1.4 相似三角形的判定教学设计 2026-2027学年数学湘教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形的判定，核心知识点为平行线判定定理和两角相等判定定理。课堂导入通过回顾相似三角形定义及平行线分线段成比例旧知，搭建学习支架，引出简便判定方法，梳理从定义到定理的知识脉络。 资料特色是以核心素养为导向，通过问题探究（从特殊中点到一般平行线）、定理证明（构造平行四边形）培养逻辑推理，复杂图形识别与比例计算提升直观想象和数学运算。例如练习中找相似三角形组数，强化定理应用。帮助学生掌握判定方法，提升推理能力，为教师提供结构化教学流程和丰富例题资源。

1.4 相似三角形的判定 一、核心素养目标 • 【数学抽象】理解相似三角形判定定理的推导过程，从特殊到一般归纳判定方法 • 【逻辑推理】证明平行线判定定理（DE∥BC → △ADE∽△ABC）和两角相等判定定理 • 【数学运算】运用相似三角形的判定定理进行边长计算和比例推理 • 【直观想象】在复杂图形中准确识别对应角和对应边，构建相似三角形模型 二、教学重难点 教学重点：平行线判定定理（DE∥BC → △ADE∽△ABC）；两角分别相等的两个三角形相似 教学难点：平行线判定定理的几何证明（构造平行四边形）；两角相等判定定理的证明思路 三、教学过程 【一、课题导入】（2分钟） 【教师活动】板书课题：1.4 相似三角形的判定。上一章我们学习了相似三角形的定义：三个角对应相等且三条边对应成比例，叫作相似三角形。但用定义判定两个三角形是否相似，需要验证六个条件（三个角＋三条边），操作繁琐。本节课我们学习更简便的判定方法。 【过渡语】先回顾旧知——平行线分线段成比例，这是今天判定方法的基础。 【二、回顾旧知】（5分钟） 【教师活动】问题1：什么叫相似三角形？什么叫相似比？ 【学生活动】三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形。相似三角形的对应边的比叫作相似比。 【知识点】【旧知回顾】相似三角形的定义：三个角对应相等，三条边对应成比例。相似比：相似三角形对应边的比。 【教师活动】问题2：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段有何关系？ 【学生活动】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 【教师活动】追问：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段也成比例。这一性质为今天的判定定理提供了依据。 【过渡语】由平行线截线段成比例这一性质，可以推出相似三角形的判定方法——平行线判定定理。 【三、问题探究1（中点情形）】（6分钟） 【教师活动】问题1：如图，在△ABC中，已知D，E分别是AB，AC的中点。试判断△ADE与△ABC有什么关系？并说明理由。 【学生活动】猜想：△ADE∽△ABC。因为D、E是中点，所以DE是△ABC的中位线，因此DE∥BC。由平行线截线段成比例，，，，所以三条边对应成比例；又DE∥BC，故∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A（公共角），所以三个角对应相等。 【教师活动】规范表达：∵ D、E是AB、AC的中点，∴ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似）。 【知识点】【三角形中位线定理】三角形两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半。中位线是平行线判定定理的特例。 【过渡语】特殊情形（中点）验证了DE∥BC时△ADE∽△ABC。那么，DE是任意一条平行线时，这一结论是否仍然成立？ 【四、问题探究2（任意平行线）】（8分钟） 【教师活动】问题2：如图，在△ABC中，D为AB上任意一点。过点D作BC的平行线DE，交AC于点E。△ADE与△ABC相似吗？平行移动DE的位置呢？ 【学生活动】猜想：只要DE∥BC，就有△ADE∽△ABC。无论D在AB的什么位置，只要DE∥BC，结论都成立。 【教师活动】非常好！这是一个一般性结论。如何从数学上严格证明？ 【过渡语】下面给出完整的几何证明。 【五、平行线判定定理的证明】（8分钟） 【教师活动】【定理证明】如图，在△ABC中，D为AB上任意一点。过点D作BC的平行线DE，交AC于点E。求证：△ADE∽△ABC。 【教师活动】证明思路：需要证对应角相等且对应边成比例。关键在于证。 【教师活动】具体证明：在△ADE与△ABC中，∠A=∠A（公共角），∵ DE∥BC，∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C， 【教师活动】过点E作EF∥AB，交BC于点F，∵ 四边形DBFE是平行四边形，∴ DE=BF。 【教师活动】由平行线截线段成比例：。又∵ DE∥BC，，。同理可证，故三条对应边成比例。 【教师活动】∴ △ADE∽△ABC（对应角相等，对应边成比例）。 【知识点】【平行线判定定理】平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。几何语言：∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC。 【六、例题精讲（平行线判定）】（6分钟） 【教师活动】【例1】如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E。延长DE至点F，使DE=EF。求证：△CFE∽△ABC。 【教师活动】分析：本题的关键是利用DE∥BC得△ADE∽△ABC。再利用DE=EF和平行四边形性质，证出CF∥AE，从而△CFE∽△ABC。 【学生活动】写出证明：∵ D是AB的中点，DE∥BC，∴ E是AC的中点（平行线等分线段），∴ AE=EC。∵ DE=EF，∴ EF=EC。又四边形DBFE是平行四边形，∴ CF∥AB。∴ △CFE∽△ABC（平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似）。 关键步骤：①由DE∥BC先判定△ADE∽△ABC；②由DE=EF得E是AC中点；③由平行四边形DBFE得CF∥AB；④再判定△CFE∽△ABC。 【过渡语】定理本身和例1都是直接用DE∥BC来判定。下面进入课堂练习，巩固平行线判定定理的应用。 【七、课堂练习1（平行线判定）】（5分钟） 【教师活动】【练习1】如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E。若线段DE＝5，则线段BC的长为（ ）。 A．7.5 B．10 C．15 D．20 【学生活动】选C。因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，相似比。由对应边成比例：，代入DE=5，解得BC=15。 【教师活动】答案C。关键：BD＝2AD → AD:AB=1:3 → 相似比。 【过渡语】注意：找准对应边是计算的关键。下面看一道更综合的题。 【八、课堂练习2（综合应用）】（5分钟） 【教师活动】【练习2】如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB、AC于点D、E。M为边BC上一点，连接AM交DE于点N。则图中相似三角形的组数为（ ）。A.2组 B.3组 C.4组 D.5组 【学生活动】由DE∥BC，直接得到的相似三角形有：△ADE∽△ABC（1组）。加上M点：∠DAN=∠BAM，∠DNA=∠BMA → △ADN∽△ABM（1组）；∠DAN=∠BAM，∠ADM=∠ABM → △ADM∽△ABN（1组）。共3组。 【教师活动】答案B（3组）。分析：DE∥BC得△ADE∽△ABC；由∠DAN=∠BAM和∠DNA=∠BMA得△ADN∽△ABM；由∠DAN=∠BAM和∠ADM=∠ABM得△ADM∽△ABN。三组相似。 易错提示：不要遗漏每一组相似三角形。判定方法：①直接由平行线得（DE∥BC）；②通过角度相等间接判定（两角分别相等）。 【过渡语】下面看一道涉及正方形与直角三角形的综合问题。 【九、练习3（正方形综合）】（5分钟） 【教师活动】【练习3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。正方形EFCD的三个顶点E、F、D分别在边AB、BC、AC上。已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长。 【学生活动】解：∵ 四边形EFCD为正方形，∴ DE∥BC，DC=CF，∴ △ADE∽△ABC。设正方形边长为x，则AD=AC-DC=7.5-x。 【教师活动】由△ADE∽△ABC，，即。交叉相乘：5(7.5-x)=7.5x，展开：37.5-5x=7.5x，移项：12.5x=37.5，解得x=3。 【知识点】【综合问题策略】涉及多边形（正方形）与三角形的相似时，先找平行线确定相似三角形，再设未知数，利用比例建立方程求解。 【过渡语】课时1到此结束。下面进入课时2——相似三角形的判定定理1。 课时2 相似三角形的判定定理1 【课时2导入】（2分钟） 【教师活动】板书：课时2 相似三角形的判定定理1。上一课时我们学了用平行线判定三角形相似，需要平行线的条件。今天我们学习一个更直接的判定方法——两角相等。 【过渡语】先回顾我们已学的判定三角形相似的方法。 【回顾已学方法】（4分钟） 【教师活动】问题：前面我们学习了哪些判定三角形相似的方法呢？ 【学生活动】方法一（定义法）：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形是相似三角形。 【学生活动】方法二（平行线判定）：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 【教师活动】有没有更简单的方法判断两个三角形相似？能不能只验证少数几个条件，就能判定？ 【过渡语】下面我们从特殊情形出发，提出新的猜想。 【一、探究：两角相等判定】（6分钟） 【教师活动】探究：如图，△ABC和△A′B′C′中，已知∠C=∠C′，且对应边成比例。能否直接判定△ABC∽△A′B′C′？ 【学生活动】从图形上看，两个三角形∠C=∠C′，且已知对应边成比例，我猜测它们相似。 【教师活动】实际上，有一个更简洁的判定方法——只需要两个角分别相等就足够了。为什么？下面给出证明。 【过渡语】类比平行线判定定理的证明思路，用作平行线、构造全等的方法来证明。 【二、判定定理1的证明】（8分钟） 【教师活动】【判定定理1的证明】已知：△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′。求证：△ABC∽△A′B′C′。 【教师活动】证明思路：设法把两个角相等转化为三边成比例，类比平行线判定定理，用作平行线的方法来证明。 【教师活动】证明：作辅助线——在△A′B′C′的边A′B′上取一点D，使A′D=AB。过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E。 【教师活动】在△A′DE与△ABC中，∵ ∠A′=∠A，A′D=AB，∠A′DE=∠B′=∠B，∴ △A′DE≌△ABC（ASA）。 【教师活动】又∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′（平行线判定定理）。由全等得△A′DE≌△ABC，故△ABC∽△A′B′C′。证毕。 【知识点】【判定定理1】两角分别相等的两个三角形相似。符号语言：∵ ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴ △ABC∽△A′B′C′。 证明技巧：证明的关键是构造平行线：将△ABC转移到△A′DE的位置，利用ASA先证全等，再用平行线判定定理得相似。 【例1（两角相等判定）】（6分钟） 【教师活动】【例1】如图，在△ABC中，∠C=90°。过点D分别作边AB、BC的垂线，垂足分别为点E、F，DF与AB交于点H。求证：△DEH∽△BCA。 【教师活动】分析：要证△DEH∽△BCA，找两个角分别相等即可。∠DEH和∠BCA都是直角，故∠DEH=∠BCA=90°。只需再找一个角相等。 【学生活动】由∠C=90°得AC⊥BC。又∵ DF⊥AC，∴ DF∥BC（垂直于同一条直线的两条直线平行）。∴ ∠DHE=∠B（同位角相等）。又由DE⊥AB，得∠DEH=90°=∠C，∴ △DEH∽△BCA（两角分别相等）。 【教师活动】规范书写：∵ ∠C=90°，∴ AC⊥BC。∵ DF⊥AC，∴ DF∥BC。∴ ∠DHE=∠B。又∵ DE⊥AB，∴ ∠DEH=90°=∠C。∴ △DEH∽△BCA（两角分别相等）。 解题要点：使用判定定理1时，关键是找两个角相等。本题利用同垂直于同一直线和平行线的传递性来导角。 【例2（直角三角形相似）】（5分钟） 【教师活动】【例2】如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C=90°，∠F=90°。若∠A=∠D，AB=5，BC=4，DE=3，求EF的长。 【学生活动】分析：∠C=∠F=90°，且∠A=∠D，故△ABC∽△DEF（两角分别相等）。由相似比：，即，交叉相乘：5·EF=12，所以。 【教师活动】规范解答：∵ ∠C=∠F=90°，∠A=∠D，∴ △ABC∽△DEF（两角分别相等）。由相似比，代入AB=5，BC=4，DE=3，解得。 计算提示：由AB:DE=5:3和BC:EF的比例关系，代入BC=4得。 【练习1（判定方法综合）】（4分钟） 【教师活动】【练习1】小明画了如图所示的三个三角形，你认为相似的是（ ）。A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙 D.甲、乙、丙 【学生活动】观察图形：甲、乙、丙的形状和大小各不相同...实际上，观察三个三角形的内角度数：甲大约是(30°,60°,90°)，乙是(45°,45°,90°)，丙是(60°,30°,90°)。甲和丙的锐角可以交换位置，所以甲和丙相似（两角分别相等：60°和90°）。 【教师活动】答案B（甲、丙）。甲和丙都是直角三角形，且有一个锐角相等（如都含60°），由直角相等+一个锐角相等→两角分别相等→相似。 【练习2（平行线+相似）】（4分钟） 【教师活动】【练习2】如图，AB∥CD，AB＝6，CD＝9，AD＝10，则OD的长为（ ）。A．4 B．5 C．6 D．7 【学生活动】由AB∥CD，△AOD∽△COD，故相似比。由比例，即，解得不对，OD应该是整数。换个思路：△AOD∽△COD中，AD是对应边吗？实际上，O是交点，△AOD和△COD共用∠O，大三角形底边是AB+CD=15，小三角形底边是OD，相似比，OD=10，所以答案是C（6）。 【教师活动】答案C。由AB∥CD，△AOD∽△COD，相似比，解得取整为6，选C（实际计算：==，。标准做法：△AOD∽△COD，==， 【教师活动】规范解答：∵ AB∥CD，∴ △AOD∽△COD（平行线截三角形）。大三角形底边=AB+CD=15，相似比，故不对，应该是===，即，选A。 注意：找准对应边：平行线截得的相似三角形，大三角形的对应底边是AB+CD，小三角形的对应底边是OD。 【过渡语】注意找准对应边：平行线截得的相似三角形，大三角形的底边是AB，小三角形的底边是OD（而不是AD）。 【练习3（找角相等）】（3分钟） 【教师活动】【练习3】如图，点D在AB上，当∠ =∠ （或∠ =∠ ）时，△ACD∽△ABC。 【学生活动】找角相等：△ACD与△ABC共用∠A，故当∠ACD=∠ABC时，两角相等，△ACD∽△ABC（判定定理1）。同理，∠ADC=∠ACB时也成立。 【教师活动】答案：∠ACD=∠ABC（或∠ADC=∠ACB）。 【过渡语】注意：共用角（如∠A）是找相等角的常用突破口。 【练习4（综合计算）】（5分钟） 【教师活动】【练习4】如图，已知∠ACD=∠B，BD=5，AD=4，求AC的长。 【学生活动】分析：∠ACD=∠B，且∠A=∠A（公共角），故△ACD∽△ABC（两角分别相等）。由相似比：，故，即AD=AB...这不对。△ACD∽△ABC中，AD对应AB，AC对应AC（公共边对应自身，比值为1）。所以，AB=4...还是不对。 【教师活动】规范解答：∵ ∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴ △ACD∽△ABC（判定定理1）。设AD=4，BD=5，则AB=AD+DB=9。相似比，故不对。正确做法：由△ACD∽△ABC，对应AC，比值需要重新算）。设AC=x，BC=y，由相似比 【教师活动】标准解答：∵ ∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴ △ACD∽△ABC（判定定理1）。设AD=4，BD=5，则AB=9。相似比==。由△ACD∽△ABC得=（AC对应AC）。又由∠ACD=∠B，得∠ADC=180°-∠A-∠ACD，∠ACB=180°-∠A-∠B。计算得AC=。 技巧总结：①利用公共角（∠A）；②设未知数列比例方程；③注意公共边（AC）对应自身，比值为1。 【过渡语】通过本题进一步熟悉判定定理1的综合应用。 【课堂小结】（5分钟） 【教师活动】本节共学习了两个判定三角形相似的方法。 【知识点】【判定方法一（平行线）】平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。适用条件：题目中有平行线条件。 【知识点】【判定方法二（两角相等）】两角分别相等的两个三角形相似。适用条件：能找出两个角相等（常见：公共角、等角、同位角、内错角、同垂直于、同平行于）。 【学生活动】判定三角形相似的核心思路：①找平行线→平行线判定定理；②找角相等→判定定理1（两角相等）；③找边成比例且角相等→综合判定。 方法选择：判定优先顺序：两角相等（最常用）> 平行线（条件明确时）> 定义法（万不得已）。 【过渡语】课后作业：整理本节知识点，完成练习册对应习题。 学科网（北京）股份有限公司 $