湖南长沙市天心区2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 以孝感红茶分茶、企业产品检测等真实情境为载体，通过函数导数综合、立体几何证明等题设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据观念，实现基础巩固与创新应用的衔接。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数虚部、函数奇偶性周期、立体几何位置关系|第4题圆台与圆柱体积计算融入地方茶文化，体现数学眼光| |填空题|3题/15分|向量坐标、仰角测量、概率计算|第14题以产品检测柱状图为背景，考查数据意识| |解答题|5题/77分|三角函数性质、解三角形、立体几何证明、统计分析、函数导数应用|第19题导数综合题含切线、零点、不等式恒成立，梯度设计提升思维能力；第18题数学建模大赛成绩分析，强化数学语言表达|

湖南省长沙市天心区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B C C D C A AD ABD 题号 11 答案 ABD 1．A 【详解】由， 所以的虚部为． 2．C 【分析】根据题意，结合正弦型函数的周期性和奇偶性即可求解. 【详解】因为， 而，所以，即为偶函数， 周期，所以是周期为的偶函数，故C正确. 3．B 【详解】，只有当直线垂直于两个平面交线时，， 当前条件无法推出线面垂直，故A错误； 设，由面面垂直性质，内存在直线垂直于，直线与平行， 且，故，B正确； ，两个平面可以相交， 如两个相交平面内各取一条互相平行的直线，满足条件但平面不平行，故C错误； 异面直线分别在两个平面内，两个平面可以相交，故D错误． 4．C 【分析】分别利用圆台和圆柱的体积公式计算出茶壶和茶杯的容积，求商即可求得结果. 【详解】设圆台形茶壶的上口半径为，下口半径为，高为，圆柱形品茗杯的底面半径为，高为，则， 根据圆台的体积公式，可得茶壶的容积. 根据圆柱的体积公式，可得品茗杯容积， 则最多能倒满的杯数为. 故最多能倒满15杯. 5．C 【分析】结合长方体体积公式、三棱锥体积公式及中点性质计算三棱锥体积. 【详解】设长方体的长，宽，高， 则. 因为为的中点，所以， 底面为直角三角形，其面积. 又平面，故为三棱锥底面上的高， 进而. 6．D 【详解】依题意，正方体内切球的直径即为正方体的棱长，则内切球的半径为， 由球的体积公式得. 7．C 【详解】由可得， 与互为反函数，故其交点在直线上，且交点横坐标小于1， 而与交点的横坐标等于1， 从而，，在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：与的图像交点为,与的图像交点为, 且 当直线位于点的上方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 8．A 【分析】根据指数与对数的运算法则对已知条件进行变形，利用变形后等式的特点构造函数，再根据函数的单调性确定的关联，最后结合题给条件求解． 【详解】， ，即， ， ，即， 令，则在上单调递增， 方程有唯一解， ， ． 故选：A． 9．AD 【分析】利用正弦定理判断A，利用总体百分位数的估计判断B，利用正弦定理结合二倍角公式判断C，根据频率分布直方图的性质判断D即可. 【详解】对于A，在中，由题意得，则， 由正弦定理得，得到，故A正确， 对于B，将数据排序，可得， 且，则下四分位数为，故B错误， 对于C，因为，所以， 可得，得到， 由二倍角公式得，即， 则或，即或， 则为等腰三角形或直角三角形，故C错误， 对于D，数据的频率分布直方图为单峰不对称， 且在右边“拖尾”，则其中位数小于平均数，故D正确. 10．ABD 【分析】A选项，利用平面向量基本定理可得答案；B选项，得到为三角形的重心，得到B正确；C选项，设，根据三点共线得到方程，求出，C错误；D选项，用平面向量基本定理，利用表达出，，利用向量数量积公式计算出答案 【详解】A选项，，故，A正确； B选项，，故为的重心，所以分别为的中点， 所以，B正确； C选项，，， 设， 因为三点共线，所以，解得，故， 故不为的三等分点，C错误； D选项，，，， 所以 ，D正确 11．ABD 【分析】A.通过线面垂直证明线线垂直；B.先找到线面所成的角，再在直角中求解角的正弦值；C把长方形与正方形展开成一个平面，当三点共线时求解；D.先作出截面，再求解面积. 【详解】对于A，在正方体中， 由平面，知平面， 又平面，则，故A正确； 对于B，连接，，在正方形中，， 由平面，平面，得， 又，平面， 则平面． 过点作交于点，连接， 于是平面， 故是直线与平面所成的角， 在中，，， 则，故B正确； 对于C，如图： 把长方形与正方形展开成一个平面， 当三点共线时， 此时最小，为，，故C错误； 对于D，若，延长，与的延长线交于点， 连接与相交于点，连接，如图： 由比例关系可得， 则过三点作该正方体的截面是梯形， 记梯形的高为， 由题意得， 在中，由余弦定理得， 则，得． 故，故D正确． 12． 【详解】由图知，，， 则． 13． 【分析】中，利用正弦定理求出，在中，，代入求值即可. 【详解】因为， 在中，， 由正弦定理得，即，解得， 在中，， 即纪念碑高为米. 故答案为：. 14．0.973 【详解】由柱状图可知，100件样本中，一级品共70件，因此任取1件产品是一级品的概率为，任取1件产品不是一级品的概率为.“取出3件中至少有1件一级品”的对立事件是“取出的3件都不是一级品”，因此从出厂的所有产品中随机取出3件，至少有一件产品是一级品的概率为. 15．(1)或 (2) 【分析】（1）化简得到，根据偶函数得到，根据范围得到答案. （2）确定，根据对称轴得到，解得答案. 【详解】（1） ， 故是偶函数，那么， 即，，，或时满足条件，故或. （2）当时，， 要让函数恰有3条对称轴， 那么, 解得 ，即 16．(1) (2) 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，利用三角形的面积公式求解. （2）（方法一）联立方程组计算出的值，利用余弦定理求出，从而求出的周长.（方法二）由余弦定理及，求出，从而求出的周长. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以的面积为. （2）（方法一）由，得或， 由余弦定理，得， 解得. 故的周长为. （方法二）由余弦定理， 得， 解得. 故的周长为. 17．(1)异面，理由为： 如图所示，取中点，连接，，则， 因为四边形为平行四边形，所以，， 又因为，且， 所以，且， 则四边形为平行四边形，且，， 所以且， 所以四边形为平行四边形，且， 又，且平面， 所以与异面. (2)因为，是的中点，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 【分析】（1）根据平行传递性证明线线平行，进而证明直线异面； （2）根据面面垂直证明线面垂直，即可证明异面直线垂直. 【详解】（1）略 （2）略 18．(1)，众数为 (2)分． (3)； 【分析】（1）由概率之和为以及即可求解，由频率分布直方图的众数计算方法计算即可； （2）先分析一等奖所在区间，根据题意建立方程求解即可； （3）由分层随机抽样的平均数和方差公式计算即可. 【详解】（1）依题意可知，， 又，解得，   由图可知样本数据的众数落在区间内， 所以估计样本数据的众数为125． （2）由（1）可知，即成绩落在中的频率为， 成绩落在中的频率为0.25， 则获得一等奖学生的最低分应落在中．     设获得一等奖学生的最低分为x，则有， 解得，即估计获得一等奖学生的最低分约为138分． （3），     . 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）通过求导，确定切线斜率，进而可求解； （2）将问题转换成直线与交点问题，研究的单调性和最值，进而可求解； （3）利用函数单调性，不等式等价于恒成立，令，由，得在上恒成立，利用导数求的最大值即可. 【详解】（1）由， 得，，， 所以切线方程为 ，即. （2）有两个不同零点等价于直线 与 有两个交点， 由，得： 时 ，单调递减， 时 ，单调递增，此时 在处取最小值 ， 又 ，， 故直线与有两个交点时，故. 即函数在定义域内有两个不同零点，实数的取值范围是； （3）由，故 ， 原不等式化为 . 由，， 知在上单调递增， 又在上单调递增， 且，得， 即. 令，则在上单调递减， 即 恒成立， 即对恒成立. 令，求导得：， 当时，，在上单调递增， 时，，在 上单调递减， ， 故 ，得. 故实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市天心区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数，则的虚部为（     ） A．1 B．4 C． D．5 2．函数是（     ） A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数 3．已知平面，和直线，下列结论正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．若与是异面直线，，，则 4．孝感红茶是国家地理标志产品，是全发酵工夫红茶.泡茶时讲究高冲低斟､均分茶汤.茶壶聚香锁味，小杯小口品茶，一壶分多杯是工夫茶“分茶奉幸､礼敬宾朋”的习俗.如图，一把圆台形茶壶，上口半径，下口半径，高；配套圆柱形品茗杯，底面半径，高.装满一壶茶水，最多能倒满（    ）杯. A． B． C． D． 5．长方体的体积是60，若为的中点，则三棱锥的体积为（    ） A．10 B．20 C．5 D． 6．一个正方体的棱长为2，若一个球内切于该正方体，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 7．若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 8．已知正实数满足和．则的值为（　　） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．下列命题正确的是（     ）    A．在中，若，则 B．数据的下四分位数是3 C．若，则为等腰三角形 D．若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数 10．已知等边三角形的边长为，，，交于点，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为的三等分点 D．若，则 11．如图，在正方体中，，点为线段上的动点，点为线段上的中点，则下列说法正确的是（    ） A．无论点在线段上如何运动，总有 B．与平面所成角的正弦值为 C．的最小值为 D．若，过三点作该正方体的截面，该截面的面积为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则__________．（用坐标表示）    13．如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为__________米.（保留根号） 14．某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示，根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，则至少有一件产品是一级品的概率为__________． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知函数． (1)设，函数是偶函数，求的值； (2)若在区间上恰有三条对称轴，求实数m的取值范围． 16．已知的内角的对边分别为，且. (1)求的面积； (2)若，求的周长. 17．如图，在多面体中，平面平面，在平行四边形和四边形中，，点，分别是，的中点，，，． (1)判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)证明：； 18．某市组织数学建模大赛，从参加比赛的名学生中随机抽取名学生的成绩进行样本分析（满分为分，按照，，…，分成六组），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中．    (1)求图中的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表） (2)根据成绩，准备给成绩较高的的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分； (3)若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是，求落在中的样本数据的平均数和方差． 19．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在定义域内有两个不同零点，求实数的取值范围； (3)对任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $