暑假作业04 万有引力与宇宙航行 专项训练-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

**基本信息** 以“知识积累-巩固提升-能力培优”三级进阶为框架，系统整合万有引力定律及应用，突出模型建构与科学推理，实现从概念到复杂问题的能力迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识积累|填空16空|开普勒定律表述、万有引力公式、黄金代换式|从行星运动规律到万有引力定律建立，形成“现象-规律-本质”逻辑链| |巩固提升练|单选8题+多选1题|卫星参量比较（高轨低速长周期）、宇宙速度应用|围绕天体运动基本模型，强化公式推导与结论应用| |能力培优练|单选10题+多选4题+解答4题|双星问题分析、黑洞模型建构、变轨问题处理|从常规卫星到复杂天体系统，深化科学论证与质疑创新|

( 完成时间： 月 日 用时： min ) 暑假作业04 万有引力与宇宙航行 ( 目 录 01 知识积累 02 巩固提升练 0 3 能力培优练 ) ( 知识梳理 一天一练，温故知新，快乐过暑假 ) 一、开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是①_  _  ，太阳处在椭圆的一个焦点上。 【答案】椭圆 2．开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的②_  _  。 【答案】面积 3．开普勒第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴的③_  _  _  _  _  _  跟它的公转周期的④_  _  _  _  _  _  的比都相等。 【答案】三次方； 二次方 二、万有引力定律 1．内容：自然界中任何两个物体都⑤_  _  _  _  _  _  _  _  ，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的⑥_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  成正比，与它们之间⑦_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  成反比。 【答案】相互吸引； 质量 和 的乘积； 距离 的二次方 2．公式：，其中_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  , 叫作引力常量，由英国物理学家卡文迪什通过扭秤实验测定。 【答案】 三、万有引力定律在天体运动中的应用 1．基本思路 （1）万有引力提供向心力:即 （2）星球表面附近的物体所受重力近似等于万有引力，，可得_  _  _  _  _  _  _  _  。 【答案】 2．求中心天体的质量和密度 （1） 通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期、轨道半径，由万有引力提供向心力，即，得出中心天体质量_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  。 （2） 若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径约等于天体半径，则天体密度⑪_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  。只要测出卫星环绕天体表面运动的⑫_  _  ，就可求得中心天体的密度。 【答案】（1） （2） ；周期 四、三种宇宙速度 第一宇宙速度（环绕速度） _  _   是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，也是人造地球卫星的最小发射速度 第二宇宙速度 是物体挣脱②_  _  引力束缚的最小发射速度 第三宇宙 速度 是物体挣脱③_  _  引力束缚的最小发射速度 【答案】7.9； 地球； 太阳 五、人造卫星的运转规律 圆周轨道上人造卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度与半径的关系： 1．由得_  _  _  _  _  _  ，越大，_  _  ； 【答案】； 越小 2．由得_  _  _  _  _  _  _  _  ，越大，_  _  ； 【答案】； 越小 3．由得_  _  _  _  _  _  _  _  ，越大，_  _  ; 【答案】； 越大 4．由得_  _  _  _  _  _  _  _  ，越大，⑪_  _  。 【答案】； 越小 六、地球静止轨道卫星 1．轨道平面一定：轨道平面和⑫_  _  平面重合。 【答案】赤道 2．周期一定：与地球⑬_  _  周期相同，即。 【答案】自转 3．角速度一定：与地球自转的角速度⑭_  _  。 【答案】相同 4.高度一定：由得，卫星离地面高度（为恒量，其中为地球半径）。 5.速率一定：运行速率（为恒量）。 6．绕行方向一定：与地球自转的方向⑮_  _  。 【答案】一致 1．判断下列说法对错。 （1） 同步卫星可以定点在北京市的正上方。（ ） （2） 不同的同步卫星的质量可能不同，但离地面的高度一定相同。（ ） （3） 第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度。（ ） （4） 第一宇宙速度的大小与地球质量有关。（ ） （5） 月球的第一宇宙速度也是。（ ） （6） 同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。（ ） （7） 若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体可绕太阳运行。（ ） 【答案】（1） × （2） √ （3） × （4） √ （5） × （6） √ （7） √ 2．牛顿在思考万有引力定律时就曾想，把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落点一次比一次远。如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星。如图所示是牛顿设想的一颗卫星，它沿椭圆轨道运动。下列说法正确的是（ ） A. 地球的球心与椭圆的中心重合 B. 卫星在近地点的速率小于在远地点的速率 C. 卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度 D. 卫星与椭圆中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积 【答案】C 3．木星绕太阳的公转，以及卫星绕木星的公转，均可以看作匀速圆周运动。已知引力常量，并且已经观测到木星和卫星的公转周期。要求得木星的质量，还需要测量的物理量是（ ） A. 太阳的质量 B. 卫星的质量 C. 木星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径 D. 卫星绕木星做匀速圆周运动的轨道半径 【答案】D 4．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是（ ） A. 第一宇宙速度又叫环绕速度 B. 第一宇宙速度又叫脱离速度 C. 第一宇宙速度跟地球的质量无关 D. 第一宇宙速度跟地球的半径无关 【答案】A 5．质量为的人造地球卫星，做匀速圆周运动。它离地面的高度等于地球半径，地面上的重力加速度为。则卫星的（ ） A. 周期为 B. 加速度为 C. 动能为 D. 速度为 【答案】A 6．多选 北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统，建立后的北斗卫星导航系统包括5颗静止卫星和30颗一般轨道卫星。关于这些卫星，以下说法正确的是（ ） A. 5颗静止卫星的轨道半径都相同 B. 5颗静止卫星的运行轨道必定在同一平面内 C. 北斗卫星导航系统所有卫星的运行速度一定都大于第一宇宙速度 D. 北斗卫星导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的，周期越小 【答案】AB 7. 我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，下列说法正确的是（ ） A. 火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度 B. 火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间 C. 火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 D. 火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度 【答案】A 8. 使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系是。已知某星球的半径为地球半径的4倍，质量为地球质量的2倍，地球表面重力加速度为。不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 9. 如图所示，、为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，为地球同步卫星，、两卫星的轨道半径的比值为，地球自转周期为。某时刻、两卫星距离最近，从该时刻起到、间距离最远所经历的最短时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 10. 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为的轨道上运行，如图甲所示，周期为；另一种是三颗星位于边长为的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为。则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 一、单选题 1．中国古代是一个农业社会，农业需要深入了解太阳运行情况，农事活动根据太阳运行进行，所以在历法中又加入了单独反映太阳运行周期的“二十四节气”。已知春分、夏至、秋分和冬至所处的四个位置如图所示，地球沿椭圆轨道绕太阳运动，下列说法正确的是（     ） A．地球由春分运行到秋分的时间等于由秋分运行到春分的时间 B．地球绕太阳公转时，在夏至处的线速度大于在冬至处的线速度 C．地球由春分运行到夏至的过程中加速度逐渐增大 D．地球和太阳的连线在相等的时间内扫过的面积总是相等 【答案】D 【详解】A．太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，根据开普勒第二定律可知，在椭圆轨道上运行时，离太阳越近，运行速度越大；由题图可知地球由春分运行到秋分的时间大于由秋分运行到春分的时间，故A错误； B．地球绕太阳公转时，由题图可知夏至处为远日点，冬至处为近日点，根据开普勒第二定律可知，在夏至处的线速度小于在冬至处的线速度，故B错误； C．根据牛顿第二定律可得 解得 地球由春分运行到夏至的过程中，与太阳的距离r逐渐增大，因此加速度逐渐减小，故C错误； D．根据开普勒第二定律可知，地球和太阳的连线在相等的时间内扫过的面积总是相等，故D正确。 故选 D。 2．如图所示，关于开普勒三大定律，下列说法正确的是（     ） A．火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间短 B．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点运行的速率相等 C．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 D．在相等时间内，火星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积相等 【答案】C 【详解】A．根据开普勒第三定律，火星轨道的半长轴大于地球轨道的半长轴，则火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间长，A错误； B．根据开普勒第二定律，地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点运行的速率大于在远日点的速率，B错误； C．根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，C正确； D．根据开普勒第二定律，因火星和地球在不同的轨道上运动，则在相等时间内，火星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积不相等，D错误。 故选C。 3．如图所示，某时刻在赤道的正上方恰好有三颗卫星排成一条直线，分别是近地轨道卫星b、地球静止轨道卫星c和高空探测卫星d。已知它们均做匀速圆周运动，下列说法正确的是（     ） A．卫星c的周期大于卫星d的周期 B．卫星c的速度大小大于卫星b的速度大小 C．卫星c的加速度大小大于卫星b的加速度大小 D．地球对卫星c和对卫星d的万有引力大小可能相等 【答案】D 【详解】A．根据万有引力提供向心力结合牛顿第二定律可得 解得，由题图可知，则卫星c的周期小于卫星d的周期，故A错误； B．同理可得 解得，由题图可知，则卫星c的速度大小小于卫星b的速度大小，故B错误； C．同理可得 解得，由题图可知，则卫星c的加速度大小小于卫星b的加速度大小，故C错误； D．根据，由题图可知，卫星质量关系不确定，所以地球对卫星c和对卫星d的万有引力大小可能相等，故D正确。 故选D。 4．哈雷彗星在近日点P与太阳中心距离为，线速度，加速度；远日点Q距离，线速度，加速度。则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】根据开普勒第二定律（或角动量守恒定律 ），由于近日点距离小于远日点距离（），所以近日点线速度大于远日点线速度，即 根据万有引力定律和牛顿第二定律 解得加速度 ，由于 ，所以 ，故A正确，BCD错误。 故选A。 5．如图甲所示，质量分布均匀的球体，球心为O、半径为R，视为质点的物体放在距球心O为3R的A点，物体受球体的引力大小为F。现在球体的中心挖走一半径为的小球，如图乙所示，则剩余的空心球体对物体的引力大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设原实心球体的质量为，位于点的质点质量为。根据万有引力定律，原实心球体对物体的引力大小为 由于球体质量分布均匀，挖去的小球与原球体属于同种材料，根据 质量与半径的立方成正比。挖去的小球半径为，则其质量 挖去的小球的球心依然在点，距点的距离同为，若该部分存在，其对位于点物体的引力大小应为 根据割补法，剩余空心部分对物体的引力大小等于原整体的引力减去被挖去部分的引力，即 故选A。 6．如图所示，有一半径为、密度均匀的球体，现从中挖去半径为的球体，为球体球心，为球形空腔的球心，为球形空腔与球体的切点，为连线上与点距离为的点，球体的体积公式。若质量为的质点始终位于位置，则在挖去前（无空腔）和挖去后（有空腔）质点受到的万有引力之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设原大球密度为，原大球质量 挖去的小球半径为​，其质量 由位置关系可得（大球球心）到的距离，（小球球心）到的距离；均匀球体对球外质点的引力可等效为质量集中在球心，则在挖去前（无空腔）质点受到的万有引力大小为 被挖去的小球对质点的万有引力大小为 则在挖去前（无空腔）和挖去后（有空腔）质点受到的万有引力之比为 故选B。 7．离地球280光年外有一恒星TOI-561。与TOI-561相距约0.01 AU（日地距离为1 AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则TOI-561与太阳的质量的比值约为（     ） A．0.16 B．0.64 C．1.6 D．6.4 【答案】B 【详解】根据题意，由万有引力提供向心力有 可得 则有 故选B。 8．中国空间站天和核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知其轨道距地面的高度为，运行周期为，地球半径为，引力常量为，由此可得到地球的平均密度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】中国空间站天和核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有 可求得地球的质量 地球可近似看作球体，根据密度的定义式得 故选C。 9．“天宫二号”在距地面390 km的轨道上运行，“天链二号01星”是一颗地球静止轨道卫星，可为“天宫二号”与地面测控站间数据传输提供中继服务，两者均绕地球做匀速圆周运动。则（     ） A．“天宫二号”的速度大于第一宇宙速度 B．“天链二号01星”能经过广州上空 C．“天链二号01星”的角速度比“天宫二号”的角速度小 D．“天链二号01星”的加速度小于赤道上物体随地球自转的向心加速度 【答案】C 【详解】A．第一宇宙速度是近地圆轨道卫星的环绕速度，也是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度。根据 解得 由于“天宫二号”的轨道半径大于地球半径，所以其运行速度小于第一宇宙速度，故A错误； B．“天链二号01星”是地球静止轨道卫星，其轨道平面必须与地球赤道平面重合，而广州不在赤道上，所以该卫星不可能经过广州上空，故B错误； C．根据 解得 由图可知，“天链二号01星”的轨道半径远大于“天宫二号”的轨道半径，所以“天链二号01星”的角速度比“天宫二号”的角速度小，故C正确； D．“天链二号01星”是地球静止轨道卫星，其角速度与地球自转角速度相同，即与赤道上物体随地球自转的角速度相等。 “天链二号01星”的轨道半径大于地球半径（即赤道上物体的旋转半径），根据向心加速度公式，可得“天链二号01星”的加速度大于赤道上物体随地球自转的向心加速度，故D错误。 故选C。 10．如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期为2T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力，引力常量为G，下列说法正确的（　　） A．C的质量为 B．B的质量为 C．A的质量为 D．A、B的轨道半径之比为 【答案】D 【详解】A、B相距，绕共同质心做周期为的匀速圆周运动。由万有引力提供向心力、，周期满足、，轨道半径满足 联立得总质量，轨道半径与质量成反比 C绕B做匀速圆周运动，轨道半径，周期。忽略A对C的引力，且C对B的引力远小于A对B的引力，可认为B静止。由万有引力提供向心力，周期满足 联立解得 AB．由上述分析得B的质量，C的质量在求解过程被消掉，无法由已知条件求得，故AB错误； C．，故C错误； D．，故D正确。 故选D。 二、多选题 11．中国火星探测器“天问一号”在火星表面的目标着陆点成功着陆，“祝融号”火星车开展巡视探测。火星车在完成90个火星日的既定探测任务后，继续实施拓展任务。若探测器在控制系统的指令下在火星“地面”附近以初速度v0竖直向上抛出一物块，经时间t落至“地面”。已知火星的半径为R，引力常量为G，将火星看作是质量分布均匀的球体，忽略火星自转，不计空气阻力，下列说法中正确的是（     ） A．火星表面的重力加速度为 B．火星的质量为 C．火星的平均密度为 D．火星的第一宇宙速度为 【答案】CD 【详解】A．根据竖直上抛运动的规律可知，物块从抛出到落回“地面”的时间为 解得火星表面的重力加速度为，故A错误； B．根据在火星表面物体受到的万有引力等于物体的重力有 解得火星的质量为，故B错误； C．火星的平均密度为，故C正确； D．卫星在火星表面附近做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力有 解得火星的第一宇宙速度为，故D正确。 故选CD。 12．在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭将嫦娥四号发射，嫦娥四号成功登陆月球背面，人类首次实现了月球背面软着陆。简化如图，嫦娥四号沿着地月转移轨道飞向月球，到达近月轨道上P点时的速度为v0，经过短暂“太空刹车”，进入近月圆轨道绕月球运动，在近月圆轨道上运行周期为T，已知嫦娥四号的质量为m，月球半径为R，引力常量为G，不计嫦娥四号的质量变化，下列说法正确的是（     ） A．嫦娥四号在西昌卫星发射中心的发射速度介于11.2km/s和16.7km/s之间 B．嫦娥四号在绕月球圆轨道上运行周期的平方与轨道半径三次方的比值等于嫦娥四号在绕地球圆轨道上运行周期的平方与轨道半径三次方的比值 C．月球的平均密度 D．“太空刹车”过程中火箭发动机对嫦娥四号做的功绝对值为 【答案】CD 【详解】A．月球是地球的卫星，在地球引力束缚范围内，那么嫦娥四号作为月球的卫星，仍然在地球引力束缚范围内，所以嫦娥四号在西昌卫星发射中心的发射速度小于11.2km/s，故A错误； B．由于卫星运行周期的平方与轨道半径三次方的比值与中心天体的质量M有关，嫦娥四号在绕月球圆轨道上运行周期的平方与轨道半径三次方的比值不等于嫦娥四号在绕地球圆轨道上运行周期的平方与轨道半径三次方的比值，故B错误； C．根据万有引力供向心力有 且 解得，故C正确； D．根据动能定理，“太空刹车”过程中火箭发动机对嫦娥四号做的功绝对值为 又有 联立解得，故D正确。 故选CD。 13．如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球静止卫星。下列关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中，正确的是（　　） A．角速度的大小关系为ωb > ωc = ωa B．向心加速度的大小关系为aa > ab > ac C．线速度的大小关系为vb > vc > va D．周期关系为Ta = Tc <Tb 【答案】AC 【详解】A．对b、c，根据万有引力提供向心力得，解得 因为c的轨道半径大于b的半径，所以 对a、c，角速度相等，即 所以，故A正确； B．对b、c，根据万有引力提供向心力得 解得 因为c的轨道半径大于b的半径，所以 对a、c，角速度相等，又由 所以 所以，故B错误； C．对b、c，根据万有引力提供向心力得，解得 因为c的轨道半径大于b的半径，所以 对a、c，角速度相等，又由 所以 所以，故C正确； D．对b、c，根据万有引力提供向心力得，解得 因为c的轨道半径大于b的半径，所以 对a、c，周期相等，即 所以，故D错误。 故选AC。 14．如图所示，天狼星A是在地球上观察到除太阳外全天最亮的恒星，它还有一颗白矮星伴星天狼星B，两者一起绕连线上的O点做匀速圆周运动。已知天狼星A的质量约为天狼星B的2倍。两星可视为质点，两星间的距离为L，天狼星B的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（     ） A．天狼星A、天狼星B的向心力之比约为 B．天狼星A、天狼星B做圆周运动的角速度之比约为 C．天狼星A、天狼星B做圆周运动的线速度之比约为 D．天狼星A做圆周运动的周期约为 【答案】CD 【详解】A．天狼星A、天狼星B的向心力为二者之间的万有引力，之比为，A错误； B．依题意，两者一起绕连线上的O点做匀速圆周运动，周期相同，由，知二者角速度之比为，B错误； C．设天狼星A的质量为，由万有引力提供向心力 对天狼星A，有 对天狼星B，有 得 由 对天狼星A，有 对天狼星B，有 得，即天狼星A、天狼星B做圆周运动的线速度之比约为，C正确； D．由万有引力提供向心力 对天狼星A，有 依题意，有 综上可得，D正确。 故选CD。 三、解答题 15．2024年5月，嫦娥六号探测器在我国文昌成功发射，之后进入地月转移轨道，5月8日探测器成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行，做周期为T的匀速圆周运动，之后登陆月球，完成月球背面采样任务后成功返回。若探测器登陆月球后，采集的质量为m的土壤静置在月球表面的水平压力传感器上，传感器的示数为F。已知月球半径为R，引力常量为G，求： (1)月球表面的重力加速度； (2)月球质量； (3)环月轨道距月球表面的高度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）传感器示数等于压力，根据牛顿第三定律，压力与支持力大小相等，因此 整理得 （2）月球表面物体的重力近似等于月球对物体的万有引力，设月球质量为，对月球表面任意质量的物体，满足 代入​，整理得 （3）设轨道高度为，则探测器的圆周运动轨道半径，万有引力提供圆周运动向心力 整理得 代入，整理得 【点睛】 16．从1970年中国成功发射第一颗人造地球卫星东方红一号起，预计至2025年，中国发射的卫星数量已超过1000颗，这标志着中国航天技术实现了从跟跑到并跑，乃至领跑的跨越式发展。现有一颗在赤道上空运行的人造卫星质量为m，它到地球表面的距离等于地球的半径，转动的方向与地球的自转方向相同。若地球的半径为R，自转的角速度为ω0，地球两极处的重力加速度大小为g，引力常量为G。求： (1)地球质量M； (2)该人造卫星的线速度v； (3)若将该人造卫星升高轨道变为地球的同步卫星，则卫星到地球表面的距离需增加多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）地球两极处物体不需要向心力，万有引力等于重力，对两极处任意质量的物体有 得 （2）该卫星到地心的轨道半径，万有引力提供向心力 整理得 （3）设同步卫星轨道半径为，同步卫星角速度等于地球自转角速度，万有引力提供向心力 整理得 原卫星离地距离为，同步卫星离地距离为，因此需要增加的距离 17．天体的第二宇宙速度又叫作逃逸速度，大小是第一宇宙速度的倍。逃逸速度大于或等于真空中光速的天体即为黑洞。已知太阳的质量为，半径为，引力常量为，真空中光速为。求： (1)求太阳的第一宇宙速度； (2)求太阳表面重力加速度； (3)若某个黑洞的质量是太阳质量的n倍，则其半径的最大值为多大？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由 得太阳的第一宇宙速度 （2）由 太阳表面重力加速度 （3）若某个黑洞的质量是太阳质量的n倍，半径为,该黑洞的第一宇宙速度 第二宇宙速度 联立解得 故其半径的最大值为。 18．人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。已知天体的质量越大，半径越小，逃逸速度也就越大，其表面的物体就越不容易脱离它的束缚。如果有这样的天体，它的质量非常大，半径又非常小，以至于以光速c的速度传播的光恰好不能从它的表面逃逸出去，这种天体就称为黑洞。 (1)如果天文学家观测到与某黑洞中心相距为r的天体以周期T绕黑洞做匀速圆周运动，已知引力常量为G，则该黑洞的质量为多少？ (2)第一宇宙速度又叫作环绕速度，第二宇宙速度又叫作逃逸速度。理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍。这个关系对于其他天体（如黑洞）也是正确的。黑洞具有非常强的引力，即使以光速c的速度传播的光也恰好不能从它的表面逃逸出去。请你根据（1）（2）的信息，解决以下问题： ①该黑洞的第一宇宙速度至少是多少？ ②该黑洞的半径最大是多少？ 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）万有引力提供向心力 解得 （2）①第一宇宙速度为逃逸速度的，即 ②第一宇宙速度为近地环绕速度 可得 将M代入得到 1.人造卫星的动力学特征 万有引力提供向心力，即。 2.人造卫星的运动学特征 由上述动力学关系可推导出人造卫星运行参量与轨道半径的关系：高轨低速长周期。 3.卫星的轨道类型 （1）赤道轨道:卫星的轨道在赤道所在平面内，卫星始终处于赤道上方。静止卫星的轨道就是其中的一种。 （2）极地轨道:卫星的轨道平面与赤道平面垂直，卫星经过两极上空，如极地气象卫星的轨道。 （3）倾斜轨道:除以上两种轨道外的卫星轨道，卫星轨道平面与赤道平面成一定角度，且轨道的圆心都在地球的球心。 4.静止卫星的六个“一定” 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 完成时间： 月 日 用时： min ) 暑假作业04 万有引力与宇宙航行 ( 目 录 01 知识积累 02 巩固提升练 0 3 能力培优练 ) ( 知识梳理 一天一练，温故知新，快乐过暑假 ) 一、开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是①_  _  ，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2．开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的②_  _  。 3．开普勒第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴的③_  _  _  _  _  _  跟它的公转周期的④_  _  _  _  _  _  的比都相等。 二、万有引力定律 1．内容：自然界中任何两个物体都⑤_  _  _  _  _  _  _  _  ，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的⑥_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  成正比，与它们之间⑦_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  成反比。 2．公式：，其中_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  , 叫作引力常量，由英国物理学家卡文迪什通过扭秤实验测定。 三、万有引力定律在天体运动中的应用 1．基本思路 （1）万有引力提供向心力:即 （2）星球表面附近的物体所受重力近似等于万有引力，，可得_  _  _  _  _  _  _  _  。 2．求中心天体的质量和密度 （1） 通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期、轨道半径，由万有引力提供向心力，即，得出中心天体质量_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  。 （2） 若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径约等于天体半径，则天体密度⑪_  _  _  _  _  _  _  _  _  _  。只要测出卫星环绕天体表面运动的⑫_  _  ，就可求得中心天体的密度。 四、三种宇宙速度 第一宇宙速度（环绕速度） _  _   是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，也是人造地球卫星的最小发射速度 第二宇宙速度 是物体挣脱②_  _  引力束缚的最小发射速度 第三宇宙 速度 是物体挣脱③_  _  引力束缚的最小发射速度 五、人造卫星的运转规律 圆周轨道上人造卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度与半径的关系： 1．由得_  _  _  _  _  _  ，越大，_  _  ； 2．由得_  _  _  _  _  _  _  _  ，越大，_  _  ； 3．由得_  _  _  _  _  _  _  _  ，越大，_  _  ; 4．由得_  _  _  _  _  _  _  _  ，越大，⑪_  _  。 六、地球静止轨道卫星 1．轨道平面一定：轨道平面和⑫_  _  平面重合。 2．周期一定：与地球⑬_  _  周期相同，即。 3．角速度一定：与地球自转的角速度⑭_  _  。 4.高度一定：由得，卫星离地面高度（为恒量，其中为地球半径）。 5.速率一定：运行速率（为恒量）。 6．绕行方向一定：与地球自转的方向⑮_  _  。 1．判断下列说法对错。 （1） 同步卫星可以定点在北京市的正上方。（ ） （2） 不同的同步卫星的质量可能不同，但离地面的高度一定相同。（ ） （3） 第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度。（ ） （4） 第一宇宙速度的大小与地球质量有关。（ ） （5） 月球的第一宇宙速度也是。（ ） （6） 同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。（ ） （7） 若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体可绕太阳运行。（ ） 2．牛顿在思考万有引力定律时就曾想，把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落点一次比一次远。如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星。如图所示是牛顿设想的一颗卫星，它沿椭圆轨道运动。下列说法正确的是（ ） A. 地球的球心与椭圆的中心重合 B. 卫星在近地点的速率小于在远地点的速率 C. 卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度 D. 卫星与椭圆中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积 3．木星绕太阳的公转，以及卫星绕木星的公转，均可以看作匀速圆周运动。已知引力常量，并且已经观测到木星和卫星的公转周期。要求得木星的质量，还需要测量的物理量是（ ） A. 太阳的质量 B. 卫星的质量 C. 木星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径 D. 卫星绕木星做匀速圆周运动的轨道半径 4．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是（ ） A. 第一宇宙速度又叫环绕速度 B. 第一宇宙速度又叫脱离速度 C. 第一宇宙速度跟地球的质量无关 D. 第一宇宙速度跟地球的半径无关 5．质量为的人造地球卫星，做匀速圆周运动。它离地面的高度等于地球半径，地面上的重力加速度为。则卫星的（ ） A. 周期为 B. 加速度为 C. 动能为 D. 速度为 6．多选 北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统，建立后的北斗卫星导航系统包括5颗静止卫星和30颗一般轨道卫星。关于这些卫星，以下说法正确的是（ ） A. 5颗静止卫星的轨道半径都相同 B. 5颗静止卫星的运行轨道必定在同一平面内 C. 北斗卫星导航系统所有卫星的运行速度一定都大于第一宇宙速度 D. 北斗卫星导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的，周期越小 7. 我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，下列说法正确的是（ ） A. 火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度 B. 火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间 C. 火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度 D. 火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度 8. 使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系是。已知某星球的半径为地球半径的4倍，质量为地球质量的2倍，地球表面重力加速度为。不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，、为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，为地球同步卫星，、两卫星的轨道半径的比值为，地球自转周期为。某时刻、两卫星距离最近，从该时刻起到、间距离最远所经历的最短时间为（ ） A. B. C. D. 10. 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为的轨道上运行，如图甲所示，周期为；另一种是三颗星位于边长为的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为。则为（ ） A. B. C. D. 一、单选题 1．中国古代是一个农业社会，农业需要深入了解太阳运行情况，农事活动根据太阳运行进行，所以在历法中又加入了单独反映太阳运行周期的“二十四节气”。已知春分、夏至、秋分和冬至所处的四个位置如图所示，地球沿椭圆轨道绕太阳运动，下列说法正确的是（     ） A．地球由春分运行到秋分的时间等于由秋分运行到春分的时间 B．地球绕太阳公转时，在夏至处的线速度大于在冬至处的线速度 C．地球由春分运行到夏至的过程中加速度逐渐增大 D．地球和太阳的连线在相等的时间内扫过的面积总是相等 2．如图所示，关于开普勒三大定律，下列说法正确的是（     ） A．火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间短 B．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点运行的速率相等 C．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 D．在相等时间内，火星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积相等 3．如图所示，某时刻在赤道的正上方恰好有三颗卫星排成一条直线，分别是近地轨道卫星b、地球静止轨道卫星c和高空探测卫星d。已知它们均做匀速圆周运动，下列说法正确的是（     ） A．卫星c的周期大于卫星d的周期 B．卫星c的速度大小大于卫星b的速度大小 C．卫星c的加速度大小大于卫星b的加速度大小 D．地球对卫星c和对卫星d的万有引力大小可能相等 4．哈雷彗星在近日点P与太阳中心距离为，线速度，加速度；远日点Q距离，线速度，加速度。则（     ） A．， B．， C．， D．， 5．如图甲所示，质量分布均匀的球体，球心为O、半径为R，视为质点的物体放在距球心O为3R的A点，物体受球体的引力大小为F。现在球体的中心挖走一半径为的小球，如图乙所示，则剩余的空心球体对物体的引力大小为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，有一半径为、密度均匀的球体，现从中挖去半径为的球体，为球体球心，为球形空腔的球心，为球形空腔与球体的切点，为连线上与点距离为的点，球体的体积公式。若质量为的质点始终位于位置，则在挖去前（无空腔）和挖去后（有空腔）质点受到的万有引力之比为（    ） A． B． C． D． 7．离地球280光年外有一恒星TOI-561。与TOI-561相距约0.01 AU（日地距离为1 AU）的行星绕其公转的周期约为地球公转周期的，该行星和地球的公转均视为匀速圆周运动。则TOI-561与太阳的质量的比值约为（     ） A．0.16 B．0.64 C．1.6 D．6.4 8．中国空间站天和核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知其轨道距地面的高度为，运行周期为，地球半径为，引力常量为，由此可得到地球的平均密度为（     ） A． B． C． D． 9．“天宫二号”在距地面390 km的轨道上运行，“天链二号01星”是一颗地球静止轨道卫星，可为“天宫二号”与地面测控站间数据传输提供中继服务，两者均绕地球做匀速圆周运动。则（     ） A．“天宫二号”的速度大于第一宇宙速度 B．“天链二号01星”能经过广州上空 C．“天链二号01星”的角速度比“天宫二号”的角速度小 D．“天链二号01星”的加速度小于赤道上物体随地球自转的向心加速度 10．如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期为2T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力，引力常量为G，下列说法正确的（　　） A．C的质量为 B．B的质量为 C．A的质量为 D．A、B的轨道半径之比为 二、多选题 11．中国火星探测器“天问一号”在火星表面的目标着陆点成功着陆，“祝融号”火星车开展巡视探测。火星车在完成90个火星日的既定探测任务后，继续实施拓展任务。若探测器在控制系统的指令下在火星“地面”附近以初速度v0竖直向上抛出一物块，经时间t落至“地面”。已知火星的半径为R，引力常量为G，将火星看作是质量分布均匀的球体，忽略火星自转，不计空气阻力，下列说法中正确的是（     ） A．火星表面的重力加速度为 B．火星的质量为 C．火星的平均密度为 D．火星的第一宇宙速度为 12．在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭将嫦娥四号发射，嫦娥四号成功登陆月球背面，人类首次实现了月球背面软着陆。简化如图，嫦娥四号沿着地月转移轨道飞向月球，到达近月轨道上P点时的速度为v0，经过短暂“太空刹车”，进入近月圆轨道绕月球运动，在近月圆轨道上运行周期为T，已知嫦娥四号的质量为m，月球半径为R，引力常量为G，不计嫦娥四号的质量变化，下列说法正确的是（     ） A．嫦娥四号在西昌卫星发射中心的发射速度介于11.2km/s和16.7km/s之间 B．嫦娥四号在绕月球圆轨道上运行周期的平方与轨道半径三次方的比值等于嫦娥四号在绕地球圆轨道上运行周期的平方与轨道半径三次方的比值 C．月球的平均密度 D．“太空刹车”过程中火箭发动机对嫦娥四号做的功绝对值为 13．如图所示，a为地球赤道上的物体，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球静止卫星。下列关于a、b、c做匀速圆周运动的说法中，正确的是（　　） A．角速度的大小关系为ωb > ωc = ωa B．向心加速度的大小关系为aa > ab > ac C．线速度的大小关系为vb > vc > va D．周期关系为Ta = Tc <Tb 14．如图所示，天狼星A是在地球上观察到除太阳外全天最亮的恒星，它还有一颗白矮星伴星天狼星B，两者一起绕连线上的O点做匀速圆周运动。已知天狼星A的质量约为天狼星B的2倍。两星可视为质点，两星间的距离为L，天狼星B的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是（     ） A．天狼星A、天狼星B的向心力之比约为 B．天狼星A、天狼星B做圆周运动的角速度之比约为 C．天狼星A、天狼星B做圆周运动的线速度之比约为 D．天狼星A做圆周运动的周期约为 三、解答题 15．2024年5月，嫦娥六号探测器在我国文昌成功发射，之后进入地月转移轨道，5月8日探测器成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行，做周期为T的匀速圆周运动，之后登陆月球，完成月球背面采样任务后成功返回。若探测器登陆月球后，采集的质量为m的土壤静置在月球表面的水平压力传感器上，传感器的示数为F。已知月球半径为R，引力常量为G，求： (1)月球表面的重力加速度； (2)月球质量； (3)环月轨道距月球表面的高度。 16．从1970年中国成功发射第一颗人造地球卫星东方红一号起，预计至2025年，中国发射的卫星数量已超过1000颗，这标志着中国航天技术实现了从跟跑到并跑，乃至领跑的跨越式发展。现有一颗在赤道上空运行的人造卫星质量为m，它到地球表面的距离等于地球的半径，转动的方向与地球的自转方向相同。若地球的半径为R，自转的角速度为ω0，地球两极处的重力加速度大小为g，引力常量为G。求： (1)地球质量M； (2)该人造卫星的线速度v； (3)若将该人造卫星升高轨道变为地球的同步卫星，则卫星到地球表面的距离需增加多少？ 17．天体的第二宇宙速度又叫作逃逸速度，大小是第一宇宙速度的倍。逃逸速度大于或等于真空中光速的天体即为黑洞。已知太阳的质量为，半径为，引力常量为，真空中光速为。求： (1)求太阳的第一宇宙速度； (2)求太阳表面重力加速度； (3)若某个黑洞的质量是太阳质量的n倍，则其半径的最大值为多大？ 18．人类对未知事物的好奇和科学家们的不懈努力，使人类对宇宙的认识越来越丰富。已知天体的质量越大，半径越小，逃逸速度也就越大，其表面的物体就越不容易脱离它的束缚。如果有这样的天体，它的质量非常大，半径又非常小，以至于以光速c的速度传播的光恰好不能从它的表面逃逸出去，这种天体就称为黑洞。 (1)如果天文学家观测到与某黑洞中心相距为r的天体以周期T绕黑洞做匀速圆周运动，已知引力常量为G，则该黑洞的质量为多少？ (2)第一宇宙速度又叫作环绕速度，第二宇宙速度又叫作逃逸速度。理论分析表明，逃逸速度是环绕速度的倍。这个关系对于其他天体（如黑洞）也是正确的。黑洞具有非常强的引力，即使以光速c的速度传播的光也恰好不能从它的表面逃逸出去。请你根据（1）（2）的信息，解决以下问题： ①该黑洞的第一宇宙速度至少是多少？ ②该黑洞的半径最大是多少？ 1.人造卫星的动力学特征 万有引力提供向心力，即。 2.人造卫星的运动学特征 由上述动力学关系可推导出人造卫星运行参量与轨道半径的关系：高轨低速长周期。 3.卫星的轨道类型 （1）赤道轨道:卫星的轨道在赤道所在平面内，卫星始终处于赤道上方。静止卫星的轨道就是其中的一种。 （2）极地轨道:卫星的轨道平面与赤道平面垂直，卫星经过两极上空，如极地气象卫星的轨道。 （3）倾斜轨道:除以上两种轨道外的卫星轨道，卫星轨道平面与赤道平面成一定角度，且轨道的圆心都在地球的球心。 4.静止卫星的六个“一定” 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $