第20章 二次根式（暑假单元自测）新九年级数学新教材华东师大版

**基本信息** 华东师大版新教材第20章二次根式单元自测卷，90分钟120分，24题覆盖基础与综合，暑假复习巩固适配性强，突出运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/30|二次根式定义、最简根式、估值|结合数轴化简（第9题），体现几何直观| |填空题|6/18|同类根式、代数式求值、幻圆文化|杨辉幻圆（第15题），渗透文化传承| |解答题|8/72|运算化简、实际应用（冰川苔藓）、新定义|阅读理解（第23题）与新定义“美好数”（第24题），发展创新意识与推理能力|

第20章 二次根式 单元自测卷 【新教材，华东师大版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）当时，二次根式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的代入求值，将给定x的值代入二次根式后化简即可得到结果； 【详解】解：∵ ， ∴ 把代入， 得 ． 2．（3分）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的除法法则，将系数和被开方数分别计算约分即可得到结果． 【详解】解：． 3．（3分）下列各式中最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义，逐个判断选项即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：选项A：的被开方数是小数，即被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； 选项B：的被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； 选项C：，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式； 选项D：的被开方数是质数，不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足两个条件，是最简二次根式． 4．（3分）估算应在（   ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】D 【分析】先根据二次根式的乘法法则化简原式，再估算无理数的范围，进而得到原式的取值范围． 【详解】解：， ∵ ，，且， ∴ ， 不等式三边同时加2，得， 即原式的值在5到6之间． 5．（3分）若式子有意义，则实数的值可以是（     ）． A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数须为非负数，分式的分母不能为零，据此列出不等式得到x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】式子有意义， ，且 分子， 可得 解得 选项中只有满足，符合条件． 6．（3分）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 【答案】C 【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是5． 故选C． 7．（3分）下面式子中，不是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式的被开方数必须为非负数，据此判断选项即可得到答案． 【详解】解：选项A中，满足被开方数非负，是二次根式，该选项不符合题意； 选项B中被开方数，不满足二次根式的要求，不是二次根式，该选项符合题意； 选项C中，满足被开方数非负，是二次根式，该选项不符合题意； 选项D中对任意实数都有，满足被开方数非负，是二次根式，该选项不符合题意． 8．（3分）如图，某长方体的长为，宽为，高为，点是长方体的一个顶点，点是一条棱的中点．一只蚂蚁沿长方体外表面从点处爬到点处，它爬行的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分三种情况讨论，利用勾股定理求解，然后比较即可． 【详解】解：把长方体剪开，使其右面和正面组成一个长方形， 由题意得，， ∴； 把长方体剪开，使其正面和下面组成一个长方形， 由题意得，，， ∴ ∴， 把长方体剪开，使其正面和上面组成一个长方形， 同上可得，， ∵， ∴它爬行的最短路程为． 9．（3分）实数，在数轴上的位置如图所示，化简（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴上点的位置确定、的取值范围，进而判断、、的正负，利用绝对值和二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可知：，． ，，． 原式 ． 10．（3分）已知代数式，，且，，其中a，b，c，d，m，n，x均为正整数，且x是开方开不尽的数，下列说法： ①若，则； ②若，，则存在两组m，n满足条件； ③当时，存在满足条件的a，b，c，d使． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据无理数的性质，等式中整数与无理数的系数对应相等，逐项推导即可判断． 【详解】①，，若， ，整理得， 均为正整数，开方开不尽，是无理数， ，即 ，， ，可得， 故不存在正整数同时满足和，故①错误． ②若，，代入得，整理得， 左边是正整数乘无理数，结果为无理数，右边是正整数的和，结果为有理数， 无理数不等于有理数， 不存在满足条件的，故②错误． ③当时，，展开得， ， ， 是正整数， ，得，同理， ，不存在正整数满足等式，故③错误． 综上，三个说法均错误，正确个数为． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 【答案】 【详解】解：先将各二次根式化为最简二次根式： ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； ，化简后被开方数为，与不是同类二次根式； 因此与是同类二次根式的共有个. 12．（3分）与最简二次根式是同类二次根式，则________． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， 二者最简形式的被开方数相同，即， 解得． 13．（3分）如果，，那么代数式的值是_______． 【答案】 【详解】解：， ∵， ∴原式=1. 14．（3分）已知，分别是的整数部分和小数部分，则______． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的整数部分和小数部分，再将，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故， ∴； 即， 故的整数部分，小数部分， 将，代入，得 ， ， ， ． 15．（3分）我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图所示的是一个简单的二阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数之和都相等，则__________． 【答案】0 【分析】设内圆圆周上未知的数为c，根据外圆竖直方向直径上四个数的和等于内圆圆周上四个数的和列式，即可求解． 【详解】解：设内圆圆周上未知的数为c， 由题意得：， ∴． 16．（3分）若实数x，y同时满足，，则的值为___________． 【答案】 【分析】由绝对值的非负性可判断，则化简第二个式子可得，与第一个式子消元可得 ，分类讨论的值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， 此时， ∴； 当时， （舍）； ∴ 三、解答题（共72分） 17．（8分）当 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3)，且 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件， 对于（1），根据二次根式有意义的条件可知，可求出答案； 对于（2），根据题意可知，可得答案； 对于（3），根据二次根式和分式有意义的条件可知，且，求出答案； 对于（4），根据题意可得，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知， 解得． 所以当得时，原式有意义； （2）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，原式有意义； （3）解：根据题意，得，且， 解得，且． 所以当，且时，原式有意义； （4）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，原式有意义． 18．（8分）计算与化简求值. (1)计算：； (2)先化简再求值：，其中，． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）利用二次根式乘法运算法则化简即可； （2）利用二次根式乘法运算法则化简，进而将已知数据代入求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 当，时， 原式． 19．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 代入，原式． 20．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别处理二次根式的乘除运算、零指数幂运算，非零数的零次幂为1，所以先分别计算、​、，再合并结果． （2）先利用完全平方公式展开，利用平方差公式计算，再去括号合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（10分）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【答案】冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【分析】本题主要考查了代入求值，再根据二次根式的计算，求出结果即可； 【详解】解：把代入，得． 解得． 冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 22．（10分）计算下列各题： (1)对实数，定义一种新运算“”：，其中，等式右边是实数运算．计算：． (2)已知多项式，，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：将，代入得： ． 23．（10分）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)2022 (3)3 【分析】本题考查了分母有理化的应用，代数式求值，二次根式的运算，能求出的值和正确变形是解此题的关键． （1）根据小明的解答总结出规律即可； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果； （3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得. 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由题意得， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 24．（10分）定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 【答案】(1) (2)2030 (3)4 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）根据新定义得到，再代入变形后的代数式求解即可. （3）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的定义得：关于1的“美好数”是； （2）解：∵y是关于4的“美好数”， ∴. ∴． （3）解： ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式 单元自测卷 【新教材，华东师大版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）当时，二次根式的值是（     ） A． B． C． D． 2．（3分）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 3．（3分）下列各式中最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 4．（3分）估算应在（   ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 5．（3分）若式子有意义，则实数的值可以是（     ）． A．-1 B．0 C．1 D．2 6．（3分）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 7．（3分）下面式子中，不是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 8．（3分）如图，某长方体的长为，宽为，高为，点是长方体的一个顶点，点是一条棱的中点．一只蚂蚁沿长方体外表面从点处爬到点处，它爬行的最短路程为（     ） A． B． C． D． 9．（3分）实数，在数轴上的位置如图所示，化简（） A． B． C． D． 10．（3分）已知代数式，，且，，其中a，b，c，d，m，n，x均为正整数，且x是开方开不尽的数，下列说法： ①若，则； ②若，，则存在两组m，n满足条件； ③当时，存在满足条件的a，b，c，d使． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的个数有_________个． 12．（3分）与最简二次根式是同类二次根式，则________． 13．（3分）如果，，那么代数式的值是_______． 14．（3分）已知，分别是的整数部分和小数部分，则______． 15．（3分）我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图所示的是一个简单的二阶幻圆模型，若内、外两个圆周上四个数之和以及外圆两直径上的四个数之和都相等，则__________． 16．（3分）若实数x，y同时满足，，则的值为___________． 三、解答题（共72分） 17．（8分）当 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 18．（8分）计算与化简求值. (1)计算：； (2)先化简再求值：，其中，． 19．（8分）先化简，再求值：，其中． 20．（8分）计算： (1)； (2)． 21．（10分）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 22．（10分）计算下列各题： (1)对实数，定义一种新运算“”：，其中，等式右边是实数运算．计算：． (2)已知多项式，，求． 23．（10分）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 24．（10分）定义：因为，是有理数，所以称与是关于的“美好数”． 例如：，则称与是关于2的“美好数”．当已知与是关于2的“美好数”，求的值时，可用来得到． (1)关于1的“美好数”是__________； (2)若是关于4的“美好数”，求的值； (3)化简：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $