第20章 二次根式单元复习（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学二次根式单元复习讲义通过知识框架图系统梳理知识体系，涵盖定义、性质、运算等核心内容，用对比表格呈现二次根式性质的异同，清晰标注化简、混合运算等重难点，构建起逻辑紧密的知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导创新，如“二次根式的规律探究”题型引导学生观察算式特征总结通项规律，结合分母有理化培养运算能力与推理意识。基础题巩固概念，变式题提升综合应用，助力不同层次学生发展，为教师精准教学提供有效支持。

第20章 二次根式 教学目标 1.巩固二次根式的概念与性质，能熟练、准确地化简二次根式。 2.掌握二次根式的乘除、加减运算法则，能规范完成二次根式的混合运算。 3.能运用整体代入、分母有理化等方法解决二次根式的化简求值问题。 4.能运用二次根式的相关知识解决实际应用问题，提升数学建模能力。 教学重难点 1.重点 （1）二次根式的性质与最简二次根式的化简 （2）二次根式的四则混合运算 （3）二次根式的化简求值 2.难点 （1）化简中的符号判断 （2）混合运算中乘法公式的灵活运用与整体思想 （3）二次根式的规律探究与综合应用 知识点01：二次根式的定义与有意义的条件 1.定义：一般地，形如（）的式子叫作二次根式，“”称为二次根号，叫作被开方数。 2.有意义的条件：被开方数为非负数，即；若式子中含有分母，需同时保证分母不为0。 3.双重非负性：二次根式中，被开方数，二次根式的结果。 知识点02：二次根式的基本性质 1.性质1：非负数的算术平方根的平方等于它本身，即（）。 2.性质2：一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值，即。 当时，；当时，。 3.两个核心性质的对比： 性质 表达式 的取值范围 主要作用 性质1 去掉根号；将非负数写成平方形式 性质2 为任意实数 去掉根号；化简含平方的二次根式 知识点03：最简二次根式 1.定义：被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2的二次根式。 2.化简步骤： （1）带分数化为假分数，小数化为分数，多项式先因式分解； （2）将被开方数中能开尽力地因数或因式开方到根号外； （3）化去被开方数中的分母，完成分母有理化； （4）约分化简，保证结果为最简形式。 知识点04：二次根式的乘法法则 1.基本法则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即（，）。 2.法则拓展： （1）多个二次根式相乘：（，，）； （2）带系数的二次根式相乘：系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，即（，）。 知识点05：二次根式的除法法则 1.基本法则：两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即（，）。 2.法则拓展： （1）多个二次根式相除：（，，）； （2）带系数的二次根式相除：系数相除作为商的系数，被开方数相除作为商的被开方数，即（，，）。 知识点06：分母有理化 1.定义：把分母中的根号化去的过程，叫作分母有理化。 2.常见类型与方法： （1）分母为单根式型：分子、分母同乘； （2）分母为和差型：分子、分母同乘，利用平方差公式去根号。 3.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，则二者互为有理化因式。 知识点07：同类二次根式与二次根式的加减 1.同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式。 2.二次根式加减法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。 3.运算步骤：一化（化为最简）、二找（找出同类）、三合（合并同类）。 知识点08：二次根式的混合运算 1.运算顺序：与整式混合运算顺序一致，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号时先算括号内的部分。 2.适用规则： （1）运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律均适用； （2）乘法公式：平方差公式、完全平方公式均可直接使用。 3.结果要求：运算的最终结果必须化为最简二次根式或整式。 题型01二次根式有意义的条件求解 根据“被开方数非负、分母不为0”列不等式（组），求解自变量的取值范围。 【例题1】.代数式有意义，则x取值范围为______． 【变式题1-1】.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为____________． 【变式题1-2】.函数的自变量的取值范围是________； 【变式题1-3】.下列函数中，自变量的取值范围是的是（     ）． A． B． C． D． 题型02二次根式性质的化简（含） 先判断根号内底数的正负，再根据绝对值的代数意义去绝对值符号化简。 【例题2】.化简：_______． 【变式题2-1】.比较大小：_____6（填“>”“<”或“=”）． 【变式题2-2】.若二次根式，则的取值范围表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.若实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 题型03最简二次根式的识别与判断 对照“被开方数不含分母、不含能开尽力地因数或因式”两个条件逐一验证。 【例题3】.下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.将化为最简二次根式为___________． 【变式题3-2】.已知最简二次根式与能合并，求m的值． 【变式题3-3】.请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 题型04二次根式的混合运算 遵循运算顺序，优先观察式子结构，匹配乘法公式简化计算，结果化为最简。 【例题4】.计算：． 【变式题4-1】.计算： 【变式题4-2】.计算 (1) (2) (3) 【变式题4-3】.计算： (1)； (2)． 题型05根号内外因式的互移 因式外移用公式；因式内移先判断符号，非负因式平方后移入根号，负号保留在根号外。 【例题5】.把根号外的因式移入根号内，其结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.把的根号外的适当变形后移入根号内，得（    ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.将根号外的因式移到根号内：_____________ 【变式题5-3】.将根号外的因式移进根号内，结果等于（    ）. A． B． C． D． 题型06分母有理化运算 单根式分母同乘对应根式；和差型分母乘其有理化因式，利用平方差公式去根号。 【例题6】.化简的结果为________． 【变式题6-1】.． (1)利用上面的方法计算； (2)计算． 【变式题6-2】.计算：______． 【变式题6-3】.若（其中，为有理数），______． 题型07二次根式的大小比较 根据式子特点，灵活选择平方法、作商法、有理化法等进行比较。 【例题7】.比较大小： ，其中所填的符号是（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式题7-1】.若，则__________；比较大小：__________． 【变式题7-2】.阅读：像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ； ② (2)计算： ； (3)已知，，试比较的大小，并说明理由 【变式题7-3】.【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫作分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 题型08整体代入化简求值 先求出、等整体的值，将所求代数式变形后整体代入计算。 【例题8】.若，，求的值． 【变式题8-1】.已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【变式题8-2】.期末复习时李老师给出了一道题：“已知，，求的值．”大家经过讨论后给出了2种不同的解题思路： 思路①：直接代入计算即可．思路②：可以先求，，再变形代入求值． 请你根据以上的思路，选择其中一种进行计算． 【变式题8-3】.某同学在解决问题：已知 ，求 的值时，他是这样分析的： 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)化简： (2)若，求的值； 题型09二次根式的整数与小数部分 用放缩法确定无理数的整数范围，小数部分=原数-整数部分，再代入式子计算。 【例题9】.阅读并解答下列问题，例如：，即，的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是_______，小数部分是_______． (2)已知：小数部分是，小数部分是，请求出m+n的值． 【变式题9-1】.阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【变式题9-2】.[阅读]大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 解答下列问题： (1)的小数部分是______，的整数部分是______； (2)的小数部分是______； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【变式题9-3】.阅读材料： 材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分． 由此可得：如果，其中是整数，且，那么，， 其中就是的整数部分，就是的小数部分． 材料二：已知是有理数，且满足等式，则可求出的值． 求解过程如下： ∵， ∴ ∵m，n是有理数， ∴，， 解得：，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)如果，其中是整数，且，那么______，______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； (3)已知是有理数，且满足等式，求的值． 题型10二次根式的规律探究 观察式子的数字与结构特征，总结通项规律，常结合分母有理化、裂项相消求和。 【例题10】.观察下面算式： 第一个算式： 第二个算式： 第三个算式： 第n个算式：……………… (1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________ (2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律； (3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律． 【变式题10-1】.【观察思考】观察对比下列等式，探索并归纳等式规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律发现】 (1)计算（直接填写最终结果）：___________，___________； (2)写出第个等式：___________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)利用上述规律计算：． 【变式题10-2】.小山根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小山的探究过程．请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：_____．（填写一个符合上述运算特征的例子）： (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：_____． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律化简：． 【变式题10-3】.【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①_____； ②_____； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：_____； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． 1．下列式子是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．若，则的值为______． 5．要使式子有意义，则x的取值范围是________． 6．当时，的值是_________． 7．计算： (1)； (2)． 8．已知，，求的值． 9．已知一次函数（）的图象经过点． (1)求的值； (2)若，求代数式的值． 1．下列算式中，你认为错误的是（     ） A． B． C． D． 2．，像这样的根式叫作复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 3．若是整数，则的值可以是_______（写出一个即可） 4．如图，从正方形中裁去面积为和的两个小正方形，，求阴影部分的面积和． 14．若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与互为“相关代数式”． (1)若与是互为“相关代数式”，则______ ； (2)若是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值； (3)若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值． 5．对于任意正实数，，因为，所以，所以 我们把这个不等式叫作“基本不等式”． (1)当时，比较大小： ； (2)当时，有最小值 ，此时 ； (3)请用你探究的结论，求（）的最小值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式 教学目标 1.巩固二次根式的概念与性质，能熟练、准确地化简二次根式。 2.掌握二次根式的乘除、加减运算法则，能规范完成二次根式的混合运算。 3.能运用整体代入、分母有理化等方法解决二次根式的化简求值问题。 4.能运用二次根式的相关知识解决实际应用问题，提升数学建模能力。 教学重难点 1.重点 （1）二次根式的性质与最简二次根式的化简 （2）二次根式的四则混合运算 （3）二次根式的化简求值 2.难点 （1）化简中的符号判断 （2）混合运算中乘法公式的灵活运用与整体思想 （3）二次根式的规律探究与综合应用 知识点01：二次根式的定义与有意义的条件 1.定义：一般地，形如（）的式子叫作二次根式，“”称为二次根号，叫作被开方数。 2.有意义的条件：被开方数为非负数，即；若式子中含有分母，需同时保证分母不为0。 3.双重非负性：二次根式中，被开方数，二次根式的结果。 知识点02：二次根式的基本性质 1.性质1：非负数的算术平方根的平方等于它本身，即（）。 2.性质2：一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值，即。 当时，；当时，。 3.两个核心性质的对比： 性质 表达式 的取值范围 主要作用 性质1 去掉根号；将非负数写成平方形式 性质2 为任意实数 去掉根号；化简含平方的二次根式 知识点03：最简二次根式 1.定义：被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2的二次根式。 2.化简步骤： （1）带分数化为假分数，小数化为分数，多项式先因式分解； （2）将被开方数中能开尽力地因数或因式开方到根号外； （3）化去被开方数中的分母，完成分母有理化； （4）约分化简，保证结果为最简形式。 知识点04：二次根式的乘法法则 1.基本法则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即（，）。 2.法则拓展： （1）多个二次根式相乘：（，，）； （2）带系数的二次根式相乘：系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，即（，）。 知识点05：二次根式的除法法则 1.基本法则：两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即（，）。 2.法则拓展： （1）多个二次根式相除：（，，）； （2）带系数的二次根式相除：系数相除作为商的系数，被开方数相除作为商的被开方数，即（，，）。 知识点06：分母有理化 1.定义：把分母中的根号化去的过程，叫作分母有理化。 2.常见类型与方法： （1）分母为单根式型：分子、分母同乘； （2）分母为和差型：分子、分母同乘，利用平方差公式去根号。 3.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，则二者互为有理化因式。 知识点07：同类二次根式与二次根式的加减 1.同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式。 2.二次根式加减法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。 3.运算步骤：一化（化为最简）、二找（找出同类）、三合（合并同类）。 知识点08：二次根式的混合运算 1.运算顺序：与整式混合运算顺序一致，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号时先算括号内的部分。 2.适用规则： （1）运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律均适用； （2）乘法公式：平方差公式、完全平方公式均可直接使用。 3.结果要求：运算的最终结果必须化为最简二次根式或整式。 题型01二次根式有意义的条件求解 根据“被开方数非负、分母不为0”列不等式（组），求解自变量的取值范围。 【例题1】.代数式有意义，则x取值范围为______． 【答案】 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得． 【变式题1-1】.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解：若在实数范围内有意义，则二次根式的被开方数为非负数，即 ， 解得． 【变式题1-2】.函数的自变量的取值范围是________； 【答案】且 【分析】函数同时含有分式和二次根式，需满足分式分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，列出不等式组即可求解自变量的取值范围． 【详解】解：∵函数， ∴， ∴自变量的取值范围是且． 【变式题1-3】.下列函数中，自变量的取值范围是的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据自变量所在位置的限制规则求解：分母不为，二次根式的被开方数非负，整式的自变量可取全体实数，依次计算各选项的自变量取值范围即可得到结果． 【详解】解：选项：， ∵分母不能为， ∴，解得，故选项不符合题意； 选项：， ∵分母不为且二次根式的被开方数非负， ∴，解得，故选项不符合题意； 选项：是整式， ∵整式的自变量可取全体实数， ∴的取值范围是全体实数，故选项不符合题意； 选项：， ∵二次根式的被开方数非负， ∴，解得，故选项符合题意． 题型02二次根式性质的化简（含） 先判断根号内底数的正负，再根据绝对值的代数意义去绝对值符号化简。 【例题2】.化简：_______． 【答案】3 【详解】解：． 【变式题2-1】.比较大小：_____6（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质计算出左侧式子的值，再将计算结果与右侧的数比较大小． 【详解】解：． 【变式题2-2】.若二次根式，则的取值范围表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过二次根式的性质化简可得，又，可得，然后求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由， ∵， ∴， ∴． 【变式题2-3】.若实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置，确定的正负，判断，与的正负，再化简给出的代数式，合并后得结果． 【详解】解：由实数a，b在数轴上对应的点的位置可知，，， ，，， ． 题型03最简二次根式的识别与判断 对照“被开方数不含分母、不含能开尽力地因数或因式”两个条件逐一验证。 【例题3】.下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断选项即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项 ，被开方数含有分母，不符合要求，不是最简二次根式，不符合题意； B选项 满足最简二次根式的两个条件，符合题意； C选项 ，被开方数是能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；. D选项 ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． 【变式题3-1】.将化为最简二次根式为___________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式题3-2】.已知最简二次根式与能合并，求m的值． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义，可知两个最简二次根式能合并，则它们的被开方数相同，据此列方程求解即可 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴，且， 解得：， 此时且，且为最简二次根式， ∴符合题意． 【变式题3-3】.请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的概念，最简二次根式要求被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，根据概念结合a是正整数解答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，且a为正整数， ∴不能含有能开得尽方的因数， 当时，， 是最简二次根式，符合要求，故答案为2（答案不唯一）． 题型04二次根式的混合运算 遵循运算顺序，优先观察式子结构，匹配乘法公式简化计算，结果化为最简。 【例题4】.计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 【变式题4-1】.计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．按照二次根式混合运算的顺序，先算乘除，后算加减，先化简各二次根式再计算即可． 【详解】解： 【变式题4-2】.计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式题4-3】.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型05根号内外因式的互移 因式外移用公式；因式内移先判断符号，非负因式平方后移入根号，负号保留在根号外。 【例题5】.把根号外的因式移入根号内，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据可得，所以移入括号内为进行计算即可． 【详解】解：根据根式的性质可得可得， 因此 故选：B． 【变式题5-1】.把的根号外的适当变形后移入根号内，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件得到， 再根据二次函数的性质化简即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， ∴； 故选：D． 【变式题5-2】.将根号外的因式移到根号内：_____________ 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，得，结合乘方的性质，推导得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘方、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 【变式题5-3】.将根号外的因式移进根号内，结果等于（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将根号前的4移入，负号不能移入. 【详解】. 故选C. 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键. 题型06分母有理化运算 单根式分母同乘对应根式；和差型分母乘其有理化因式，利用平方差公式去根号。 【例题6】.化简的结果为________． 【答案】/ 【分析】先根据二次根式性质变形，再对二次根式进行分母有理化即可解答． 【详解】解：． 【变式题6-1】.． (1)利用上面的方法计算； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）参照例题分母有理化方法，分子分母同乘，利用平方差公式化简分母后求值． （2）先对每一项分别分母有理化，再通过裂项相消合并同类二次根式，化简算式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题6-2】.计算：______． 【答案】 【分析】先通分化成同分母再利用平方差公式、完全平方公式相加化简即可． 【详解】解：， ， ， ． 【变式题6-3】.若（其中，为有理数），______． 【答案】 【分析】先对等式左边的分式进行分母有理化，整理等式后分离有理数部分与无理数部分，根据对应系数相等得到关系，计算得出的值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 题型07二次根式的大小比较 根据式子特点，灵活选择平方法、作商法、有理化法等进行比较。 【例题7】.比较大小： ，其中所填的符号是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】比较两个正无理数的大小，可采用平方法，正数比较大小时，平方越大的数本身越大，进一步可得答案． 【详解】解：∵ ， 而 ∴ ∴ ． 【变式题7-1】.若，则__________；比较大小：__________． 【答案】 3 ＜ 【详解】解：，， ． ，， ，即． 【变式题7-2】.阅读：像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ； ② (2)计算： ； (3)已知，，试比较的大小，并说明理由 【答案】(1)①；② (2)2025 (3)，见解析 【分析】（1）①将分子分母同乘以化简即可；②将分子分母同乘以化简即可； （2）利用二次根式分母有理化的计算法则将括号内化简，再算乘法； （3）通过比较，的倒数，然后进行，的大小比较． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解：，理由如下： ， 同理：， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式题7-3】.【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫作分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用提供的方法进行分母有理化即可求解； （2）先对进行分母有理化，再利用（1）的结论进行比较即可判断； （3）先对，进行分母有理化，再计算，的值，再对所要求的式子分解因式，代入即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：， 由（1）可知， ∵，， ∴，即． （3）解：， ， ∴，， ∴． 题型08整体代入化简求值 先求出、等整体的值，将所求代数式变形后整体代入计算。 【例题8】.若，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴ ． 【变式题8-1】.已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算与乘法公式，先计算出，和的值，再利用完全平方公式和平方差公式对所求式子变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴． （2）解：，由完全平方公式可得：． （3）解：，由平方差公式可得：． 【变式题8-2】.期末复习时李老师给出了一道题：“已知，，求的值．”大家经过讨论后给出了2种不同的解题思路： 思路①：直接代入计算即可．思路②：可以先求，，再变形代入求值． 请你根据以上的思路，选择其中一种进行计算． 【答案】解：思路①：∵， ∴ ； 思路②：∵， ∴， ∴ ． 【分析】选择思路①，直接代入计算，即可求解；选择思路②求解．解题思路为先求出与的值，再利用完全平方公式将变形后代入计算，过程简便，用到整式乘法的平方差公式和完全平方公式变形． 【变式题8-3】.某同学在解决问题：已知 ，求 的值时，他是这样分析的： 请你根据该同学的分析过程，解决如下问题： (1)化简： (2)若，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分母有理化化简即可； （2）先利用分母有理化把化简，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ； ，， ， ． 题型09二次根式的整数与小数部分 用放缩法确定无理数的整数范围，小数部分=原数-整数部分，再代入式子计算。 【例题9】.阅读并解答下列问题，例如：，即，的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是_______，小数部分是_______． (2)已知：小数部分是，小数部分是，请求出m+n的值． 【答案】(1)4，-4； (2)1 【分析】（1）因为（即），所以可得的整数部分；用减去得到的整数部分，可得的小数部分； （2）由与的小数部分相同，可得的值，根据不等式的性质求出的整数部分，用减去的整数部分，可得的值，将、的值代入即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是； （2）∵小数部分是，由（1）得的小数部分是， ∴与的小数部分相同， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分是4， ∵的小数部分是， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式性质的应用、不等式的性质、整数、小数等知识点，解答本题的关键是理解题干并熟练运用以上知识点． 【变式题9-1】.阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值、无理数的大小比较、相反数的概念，正确进行无理数的估算是解题的关键． （1）根据材料提示，即，由此即可求解； （2）根据材料提示可得，，代入计算即可求解； （3）根据材料提示可得的小数部分，由此可得的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：； （2）解：∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵的整数部分为， ∴， ∵是整数，，且， ∴， ∴， ∴的相反数为． 【变式题9-2】.[阅读]大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 解答下列问题： (1)的小数部分是______，的整数部分是______； (2)的小数部分是______； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查阅读理解，涉及无理数的估算、无理数整数部分、无理数小数部分的表示方法、算术平方根、立方根及代数式求值等知识，读懂题意，理解无理数整数部分与小数部分的表示方法是解决问题的关键． （1）阅读材料，理解题中解法，根据无理数整数部分与小数部分的表示方法，同理即可得到答案； （2）阅读材料，理解题中解法，根据无理数整数部分与小数部分的表示方法，同理即可得到答案； （3）阅读材料，理解题中解法，根据无理数整数部分与小数部分的表示方法，求出的值，代入代数式求解，分母有理化即可得到答案． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为，小数部分为； ，即， 的整数部分为； 故答案为：，； （2）解：，即， 的整数部分为，小数部分为， 故答案为：； （3）解：，其中是整数，且， 是的整数部分；是的小数部分； ，即， ，则的整数部分，的小数部分是， ． 【变式题9-3】.阅读材料： 材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分． 由此可得：如果，其中是整数，且，那么，， 其中就是的整数部分，就是的小数部分． 材料二：已知是有理数，且满足等式，则可求出的值． 求解过程如下： ∵， ∴ ∵m，n是有理数， ∴，， 解得：，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)如果，其中是整数，且，那么______，______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； (3)已知是有理数，且满足等式，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据无理数的估算方法即可得到答案； （2）根据无理数的估算方法求出，代入计算即可； （3）根据题意得到，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ，是整数，且， ∴，． （2）解：， ， ， 的小数部分为， ， 又， ， 的整数部分为， ， 将，代入得：， 的平方根为． （3）解：是有理数，且满足， 整理等式得：， 可得方程组， 解得， 将代入得：， 解得或， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为或． 题型10二次根式的规律探究 观察式子的数字与结构特征，总结通项规律，常结合分母有理化、裂项相消求和。 【例题10】.观察下面算式： 第一个算式： 第二个算式： 第三个算式： 第n个算式：……………… (1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________ (2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律； (3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查二次根式的运算以及数字的变化规律，通过观察找到各式子分母分子之间的规律是解题的关键． （1）通过观察所给的式子，直接分析即可求解； （2）通过观察算式的左边和右边的变化量和不变化量可以得出规律； （3）通过观察算式的规律可以直接写出用含n式子表示上述规律，并利用二次根式的计算进行计算证明． 【详解】（1）解：由题意可得第五个算式：； 故答案为：； （2）解：通过观察可以得出规律：等号左边的被开方数都是这个算式的序号大的数减去的差再乘以加上比这个算式的序号大的数的倒数，等号右边是这个算式的序号大的数分之这个算式的序号大的数乘以比这个算式的序号大的数的算术平方根； （3）解：第个等式：， 证明：是正整数， ． 【变式题10-1】.【观察思考】观察对比下列等式，探索并归纳等式规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律发现】 (1)计算（直接填写最终结果）：___________，___________； (2)写出第个等式：___________（用含的式子表示）； 【规律应用】 (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1)7，2028； (2)（或）； (3)54 【分析】（1）根据前几个等式两边的变化规律可得答案； （2）根据前几个等式两边的变化规律可得答案； （3）根据（2）中规律计算各数，再合并同类项可得答案． 【详解】（1）解：； ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 以此类推，第个等式：； （3）解： ． 【变式题10-2】.小山根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小山的探究过程．请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1： 特例2： 特例3： 特例4：_____．（填写一个符合上述运算特征的例子）： (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：_____． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律化简：． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析； (4) 【分析】（1）根据所给的特例的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式进行总结即可； （3）对（2）的等式的左边进行整理，即可求证； （4）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：特例1： 特例2： 特例3： 用含的式子表示为：； （3）解：等式左边右边， 故猜想成立； （4）解： ． 故答案为：． 【变式题10-3】.【观察思考】 观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 【规律发现】 （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①_____； ②_____； （2）用含（为正整数）的代数式表示出第个等式：_____； 【规律应用】 （3）根据上述规律计算： ． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得： ①， ②， 故答案为：， （2）第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 出第个等式：， 故答案为：； （3） ． 1．下列式子是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】形如的式子叫作二次根式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．是整式，不是二次根式； B．是分式，不是二次根式； C．是三次根式，根指数为3，不是二次根式； D．根指数为2，被开方数，是二次根式． 2．下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的化简，乘除、加减运算法则逐一判断选项． 【详解】解：逐个判断选项： ∵，∴，A错误； 根据二次根式乘法法则 ，∴，B正确； 合并同类二次根式得，C错误； 化简计算得 ，D错误． 3．要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义 ， ∴被开方数需满足非负可得 ． 移项解得． 4．若，则的值为______． 【答案】4052 【分析】利用完全平方公式对已知条件变形，化简得到的结果，再进行开方计算即可． 【详解】解：， 设，则，， ∴， ， ． 5．要使式子有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【详解】式子有意义， 二次根式的被开方数需为非负数，且分式的分母不为， 可得，解得． 则x的取值范围是． 6．当时，的值是_________． 【答案】 【详解】当时，． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 8．已知，，求的值． 【答案】 【分析】先求出的值，再把所求式子利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 9．已知一次函数（）的图象经过点． (1)求的值； (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入即可解答； （2）根据题意可得，可得，再代入原式进行变形，计算即可解答． 【详解】（1）解：把代入， 可得， 解得； （2）解：， ， 两边平方可得， 即， 原式 ． 1．下列算式中，你认为错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式分母有理化及同级运算的运算顺序，逐个计算各选项即可判断出错误的算式． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 2．，像这样的根式叫作复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如   ，用上述方法可以将复合二次根式化简为________． 【答案】 【分析】观察题目给出的复合二次根式，构造完全平方的方法化简即可． 【详解】解：． 3．若是整数，则的值可以是_______（写出一个即可） 【答案】20（答案不唯一） 【分析】根据二次根式的定义，若为整数，则被开方数必须是非负的完全平方数，据此即可求出的一个符合条件的值． 【详解】解：是整数， 是非负的完全平方数， 设，其中为非负整数， 整理得， 取，得． 4．如图，从正方形中裁去面积为和的两个小正方形，，求阴影部分的面积和． 【答案】 【详解】解：依题意：正方形，的边长分别为，． ∴正方形的边长为． ∴阴影部分的面积和为 ． 14．若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与互为“相关代数式”． (1)若与是互为“相关代数式”，则______ ； (2)若是有理数，，且与是互为“相关代数式”，求和的值； (3)若含有二次根式的代数式与互为“相关代数式”，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据“相关代数式”的定义列式求解即可； （2）先根据“相关代数式”的定义列式，再结合，都是有理数，求解即可； （3）根据“相关代数式”的定义列式，再结合平方差公式，以及二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“相关代数式”， ， 则； （2）解：与是互为“相关代数式”， ， ，， ， 则， 即， ，都是有理数， ， 解得， ； （3）解：代数式与互为“相关代数式” ， 则， ，即， 则有，解得， 时二次根式有意义， ． 5．对于任意正实数，，因为，所以，所以 我们把这个不等式叫作“基本不等式”． (1)当时，比较大小： ； (2)当时，有最小值 ，此时 ； (3)请用你探究的结论，求（）的最小值． 【答案】(1) (2) 最小值为，此时 (3) 最小值为 【分析】（1）将代入“基本不等式”判断即可； （2）根据“基本不等式”和（1）的结论作答即可； （3）先将变形为，再根据“基本不等式”作答即可． 【详解】（1）解：，且为正实数， ，， ； （2）解：， ，满足基本不等式的条件， 由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，即， ， 解得， ∴的最小值为，此时； （3）解：， ， ∴， 由基本不等式得， ， 当且仅当时等号成立，即， ∵， ∴，即，符合条件， ∴的最小值为． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $