2027年春季高考数学自测卷（广东小高考专用）

**基本信息** 聚焦广东小高考，覆盖集合、函数、几何等核心考点，解答题结合销售、用水调查等实际情境，适配高考复习基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/72|集合、复数、不等式、向量、立体几何等|注重基础概念辨析，梯度分布合理| |填空题|6/36|方差、三角函数、分层抽样、基本不等式等|强调计算与应用，渗透统计思想| |解答题|4/42|函数应用、统计分析、解三角形、立体几何|结合生活情境，突出数学建模与空间想象，贴合高考命题趋势|

2027年春季高考数学自测卷（广东小高考专用）解析 本试卷共22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知全集，集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又全集，所以. 2.化简复数，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 3. 是的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分不必要条件 【答案】A 【详解】因，即是的充分不必要条件 4.不等式的解集为( ) A． B． C． D．或． 【答案】D 【详解】由，得，所以或，故不等式得解集为或． 5.已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A， ，A错误； 对B，,，B错误； 对C，，，所以C正确， 对D，，D错误 6.对数函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为指数函数在上单调递增， 所以，得，所以实数a的取值范围是 7.已知函数若，则的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由题意可知，，解得 8.等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 9.设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 10.函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即， 即最小值正周期为. 11.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【详解】设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付， 则，因为，所以 12.已知，，，则、、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上为增函数，在 上为减函数， ，，， 故. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分） 13.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为______ 【答案】1 【详解】因为数据的方差是数据的方差的倍， 所以所求数据方差为 14.已知，那么的值为___________. 【答案】 【详解】 15. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为13的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则___ 【答案】120 【详解】 16.已知正实数x，y满足，则最小值为______． 【答案】9 【详解】正数，满足：， ， 当且仅当，即，时 “”成立， 17.如图，在中，，用表示，则______． 【答案】 【详解】因为，所以 18.已知，求 =______． 【答案】11 【详解】，，，. 三、解答题（共 4 小题，19、20、21 每题 10 分，22 题 12 分，共 42 分；需完整书写证明、演算步骤） 19.某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格? 解：设这批削笔器的销售价格定为元/个 由题意得,即 ∵方程的两个实数根为, 解集为 又， 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元),才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 20.为了解某900户居民的小区月度用水情况，现随机抽取其中10户进行调查，得到月度的用水情况如下（单位：吨）： 5.6、10.0、8.6、2.2、6.4、7.4、7.8、5.4、14.0、13.6 (1)求这10户居民月度用水量的平均值； (2)求这10户居民月度用水量落在区间的概率，并据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数． 【小问 1详解】这10户居民月度用水量的平均值是 所以这10户居民月度用水量的平均值为8.1吨； 【小问2详解】因为，所以落在区间的概率为， 据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数为. 21设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，． (1)当时，求a的值； (2)若．求△ABC的面积． 【小问 1详解】 因为＞0，所以B∈，所以． 由正弦定理＝，得, 所以的值为 【小问 2详解】 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20， 所以(a＋c)2－2ac＝20，即，所以． 由△ABC的面积， 所以△ABC的面积是3． 22.在正方体中，，，分别是线段，上的动点（含端点）. （1）求正方体的表面积和体积； （2）求四面体的体积 【小问 1详解】 因为在正方体中，， 所以正方体的表面积是,体积是 【小问2详解】 在正方体中，,， 所以 平面 点 在 上，因为直线 平面 ， 因此 到平面 （底面）的距离恒为正方体高 ； ， 所以 所以四面体的体积是 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年春季高考数学自测卷（广东小高考专用） 本试卷共22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知全集，集合，则（       ） A． B． C． D． 2.化简复数，则（       ） A． B． C． D． 3. 是的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分不必要条件 4.不等式的解集为( ) A． B． C． D．或． 5.已知向量，则（    ） A． B． C． D． 6.对数函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.已知函数若，则的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 8.等于（    ） A． B． C． D． 9.设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10.函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 11.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 12.已知，，，则、、的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分） 13.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为______ 14.已知，那么的值为___________. 15. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为13的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则___ 16.已知正实数x，y满足，则最小值为______． 17.如图，在中，，用表示，则______． 18.已知，求 =______． 三、解答题（共 4 小题，19、20、21 每题 10 分，22 题 12 分，共 42 分；需完整书写证明、演算步骤） 19.某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格? 20.为了解某900户居民的小区月度用水情况，现随机抽取其中10户进行调查，得到月度的用水情况如下（单位：吨）： 5.6、10.0、8.6、2.2、6.4、7.4、7.8、5.4、14.0、13.6 (1)求这10户居民月度用水量的平均值； (2)求这10户居民月度用水量落在区间的概率，并据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数． 21设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，． (1)当时，求a的值； (2)若．求△ABC的面积． 22.在正方体中，，，分别是线段，上的动点（含端点）. （1）求正方体的表面积和体积； （2）求四面体的体积 学科网（北京）股份有限公司 $