 3．计算：（1）（﹣2a2bc﹣ab）÷（﹣ab）＝　 　； （2）（18x3y2﹣12x2y3+x2y2）÷（﹣6x2y2）＝ 　． 4．一个长方形的面积为3a2+a，若一边长为a，则其相邻边长为　 　． 5．已知一个多项式与单项式﹣7x2y3的积为21x4y5﹣28x7y4+14x6y6，则这个多项式为 ． 6．计算： （1）（7x2y3﹣8x3y2z）÷8x2y2； （2）（3m2+15m3n﹣m4）÷（﹣3m2）； （3）（y3﹣3y2+y）÷y； （4）； （5）[2x（2y2﹣4y+1）﹣2x]÷（﹣2xy）. 7．先化简，再求值：[(x−y)2+(2x+y)(1−y)−y]÷(−x)，其中x=1，y=. 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.单项式乘多项式，将单项式与多项式的每一项相乘，再把积相加 2.2x3＋6x2＋8x 二、新知预习 1. (a+b)m am+bm 2. (ma+mb)÷m 合作探究 一、探究过程 探究点：多项式除以单项式 问题 解：能，结果是a+b. 【要点归纳】每一项 单项式 相加 例1 解：（1）原式＝18a2b÷（﹣6ab）﹣6ab÷（﹣6ab）＝﹣3a+1. （2）原式＝12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a＝4a2﹣2a+1. 【针对训练】解：（1）原式=-2xz+1. （2）原式=-8x²y2+4xy-1. 例2 解：原式＝3b2+4a3b，当a＝﹣1，b＝﹣2时，原式=3×（-2）2+4×（-1）3×（-2）＝20． 【针对训练】 解：原式=（2x3y-2x2y2+x2y2-x3y）÷x2y=（x3y-x2y2）÷x2y=x-y.当x＝2020，y＝2021时，原式=x-y=-1. 当堂检测 1．A 2．B 3．（1）2ac+1 （2） 4．3a+1 5．﹣3x2y2+4x5y﹣2x4y3 6.解：（1）原式＝y﹣xz． （2）原式＝﹣1﹣5mn+m2． （3）原式＝y2﹣y+1． （4）原式＝2x﹣y﹣4． （5）原式＝（4xy2﹣8xy+2x﹣2x）÷（﹣2xy）＝﹣2y+4． 7.解：原式=（x2-2xy+y2+2x-2xy+y-y2-y）÷（-x）=（x2-4xy+2x）÷（-x）=-2x+8y-4，当x=1，y=时，原式=-2×1+8×-4=-2+4-4=-2． 学科网（北京）股份有限公司 $