专题4实数能力提升专练 2026年七年级数学暑假作业（湘教版）
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摘要：
**基本信息**
以数形结合与转化思想为核心，通过新定义、规律探究、无理数估算构建实数能力训练体系，强化抽象、推理与运算素养。
**专项设计**
|模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑|
|----|-----------|----------|----------|
|实数与数轴|7题|数形结合、转化化归|从正方形面积推导无理数，结合数轴表示，构建数与形的直观联系|
|新定义运算|11题|定义理解、整体思想|通过自定义规则（如倍准平方和数对）培养抽象能力，渗透整体代换技巧|
|规律问题|9题|观察归纳、夹逼法|从等式、数列规律中提炼递推关系，强化合情推理与数学表达|
|无理数整数部分|10题|范围确定、整数小数分离|用夹逼法确定无理数范围，明确整数与小数部分分离方法，夯实运算基础|
内容正文：
2026年七年级数学暑假作业（湘教版）
专题4实数能力提升专练
题型一：实数与数轴
1．如图，正方形的面积为6，数轴上点A的坐标为0．以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴分别交于点M，N，的长为（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根的概念可求，据此计算即可得到答案．
【详解】解：∵正方形的面积为6，
；
∵以A点为圆心，为半径，与数轴分别交于点M，N，
∴；
∴的长为．
2．如图，数轴上有、、、四个点，则以下结论正确的是（ ）
A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是
C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是
【答案】C
【分析】先估算出选项中无理数的值，然后结合数轴分析即可解答．
【详解】解：由数轴得：，
A．，点A表示的数大于，故该选项说法错误，不符合题意；
B．，点B表示的数在0和1之间，故该选项说法错误，不符合题意；
C．，点C表示的数在2和3之间，故该选项说法正确，符合题意；
D．，点D表示的数在3和4之间，故该选项说法错误，不符合题意．
3．如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用点A表示的数减去的长即可得到答案．
【详解】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，
∴，
∴点C表示的数为．
4．将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______．
【答案】
【分析】由数轴得被墨迹覆盖的数，再估算出各无理数的取值范围即可求解．
【详解】解：由数轴得，被墨迹覆盖的数，
∵，，，，
∴能被墨迹覆盖的数是．
5．阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题：
(1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号）
①数形结合 ②分类讨论 ③转化与化归
(2)类比阅读材料完成下列问题：
①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）；
②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)①
(2)①内部正方形的边长为；②
【分析】（1）分析材料即可；
（2）①由图形面积之间的关系列方程求解即可；
②记的对应点为，1的对应点为，在数轴上方作以为底，为高的三角形，连接，以点为圆心，线段长为半径画弧，在点右侧与数轴的交点即为所求．
【详解】（1）解：上述材料中蕴含的数学思想是数形结合思想，
（2）解：①由题意得：，
，
∵是正方形的边长，
∴，
，
答：内部正方形的边长为．
②略
6．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．
(1)计算：______；______；
(2)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值．
(3)计算．
【答案】(1)2，
(2)
(3)23
【分析】（1）先估算的大小，再由新定义可得结果；
（2）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果；
（3）先逐项化简并归纳规律，最终求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵点A表示1，点B表示，点A是的中点，
∴点C表示的数为，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的值为．
（3）解：，，
，…，
∵，，
∴
．
7．如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题：
(1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______；
(2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为_______；
(3)请你参照上面的方法：把图中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为宽为的长方形的对角线长为________．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙）
(4)参照图的画法，在（）的基础上，画出数轴上表示数以及的点、．（图中保留必要的作图痕迹）．
【答案】(1)；
(2)
(3)；
(4)图形见解析
【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解．
（1）根据题意，得到大正方形的面积，求出边长，即可得到小正方形的对角线；
（2）由（1）可得边长为的正方形的对角线为，再根据数轴，即可得到点表示的数；
（3）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可；
（4）从原点开始画一个长是，高是的长方形，对角线长即是，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点，再把这个长方形向左平移个单位，用同样的方法得到点．
【详解】（1）解：由图可得，大正方形的面积为，
∴边长为：
∴小正方形对角线为：．
（2）解：由题意可得，小正方形的边长为，
∴对角线为，
∴点表示的数为：．
（3）解：如图所示：
∵长方形的面积为
∴拼成的正方形的面积也为；
∴正方形的边长为：
∴长为宽为的长方形的对角线长为．
（4）解：如图，即为所求．
题型二：新定义下的实数运算
1．对于任意实数a，b，c，d，规定．若x，y满足，，则的值为（ ）
A． B．3 C．6 D．13
【答案】B
【分析】本题考查新定义运算和解二元一次方程组，先根据给定的新运算规则，将条件转化为二元一次方程组，求解得到、的值后，计算即可得到结果．
【详解】解：根据规定的新运算
∵，
∴可得方程组
由第二个方程变形得，将其代入第一个方程得
展开得
合并同类项得
解得
把代入，得
∴
故选：B．
2．一个各数位均不为0的三位自然数，若，则称为“方加数”．例如：三位数723，，∴723是“方加数”．若一个方加数是奇数，且是整数，则满足条件的的值不可能是（ ）
A．521 B．723 C．817 D．925
【答案】C
【分析】根据方加数定义，N为奇数，为整数这三个条件，逐一验证各选项，找出不满足所有条件的选项即可．
【详解】解：已知各数位不为0，，N为三位数，N为奇数，因此个位为奇数，
A选项，即，
，满足方加数定义，
又，是整数，N是奇数，符合条件，A可能；
B选项，即，
，满足方加数定义，
又，是整数，N是奇数，符合条件，B可能；
C选项，即，
，满足方加数定义，N是奇数，
但，不是整数，不满足条件，C不可能；
D选项，即，
，满足方加数定义，
又，是整数，N是奇数，符合条件，D可能．
3．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为，满足，那么称这个数为“好运数”．例如：四位数，，是“好运数”；四位数，，不是“好运数”．若一个“好运数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，则这个“好运数”的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题为新定义题型，根据“好运数”定义推导得到，根据已知条件得到结合能被9整除的数的性质，从小到大枚举千位数字，得到符合条件的最小“好运数”．
【详解】∵ 四位“好运数”满足，各数位数字互不相同且均不为，
∴ ，
整理得 ①，
∵ 能被整除， ，
将①代入得：，
∵ 能被整除，因此能被整除，
∵ 是的整数，，因此， 要得到最小的“好运数”，需让千位尽可能小，从小到大枚举：
当时，，代入①得，无符合条件的；
当时，，代入①得，无符合条件的；
当时，，代入①得，无符合条件的；
当时，，代入①得，无符合条件的；
当时，，代入①得，得， 此时四个数位为，互不相同且均不为，符合条件，因此最小“好运数”为．
4．对于一个四位自然数（，，，），若满足，则称N为“星环数”．例如：1836，因为，，所以1836是“星环数”；例如：2318，因为，，所以2318不是“星环数”．最小的“星环数”是______．记，．若一个“星环数”N，满足是完全平方数，则满足条件的所有N中，最大值是______．
【答案】
【分析】先整理“星环数”定义得到核心等式，根据的取值范围得到仅两种符合条件的情况：和，求最小四位数时优先让高位数字最小得到最小星环数，再结合完全平方数条件化简，优先让高位数字最大得到满足条件的最大值．
【详解】解 ：由题意得，，满足
代入得
整理得
∵，
∴，，且均为正整数，
∵和互质，
∴整除，可得或，对应或，仅这两组符合条件；
若最小，则优先让取最小，最小为，当时，得 此时，再让取最小，最小为，得，符合取值要求，
∴最小“星环数”是；
由题意得，
当时，，
当时， ，则，结果不是整数，不可能是完全平方数，
∴该情况无符合条件的；
当时，，， ，
代入得 则
∴该式是完全平方数，是完全平方数，
∴是完全平方数，
∵，且 ，
∴，，
要最大，优先让取最大，得 ，此时，，
∴，范围内完全平方数为 ，得， 则，，得 验证得，符合条件，
∴满足条件的最大为．
5．如果一个三位数各个数位上的数字均不为0且互不相等，满足，那么称这个三位数为“半和数”．如：三位数321，∵，∴321是“半和数”．把一个“半和数”n的各个数位上的数字分别去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为．若n是最大的“半和数”，则的值为______；若三位数m是“半和数”，且是一个整数，请求出所有符合条件的m的最大值与最小值的差为______．
【答案】
【分析】先根据“半和数”的定义和的最大值判断的值，再根据代入求解判断；根据“半和数”的定义和的最大值与最小值，将的可能值代入中判断即可．
【详解】解：∵n是最大的“半和数”，
∴，
则，即，
∵n是最大的“半和数”，各个数位上的数字均不为0且互不相等的整数，
当时，，符合题意，
∴，
∴去掉一个数位上的数字，得到的两位数为，
；
根据的定义可知，，
则，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵是一个整数，，
最大时，则要尽量大，
当时，
此时，，非平方数，不符合题意；
，，是平方数，
∴最大时，，则，
∴；
最小时，要尽可能地小，
当时，
，是平方数，
∴最小时，，
则，
∴的最小值为，
∴的最大值与最小值的差为．
6．现定义一种新运算“※”：，例如，．若，则________．
【答案】
【分析】先根据新运算定义展开等式左边，利用幂的运算法则化简后，对比等式两边同类项的指数得到n的值，再求出系数k，最后计算即可．
【详解】解：根据新运算定义，可得，
根据积的乘方法则展开，得 原式，
∵，
∴，解得，
∴，
∴．
7．对于实数，，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则的值为_______．
【答案】
【分析】根据的定义得到，估算出的范围，结合为连续正整数得到的值，代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴，
，，
，
和为两个连续正整数，
，，
．
8．我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用表示距离（为正整数）最近的正整数．例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，，…利用这些发现得到以下结论：
①若时，的值有6个；
②当时，的值为_____．
【答案】
【分析】本题考查数字规律探究，根据的定义推导得到：若（为正整数），则对应个不同的正整数，且每一组对应的所有的和为，根据总和计算得到总个数．
【详解】解：根据定义，若（为正整数），
则，
∴，
不等式各边平方得，
∵是正整数，
∴最小为，最大为，
∴的总个数为，
每一组对应同一个的的和，为，
∵，
∴共有组，
对应到，
∴总的个数为，
∴．
9．规定一种新的定义：，若，，则______．
【答案】
【分析】根据定义求出的值即可．
【详解】解：∵，，，
∴．
10．对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是含未知数的式子的值．如：已知实数，满足求和的值．
方法一：解方程组，分别求出，的值，再代入式子求值．
方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求式子的值．解法如下：，得；，得．
比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”．
(1)已知二元一次方程组则____________；____________
(2)某班级因组织绘画活动购买奖品，买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元；买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元．则购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需多少元？
(3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，那么的值是多少？
【答案】(1)；
(2)购买5支铅笔、5块橡皮、5本笔记本共需60元
(3)
【分析】（1）根据题意对式子进行变形，得，得，从而得到；
（2）设购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本分别需要x元、y元、z元，根据题意列方程组，变形得到，从而得到的值；
（3）根据题意列方程组，变形得到，从而得到的值．
【详解】（1）解：，
得，，
得，，
∴；
（2）解：设购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本分别需要x元、y元、z元，
由题意得，，
得，，
∴（元），
答：购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需60元；
（3）由，，得，
，得．
．
11．对于整数和，如果是的倍数，则称与是一组“倍准平方和数对”．例如：因为，且是的倍数，所以和是一组“倍准平方和数对”．
(1)根据定义判断：整数和① 一组“倍准平方和数对”，整数和② 一组“倍准平方和数对”；（在①，②处填“是”或“不是”）
(2)小明猜想：如果和是一组“倍准平方和数对”，那么和也是一组“倍准平方和数对”；请将下面小明的说理过程补充完整：
理由如下：
因为和是一组“倍准平方和数对”，
所以存在整数，使得．
因为
③ ．
因为是整数，所以是④ 的倍数．
所以和也是一组“倍准平方和数对”．
(3)若与是一组“倍准平方和数对”，请你说明：和也是一组“倍准平方和数对”
【答案】(1)①不是，②是
(2)③，④
(3)证法：∵和是一组“倍准平方和数对”，
∴存在整数，使得；
∵，
，
，
，
，
，
又因为，，为整数，
所以是的倍数．
所以和也是一组“倍准平方和数对”．
证法：∵和是一组“倍准平方和数对”，
∴存在整数，使得；
∴，
∵，
，
，
，
又因为，，为整数，
所以是的倍数．
所以和也是一组“倍准平方和数对”．
【分析】（1）根据“倍准平方和数对”的定义，将两组整数分别代入求解，看是否满足“倍准平方和数对”的定义即可求解；
（2）利用等量代换即可求解；
（3）模仿小问（2）的求解过程即可求解，
【详解】（1）解：根据“倍准平方和数对”的定义，
，
不是的倍数，
∴整数和不是一组“倍准平方和数对”；
∵，
是的倍数，
∴整数和是一组“倍准平方和数对”；
（2）证明：因为和是一组“倍准平方和数对”，
∴存在整数，使得．
因为
．
因为是整数，所以是的倍数．
所以和也是一组“倍准平方和数对”．
（3）证明：见答案
题型三：与实数运算相关的规律问题
1．某计算器中有，，三个按键，以下是这三个按键的功能．
①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；
②：将屏幕显示的数变成它的倒数；
③：将屏幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．
若开始输入的数据为4，那么第356步之后，显示的结果是（ ）
A． B．16 C．4 D．
【答案】A
【分析】分别求出第1，2，3，4，5，6步的结果，进而得出规律，根据规律确定答案即可．
【详解】解：根据题意可得：
第1步：；第2步：；第3步：；
第4步：；第5步：；第6步：；
第7步：；第8步：……
∵显示的数是六步一个循环，
∴，
∴第356步之后屏幕显示的数与第四步相同，显示的结果是．
2．观察下列有规律的等式：
；；；；；
……
则第个等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题为规律探究题，分别观察等式各部分与序号的关系，归纳得到规律，即可得到结果．
【详解】观察给出的等式：
第1个等式中，根号内被减数为1，分数分子为1，分母为，等式右边系数为1，
第2个等式中，根号内被减数为2，分数分子为2，分母为，等式右边系数为2，
第3个等式中，根号内被减数为3，分数分子为3，分母为，等式右边系数为3，
依此类推，可得第个等式中，根号内被减数为，分数分子为，分母为，等式右边系数为，根号内分数为，
第个等式为，
即选项A正确．
3．已知一列数：，，，，，，，根据其规律，第35个数是___．
【答案】
【分析】分别从符号、分子的被开方数、分母三个维度寻找数字变化规律，归纳得到第n个数的一般形式，再代入化简计算即可.
【详解】解：，，，，，，，
观察可知，该列数的符号为“负，负，正”三个为一组进行循环，分子为，分母为，
∵，
故第35个数的符号为负，分子为，分母为，
故第35个数是.
4．一组二次根式按如下规律排列：
第1行： ．
第2行： ．
第3行： ．
第4行： ．
第5行： ．
……
请根据上述规律，解答下面的问题：
我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_____．
【答案】
【详解】∵，
∴是第行，
∵第行为偶数行，被开方数从左到右依次减小，
∴从左往右是第5个二次根式，
即位于第行第5列，记作．
5．排箫的发声频率f和音管长度L之间的关系为，其中c为常数．已知自然大调各音阶的频率与半音数n之间的关系如下表所示，其中，则音阶对应的音管长度是音阶对应的音管长度的______倍．
音阶
la
xi
do′
半音数n
0
2
4
5
7
9
11
12
频率
f0·q9
f0·q11
f0·q12
【答案】
【分析】根据已知公式变形得到音管长度表达式，分别确定与对应的半音数和频率，计算两者长度的比值，结合已知条件化简得到最终结果.
【详解】
由 得
6．观察下列等式：
第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题：
(1)第4个等式为
(2)猜想：第n个等式为 （n为正整数）
(3)根据你的猜想，计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意写出第四个式子即可；
（2）找到题中规律即可写出第n个等式；
（3）根据规律变形，再计算即可．
【详解】（1）解：第4个等式为，即；
（2）解：根据题意可得第n个等式为；
（3）解：，
，
．
7．观察下列等式：
，
，
，
……
根据以上规律，请完成下面问题：
(1)求的值；
(2)比较与2026的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ；见解析
【分析】（1）根据规律计算的值即可；
（2）根据题意，找到前2025个等式求和，再与2026比较即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，，，
，
，
，
∵，
．
8．同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题：
(1)若，其中，为有理数，则________，________；
(2)如果，其中，为有理数，求的立方根．
【答案】(1)；2
(2)
【分析】（1）根据题意可得：，然后进行计算即可解答；
（2）将已知等式进行整理可得，再根据题意可得，，进而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得：，
解得：．
（2）解：，
，
．
，为有理数，
，，
解得，，
，
∴的立方根为．
9．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．复数的运算与整式的运算类似．
例如，计算：；
．
根据以上信息，解决下列问题．
(1)填空：______，______
(2)计算：．
(3)计算：
【答案】(1)1；i
(2)
(3)
【分析】（1）把化为，把化为，根据新定义计算即可；
（2）根据复数的运算法则进行计算即可；
（3）根据题干和（1）的结果，得出的结果以i，，，1循环，据此求解即可．
【详解】（1）解；；
；
（2）解：原式；
（3）解：∵，，，，，…，
∴的结果以i，，，1循环，
∵，，
∴原式．
题型四：无理数整数部分的有关计算
1．如图，网格中每个小正方形的边长为1，把图中阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．已知的整数部分和小数部分分别是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形面积公式，求阴影部分的面积个三角形面积的和，再求其算术平方根；把a的值代入中，表示出x和y，再代入求值即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的整数部分和小数部分分别是，
∴，，
∴．
2．如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．则的整数部分为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分为．
3．已知的立方根是3，是的整数部分，则的平方根是______．
【答案】
【分析】先根据立方根的定义求出的值，再估算无理数的取值范围得到整数部分的值，计算后，根据平方根的定义求解最终结果．
【详解】解：的立方根是，
，
，
，即，
是的整数部分，
，
，
又，
的平方根为，即的平方根是．
4．若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为______．
【答案】/
【分析】先估算得到的整数部分和小数部分，再代入式子计算即可．
【详解】解：，
，
．
．
5．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为2，是的整数部分．
(1)________；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程即可得到答案；
（2）根据立方根的定义求出b的值，估算出的取值范围，可得c的值，求出的值，再根据算术平方根的定义可得答案．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和，
∴，
∴；
（2）解：∵的立方根为2，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴的整数部分为3，即，
∴，
∴的算术平方根为．
6．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分．
(1)求，，的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据平方根和立方根的定义列出等式求出，的值，再估算的范围得到整数部分；
（2）把，，的值代入中计算，再解得它的算术平方根．
【详解】（1）解：由题意可知，，，
∴，
解得，
检验，当时，，符合题意；
由题意可知，，
∴，
将代入上式，解得；
∵，即，
∴的整数部分；
（2）解：由（1）可知，，，，
∴，
∴的算术平方根．
7．已知一个数的两个平方根分别是和，的立方根为，是的整数部分．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
，，
(2)
【分析】（1）先根据已知条件和平方根与立方根的定义，列出关于和关于的方程，解方程求出，，再估算的大小，从而求出其整数部分c即可；
（2）把（1）中所求，，的值代入进行计算，从而求出其平方根即可．
【详解】（1）解：∵一个数的两个平方根分别是和，
∴，解得．
∵的立方根为，
∴，解得．
∵，
∴，
∴的整数部分为3，
∴．
（2）解：∵，，，
∴．
∵2的平方根为，
∴的平方根为．
8．【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是．
【解决问题】
(1)的整数部分是__________，小数部分是__________；
(2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值．
(3)已知，其中是整数，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用夹逼法估算无理数的大小即可；
（2）夹逼法求出，再进行计算即可；
（3）夹逼法求出，再进行计算即可.
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是6，小数部分是；
（2）解：∵，
∴，
∴的整数部分，小数部分，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
即，
∵，其中是整数，，
∴，，
∴.
9．按要求完成作答：
(1)已知，a是的平方根，，c是的立方根，求的值；
(2)已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．
【答案】(1)7或3
(2)
【分析】（1）可得，，，代入求值即可；
（2）由算术平方根与平方根的含义可得，，由无理数的整数部分的含义可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：，是的平方根，
．
，
，
c是的立方根，
．
当时，．
当时，．
综上，的值为7或3．
（2）解：的算术平方根是3，
，解得，
的平方根是，
．
将代入，得到，解得．
，
，即．
的整数部分．
将，，代入，
可得，
所以的平方根为．
10．阅读下面的文字，解答问题
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗?
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如： ，即 ，
的整数部分为，小数部分为
请解答：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)如果 的小数部分为， 的整数部分为，求的值．
(3)已知： 其中是整数，且，求的相反数．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意方法，则，求整数部分和小数部分的方法，即可；
（2）根据题意方法，分别求和整数部分和小数部分的方法，进行计算，即可；
（3）根据题意方法，求出的取值范围，得到，的值，再进行计算，即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是；小数部分是．
（2）解：∵，
∴，
∴的小数部分为：；
∵，
∴，
∴的整数部分为：；
∴
．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴
整理得：，
∵ 其中是整数，且，
∴，
∴；
∴，
∴的相反数为：．
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2026年七年级数学暑假作业（湘教版）
专题4实数能力提升专练
题型一：实数与数轴
1．如图，正方形的面积为6，数轴上点A的坐标为0．以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴分别交于点M，N，的长为（ ）
A．6 B．12 C． D．
2．如图，数轴上有、、、四个点，则以下结论正确的是（ ）
A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是
C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是
3．如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
4．将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______．
5．阅读材料：在引入无理数时，如图1，是把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形，设大正方形的边长为，则，从而求出，就得到了大正方形的边长为，借助此过程就可以将在数轴上表示出来．阅读后解答下列问题：
(1)上述材料中蕴含的数学思想是______思想；（填序号）
①数形结合 ②分类讨论 ③转化与化归
(2)类比阅读材料完成下列问题：
①某同学受到启发，把长为2，宽为1的两个长方形沿着对角线（设为）剪开，将所得的4个直角三角形拼成如图2所示的一个大正方形，求内部正方形的边长（即的值）；
②在数轴上画出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹）
6．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．
(1)计算：______；______；
(2)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值．
(3)计算．
7．如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题：
(1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______；
(2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为_______；
(3)请你参照上面的方法：把图中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为宽为的长方形的对角线长为________．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙）
(4)参照图的画法，在（）的基础上，画出数轴上表示数以及的点、．（图中保留必要的作图痕迹）．
题型二：新定义下的实数运算
1．对于任意实数a，b，c，d，规定．若x，y满足，，则的值为（ ）
A． B．3 C．6 D．13
2．一个各数位均不为0的三位自然数，若，则称为“方加数”．例如：三位数723，，∴723是“方加数”．若一个方加数是奇数，且是整数，则满足条件的的值不可能是（ ）
A．521 B．723 C．817 D．925
3．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相同且均不为，满足，那么称这个数为“好运数”．例如：四位数，，是“好运数”；四位数，，不是“好运数”．若一个“好运数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被整除，则这个“好运数”的最小值（ ）
A． B． C． D．
4．对于一个四位自然数（，，，），若满足，则称N为“星环数”．例如：1836，因为，，所以1836是“星环数”；例如：2318，因为，，所以2318不是“星环数”．最小的“星环数”是______．记，．若一个“星环数”N，满足是完全平方数，则满足条件的所有N中，最大值是______．
5．如果一个三位数各个数位上的数字均不为0且互不相等，满足，那么称这个三位数为“半和数”．如：三位数321，∵，∴321是“半和数”．把一个“半和数”n的各个数位上的数字分别去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为．若n是最大的“半和数”，则的值为______；若三位数m是“半和数”，且是一个整数，请求出所有符合条件的m的最大值与最小值的差为______．
6．现定义一种新运算“※”：，例如，．若，则________．
7．对于实数，，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则的值为_______．
8．我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用表示距离（为正整数）最近的正整数．例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，，…利用这些发现得到以下结论：
①若时，的值有6个；
②当时，的值为_____．
9．规定一种新的定义：，若，，则______．
10．对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是含未知数的式子的值．如：已知实数，满足求和的值．
方法一：解方程组，分别求出，的值，再代入式子求值．
方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求式子的值．解法如下：，得；，得．
比较：方法一运算量较大，是常规思路；方法二运算较为简单，这种解题思路就是通常所说的“整体思想”．
(1)已知二元一次方程组则____________；____________
(2)某班级因组织绘画活动购买奖品，买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元；买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元．则购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需多少元？
(3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．已知，，那么的值是多少？
11．对于整数和，如果是的倍数，则称与是一组“倍准平方和数对”．例如：因为，且是的倍数，所以和是一组“倍准平方和数对”．
(1)根据定义判断：整数和① 一组“倍准平方和数对”，整数和② 一组“倍准平方和数对”；（在①，②处填“是”或“不是”）
(2)小明猜想：如果和是一组“倍准平方和数对”，那么和也是一组“倍准平方和数对”；请将下面小明的说理过程补充完整：
理由如下：
因为和是一组“倍准平方和数对”，
所以存在整数，使得．
因为
③ ．
因为是整数，所以是④ 的倍数．
所以和也是一组“倍准平方和数对”．
(3)若与是一组“倍准平方和数对”，请你说明：和也是一组“倍准平方和数对”
题型三：与实数运算相关的规律问题
1．某计算器中有，，三个按键，以下是这三个按键的功能．
①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；
②：将屏幕显示的数变成它的倒数；
③：将屏幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．
若开始输入的数据为4，那么第356步之后，显示的结果是（ ）
A． B．16 C．4 D．
2．观察下列有规律的等式：
；；；；；
……
则第个等式是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知一列数：，，，，，，，根据其规律，第35个数是___．
4．一组二次根式按如下规律排列：
第1行： ．
第2行： ．
第3行： ．
第4行： ．
第5行： ．
……
请根据上述规律，解答下面的问题：
我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_____．
5．排箫的发声频率f和音管长度L之间的关系为，其中c为常数．已知自然大调各音阶的频率与半音数n之间的关系如下表所示，其中，则音阶对应的音管长度是音阶对应的音管长度的______倍．
音阶
la
xi
do′
半音数n
0
2
4
5
7
9
11
12
频率
f0·q9
f0·q11
f0·q12
6．观察下列等式：
第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题：
(1)第4个等式为
(2)猜想：第n个等式为 （n为正整数）
(3)根据你的猜想，计算：
7．观察下列等式：
，
，
，
……
根据以上规律，请完成下面问题：
(1)求的值；
(2)比较与2026的大小，并说明理由．
8．同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题：
(1)若，其中，为有理数，则________，________；
(2)如果，其中，为有理数，求的立方根．
9．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．复数的运算与整式的运算类似．
例如，计算：；
．
根据以上信息，解决下列问题．
(1)填空：______，______
(2)计算：．
(3)计算：
题型四：无理数整数部分的有关计算
1．如图，网格中每个小正方形的边长为1，把图中阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为．已知的整数部分和小数部分分别是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图是我国古代所用的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．则的整数部分为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知的立方根是3，是的整数部分，则的平方根是______．
4．若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为______．
5．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为2，是的整数部分．
(1)________；
(2)求的算术平方根．
6．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分．
(1)求，，的值；
(2)求的算术平方根．
7．已知一个数的两个平方根分别是和，的立方根为，是的整数部分．
(1)求，，的值；
(2)求的平方根．
8．【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是．
【解决问题】
(1)的整数部分是__________，小数部分是__________；
(2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值．
(3)已知，其中是整数，且，求的值．
9．按要求完成作答：
(1)已知，a是的平方根，，c是的立方根，求的值；
(2)已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．
10．阅读下面的文字，解答问题
大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗?
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如： ，即 ，
的整数部分为，小数部分为
请解答：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)如果 的小数部分为， 的整数部分为，求的值．
(3)已知： 其中是整数，且，求的相反数．
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