暑假收心卷（暑假测试，因式分解+分式+二次根式）新八年级数学新教材湘教版

**基本信息** 暑假收心卷聚焦湘教版八年级上册第1~3章，以无人机巡检、土楼建筑等真实情境为载体，通过基础巩固与创新应用的梯度设计，强化二次根式、分式、因式分解等核心知识的理解与运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|二次根式化简、分式值为0条件等|注重概念辨析，如最简二次根式判断| |填空题|6/18|科学记数法、因式分解等|融入碳纤维技术、密码生成等情境，考查运算能力| |解答题|8/66|分式方程、整体思想因式分解等|含图形面积与代数结合（土楼圆环宽度）、错误辨析（二次根式性质）等综合题，培养推理意识与模型观念|

暑假收心卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 训练范围：新教材，湘教版八年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 下列二次根式，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需要满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】选项A：，分母中含有二次根式，需有理化，不是最简二次根式； 选项B：，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 选项C：，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； 选项D：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式，满足最简二次根式的条件． 2．若分式的值为0，则实数的值为（     ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分式值为0需满足分子为0，同时分母不为0，据此计算即可得到x的值 【详解】解：∵分式的值为 ∴ 解得，且满足 ∴的值为 3．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：因式分解要求等式左边为多项式，右边为几个整式的积的形式， A中从左到右是整式乘法，结果为和的形式，不属于因式分解，错误； B中，左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义，正确； C中等式本身变形错误，不属于因式分解，错误； D中等式本身变形错误，且结果不是整式积的形式，不属于因式分解，错误． 4．化简的结果是（     ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】利用分式除法法则，先对分子分母因式分解，再约分计算即可得到结果． 【详解】解： ． 5．计算的正确结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 6．若是整数，则下列选项的值一定为偶数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整数分为奇数和偶数，结合奇偶数的运算性质，分情况讨论每个选项，即可得到一定为偶数的结果． 【详解】解：由于是整数，则分为奇数、为偶数两种情况讨论： 选项A、当是奇数时，取，则是奇数，因此A错误； 选项B、，当是偶数时，取，则是奇数，因此B错误； 选项C、当是偶数时，取，则是奇数，因此C错误； 选项D、，若是偶数，偶数乘任意整数结果为偶数，因此原式是偶数；若是奇数，奇数奇数偶数，奇数乘偶数结果为偶数，因此原式是偶数； 无论是奇数还是偶数，一定为偶数，因此D正确． 7．估计的值应在（     ） A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间 【答案】A 【分析】先利用二次根式乘法运算法则化简原式，再估算无理数的取值范围，即可得到原式的大小范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 即的值在和之间． 8．如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值、整体代入法求代数式的值．根据长方形的周长和面积可得：，，利用完全平方公式可得，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解：边长为，的长方形的周长为，面积为， ，， ， ， ． 故选：A． 9．若关于的分式方程有增根，则的值为(     ) A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】方程两边同乘，得到整式方程，由于原分式方程有增根，则且当时，，据此求出m的值即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理，得， ∵原分式方程有增根， ∴，即， ∴， ∴当时，， 解得． 10．对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据给定的运算规则分别计算，，然后得出，再通过二次根式的运算法则即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 11．若a，b为实数，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的非负数的性质及代数式求值，利用非负数的性质，确定a和b的值，然后代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴且， ∴，， ∴ 故选：C． 12．如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】先根据题意得出，，，再代入原式进行计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是正数，且满足， ∴，，， ∴ ． 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 13．2026年我国国产高性能碳纤维实现量产突破，超细碳纤维单丝直径低至，将用科学记数法表示为_______． 【答案】 【分析】根据科学记数法的定义，确定和的值即可求解，其中，为原数第一个非零数字前零的个数． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 14．分解因式：_____． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解． 【详解】解：． 15．若式子在实数范围内有意义，则，的取值范围分别是_______，_______． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，即可分别求出和的取值范围 【详解】要使在实数范围内有意义，需同时满足分式和二次根式有意义的条件， ①对于分式，根据分式有意义的条件，分母不等于，可得； ②对于二次根式，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得 ，解得； 16．无人机巡检是新一代智慧运维技术，具有效率高、安全性强、适用范围广的特点．若巡检一段的线路，无人机巡检比人工巡检少用，且无人机巡检的速度是人工巡检的1.5倍，则无人机巡检的速度为__________． 【答案】60 【分析】设人工巡检速度为，列出方程解出后乘以即可得出无人机巡检速度． 【详解】解：设人工巡检速度为， ， 解得，， 经检验：是原方程的根且符合题意， 无人机速度为． 17．生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为．当时，，此时可得到数字密码202317．将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码151719，则______． 【答案】 【分析】先对多项式提取公因式，再根据密码得到因式分解的结果，展开多项式后对应系数相等求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：， 当时，可以得到密码， 分解后的三个因式为，，，即分解结果为， ， ，， ． 18．如图1，土楼是中国传统的夯土民居建筑，图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环．已知大圆和小圆的面积分别为和，则圆环的宽度________ ．（，结果化为最简二次根式） 【答案】 【分析】根据圆的面积公式分别求出大圆和小圆的半径，再利用圆环宽度等于大圆半径减去小圆半径进行计算． 【详解】解：设大圆的半径为 ，小圆的半径为， 由题意得 ，， 解得，， ． 三．解答题（本题共8小题，共66分） 19．（6分）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 20．（6分）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 21．（8分）解分式方程及化简求值 (1)解分式方程：． (2)先化简：，然后从，0，1，2这四个数中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】(1) . (2) 化简结果为，代入求值结果为. 【分析】（1）首先确定最简公分母，因为方程两边的分母分别为和，互为相反数，所以可将分母统一为，再给方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解，最后要验根． （2）先处理括号内的分式减法，通分计算后，因为除法要转化为乘法计算，所以将除式的分子分母因式分解，约分得到最简形式，再根据分式有意义的条件，从给定的数中选取合适的代入计算． 【详解】（1）原方程可化为 ； 去分母：两边同乘最简公分母（）， 得： ； 整理求解：展开合并得 ， 解得 ； 检验：将代入， 因此是原方程的解． （2）解：， 分式有意义要求所有分母不为0，因此且，只能选取． 将代入得：． 22．（8分）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2) (3)； 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再将字母的值代入，即可求解； （2）根据二次根式的性质即可求解； （3）先根据二次根式的性质化简，在代入代数式求值，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴小亮的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质 （3）解：∵ ∴ 当时 原式 23．（9分）[阅读材料]：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决]： (1)因式分解：； (2)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）设 ，则原式可化为，利用完全平方公式因式分解为，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （2）先计算，再利用完全平方公式即可． 【详解】（1）解：令， 则 ； （2）解： ， ∵n为正整数， ∴是正整数． ∴， 即代数式的值一定是某个整数的平方． 24．（9分）化简：． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 (1)任务一：以上化简步骤中，第________步是通过约分得到的，约分的依据是________； (2)任务二：请写出完整的化简过程． 【答案】(1)三，分式的基本性质 (2) 解： ． 【分析】（1）根据分式的运算法则观察化简步骤即可知答案； （2）将分式进行正确的化简即可． 【详解】（1）解：以上化简步骤中，第三步是通过约分得到的，约分的依据是分式的基本性质； （2）略 25．（10分）在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：∵， (1)请你帮助小明接着完成这道题； (2)请你根据小明的思路，解决如下问题 ①______； ②计算： 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）把变形为，然后把代入计算即可； （2）①把分子分母都乘以化简即可； ②先分母有理化，再算加减即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：①； ② ． 26．（10分）【阅读材料】将一张长方形纸片按如图所示分成6块，其中涂色部分是三块邻边长为，的长方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为_________． (2)图中涂色部分面积之和记作，非涂色部分面积之和记作． ①用含，的代数式表示，； ②若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）①直接观察图形，即可求解；②根据，可得，从而得到，再进一步即可求解． 【详解】（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为的正方形，1块是边长为的正方形，3块是长为y，宽为的长方形， 所以长方形纸片的面积为， ∵长方形纸片的长为，宽为， ∴长方形纸片的面积为， ∴， 即代数式可因式分解为； （2）解：①根据题意得：； ②∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假收心卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 训练范围：新教材，湘教版八年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 下列二次根式，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．若分式的值为0，则实数的值为（     ） A． B．0 C．2 D．3 3．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（     ）． A． B． C． D． 4．化简的结果是（     ） A． B．6 C． D． 5．计算的正确结果是（     ） A． B． C． D． 6．若是整数，则下列选项的值一定为偶数的是（     ） A． B． C． D． 7．估计的值应在（     ） A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间 8．如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．若关于的分式方程有增根，则的值为(     ) A． B． C．或 D．或 10．对于任意正数，定义运算为，计算：的结果为（     ） A． B． C． D． 11．若a，b为实数，且，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 12．如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 13．2026年我国国产高性能碳纤维实现量产突破，超细碳纤维单丝直径低至，将用科学记数法表示为_______． 14．分解因式：_____． 15．若式子在实数范围内有意义，则，的取值范围分别是_______，_______． 16．无人机巡检是新一代智慧运维技术，具有效率高、安全性强、适用范围广的特点．若巡检一段的线路，无人机巡检比人工巡检少用，且无人机巡检的速度是人工巡检的1.5倍，则无人机巡检的速度为__________． 17．生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等．为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为．当时，，此时可得到数字密码202317．将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码151719，则______． 18．如图1，土楼是中国传统的夯土民居建筑，图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环．已知大圆和小圆的面积分别为和，则圆环的宽度________ ．（，结果化为最简二次根式） 三．解答题（本题共8小题，共66分） 19．（6分）计算 (1) (2) 20．（6分）因式分解： (1)； (2)； (3)． 21．（8分）解分式方程及化简求值 (1)解分式方程：． (2)先化简：，然后从，0，1，2这四个数中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 22．（8分）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___； (3)先化简，再求值：，其中． 23．（9分）[阅读材料]：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决]： (1)因式分解：； (2)证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 24．（9分）化简：． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 (1)任务一：以上化简步骤中，第________步是通过约分得到的，约分的依据是________； (2)任务二：请写出完整的化简过程． 25．（10分）在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：∵， (1)请你帮助小明接着完成这道题； (2)请你根据小明的思路，解决如下问题 ①______； ②计算： 26．（10分）【阅读材料】将一张长方形纸片按如图所示分成6块，其中涂色部分是三块邻边长为，的长方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为_________． (2)图中涂色部分面积之和记作，非涂色部分面积之和记作． ①用含，的代数式表示，； ②若，求的值（用含的代数式表示）． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $