专题20.3 二次根式的加减（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

本讲义聚焦二次根式的加减运算，系统梳理同类二次根式的概念及判断方法，明确合并法则，细化加减运算“化、找、合”步骤，结合混合运算顺序与乘法公式应用，构建从基础概念到实际应用的学习支架。 资料通过知识点与题型对应设计，如同类二次根式与同类项对比培养抽象能力，混合运算中乘法公式应用提升运算能力，实际应用题（如广场面积计算）强化应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式题与练习题查漏补缺。

专题20.3 二次根式的加减 教学目标 教学目标： 1.理解同类二次根式的概念，能准确判断一组二次根式是否为同类二次根式。 2.掌握二次根式的加减运算法则，能规范完成二次根式的加减运算。 3.掌握二次根式混合运算的顺序，能灵活运用运算律和乘法公式进行简便计算。 4.能运用二次根式的运算解决简单的实际应用问题。 教学重难点 1.重点 （1）同类二次根式的识别与判断 （2）二次根式的加减运算法则与计算 （3）二次根式混合运算与乘法公式的应用 2.难点 （1）二次根式混合运算中的简便运算技巧 （2）化简求值中整体思想的运用 （3）二次根式运算的实际场景应用 知识点01：同类二次根式 1.定义：经过化简后，被开方数 的二次根式，叫作 。 2.判断步骤： （1）将各个二次根式化为 ； （2）观察化简后的 ，若被开方数相同，则为同类二次根式。 3.同类二次根式与同类项的对比： 类别 同类二次根式 同类项 研究对象 二次根式之间的关系 单项式之间的关系 判定标准 化简后被开方数相同 所含字母相同，相同字母的指数也相同 判断方法 先化简，再看被开方数 直接看字母与对应指数 【即学即练】 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 知识点02：合并同类二次根式 1.法则：合并同类二次根式时，将系数相加减作为结果的 ，被开方数和根指数 。 2.注意：不是同类二次根式的不能合并，运算结果中要保留不能合并的二次根式。 【即学即练】 1．下列说法正确的是（    ） A．与可以合并 B．与可以合并 C．与可以合并 D．与可以合并 2．下列二次根式：． （1）能与合并的是___________； （2）能与合并的是___________． 知识点03：二次根式的加减运算 1.运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成 ，再合并 。 2.运算步骤： （1）化：将所有二次根式化为 ； （2）找：找出其中的同类二次根式； （3）合：合并同类二次根式。 3.运算律：加法交换律、加法结合律在二次根式加减中仍然适用，去括号、添括号法则与整式一致。 【即学即练】 1．下列计算错误的是（     ） A． B． C． D． 2．计算：． 知识点04：二次根式的混合运算 1.运算顺序：与整式混合运算 ，先算 ，再算 ，最后算 ；有括号时先算 。 2.适用的运算规则： （1）运算律：乘法交换律、结合律、分配律均适用； （2）乘法公式：平方差公式 、完全平方公式 均可直接使用。 3.结果要求：运算的最终结果必须化为 或 。 【即学即练】 1．计算： 2．计算： (1)； (2)． 题型01同类二次根式的识别 先将每个二次根式化为最简形式，再对比被开方数是否一致。 【例题1】.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.下列二次根式中，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.下列二次根式化简后能与合并的是（     ） A． B． C． D． 题型02根据同类二次根式求参数的值 根据“化简后被开方数相同”列方程求解，注意验证二次根式有意义的条件。 【例题2】.若最简二次根式与可以合并，则的值为________． 【变式题2-1】.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.若与是同类二次根式，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.若最简二次根式与能合并，则的值为__________． 题型03二次根式的基础加减运算 按“一化二找三合”的步骤，先化简再合并同类二次根式。 【例题3】.下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.计算： 【变式题3-2】.计算： 【变式题3-3】.下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型04二次根式混合运算 先按乘法分配律计算乘法，再化简并合并同类二次根式。 【例题4】.计算： (1) (2) 【变式题4-1】.计算： (1)； (2)． 【变式题4-2】.计算： (1) ； (2)． 【变式题4-3】.计算： (1)； (2)． 题型05利用乘法公式计算二次根式 观察算式结构，匹配平方差公式或完全平方公式简化计算。 【例题5】.计算的结果是__________． 【变式题5-1】.计算：__________________． 【变式题5-2】.计算： (1)； (2) 【变式题5-3】.计算： (1) (2) 题型06二次根式的大小比较 根据式子特点选择平方法、作差法、作商法或分母有理化法比较大小。 【例题6】.填空：________（填“”或“”） 【变式题6-1】.比较大小：_______，_______2，_______． 【变式题6-2】.比较下列两个数的大小：________（选填“＞”或“＜”） 【变式题6-3】.判断大小并说明理由 (1)用“＝”“＞”或“＜”填空：_______________． (2)由（1）中各式猜想与的大小，并说明理由． 题型07直接代入型二次根式化简求值 先将原式化简为最简形式，再代入字母的数值计算结果。 【例题7】.先化简，再求值．先化简：÷（1﹣），再求值，其中a＝﹣1． 【变式题7-1】.先化简，再求值：，其中． 【变式题7-2】.先化简，再求值：，其中． 【变式题7-3】.化简求值：________，其中． 题型08条件型二次根式化简求值 先求出、等整体的值，再将所求代数式变形后整体代入。 【例题8】.若，，则（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式题8-1】.若，，则的值为_____． 【变式题8-2】.已知． (1)求和的值； (2)利用（1）的结论求的值． 【变式题8-3】.已知，，求下列各式的值： (1) ； (2)． 题型09二次根式的估算 用放缩法确定无理数的整数范围，小数部分=原数-整数部分，再代入计算。 【例题9】.估算的值在（     ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【变式题9-1】.若估算的值在整数n和之间，则n=______． 【变式题9-2】.阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，则 ， ． (2)已知的小数部分为a，的小数部分为b．求的值； (3)已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求的平方根． 【变式题9-3】.观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请你观察上述式子规律后解决下面问题． (1)规定用符号表示实数m的整数部分，例如：，，填空：______；_____． (2)如果的小数部分为a， 的小数部分为b，求的值． 题型10二次根式加减的实际应用 根据题意列出二次根式算式，按运算法则计算，结合实际意义作答。 【例题10】.如图，某小区内有一个长方形广场，广场长为米，宽米，中间有两块大小相同的小长方形绿地（涂色部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长． (2)除绿地部分，广场其他部分都要铺地砖，已知铺地砖的费用每平方米50元，求这个广场铺地砖的费用． 【变式题10-1】.如图，某校有一块形状为正方形的绿地，边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米，宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖，如果要用这种地砖铺完整个通道，那么需要花费多少元？ 【变式题10-2】.如图，某公园有一块长方形空地，，，园区管理员计划在中间小长方形部分（阴影）种植花卉，其余部分种植草坪，且小长方形的长为，宽为．求种植草坪的面积．（结果化为最简二次根式） 【变式题10-3】.李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，李老师预算1040元购买装修材料，李老师的预算是否够？请说明理由． 1．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式，化简后能与合并的是（） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 5．计算：___________． 6．如图，正方形A、B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小，则甲面积______乙面积．（填“大于”、“小于”或“等于”） 7．计算：． 8．化简求值：已知，，求的值． 9．若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的平方根； (2)对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值． 1．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为．为了给花圃围上防护围栏，测得围栏的总长度为，则这块花圃的面积为（     ） A． B． C． D． 3．已知方程组，则的值为（     ） A．24 B．21 C．8 D．7 4．若，，则代数式的值等于________． 5．矩形中，，且．在，上取点，，使，沿剪掉正方形后，剩余的小矩形的宽与长的比值为________． 6．已知，则多项式________． 7．如图，折叠矩形，使顶点落在对角线上的处，折痕分别为． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若四边形为菱形，，则__________． 8．黄金矩形是一种特殊的长方形，它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．数学活动课上，老师带领同学们运用已学的二次根式知识，按如下方式构造了黄金矩形，步骤如下： ①作正方形，边长； ②取的中点； ③以为圆心，为半径画弧，交延长线于点； ④过点作的垂线，交延长线于点． 经计算，该矩形的宽与长的比值为：，所以为黄金矩形． 素材1：；素材2：． 请选用以上任一素材解决以下问题： (1)化简：； (2)判断图中的长方形是否是黄金矩形，并说明理由． 9．小江和小北在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形面积问题”进行了探究．他们各自查找了相关问题的资料． 小江找到的资料如下：我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记载：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则面积（秦九韶公式）． 小北找到的资料如下：古希腊数学家海伦在所著《度量论》中记载：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则面积（海伦公式）． (1)已知的三边a，b，c的值如下，请运用合适的公式计算的面积． ①，，；②，，． (2)结合（1），谈谈你对两个公式如何选择的看法． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.3 二次根式的加减 教学目标 教学目标： 1.理解同类二次根式的概念，能准确判断一组二次根式是否为同类二次根式。 2.掌握二次根式的加减运算法则，能规范完成二次根式的加减运算。 3.掌握二次根式混合运算的顺序，能灵活运用运算律和乘法公式进行简便计算。 4.能运用二次根式的运算解决简单的实际应用问题。 教学重难点 1.重点 （1）同类二次根式的识别与判断 （2）二次根式的加减运算法则与计算 （3）二次根式混合运算与乘法公式的应用 2.难点 （1）二次根式混合运算中的简便运算技巧 （2）化简求值中整体思想的运用 （3）二次根式运算的实际场景应用 知识点01：同类二次根式 1.定义：经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式。 2.判断步骤： （1）将各个二次根式化为最简二次根式； （2）观察化简后的被开方数，若被开方数相同，则为同类二次根式。 3.同类二次根式与同类项的对比： 类别 同类二次根式 同类项 研究对象 二次根式之间的关系 单项式之间的关系 判定标准 化简后被开方数相同 所含字母相同，相同字母的指数也相同 判断方法 先化简，再看被开方数 直接看字母与对应指数 【即学即练】 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：选项A：，化为最简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式； 选项C：是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项D：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式． 2．下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，化简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，化简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项C：，化简后为整数，被开方数不为，与不是同类二次根式； 选项D：，化简后被开方数为，与是同类二次根式． 知识点02：合并同类二次根式 1.法则：合并同类二次根式时，将系数相加减作为结果的系数，被开方数和根指数保持不变。 2.注意：不是同类二次根式的不能合并，运算结果中要保留不能合并的二次根式。 【即学即练】 1．下列说法正确的是（    ） A．与可以合并 B．与可以合并 C．与可以合并 D．与可以合并 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，同类二次根式，根据二次根式的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意；     B. 与可以合并，故该选项正确，符合题意； C. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意；     D. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．下列二次根式：． （1）能与合并的是___________； （2）能与合并的是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，同类二次根式的应用，先把每个根式化成最简二次根式，再判断即可． 【详解】解： （1）能与合并的是； （2）∵ ∴能和合并的有． 故答案为：；． 知识点03：二次根式的加减运算 1.运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。 2.运算步骤： （1）化：将所有二次根式化为最简二次根式； （2）找：找出其中的同类二次根式； （3）合：合并同类二次根式。 3.运算律：加法交换律、加法结合律在二次根式加减中仍然适用，去括号、添括号法则与整式一致。 【即学即练】 1．下列计算错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘除、加减运算法则，逐一计算各选项即可判断错误选项． 【详解】解：对于A选项，∵，∴A计算正确； 对于B选项，∵，∴B计算正确； 对于C选项，∵，∴C计算正确； 对于D选项，∵，∴D计算错误． 2．计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 知识点04：二次根式的混合运算 1.运算顺序：与整式混合运算顺序一致，先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号时先算括号里面的。 2.适用的运算规则： （1）运算律：乘法交换律、结合律、分配律均适用； （2）乘法公式：平方差公式、完全平方公式均可直接使用。 3.结果要求：运算的最终结果必须化为最简二次根式或整式。 【即学即练】 1．计算： 【答案】 【详解】解： 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2） 题型01同类二次根式的识别 先将每个二次根式化为最简形式，再对比被开方数是否一致。 【例题1】.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否与的被开方数相同即可得到答案. 【详解】解：∵ 选项A，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项B，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项C，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项D，，被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式. 【变式题1-1】.下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项化为最简二次根式后，被开方数和相同的即为同类二次根式． 【详解】解：对于选项A：，被开方数为，与的被开方数不同，故A错误； 对于选项B：是最简二次根式，被开方数为，与的被开方数不同，故B错误； 对于选项C：，化简后为整数，与不是同类二次根式，故C错误； 对于选项D：，被开方数为，与的被开方数相同，故D正确． 【变式题1-2】.下列二次根式中，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将各选项化简后，判断被开方数是否与的被开方数相同即可． 【详解】解：A．，能与合并，故该选项符合题意， B．不能与合并，故该选项不符合题意， C．，不能与合并，故该选项不符合题意， D．，不能与合并，故该选项不符合题意． 【变式题1-3】.下列二次根式化简后能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】能合并的二次根式是同类二次根式，即化简后被开方数相同的二次根式，只需将各选项二次根式化简，判断被开方数是否等于即可得到结果． 【详解】解：A、，能与合并，故此选项符合题意； B、，不能与合并，故此选项不符合题意； C、，不能与合并，故此选项不符合题意； D、，不能与合并，故此选项不符合题意； 题型02根据同类二次根式求参数的值 根据“化简后被开方数相同”列方程求解，注意验证二次根式有意义的条件。 【例题2】.若最简二次根式与可以合并，则的值为________． 【答案】 【分析】根据同类二次根式被开方数相同列方程求解即可． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 二者为同类二次根式，被开方数相等，即， 移项得， ， 系数化为得． 【变式题2-1】.如果最简二次根式与是同类二次根式，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简已知二次根式，再根据同类二次根式的定义，即最简二次根式的被开方数相同，列出一元一次方程求解即可． 【详解】， 是最简二次根式，且与是同类二次根式， 二者被开方数相等， ， 移项得， 解得． 【变式题2-2】.若与是同类二次根式，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】同类二次根式的定义为：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式，据此判断即可． 【详解】A、时，，与不是同类二次根式； B、时，，与不是同类二次根式； C、时，，与是同类二次根式； D、时，，与不是同类二次根式． 【变式题2-3】.若最简二次根式与能合并，则的值为__________． 【答案】3 【详解】先化简得：， 最简二次根式与能合并， 与是同类二次根式， 根据同类二次根式的定义，可得二者被开方数相同， ． 题型03二次根式的基础加减运算 按“一化二找三合”的步骤，先化简再合并同类二次根式。 【例题3】.下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只有同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，被开方数不变，根据规则逐一判断选项即可. 【详解】解：∵ 和不是同类二次根式，不能合并，∴A错误； ∵ 和不是同类二次根式，不能合并，∴B错误； ∵ ，∴C错误； ∵ ，符合二次根式加减运算规则，∴D正确. 【变式题3-1】.计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式题3-2】.计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式题3-3】.下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类二次根式才能合并的规则以及二次根式乘法法则即可判断选项正误． 【详解】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故该项错误； B．，故该项正确； C．和不是同类二次根式，不能合并，故该项错误； D．，故该项错误． 题型04二次根式混合运算 先按乘法分配律计算乘法，再化简并合并同类二次根式。 【例题4】.计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题4-1】.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出结果； （2）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题4-2】.计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题4-3】.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型05利用乘法公式计算二次根式 观察算式结构，匹配平方差公式或完全平方公式简化计算。 【例题5】.计算的结果是__________． 【答案】1 【详解】解：原式． 【变式题5-1】.计算：__________________． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式与二次根式的运算，观察式子符合平方差公式的结构，利用平方差公式展开后，结合二次根式的性质计算即可得到结果． 【详解】解： 【变式题5-2】.计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题5-3】.计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 题型06二次根式的大小比较 根据式子特点选择平方法、作差法、作商法或分母有理化法比较大小。 【例题6】.填空：________（填“”或“”） 【答案】 【分析】先将两个数分别平方，再比较平方结果的大小，平方结果更大的原数更大. 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴. 【变式题6-1】.比较大小：_______，_______2，_______． 【答案】 < < > 【分析】实数的大小比较方法： 比较带二次根号的正数，可通过比较被开方数的大小判断结果；比较两个负数，先比较两个数的绝对值，再根据负数大小比较法则判断． 【详解】解：①比较和， ， ； ②比较和， ， ，即； ③比较和， ，， ， ，即， ． 【变式题6-2】.比较下列两个数的大小：________（选填“＞”或“＜”） 【答案】 【分析】先将两个二次根式化为最简二次根式，再通过比较被开方数的大小得到两个数的大小关系． 【详解】解：， ∵ ∴． 【变式题6-3】.判断大小并说明理由 (1)用“＝”“＞”或“＜”填空：_______________． (2)由（1）中各式猜想与的大小，并说明理由． 【答案】(1)＞；＞；＝ (2)，见解析 【分析】（1）根据二次根式的乘法法则、算术平方根解题即可．（2）根据完全平方公式、算术平方根、偶次方的非负性解题即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． （2）解：，理由如下： 当时，， ， ． 【点睛】本题主要考查二次根式的乘法、算术平方根、完全平方公式、偶次方的非负性，熟练掌握二次根式的乘法法则、算术平方根、完全平方公式、偶次方的非负性是解决本题的关键． 题型07直接代入型二次根式化简求值 先将原式化简为最简形式，再代入字母的数值计算结果。 【例题7】.先化简，再求值．先化简：÷（1﹣），再求值，其中a＝﹣1． 【答案】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值． 【详解】原式＝÷ ＝﹣ ＝﹣， 当a＝﹣1时，原式＝﹣＝﹣． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式题7-1】.先化简，再求值：，其中． 【答案】 结果为，值为 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式题7-2】.先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【详解】解：原式， 当时，原式． 【变式题7-3】.化简求值：________，其中． 【答案】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ； 当时，原式． 题型08条件型二次根式化简求值 先求出、等整体的值，再将所求代数式变形后整体代入。 【例题8】.若，，则（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先将所求代数式变形为含和的形式，再计算与的值后代入计算． 【详解】解： ∵， ∴， 将，代入得： 原式． 【变式题8-1】.若，，则的值为_____． 【答案】 【分析】先将所求多项式因式分解，再把已知的和的值整体代入计算即可求解． 【详解】解： 当，时 原式 【变式题8-2】.已知． (1)求和的值； (2)利用（1）的结论求的值． 【答案】(1)4，1 (2)98 【分析】（1）直接把分别代入和计算， （2）由（1）得，再代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， ． 则 ． （2）解：由（1）得， 【变式题8-3】.已知，，求下列各式的值： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式的变形公式求解即可； （2）根据平方差公式求解即可. 【详解】（1）解：∵ ，， ∴ ，， ； （2）解：∵ ，， ∴ ，， . 题型09二次根式的估算 用放缩法确定无理数的整数范围，小数部分=原数-整数部分，再代入计算。 【例题9】.估算的值在（     ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】C 【分析】先根据二次根式的混合运算得出，再估算出，即可得解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的值在7和8之间． 【变式题9-1】.若估算的值在整数n和之间，则n=______． 【答案】4 【分析】本题考查估算无理数的大小．先化简，然后用平方法估算的大小即可． 【详解】解：， 又 即， ， 又的值在整数n和（n＋1）之间， ． 故答案为：4． 【变式题9-2】.阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，则 ， ． (2)已知的小数部分为a，的小数部分为b．求的值； (3)已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求的平方根． 【答案】(1)，3 (2) (3) 【分析】./..本题考查了无理数的估算、不等式的性质，以及平方根的求解，理解并掌握题中的估算方法是解题的关键． （1）由，，即可得到，的值； （2）由，利用不等式的性质，即可得到，，从而得到，的值，由此得解； （3）由，即可得到，的值，代入可求出的值，再计算平方根即可； 【详解】（1）解：，即， 的整数部分为2，小数部分， ，即 ， 的整数部分为． （2）解： ， ，， 的小数部分为， 的小数部分为， ． （3）解： ， ，， ， 的平方根为：. 【变式题9-3】.观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请你观察上述式子规律后解决下面问题． (1)规定用符号表示实数m的整数部分，例如：，，填空：______；_____． (2)如果的小数部分为a， 的小数部分为b，求的值． 【答案】(1)5；1 (2)1 【分析】（1）根据题目中所给规律即可得结果； （2）把无理数的整数部分和小数部分分别表示出来，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5；1； （2）解：由（1）得：，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，理解题中的新规定是解本题的关键． 题型10二次根式加减的实际应用 根据题意列出二次根式算式，按运算法则计算，结合实际意义作答。 【例题10】.如图，某小区内有一个长方形广场，广场长为米，宽米，中间有两块大小相同的小长方形绿地（涂色部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求广场的周长． (2)除绿地部分，广场其他部分都要铺地砖，已知铺地砖的费用每平方米50元，求这个广场铺地砖的费用． 【答案】(1)米 (2)元 【分析】（1）长方形周长（长宽），据此计算即可； （2）用广场面积减去两块绿地面积可得出需要铺地砖的面积，再乘以每平方米铺地砖的费用即可． 【详解】（1）解：周长米． （2）解：广场面积：平方米， 两块绿地面积：平方米， 需要铺地砖的面积：平方米， 费用：元， 答：这个广场铺地砖的费用为17750元． 【变式题10-1】.如图，某校有一块形状为正方形的绿地，边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米，宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖，如果要用这种地砖铺完整个通道，那么需要花费多少元？ 【答案】需要花费元 【分析】先求出通道的面积，再用通道的面积乘以单位造价即可得到答案． 【详解】解：通道的面积为： （平方米）， ∴（元）． 答：需要花费元． 【变式题10-2】.如图，某公园有一块长方形空地，，，园区管理员计划在中间小长方形部分（阴影）种植花卉，其余部分种植草坪，且小长方形的长为，宽为．求种植草坪的面积．（结果化为最简二次根式） 【答案】 【分析】求出长方形空地和花卉的面积，进而可知种植草坪的面积． 【详解】解：∵长方形空地的面积为：， 种植花卉的面积为：， ∴种植草坪的面积为：． 故种植草坪的面积为． 【变式题10-3】.李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，李老师预算1040元购买装修材料，李老师的预算是否够？请说明理由． 【答案】(1) (2)李老师的预算够，理由见解析 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为． （2）解：长方形的面积：， 大理石的面积， ∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）， ， 李老师的预算够． 1．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加减，乘方，乘除运算规则，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：∵∴A错误． 选项B：∵∴B错误． 选项C：∵∴C错误． 选项D：∵∴D正确． 2．下列各式，化简后能与合并的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把选项中的二次根式化简后，与是同类二次根式，即可合并． 【详解】解：，与不能合并，故选项A不符合题意； ，与能合并，故选项B符合题意； ，与不能合并，故选项C不符合题意； 与不能合并，故选项D不符合题意． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意． 4．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为______． 【答案】3 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，且 解得：，且． ∴x的值为3． 5．计算：___________． 【答案】1 【详解】解：． 6．如图，正方形A、B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小，则甲面积______乙面积．（填“大于”、“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到，然后由进而求解即可． 【详解】解：∵正方形A，B的面积分别为和， ∴正方形A，B的边长分别为和， 根据题意得，矩形甲的面积为：； 矩形乙的面积为：； ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴矩形甲的面积大于矩形乙的面积． 7．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 8．化简求值：已知，，求的值． 【答案】8 【分析】运用完全平方公式将变为，再代入计算即可． 【详解】解：，， ． 9．若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的平方根； (2)对于任意的正实数和，我们定义新运算：，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴的平方根为； （2）解：∵，， ∴ 1．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能进行合并，故不符合题意； B．，原计算错误，故不符合题意； C．，计算正确，故符合题意； D．，原计算错误，故不符合题意． 2．学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为．为了给花圃围上防护围栏，测得围栏的总长度为，则这块花圃的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算出矩形花圃的长和宽，再求出面积即可． 【详解】解：∵矩形花圃的周长为，宽为， ∴矩形花圃的长为， ∴花圃的面积为． 3．已知方程组，则的值为（     ） A．24 B．21 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题不需要分别求出和的值，利用平方差公式，通过方程组变形得到和，整体代入计算即可． 【详解】解：由平方差公式得 ， 将方程组中①②得：， 整理得 ， ， 将方程组中①②得：， 整理得 ， 将和代入得：． 4．若，，则代数式的值等于________． 【答案】 【分析】先将所求代数式通分变形，利用完全平方公式转化为含和的形式，先计算与的值，再整体代入计算即可． 【详解】解：， ，， 将，代入变形后的代数式得： ． 5．矩形中，，且．在，上取点，，使，沿剪掉正方形后，剩余的小矩形的宽与长的比值为________． 【答案】 【分析】设，求得，再求得小矩形的宽和长，据此计算即可求解． 【详解】解：设，由，得， ∵正方形的边长， ∴剩余小矩形的宽为， 长为， ∴剩余的小矩形的宽与长的比值为． 6．已知，则多项式________． 【答案】 【分析】先求出x，再将两边平方得出，然后将多项式依次降幂代入以及计算即可． 【详解】解：∵ ∴． ∴， 两边平方得：，得， 整理得：， ∴， ． 7．如图，折叠矩形，使顶点落在对角线上的处，折痕分别为． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若四边形为菱形，，则__________． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ． ． 由折叠可知，， ． ． 四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质，推出，进而得到，即可得证； （2）根据菱形和矩形的性质，折叠的性质，勾股定理求出的长，再利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为菱形， ． 由折叠可知：，． ． 设，则． 在中，． ． 在中，由勾股定理得：， 即， 解得． ． 在中，． ， ， ． 两边平方得：， 解得． ． ． 8．黄金矩形是一种特殊的长方形，它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．数学活动课上，老师带领同学们运用已学的二次根式知识，按如下方式构造了黄金矩形，步骤如下： ①作正方形，边长； ②取的中点； ③以为圆心，为半径画弧，交延长线于点； ④过点作的垂线，交延长线于点． 经计算，该矩形的宽与长的比值为：，所以为黄金矩形． 素材1：；素材2：． 请选用以上任一素材解决以下问题： (1)化简：； (2)判断图中的长方形是否是黄金矩形，并说明理由． 【答案】(1) (2)长方形是黄金矩形，理由如下： ∵正方形中，， 又∵点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴长方形的宽与长的比值为：， ∴长方形是黄金矩形． 【分析】（1）运用素材2进行分母有理化，然后前后相消，即可计算出结果； （2）分别求出、，然后计算长方形的宽与长的比值，结合黄金矩形的定义即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）略 9．小江和小北在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形面积问题”进行了探究．他们各自查找了相关问题的资料． 小江找到的资料如下：我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记载：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则面积（秦九韶公式）． 小北找到的资料如下：古希腊数学家海伦在所著《度量论》中记载：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则面积（海伦公式）． (1)已知的三边a，b，c的值如下，请运用合适的公式计算的面积． ①，，；②，，． (2)结合（1），谈谈你对两个公式如何选择的看法． 【答案】(1)①；② (2)当三边长带根号时用秦九韶公式，否则选用海伦公式 【分析】（1）①利用海伦公式计算即可得出结果；②利用秦九韶公式计算即可得出结果； （2）根据（1）中计算结果，得出规律即可． 【详解】（1）解：①用海伦公式， ； ②用秦九韶公式， ； （2）解：观察（1）可得：当三边长带根号时用秦九韶公式，否则选用海伦公式． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $