专题20.2 二次根式的乘除（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

本讲义聚焦二次根式的乘除这一核心知识点，系统梳理乘除运算法则、积与商的算术平方根性质及最简二次根式的概念，构建从法则应用到性质逆用再到化简运算的递进式学习支架。 资料通过“即学即练”与题型分类设计，助力学生在具体运算中培养抽象能力和运算能力，实际应用题型（如溶液稀释、电磁波传播）强化用数学语言表达现实世界的应用意识，课中辅助教学，课后便于学生查漏补缺。

专题20.2 二次根式的乘除 教学目标 1.掌握二次根式的乘除运算法则，能进行简单的二次根式乘除运算。 2.理解积与商的算术平方根的性质，能将二次根式化为最简二次根式。 3.掌握分母有理化的方法，能进行根号内外因式的互移变形。 4.能运用二次根式的乘除解决简单的实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）二次根式的乘除运算法则 （2）二次根式的化简与最简二次根式的判断 （3）分母有理化的基本方法 2.难点 （1）根号内外因式互移的符号处理 （2）二次根式乘除混合运算与化简求值 （3）分母有理化的灵活应用 知识点01：二次根式的乘法法则 1.基本法则：两个算术平方根的积，等于它们 ，即（，）。 2.法则拓展： （1）多个二次根式相乘： 。 （2）带系数的二次根式相乘：类比单项式乘法，系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，即 。 【即学即练】 1．计算：______． 2．已知，，则（     ） A． B． C． D． 知识点02：积的算术平方根的性质 1.性质：积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即 ，是乘法法则的逆用。 2.应用：用于化简二次根式，将被开方数中能开得尽方的因数或因式开方到根号外。 3.注意：被开方数必须是 ，且每个因式都 ， 。 【即学即练】 1．若，，则的值用，可以表示为___． 2．若，用含的式子表示为___________． 知识点03：二次根式的除法法则 1.基本法则：两个算术平方根的商，等于它们被开方数的 ，即（，）。 2.法则拓展： （1）多个二次根式相除： 。 （2）带系数的二次根式相除：类比单项式除法，系数相除作为商的系数，被开方数相除作为商的被开方数，即（，，）。 【即学即练】 1．计算的结果等于______． 2．计算的结果是______． 知识点04：商的算术平方根的性质 1.性质：商的算术平方根等于 ，即（，），是除法法则 。 2.应用：用于化简被开方数为分数或分式的二次根式。 【即学即练】 1．若，，用含的式子表示_____． 2．已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 知识点05：最简二次根式 1.定义：被开方数中不含 ，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数 的二次根式。 2.化简步骤： （1）带分数化假分数，小数化分数，多项式先因式分解； （2）将被开方数中能开尽力地因数或因式开方到根号外； （3）化去被开方数中的分母； （4）约分化简，保证结果为最简形式。 【即学即练】 1．下列式子中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 题型01二次根式的乘法运算 系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，最后化为最简二次根式。 【典例1】. 计算：（     ） A． B． C． D． 【变式1】. 计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. 下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3】. 若，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．10 题型02二次根式的除法运算 系数相除作为商的系数，被开方数相除作为商的被开方数，结果化为最简形式。 【典例2】. 计算：（    ） A． B． C． D． 【变式1】. 计算的结果为（   ） A． B． C．4 D．2 【变式2】. 下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】. 计算：（   ） A． B． C．3 D．2 题型03最简二次根式的识别 同时检查两个条件：被开方数不含分母；不含能开尽力地因数或因式。 【典例3】. 下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. 下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】. 在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 【变式3】. 下列二次根式中：①；②；③；④；是最简二次根式的是______（填序号）． 题型04根号内外因式的互移 外移用公式；内移先判断符号，正数平方后移入，负数保留负号。 【典例4】. 把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是__________． 【变式1】. 若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. 若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3】. 把式子中根号外的移到根号内得（    ） A． B． C． D． 题型05二次根式乘除混合运算 按从左到右的顺序运算，统一为乘法形式，系数与被开方数分别计算。 【典例5】. 计算： (1)； (2)． 【变式1】. 计算：． 【变式2】. 计算：（    ） A． B． C． D． 【变式3】. 计算：． 题型06二次根式的大小比较 常用平方法、移因式入根号法、作商法、分子/分母有理化法进行比较。 【典例6】. 比较大小：________4（选填“”、“”、“”）． 【变式1】. 比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） 【变式2】. 比较大小：__3．（填“”、“”或“”） 【变式3】. 在1，，0，中，最大的数是________． 题型07二次根式的化简求值 先将原式化为最简二次根式，再代入字母的值计算，注意挖掘题目隐含条件。 【典例7】. 若，，则代数式的值为_______． 【变式1】. 已知，则代数式的值为______． 【变式2】. 已知，则的值为_________． 【变式3】. 若，则__________． 题型08二次根式乘除的实际应用 根据题意列出二次根式算式，运用乘除法则计算，结合实际意义作答。 【典例8】. 学校实验室需要稀释一定量的实验溶液，已知工作人员在一个底面长为，宽为的长方体水槽中加入蒸馏水对原溶液进行稀释．已知稀释后长方体水槽的液面上升了，求加入蒸馏水的体积． 【变式1】. 已知广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听和收看广播电视节目的区域就越广．广播电视塔高h（单位：）与广播电视节目信号的传播半径r（单位：）之间存在近似关系，其中R是地球半径，． (1)图1的广州塔的塔高约为，求从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径． (2)图2的中央电视塔塔高约为，从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径为，求与之比值． 【变式2】. 如图，在离水面高度为的岸上处（米），有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以1米/秒的速度收绳，4秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的，结果保留根号） 【变式3】. 为了改善市民的居住环境，两江新区力抓“宜居重庆”建设，修建了多个公园．如图，四边形是已建成的某个环湖公园的人行步道俯视图．经测量，点在点的正东方向，点在点的正北方向，米，点正好在点的东北方向，且在点的北偏东方向，米．（参考数据：，） (1)求步道的长度（结果保留根号）； (2)体育爱好者小王从跑到有两条路线，分别是与．其中和都是下坡，和都是上坡．若他下坡每米消耗热量千卡，上坡每米消耗热量千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？ 1．数学兴趣小组的同学在研究二次根式时发现，当被开方数为某些值时，会是最简二次根式．下列四个选项中，能让成为最简二次根式的a是（     ） A． B． C．5 D． 2．估计的值在（     ） A．3到4之间 B．6到7之间 C．4到5之间 D．5到6之间 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．计算：的结果等于________． 5．无理数的有理化因式是________． 6．已知某物体的质量，体积，则它的密度等于________（参考公式：）． 7．计算： 8．如图，菱形花坛的边长为，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．求： (1)两条小路的长度； (2)菱形花坛的面积． 9．【观察思考】 第个等式：；第个等式：；第个等式：；… (1)【规律发现】直接写出第个等式：__________________； (2)【规律表达】写出第个等式：__________________（用含的式子表示）； (3)【规律应用】根据上述规律，化简：． 1．下列式子中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B．3 C． D．9 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．在二次根式，，，中，属于最简二次根式的有________个． 5．若一个三角形的三边长分别为，，，则此三角形的面积为______________． 6．若是最简二次根式，则m的最小整数值为_____ ． 7．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 8．计算：． 9．设直角三角形的两条直角边长分别是和，斜边长为． (1)已知，求； (2)已知，求． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.2 二次根式的乘除 教学目标 1.掌握二次根式的乘除运算法则，能进行简单的二次根式乘除运算。 2.理解积与商的算术平方根的性质，能将二次根式化为最简二次根式。 3.掌握分母有理化的方法，能进行根号内外因式的互移变形。 4.能运用二次根式的乘除解决简单的实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）二次根式的乘除运算法则 （2）二次根式的化简与最简二次根式的判断 （3）分母有理化的基本方法 2.难点 （1）根号内外因式互移的符号处理 （2）二次根式乘除混合运算与化简求值 （3）分母有理化的灵活应用 知识点01：二次根式的乘法法则 1.基本法则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即（，）。 2.法则拓展： （1）多个二次根式相乘：（，，）。 （2）带系数的二次根式相乘：类比单项式乘法，系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，即（，）。 【即学即练】 1．计算：______． 【答案】 【分析】本题可根据二次根式的乘法法则进行计算，先将两个二次根式合并为一个二次根式，再化简得到结果． 【详解】解：． 2．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 知识点02：积的算术平方根的性质 1.性质：积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即（，），是乘法法则的逆用。 2.应用：用于化简二次根式，将被开方数中能开得尽方的因数或因式开方到根号外。 3.注意：被开方数必须是乘积形式，且每个因式都非负，。 【即学即练】 1．若，，则的值用，可以表示为___． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，化简二次根式，，而，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 2．若，用含的式子表示为___________． 【答案】 【详解】解：． 知识点03：二次根式的除法法则 1.基本法则：两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即（，）。 2.法则拓展： （1）多个二次根式相除：（，，）。 （2）带系数的二次根式相除：类比单项式除法，系数相除作为商的系数，被开方数相除作为商的被开方数，即（，，）。 【即学即练】 1．计算的结果等于______． 【答案】 【详解】解：． 2．计算的结果是______． 【答案】 【详解】解：． 知识点04：商的算术平方根的性质 1.性质：商的算术平方根等于算术平方根的商，即（，），是除法法则的逆用。 2.应用：用于化简被开方数为分数或分式的二次根式。 【即学即练】 1．若，，用含的式子表示_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题关键．根据二次根式的除法法则可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 2．已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 知识点05：最简二次根式 1.定义：被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于2的二次根式。 2.化简步骤： （1）带分数化假分数，小数化分数，多项式先因式分解； （2）将被开方数中能开尽力地因数或因式开方到根号外； （3）化去被开方数中的分母； （4）约分化简，保证结果为最简形式。 【即学即练】 1．下列式子中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：最简二次根式需要同时满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；对各选项逐一判断： A. ，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； B. ，被开方数含分母，不是最简二次根式； C. ，被开方数含分母，不是最简二次根式； D. ，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一分析选项即可． 【详解】A、没有能开得尽方的因数，是最简二次根式，故此选项符合题意； B、的被开方数含分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含能开得尽方的因数25，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 题型01二次根式的乘法运算 系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，最后化为最简二次根式。 【典例1】. 计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式1】. 计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 【变式2】. 下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，则此项错误； B、，则此项正确； C、，则此项错误； D、，则此项错误． 【变式3】. 若，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．10 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 题型02二次根式的除法运算 系数相除作为商的系数，被开方数相除作为商的被开方数，结果化为最简形式。 【典例2】. 计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式1】. 计算的结果为（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【详解】解：． 【变式2】. 下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，此项错误； B、，此项错误； C、，此项错误； D、，此项正确． 【变式3】. 计算：（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据二次根式除法法则：计算即可． 【详解】解：． 题型03最简二次根式的识别 同时检查两个条件：被开方数不含分母；不含能开尽力地因数或因式。 【典例3】. 下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：1被开方数不含分母；2被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项：，被开方数是能开得尽方的数，不是最简二次根式； B选项：的被开方数含有分母，不是最简二次根式； C选项：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D选项：被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式． 【变式1】. 下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵ ，被开方数含能开得尽方的因数， ∴A不是最简二次根式； ∵ 满足两个判定条件， ∴B是最简二次根式； ∵ 的被开方数含分母， ∴C不是最简二次根式； ∵ ，被开方数含分母， ∴D不是最简二次根式． 【变式2】. 在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断所给二次根式即可． 【详解】解：满足两个条件，是最简二次根式； 中被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 中被开方数含分母，不是最简二次根式； 中，被开方数可开得尽方，不是最简二次根式； 中，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 因此符合条件的最简二次根式共个． 【变式3】. 下列二次根式中：①；②；③；④；是最简二次根式的是______（填序号）． 【答案】②③/③② 【分析】最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开方开得尽的因数和因式. 【详解】解：①，不是最简二次根式； ②满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； ③满足最简二次根式的定义，是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； 综上，是最简二次根式的有②③. 题型04根号内外因式的互移 外移用公式；内移先判断符号，正数平方后移入，负数保留负号。 【典例4】. 把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式1】. 若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断x的取值范围，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0， ∴， ∴， ∴． 【变式2】. 若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的正负，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简，得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 【变式3】. 把式子中根号外的移到根号内得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简即可． 【详解】解：∵二次根式中被开方数非负且分母不为， ∴， 得， ∴． 题型05二次根式乘除混合运算 按从左到右的顺序运算，统一为乘法形式，系数与被开方数分别计算。 【典例5】. 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得出结果； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】. 计算：． 【答案】 【分析】把二次根式的除法化为乘法，计算即可． 【详解】解： =． 【变式2】. 计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次根式乘除法则，按照同级运算从左到右的顺序计算，最后化简即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式3】. 计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算，再将结果化为最简二次根式即可． 【详解】解： ． 题型06二次根式的大小比较 常用平方法、移因式入根号法、作商法、分子/分母有理化法进行比较。 【典例6】. 比较大小：________4（选填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】两个正数比较大小，可通过比较平方的结果判断原数大小，平方结果更大的原数更大． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∵， ∴． 【变式1】. 比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了比较二次根式的大小． 先比较两个负数的绝对值，绝对值较小的负数更大．通过平方运算比较绝对值的大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∴， 故答案为>． 【变式2】. 比较大小：__3．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了正有理数和正无理数比较大小，可以先比较两个数的平方，平方值大的，则原数也大，熟练掌握这一方法是解题的关键．比较两个正数的大小，可以通过比较它们的平方值来判断． 【详解】解：，，由于，且和均为正数， ． 故答案为：． 【变式3】. 在1，，0，中，最大的数是________． 【答案】 【分析】根据实数大小比较的法则：负数都小于零，正数都大于零，正数大于一切负数，对给出的四个数逐一比较，即可得到最大的数． 【详解】解：先判断各数的正负：是负数，，是正数，既不是正数也不是负数， 因此可得，， 因为，， 所以， 综上可得， 因此最大的数是． 题型07二次根式的化简求值 先将原式化为最简二次根式，再代入字母的值计算，注意挖掘题目隐含条件。 【典例7】. 若，，则代数式的值为_______． 【答案】 【分析】根据求出的值，再根据代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 综上所述，代数式的值为． 【变式1】. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】先将已知的等式两边平方化简得到，然后把代数式变形为，代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， ∴ ． 【变式2】. 已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据非负数的和为的条件，求出的值，进而求出结果. 【详解】解：∵， ∴， 即：， 解得：， ∴ ． 【变式3】. 若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质，正确的计算是解题的关键． 通过简化根式乘法运算，比较等式两边系数和根号内值，求出和的值，再代入计算表达式． 【详解】解：， 又 ， ， 解得：， 又 ， ， 解得：， ， 故答案为：． 题型08二次根式乘除的实际应用 根据题意列出二次根式算式，运用乘除法则计算，结合实际意义作答。 【典例8】. 学校实验室需要稀释一定量的实验溶液，已知工作人员在一个底面长为，宽为的长方体水槽中加入蒸馏水对原溶液进行稀释．已知稀释后长方体水槽的液面上升了，求加入蒸馏水的体积． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘法进行求解． 【详解】解：根据题意得，加入蒸馏水的体积为． 【变式1】. 已知广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听和收看广播电视节目的区域就越广．广播电视塔高h（单位：）与广播电视节目信号的传播半径r（单位：）之间存在近似关系，其中R是地球半径，． (1)图1的广州塔的塔高约为，求从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径． (2)图2的中央电视塔塔高约为，从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径为，求与之比值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据公式计算即可； （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：，， ． 答：从广州塔塔顶发射出的广播电视节目信号的传播半径约为． （2）解：， ． 答：与比值为． 【变式2】. 如图，在离水面高度为的岸上处（米），有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以1米/秒的速度收绳，4秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的，结果保留根号） 【答案】米 【分析】利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得米， 在中，由勾股定理得米， ∴米， 答：船向岸边移动了米． 【变式3】. 为了改善市民的居住环境，两江新区力抓“宜居重庆”建设，修建了多个公园．如图，四边形是已建成的某个环湖公园的人行步道俯视图．经测量，点在点的正东方向，点在点的正北方向，米，点正好在点的东北方向，且在点的北偏东方向，米．（参考数据：，） (1)求步道的长度（结果保留根号）； (2)体育爱好者小王从跑到有两条路线，分别是与．其中和都是下坡，和都是上坡．若他下坡每米消耗热量千卡，上坡每米消耗热量千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？ 【答案】(1)米 (2)选这条路线时，消耗的热量更多 【分析】（1）过点C作，交的延长线于点E，过点B作于点F，求出，则可得到的长，进而求出的长，证明四边形是矩形，得到米；证明是等腰直角三角形，得到，据此利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再分别计算出两条路线消耗的热量，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作，交的延长线于点E，过点B作于点F， ∴， 由题意得，， ∴， ∴米， ∴米， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米； ∵点正好在点的东北方向， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴米， 答：步道的长度为米； （2）解：在中，由勾股定理得米， ∴米， 这条路线消耗的热量为千卡， 这条路线消耗的热量为 千卡， ∵， ∴选这条路线时，消耗的热量更多． 1．数学兴趣小组的同学在研究二次根式时发现，当被开方数为某些值时，会是最简二次根式．下列四个选项中，能让成为最简二次根式的a是（     ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断所给二次根式即可． 【详解】解：当时，被开方数是负数，不是二次根式，选项A不符合题意； 当时，被开方数含分母，不是最简二次根式，选项B不符合题意； 当时，满足两个条件，是最简二次根式，选项C符合题意； 当时，被开方数含分母，不是最简二次根式，选项D不符合题意． 2．估计的值在（     ） A．3到4之间 B．6到7之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】先根据二次根式的除法运算法则化简原式，再估算化简后无理数的取值范围，即可得到结果． 【详解】解： ， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴的值在6到7之间． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义，即被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A中，的被开方数含分母，化简得，不是最简二次根式； 选项B中，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； 选项C中， 的被开方数含能开得尽方的因数，化简得，不是最简二次根式； 选项D中，的被开方数含能开得尽方的因数，，不是最简二次根式． 4．计算：的结果等于________． 【答案】 【详解】解： ． 5．无理数的有理化因式是________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵，乘积不含有二次根式， ∴的有理化因式是（答案不唯一） ． 6．已知某物体的质量，体积，则它的密度等于________（参考公式：）． 【答案】 【分析】先根据已知公式推导出密度的表达式，再代入和的值，利用二次根式的除法法则化简计算即可得到结果． 【详解】解：由公式 可得 ，将，代入得： ． 7．计算： 【答案】 【详解】解： ． 8．如图，菱形花坛的边长为，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．求： (1)两条小路的长度； (2)菱形花坛的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设与交于点O，根据菱形的性质得到，，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长即可； （2）根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，设与交于点O， ∵四边形是菱形，且边长为，， ∴，， ∴，则， ∴，则； （2）解：由（1）得． 9．【观察思考】 第个等式：；第个等式：；第个等式：；… (1)【规律发现】直接写出第个等式：__________________； (2)【规律表达】写出第个等式：__________________（用含的式子表示）； (3)【规律应用】根据上述规律，化简：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】直接由前面式子的结构特征，得到规律即可解决（1）（2），再由（2）中写出的规律对（3）化简即可． 【详解】（1）解：由前面式子所展示的规律可得第个等式：； （2）解：由前面式子所展示的规律可得第个等式：； （3）解：由（2）中规律可得： ． 1．下列式子中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则和二次根式有意义的条件逐一判断即可； 【详解】解：A，∵，，∴A错误； B，∵成立的条件是，若或等式不成立，∴B错误； C，∵，，左右两边相等，∴C正确； D，∵在实数范围内负数没有平方根，和无意义，∴D错误． 2．若，则（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】利用完全平方公式展开左边，根据等式两边无理数部分系数相等列方程，即可求出a． 【详解】解：，， ∴， 解得． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘法、积的乘方、二次根式的化简与乘法运算法则逐一计算判断即可。 【详解】解：选项A：， A错误. 选项B：二次根式有意义需，可得，， B错误. 选项C：根据积的乘方法则，， C错误. 选项D：二次根式有意义需，根据二次根式乘法法则，， D运算正确. 4．在二次根式，，，中，属于最简二次根式的有________个． 【答案】 【分析】满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式，1 被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对所给二次根式逐个判断即可得到答案． 【详解】解：，原被开方数含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式， 是最简二次根式， ，原被开方数含有分母，故不是最简二次根式， ，原被开方数含有分母，故不是最简二次根式， ∴最简二次根式只有，共1个． 5．若一个三角形的三边长分别为，，，则此三角形的面积为______________． 【答案】 【分析】先确定三角形的最大边，根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式计算即可. 【详解】解：，， ， 该三角形是直角三角形，两条直角边为和， 此三角形的面积为. 6．若是最简二次根式，则m的最小整数值为_____ ． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，先确定被开方数为非负数，再结合为整数，验证被开方数不含能开得尽方的因数，即可得到满足条件的最小整数. 【详解】解：由题意，， 解得， 因为是整数，因此的最小取值从开始， 当时，，不含能开得尽方的因数， 因此是最简二次根式，满足条件； 故的最小整数值为． 7．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形 (2) 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而可得，最后问题可求证； （2）由题意易得，然后根据菱形的面积公式可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．计算：． 【答案】 【详解】解：原式    9．设直角三角形的两条直角边长分别是和，斜边长为． (1)已知，求； (2)已知，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理可得，由此代入数据计算即可得出结论； （2）根据勾股定理可得，由此代入数据计算即可得出结论． 【详解】（1）解：， ； （2）， ． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $