1.1.2 成比例的线段 学案 2026-2027学年数学湘教版九年级上册

该初中数学学案聚焦成比例的线段核心知识点，涵盖线段的比、成比例线段的概念、应用及黄金分割。课前通过KWL预习法激活已有知识，课堂探究分模块构建知识体系，对比表格与解题脚手架助力学生逐步理解知识脉络。 资料特色在于融入生活实例讲解黄金分割，培养数学眼光的抽象能力与几何直观。例题与分层练习强化推理意识，比例式表达提升数学语言的模型意识，KWL预习法激发主动探究，有效提升学习效率与知识应用能力。

1.1.2 成比例的线段 学案 湘教版九年级上册 九年级 数学 班级__________ 姓名__________ 学号__________ 一、学习目标 • 理解线段的比的概念，会用符号表示两条线段的比。 • 理解成比例的线段的概念，会判断四条线段是否成比例。 • 能运用成比例线段的性质列比例式求未知线段长。 • 了解黄金分割的概念，能识别生活中黄金分割的应用。 • 体会数学与生活、艺术的紧密联系。 二、课前预习 【KWL预习】 关于线段的比，我已经知道：比较两条线段的长短可以用__________或计算它们的__________；比例是两个__________相等的式子。 关于成比例的线段和黄金分割，我想知道：_________________________________ 【预习思考】 1. 如果线段AB=6 cm，线段CD=9 cm，那么AB与CD的比是多少？ 答：_____________________________________ 2. 四条线段a,b,c,d满足a:b=c:d，这四条线段叫做什么？ 答：_____________________________________ 3. 什么叫黄金分割？ 答：_____________________________________ 我的疑问：_____________________________________ 三、课堂探究 一、线段的比 1. 线段的比是两条线段__________的比值，与所选的长度单位__________关。 2. 如果选用同一长度单位量得AB=m，A′B′=n，则AB:A′B′=__________:__________，或AB/A′B′=__________/__________。 3. 在方格纸上（小方格边长为__________），△ABC和△A′B′C′的顶点都在__________上。 4. △ABC各边与△A′B′C′各__________边的比值__________，表明这两个三角形的对应边__________。 二、成比例的线段 5. 在四条线段中，如果其中__________条线段的比等于另外__________条线段的比，那么这四条线段叫作成比例的线段。 6. 例1：a=0.8cm，b=2cm，c=1.2cm，d=3cm。a:b=0.8:__________=__________:5，c:d=1.2:3=__________:5，因此a__________b__________c__________d（填比例符号）。 7. 判断四条线段是否成比例的关键是：排序后计算两两之__________，看是否有两组比值__________。 三、成比例线段的应用 8. 例2：已知AB/A′B′=BC/B′C′=AC/A′C′=__________，设相似比为__________。 9. 则AB=__________k，BC=__________k，AC=__________k。 10. ∵△ABC的周长为__________cm，∴__________k+__________k+__________k=48，即__________k=48，解得k=__________。 11. ∴AB=3×__________=__________(cm)，BC=4×__________=__________(cm)，AC=5×__________=__________(cm)。 四、黄金分割 12. 在线段AB上，点C满足__________/AB=__________/AC，则点C是线段AB的__________点。 13. 黄金分割比约等于__________。一条线段有__________个黄金分割点。 14. 希腊的__________神庙、印度的__________、法国的__________圣母院都运用了黄金分割。 15. 东方明珠塔塔高__________m，设计师在__________m处设计了上球体。 16. 达芬奇的《__________》大量运用了__________矩形来构图。 【线段的比与成比例的线段对比】 比较项目 线段的比 成比例的线段 对象 两条线段 四条线段 表示 AB:A′B′=m:n a:b=c:d 条件 同一长度单位 其中两条的比等于另外两条的比 关系 两线段间的关系 两组比值间的关系 联系 是成比例线段的基础 由两个相等的线段比构成 四、例题学习 例题1：判断四条线段是否成比例 例1 已知线段a，b，c，d的长度分别为0.8 cm，2 cm，1.2 cm，3 cm，问a，b，c，d是比例线段吗？ 解：_____________________________________ _____________________________________ 判断方法：_____________________________________ 例题2：利用对应边成比例求三角形边长 例2 已知△ABC的三边AB,BC,AC与△A′B′C′的三边A′B′,B′C′,A′C′对应成比例。若△ABC的周长为48 cm，且A′B′=3 cm，B′C′=4 cm，A′C′=5 cm，求△ABC的三边的长。 解：_____________________________________ _____________________________________ _____________________________________ 【解题脚手架：利用成比例线段求未知边长】 已知：__________ 求：__________ 设相似比（比例系数）：设__________=__________=__________=k 用k表示未知边：__________=__________，__________=__________，__________=__________ 利用已知条件列方程：__________ 解k=__________ 代入求各边长：__________ 五、课堂练习 A组·基础巩固 1. 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ） A．3 cm，4 cm，5 cm，6 cm B．4 cm，8 cm，3 cm，5 cm C．5 cm，15 cm，2 cm，6 cm D．8 cm，4 cm，1 cm，3 cm 解：_____________________________________ 2. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°。请写出图中相等的线段，并说明理由。 等腰直角三角形△ABC 解：_____________________________________ B组·能力提高 3. 如图，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似，已知AB=6 cm，BC=4 cm，A′B′=9 cm，求B′C′的长。 两个相似矩形 解：_____________________________________ 4. 已知线段AB=10cm，点P，Q是线段AB的两个不同的黄金分割点，求线段PQ的长。 线段AB的两个黄金分割点P、Q 解：_____________________________________ 六、课堂小结 本节课我学会了：_____________________________________ 我还不太理解的地方：_________________________________ 我觉得这节课最有意思的是：___________________________ 七、课后作业 1. 教材P____ 习题1.1 第____题 2. 已知四条线段a=3cm，b=4cm，c=6cm，d=8cm，问a，b，c，d是成比例的线段吗？请说明理由。 参考答案 课堂探究答案 一、线段的比 1. 长度 2. 无 3. m n m n 4. 1 5. 格点 6. 对应 7. 相等 8. 成比例 二、成比例的线段 5. 两 两 6. 2 2 2 : = : 7. 比 相等 三、成比例线段的应用 8. k k 9. 3 4 5 10. 48 3 4 5 12 4 11. 4 12 4 16 4 20 四、黄金分割 12. AC BC 黄金分割 13. 0.618 两 14. 帕提侬 泰姬陵 巴黎 15. 462.85 295 16. 蒙娜丽莎的微笑 黄金 例题学习答案 例题1 解：a:b=0.8:2=2:5，c:d=1.2:3=2:5。因为a:b=c:d，所以a，b，c，d是成比例的线段。 判断方法：将四条线段按长度从小到大排列为a≤b≤c≤d，分别计算a:b和c:d，若比值相等，则这四条线段成比例。 例题2 解：设AB/A′B′=BC/B′C′=AC/A′C′=k。 则AB=3k，BC=4k，AC=5k。 ∵△ABC的周长为48 cm，∴3k+4k+5k=48，即12k=48，解得k=4。 ∴AB=3×4=12(cm)，BC=4×4=16(cm)，AC=5×4=20(cm)。 课堂练习答案 1. 答案：C 解析：将各组排序后计算比值。A:3:4≠5:6；B:4:8=1:2, 3:5≠1:2；C:排序后2,5,6,15，2:5=2:5=6:15；D:1:3≠4:8=1:2。故选C。 2. 答案：AC=BC 解析：由∠ACB=90°，∠ABC=45°，得∠BAC=180°-90°-45°=45°=∠ABC。∴△ABC是等腰直角三角形，AC=BC。 3. 答案：B′C′=6 cm 解析：由对应边成比例：AB/A′B′=BC/B′C′，即6/9=4/B′C′，解得B′C′=6(cm)。 4. 答案：PQ=10√5-20(cm)≈2.36(cm) 解析：黄金比=(√5-1)/2≈0.618。AP=10×0.618≈6.18(cm)。同理BQ≈6.18(cm)。PQ=AP+BQ-AB≈6.18+6.18-10=2.36(cm)。精确值：AP=BQ=5(√5-1)，PQ=AP+BQ-AB=10(√5-1)-10=10√5-20(cm)。 学科网（北京）股份有限公司 $